Ответы к задачам по геометрии Рыбкин

ОТВЕТЫ.

§ t.2. 14 м . 3. 9,10 м . 4. 7 м . 5. 1 ж. 3. 30 см . 9. 5,5 ж. 10. а =

=4,25 см, b — 2,75 ель 11. 06 м 12 . А В В С = ~ 1 (т — 1 )= 1 4. 13.

8,1 м . 14. 96 и . 17. 1) Да, 2) да; 3) нет 1 8 .1) 3; 2) 6 , 10; 190; П- ~ —

§ 2.6.1) 124°33';2) 144°9'15"; 3) 162°1'55". 8 .1)47°49'30";2)41°17'30":

3) 84°48'42" 9 . 1)20°; 2) 55°37'; 3) 67°17'22". 12.1) 178°30'; 2) 69°35'; 3) 166°37'30". 14. 1) 31 °5'; 2) 73°52'30"; 3) 24°35'27",5; 4) 20°7'35".16. 1) 3 1 ; 2) 2 3) 0,7. 17.1 i d. 18. 1 ^ d. 20. Продолжить А В

или Сй за точку В. 21. 36° и 144°. 22. | d n 1 i d . 23 .54°. 24. Да.

25. Да. 26. d. 28. 72° и 144°. 29. i d; i d; | d ; i d . 30. 36°.

31. 20°; 22°30'. 32. 1 yy d. 33. ~ d \ ^ d ; 1 ~=d; 2 ^ d . 34. l | - d ;

| d ; 1 ~ d. 36. 70°. 37. 1 i d.5 5 8

§ 3.

2. 10 m . 7. У к а за н и е . Сначала доказать равенство треугольников D B E и D G F . 9. Равносторонний. И . 1) Можно получить два тре­угольника, один или ни одного. 13. 1) Да; 21 нет; 3) нет. 14. 1) Нет; 2) да. 15. 2 м . 16. 0,3 м . 17. 10 м . 18. 10 см , 10 см, 1 см . 19. У к а ­зание . По теореме; а < b -f- с прибавить к обеим частям неравен­ства по а. 20. У к а за н и е . Каждая сторона треугольника меньше суммы отрезков, соединяющих выбранную точку с её концами. ?1. 13 м . 22. 15 м . 23. 10 см . 24. 8 м . 29. Дорога должна проходить через середину отрезка, соединяющего точки В и С. 30. У к а за н и е . Построить точку, симметричную с одной из данных точек относи- тел1|Но АВ, и соединить её с другой данной точкой. 32. Лишь внутри остроугольного треугольника. 33. У к а за н и е . Построить окружность с центром М и радиусом а и биссектрису угла. Точек может быть две, одна или ни одной. 34. У к а за н и е . Провести биссектрису про­тиволежащего угла. 36. У к а за н и е . 1) Построить биссектрису угла А

Ответы (§ 3—4) 107

и перпендикуляр из середины В С. 2) Описать окружность с цен­тром С и радиусом С В до пересечения со сторонами угла. Задача может иметь одно, два или три решения. 3) Построить точку, сим­метричную с вершиной А относительно прямой ВС. 37. У казани е. На второй стороне угла отложить отрезок А В = 1 и из середины B D восставить перпендикуляр. 38. 8 м , 20 м , 16 м , 32 и . 39. Нет. 41. 10 м . 42. 1) % 2) 7; 3) п - 3. 43. 1) 4; 2) 6 ; 3) п - 2. 44. 1) 5;

2) 35; 3) ” ■ .4 5 . п — ——— 7 ; 6; 4; невозможный сл\ чай.2 т — 1 J46. п = 2т + 3; 4; 5; 7; 8.

§ 4 .

I. 72° и 108°. 2. U-rf. 3. 1 % d . 4. Увеличить на 1 ~ d .16 7 165. | d. 6. 43°; 137° и 137°. 7.135° и 45°. 8.36° и 144°. 9.50° или 130°.

lfl. d . 11. 30°; 60°; 90°. 12. ~ d . 13.44°59'30". 14.31°40'. 15.30°;

17°30'; 40°; 45°. 16. 37°29'46",5. 17. 38°34\ 18. - ^ d . 19. y r f .2 0 .15°.

21. 30°. 22. у d; ~ d ; ® d . 23. 7,3 м . 24. 1) 18 слс, 2) 8 см . 25. У ка­

за н и е . Данный треугольник есть половина равностороннего. 26. У ка­за н и е . Продолжить катет за вершину прямого угла, отложить отре­зок, равный этому катету, и соединить с вершиной острого угла.28. 1,2 м . 29. А = i d; В = ~ d ; С = | d; 30. 60°. 31. | d.

9 3 9 63 5 5 2

32. 1 — d\ j-grf; jgrf. 34. у d. 35. У казани е . Применить теоремы:1) об углах при основании равнобедренного треугольника и 2) о вну­тренних накрест лежащих углах при параллельных. 36.90°. 37.135°.

39. | . 40. в « И * 1 IT4 4‘- 11 Г * Г * Г «1 2 22) 1 g- d; у d; g- d. 42. У к азан и е . Продолжить медиану на равное

ей расстояние, 44. У к а за н и е . Вычислить / _ C A D и /_ С А Е = £ B A D .

45. 1 -g d. 46. У к азан и е . Вычислить образовавшиеся углы. 47. / _ D —

=

49.

z c ; i D B E ^ = d + ~ I B . 4a1 ^ -rf.5 0 . | y rf. 51. I d. 52. l) 10 d; 2) 16 d; 3) 46 d.

53. 54J; 81°; 108°; 135°; 162°. 54. Увеличится на 10 d. 55. 1) 17; 2) 26; 3) невозможно. 56. В четырёхугольнике. 57. 13. 58. 2m -j- 2.

. 4 ,, . 10 .. 6 .. 2 ,59. 1 j ̂ d t 1^2 11^’ 11^'

108 Ответы (§ 5i

§ 5.Л Ч 4 10 Q

1. 1 y r f ; y r f ; l y d. 2. 3. В С = D A = 6 см:

C D = 9 см. 4. 0,6 u \ 0,8 м . 5. B E = 9 с м ; Е С = 6 см . 6. Четырёх­угольник с двумя парами равных противоположных сторон есть параллелограмм. 7.3 см: 2 см: 3 см . 8. 1) Нет; 2) нет; 3) да. 9. У к а ­зание . Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов. 10. Может: два равных равнобедренных треугольника, приложенных боковыми сторонами. 12. 4,8 м . 13. A D = = B C = . I м; А В — B D =

= CD = 0,9 м . 16. \ 0 д м . \ ~ d . 2 Q . - ^ d . 2 1 .|- r f . 22.1) Та­

кая точка существует лишь в квадрате; 2) да. 23. 10 с м и 18 см.24. 1,2 м. 25. 4 м и 8 м . 26. 45°. 27. 12 см . 28. 25 с м и 10 с м или

18,75 с м и 7,5 с м . 29. 8 м . 36. 120° и 60°. 38. ~ d и 1 ~ d. 39. 80°

и 100°. 40. 60° и 120°. 41. 150°. 42. 1) Задача не имеет решения. 45. 4 м . 47. 1 м . 48. 2 м. 49. 2 м . 50. 2) 2 см . 51. 4 м и 8 м .

53. 2 — м . 54. 4 см, 5 см , 6 см. 55. 6 см . 56. 2,4 м , 3,2 м , 4,8 м.

57. 3 дм . У казани е . Провести через В прямую параллельно M N и опустить на неё перпендикуляры из А и О. 58. 3 дж. 59. 4 см, 5 см, 1 см. 61. 16 дм . 62. 13 см , 16 см , 19 см , 22 см, 25 см . У к а ­зание . Сначала доказать (вспомогательным построением), что па­раллельные отрезки полученного чертежа возрастают равномерно.

63. / _ A = ~ d \ £ В = l ~ r f ; £ C = \ ~ d : ^ D = j d . 0 A . A D =

~ 0,8 м. 65. Нет. 66. 4 м . 67. Ближе к большему основанию.68. 12~ с м , 11 -^-см. 69. 3 м , 2 м . 70. 6 д м и 10 д м . 71. 1:2.

73. 6 ж. 74. ~ d и 1 ~ d. 75. | - d и 1 — d. 76.15 д м , 9 д м . 77. 1 м .1 0 1 1) О i )

78. 24 с м и 36 см. 79. 1,5 м , 4 м . 80. 1.7 м . 81. т — Л; m-4-Л.382. 10 см. 83. а. 84. а. У к а за н и е . Продолжить B F до пересече­ния с продолжением ВС. 86 . 1) Построение возможно лишь в том случае, когда разность оснований трапеции меньше суммы двух боковых сторон и больше нх разности. У к а за н и е . Сначала построить треугольник, у которого боковые стороны равны боковым сторонам трапеции, а основание равно разности оснований трапеции. 2) Задача имеет решение лишь при условии, что сумма оснований трапеции мзиыпе суммы диагоналей и больше их разности. Указание. Сначала построить треугольник, у которого боковые стороны равны диаго­налям трапеции, а основание равно сумме её оснований. 87. 1) Па­раллелограмм, 2) параллелограмм, 3) ромб, 4) прямоугольник,5) квадрат, 6) параллелограмм. 88 . 5 д м , 4 дм\ 56°25' и 123°35\91. 1) 90°; 2) 180°; 3) 180°; 4) 72°.

Ответы (§ 6—7) 109

§ 6 .t~*~Cl1. 4 см . 5. 1) 5 с м и 25 см; 2) 7 с м и 13 ел*. 6. ----- . 8. 60°.

9. 120°. 10. 2 см. 11. 2 с м и 4 саг. 12. /?. 13. 1 см . 14. 20 саги 12 саг. 15. 2,2 аг. 16. Z ^ A O D — / _ О А С + £ А С О ; £ О А С = / . О В А = = Z. В О С + / , Л СО = 2 £ АСО; / ЛОО = 2 ^ Л СО + / ЛСО = = 3 ^ ЛСО. 17. 1) Задача неопределённая. Если же дана ючка на окружности, то хорд можно провести две. 20 . 60°. 21 . 1) 10 саг;2) 2 д м . 22 . 2R. 13. 1 длг. 24. 0,5 аг. 25. 14,13 саг. 26. 9,42 саг. 27. 6 саг. 28. 8 саг. 29. R — г . 30. 5 саг. 31. Центр сопрягающей полу­окружности лежит в середине отрезка, перпендикулярного к обеим параллельным. 32. У к а за н и е . Во всех случаях центр сопрягающей дуги лежиг на биссектрисе учла между данными прямыми. 33. Две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от неё на рас­стоянии, равном данному радиусу окружностей. 34. У казани е. Центры окружностей лежат па перпендикуляре к данной прямой в данной точке (два решения). 35. У к а за н и е . Центр окружности лежит на перпендикуляре к данной прямой в точке В и на перпен­дикуляре к отрезку А В , проведённом через середину этого отрезка. 36. У к а за н и е . Центр окружности лежит на биссектрисе угла.38. У к а за н и е . Центр окружности есть точка пересечения биссектрис двух внутренних односторонних углов. Задача имеет два решения. 41. 1) Внешнее касание; 2) внутреннее касание; 3) одна окружность вне другой. 42. 1) Внешнее касание; 2) одна окружность внутри другой; 3) одна окружность вне другой; 4) пересечение. 43. 2 см.44. 9 саг, 7 саг. 45. 2 см . 46. 16 саг. 47. У к а за н и е . Опустить из центра перпендикуляр на секущую. Его основание разделит по­полам обе хорды. 48. 6 саг. 49. 1) R и 60°; 2) У казани е . Разделить окружность на три равные части, в точках деления провести каса­тельные; вершимы треугольника, образованного касательными, со­единить с центром круга; получим три тупоугольных треугольника, в каждый из которых следует вписать окружность. 50. 9 саг. 51. 2 д м . У к а за н и е . Соединить центры всех вписанных кругов между собой и с центром данного круга и рассмотреть полученные тре­угольники. 52. 1 д м . 53. 1) Прямая, соединяющая центр с дайной точкой. 54. 1) Две концентрические окружности. 57. У казани е. Задача имеет в общем случае четыре решения. Найти условие, при котором задача имеет три решения.

§ 7.

1). 5°; 2) 15°; 3) 2. 1) 5°; 2) 4°26'40"; 3) 21'36";О

у 10" 1 1 14) 25°42'51 у ; 5) 163°38 '10^-. 3. 1 ) ^ ; 2 ) - ^ ; 3 ) 0,3; 4) ^ ;

• » * > ’ > и » * д а - 4- 4 150°; 2>« * * 3 1 155°-5)

110 Ответы (§ 7—-SI

5. 8 см . 6 . 0,7 м . 7. 77°59'23", 8 . 16°33'. 9. 105°14\ 10. 148°41'30". 11.94°39'30". 12.84°22'30". 13.285°18'. 14.137°34'. 15.123°45'н56°15'. 16. 105°48'30" иля 36° 1 ИЗО". 17. 37°30'. 18. 95° и 120°. 19. 52°30'; 82°30' и 45°. 20. 108°. 22. 40°. 24. 154°. 25. 50°. 26. 40°, 40° и 100°. 27. Стороны треугольника делятся пополам, полуокружность — на3 равные части по 60°. 28. Помещая треугольник так, чтобы его катеты проходили через концы диаметра, отмечать положение вер­шины прямого угла. 29. Искомая вершина лежит на окружности, построенной на гипотенузе, как на диаметре, и на прямой, парал­лельной основанию и отстоящей от него на расстоянии 2 см.31. Окружность, диаметром которой служит отрезок, соединяю­щий Центр данной окружности с данной точкой. 34. 67°30'. 35. 36°34'30". 36. 48°50'. 37. 45°. 38. П0°52'. 39. 78°45'. 40. 144°.4 С 150°27'. 42. 180° — — . 43.80°. 44. 72°. 45. Точка касания 46.7°.47. 20°30'. 48. 106°35' и 253°25'. 49. 33°20'. 50. 100°. 51.18°. 52.105°. £3. 31°12'. 54. 60°. 55.34°54'. 56. 15°12' и 74°48'. 57. Z ВАС = 110°;

В С А —г 30°; / D A C = 80°; О С А — 60°. У к а за н и е . Воспользо­ваться окружностью, описанной около четырёхугольника A B D C . 62. У к а за н и е . Задача сводится к задаче № 60. 63. 2 м . 64. 4 см. 65. 1) 40°; 2) 36°. 66 . 50° и 130°. 67. 105°, 115° и 140°. 68 .55° 19' или 34°41'. 69. У к а за н и е . Начать с построения треугольника, образо­ванного основанием и отрезками, соединяющими центр вписанного круга с вершинами основания 70. 6:5. 71. р — г. 73. 60 см. 75. У ка­за н и е . На касательной к данной окружности, как на стороне, по­строить данные углы и провести касательные, параллельные двум другим сторопам/76.1 м . 77. 25° 10’; 154°50'; 25° 10' и 154°50'. 78. У к а ­зание . 1) Центр вписанио! о круга лежит в точке пересечения диа­гоналей ромба. 79. 2 с м . 80. 143°, 37°, 143° и 37°. 81. Вне. 82. 3 см. 83. 25 см . 84. B C D — Ю9°36'18"; £ B — / _ D = 90°. 85. 1) Да;2) пет. 86 . у R. 87. 81°. 88 .1) 3 м , 6 м , 9 м , 6 м; 2) 45°, 90°, 135°, 90°.

§ 8.

1. A B : C D = z 2 , 4 . 2. 0,87. 3. 1) А М . А В = 1 :3; М В : А В = 2:3;

2) А К : А В = — ; К В : А В = — ^ — . 4 . B D — П с м и A D =т - \ - п т - \ - п

= 18 см . 5. 10 мин. 6 . 1) 15 м\ 2) 9 м \ 3) 22 д м . 7. 1) 12 дм \ 2) 1,8 м;3) 3,4 м . 8 . 1) Да; 2) да; 3) нет. 9. 1) 4 см, 8 см , 12 см, 16 еж; 2) 32,5 см , 35 см , 37,5 см , 40 с .и, 42,5 с м , 45 см , 47,5 см . 10. 3 м и 2,4 м . И . 16,15 м . 12. 0 0 = 1 ,8 см \ О С — 1,6 с м ; О С — 1,6 см. 13. 2,5 м . 14. 10 ж н 35 м илн 35 м и 10 м . 15. У к а за н и е . В тре- yi ольнике, образованном сторонами угла и искомой прямой, пря­мая, параллельная одной стороне угла и проходящая через точку Р, делит две стороны треугольника в отношении т \ п . 16. У к а за н и е . Точки, расстояния которых от сторон данного угла относятся, как т п, делят в том же отношении отрезок, заключённый между сторонами угла и перпендикулярный к биссектрисе угла. 17.1) A D —

Ответы (§ 8—9—10) l i t

— 8 м и О С = 12 м; 2) 10 м; 3) 1,8 м . 18. 10 см . 19. 1) Да; 2) пат; 3) нет; 4) да. 20. В Е — 1 см\ Е С = Ъ см . 21. 39 с м и 65 см . 22.8 см. 23. 50 см . 24. 16 см , 20 с м , 20 см . 25. B E — 10 м , Е С — 14 м .

26. —7—■ . 27. 6 см, 4 с м и 6 слг. 28. —̂ р-т. а + с a + f t§ 9.

1. 1 м , 1,2 м . 2. 10 м , 25 jh, 20 м . 3. 42,0 м (с точностью до 0,1). 4 . 1) «г1==35, с — 8; 2)с = 20. 5. А С — 24 см; E F — 18 см; O F = 15 см . 6 . 13,6 см . 7. А С = 3 д ; A l C i — 1,2 м . 8. А С = 20 см; E F = 15 см. 9. 1) Да; 2) да; 3) нет. 10. 1) Нет; 2) да. 11. 2,6 м . 12. 1) 1 м . 2 м и 2,5 м \ 2) 6,5 м н 5,5 м . 13. 1,25 м . 14. 1) 14 см; 2) 6 д м . 15.1) 4 см;hft2) 27:28. 16. 2 м . 17. —— . 18. В С — VI см; Н О : В А = 3:4.

d -*-f“ с19. A D .— 1 м , D C = 2 м . 20. У к а за н и е . Каждая сторона искомого треугольника есть четвёртая пропорциональная к трём отрезкам: периметру искомого треугольника, периметру данного треугольника и одной из сторон данного треугольника. 22. У к азан и е . По yi лу^ и отношению отрезков основания построить треугольник, подобный искомому. 23. О В — 15 см , O D — 12 см . 24. А О : О С — 20:9; А О — — 40 см, В С — 18 см. 25. А В — 30 см , A D — Ad см. 26. 18 см.

а ( т — п) Ьсп ' ' а + 1

32. — —-. 33. У p q . 34. У к а за н и е . Найти направление прямых, со-

27. 20 см . 28. 300 м . 29. • . 31. 10 с м и 12 см.

b с 'единяющих середину хорды с вершинами квадрата. 35. Указание. Найтн направление прямой, соединяющей одну из вершин треуголь­ника с одной из вершин квадрата. 36. • 37. У к а за н и е . Найтинаправление прямой, соединяющей одну из вершин треугольника с одной из вершин прямоугольника. Задача имеет, вообще говоря,6 решений. 38. 1Й с м и 18 с м . 39. 12 см . 40. • 41. С О — Ъсм,

B D = . 9 см . 42. -ЛО = 6 м , В Е = . % м . 43. 1 м . 44. 14 с м и 10 см .

45. У 2а г . 46. 10 с м и 26 см . 47. 48. 16 см. 49. 1т

50. 58 д м и 80 д м . 51. 20 м . 52. О Е — 6 д м ; O DCLT

54. — г-77- . 55. 30 см , 24 см , 18 см, 36 см . 56. 18 м , 9 м, 12 м , 36 м. а-\-2г57. 8 д м , 12 д м , 16 д м , 20 д м . 58. 100 м и 40 м . 59. a : b = z

— 1,414. 60. J .

§ Ю.1. 1) 37 см; 2) 65 см; 3) 41 дм; 4) 109 см; 5) 21 - i- ; 6) 1 ~ ;

1 + т '8 д м . 53. 42 дм .

7) 17; 8) у 61:

6) Т/ТН % 7,14.

: 7,81. 2. 1) 161; 2) 260, 3) 24, 4) 42; 5) 7 2

112 Ответы (§ 10)

1)2)

3)4)5)6)7)8)

9)

10)

П)

12)13)14)

(15)(24)

(4)(100)156

(600)(6)2421

У з

42 У 10(136)

40

(20)

О)

(5)75

(65)175

8(7)

• 20

У б3 -У

У 6 У !о

255

(9)

2525

У4Т(125)(169)(625)

1025

(29)

(3)

420

28941

23 25

4 Т ^80

144576(3,6)23,04

■ 41

1 Т(2)64J_4139

16

452549

6,4(1,96)13 У

29(2)

4 )(18)225l l °41

12 , 18 6 25

— y y41 '6060

1684,86,72

14 —29У 2

6( 120)

8 4I

4. У к а за н и е . Воспользоваться § 190 из Киселёва. 5. У казани е . Если разность отрезков х — у = г, а среднее пропорциональное У х у = /? , то сумму отрезков можно найти как гипотенузу прямоугольного тре­угольника с катетами г и 2р. 7. 50 с м и 72 с м ' 8.’ 5,2 м. 9. 18 см , 98 см.

12. Воспользоваться задачей № 11. 13. 3, 4, 5. 14. У 116 5= 10,8 (лт).15. 1) У д 2 4 - Ь2; 2) 109 см . 16. 32 У 2 = 45 (мм). 17. 1) а |/Т ;2) 2 (У 2 - f 1) см. 18. Нет. 19. 1) У 2) 32 с м и 60 сил 20. 1) 41 см; 2) 10 см . 21. 1) 15 сзг; 2) 125 см , 125 сзт, 240 см;

3) 2 У 2 см. 22. 5,0 лт. 23. 1) 3 м и 4 л/; 2) 9 сл, 1 У сл/,

24. 1) У у у 2) 3) 2,и (2 + У з ) ; 4 )2 У з“ лк

й 4 У з си/. 25. I) 25 с м или 11 см; 2) 29 см; 3) 40 см . 26. 1) 37 см; 2) 3 д м и 4 д м . 27. 1) 24 см; 2) 36 с,и и 54 сл/. 28. Около 5630 м .

29. 1) 25 мм', 2) rf^= 19 м м \ 3) 11 м м ; D ^ z d - \ - ~ h У1Ё

31. 2) У я 2 + ЗР. 32. 24 м м . 33. 1) 39 дм; 2) 89 с.ц; 3) 14 с м или

4 си/; 4) 21 см; 5) 6 см. 34. 1) D = 425 м м ; 2) D = .

Ответы (§ tO) ИЗ

35. а ■ . 36. 9 с м или 39 см. 37. 42,5 см. 38. 1) 77 см; 2) 61 см;on3) 13,44 см . 39. у = УГтШ г. 40. 1) 40 см; 2) внешняя касательная равна 48 см; внутренняя касательная равна 30 см. 41. 13 м .

42. 73 см . 43. 7 м и 25 м. 44. 7 ^ см . 45. 175 с м и 600 см. 46. 20 см .

47.1:4. 48. 49:81. 49. 21 с м и 28 см. 50. а ( / 2 - 1) и а (2 —

51. п Л/ ™ ~^п и т 1 / 5 2 .1 м.ЬЪЛЬсм. 54. 5м. 55. 1) 10см;

2) 7,5 с м . 56. 18 д м . 57. 1) 24 дм ; 2) 2,41^5 дм ; 1,8 У Т дм ;

3) 13,44 дм._ 58. 1) 9 — см; 2) 0,8 г У К 59. 15 д м . 60. 65 д м .1о61. 35 д м . У к а за н и е . Провести среднюю линию и высоту из вер­шины тупого угла. 62. А Е :Е С — 16:25. 63. 36 д м . 48 д м . 64. 18 д м и 80 дм . 65. 1) 37 м и /7 6 9 ^= 2 7 ,7 (м); 2) 4:5. 66. 1) 3,125 дм; 2) 16,9 м . 67. 6 д м . У казани е. Отрезки гипотенузы, образуемые точкой касания, равны прилежащим к ним отрезкам катетов. 68.38 д м и 22 длс. 69. 25 д.и. У казани е. Ввести вспомогательное неизвестное — расстояние от центра до одной из хорд. 70. 30 см . 71. 32 слги 18слг.

2т г 2п г , (от 4- п ) гсторона72. Основания:Ytnn Y от

боковаяYn

73. 20 д м . 74. 1 дм . 75. С А = = 39; С В = т- + = 26.т п

У казание. Соединить концы отрезков т и н е основанием перпен­дикуляра. 76. 27 д м и 64 д м . 77. У казани е . Выразить длину общей внешней касательной через радиус.й. 78. А В = Y a {a -j- b ) ; C D = = Y b (a - f b ) . 79. Л С = 44 м . 80. с % 20 м . 81. 1) 7; 2) у Т ; 3) 16;4) 2 Y ' i . 82. 1) Тупоугольный; 2) прямоугольный; 3) остроуголь­ный; 4) остроугольный; 5) тупоугольный. 83. 1) р = 5, <? = 9, h = 1 2 ;2) р = 35, q — 5. h = 12; 3) р = 20, q = 8, ft = 15; 4) 1 ,

О

о = 2 - |- , Л = - | УТЗ. 84. 1) 7 см; 2) 13 см; 3) 73 см . 85. 1) 7 см;О О

2) 13 см; 3) 31 см . 86 . 1) 1 ^ 1 3 - 6 / 2 ^ 2 , 1 2 5 ; 2) 1Л13ч=3,6;3) 5. 87. 13; 14; 15. 88. 9 с м и 24 см. 89. 10 м или 6 м . 90. Боковые

стороны 7 с м и 15 см . высота —̂ 7,0 (см). 91. 20 см .

92. А С = а . ЛР = я ( /2 ~ 4 - 1 ) ^ 2 ,4 а ; CD = aV/'2 + yT=s=I,8 а.93. х = 1^2r2 - /• / 4г2 - я2 = 30. 94. 1) 13 см; 2) 11,2 елг; 95.1) _L;

a2) - г . 96.13.97.12 с м и 8 см. 98. 14 с м и 16,8 с .и. 99. 25; 56. 100.52. ' 4У казани е. Провести высоту треугольника А В С и воспользоваться по­добием ipeyi ольииков. 101. Y R ? + Зг2 .102. 1) 20 с м и 30 см; 2) 10 с м

114 Ответы (§ 10—11—12>

и 15' см . 103. 1) 7 еж и 11 см\ 2) стороны 4 еж и 7 еж; диагонали 7 с м

и 9 еж. 104. 1) 11; 2) 14; 3) т а = у / 2 5 2 + 2с2 - а2; =

— _ 1 / 2 с 24-2аг - й г; т с = / 2 а г + 2й2 - с*. 105. 24 еж.

106. 1) 7 СЖ^2) 6 еж. 107. 1) 12; 20; / 5 4 4 == 23; 2) 15; 17; 39; 3) 2,4; /2 3 ,4 ; /1 3 ,6 . 108.15 с м и 25 см. 111. У к а за н и е . Середины сторон четырёхугольника соединить ещё последовательно. 112. 30°.

§ И .

1. 13 ж. 2. /3"== 1,7(ж). 3. 1) 6 еж, 12 еж, 1 ж; 2) 16 еж.4. 1) Внутри круга; 2) на окружности; 3) вне круга. 5. 1) 4; 2) 65;3) -g-; 4) 5 или 45. 6 . 1) 30 см \ 2) 40 еж; 3) 21 д м и 29 дж. 10.1) 1 ж;2) 6 сж;_3) 10 ж. 11. 1) 8 еж; 2) 18 ж; 3) 14 еж. 12. 1) 7 еж;2) г ( / 5 — 1) % 1,24г. 13. 12 см . 14./? = 4,35 ж. 15. Нет. 16. 43,6 еж.17. /?=i:591 ж. 18. Уменьшился в 2 у раза. 19. 1) 24 еж; 2) 33 ж.20. 24 еж и 8 см . 21. Увеличилась в 3 раза. 22. 1) 4 еж; 2) 20 ж;3) Л /В = 35 ж и Л С = 15 ж. 23. 8 с м . 24 1) 9 <3ж; 2) 36 еж; 3) 25.25. т х и их, где х = а̂ - ~ Ь“ . 26. 1) 6; 2) 3; 3) / 3 . 27. 21 см .

28. В 1 -i- раза. Ж). Вторая точка пересечения. 31. 1) 3 см; 2) 18 сд*',

3) у ( / 5 + 1). 32. 1) 226 /еж; 2) 270 /еж. 33. 1) 17 еж; 2) 13 см .

34. 1) 10 еж; 2) -2-. 35. 18 еж. 36. 12 еж и 36 см. 37.1) 18 с м н 12 еж;

2) 9 еж и 6 еж или 12 еж и 2 у с м . 40. 6 д м . 41. -g- г. 42. 1) 10 еж;

2) 8 д м \ 3) 9,375 ж. 43. 25 д м , 8 д м , 15 д м . 44. у / 4 г г — аК 45. 9 дж. 46. / 2 д г .

§ 12.1. 1) 15°, 22°,5; 2) 12-угольиик, 30-угольник. 3.60°, 90°, 108°, 120°,

135°, 144°, 150°, 165°36Л 4.1) 8-угольник, 12-угольник; 2) 10-угольник, 15-угольник. 5. 2 / 2 2,8 (см). 6. / 3 = = 1,7 (см). 7. 4,4 см .

10.,2) 2 / я / З . 11. 1 ) г = | / / ? 2- ~ ; 2 } / ? = | / г а4 - у ; 3) « =

= 2 / / ? 2 - г 2. 12. 2 еж, 4 еж, 2 / 3 еж, 0. 15. 1) 2 j£ J? ;О

Ответы {§ 12—13) 115

3) я; 4) -5- У 4 + 2/ 2 ; 5 ) а У г + У з . 16.1) S J f i2)

2 ) | ; 3 ) ^

16. 1)

17. 1) 2ft; 2) ft У 2; 3 ) 2 4 — ; 4) к У Т

18, 1) 2/? У 3; 2) 2/?; 3) 2/? У з3

19.

. 2у§:

_ gaR ш

] / p * _ . £ s

21. 1) /? У 2 , /?У 2 + У У, «/?; 2) я У 2 + У 2", я ( У 2 —{— 1),я У 4 +-2)/л2. 22. 1) /?, /? V % R V 3, д У г + У з , 2/?;2) я У г + УЗ- , я1 /Г4 + 2 У з '= д ( У з + 1), о У з (2 - f У 3),я(2 + УЗ), 2я У 2 -f- У з . 23. У к а за н и е . Сторона искомого пяти­угольника равна большей части диагонали, разделённой в среднем и крайнем отношении. 24. £ 0 = 4,2 м , я3 = 2,3 м , I I — 2,1 м . 2Ъ .ап :Ьп—

— r : R , a , : k , = ~ , я6 :Ь, ^ 0,866. 20. 1) =^0,866 /?;

/ ? У 22) : 0,707 /?. 27. 1) 4 (2 У У 2); 2) 4 (2 + У з ). 29.

31. & у з 6 У 63 32. 2 У б 4,9 д м . 33. 1) R У 2

2

3 •

0,7 /?;

2) 5= 0,82д. 34. 1) (3 ± У З ); 2) а. 36. ^ 37. У к а з а ­

ние. Через центр данного квадрата провести диагонали искомого квадрата, каждая из которых найдётся как гипотенуза прямоуголь­ного равнобедренного треугольника с катетами, равными данной стороне. 38. У к а за н и е . Диагонали квадрата делят углы между диа-

__ р У з"гоналями ромба пополам. 39. 8я (2 — У 2). 41. 1) — ~— ;

О

2) R ( V 2 — 1). 42. 1) /? У 2 + У 2 ;* 2 ) /? У 2 4 -У 3 7 4 3 . 1 :У З ;2 ^ % 1 : 1,7:2. 44. с (У 3 -(— 1). 45. -g-ft. 46. В случае внешнего каса­

ния: 1) /? (2 У 3-{-3); 2 )/?(У 2 + 1); 3) R . В случае внутреннегокасания: 1) R ( 2 Y 3 — 3); 2) R (У2

§ 13.

■); з) /?

1. 2,25 м*. 2. 23 от. 3. У 32 500=5; 180 (лт). 4. 1)— ; 2) 2/?г;3) в два раза. 5. 1) Увеличится в 9 раз; уменьшится в 2,25 раза;2) увеличить в 2 раза; уменьшить в 5 раз. 6 . 552,25 га . 7. 48 .8. 21,9 я. 9. 17 к м . 10. 1) 8 м, 18 м . 2) 12 д м н 25 д м .11. 24 м . 12. 8,16 с м \ 1Д 130 см*. 14. 818 см. 15. 7,54 а.

116 Ответы (§ 13)

16. 30 см . 17. К Т к - '*■ ' » " у : 2 ) = ^ - ; 3 )ab ab у г2 . ab У '6

. 19. 30°.2 ’ ' 221. 202,8 с;и2. 22. 1400 с.и2. 25. тп. 26. 1:3. 2 7 .m t i .2 f i . 7 см и 9 с м или 21 с м и 3 с .и. 29. % 120 к г . 30. 1) 288 с м 2; 2) 1 м г; 3) 5 кв. единиц. 31. У к а за н и е . Высоты данного и искомого треугольников

равны. 33. 1 )^ р 2) —— — l 3) а!> - . 34. 1) Да; 2) нет; 3) да.

35. 1) 39 Ojh2; 2) 82 с.и; 3)

Ь

ah г2■ 36. V - 37. 1) 2688 е л 2;

У а2 + ь2 42) - ^ - У 4с2— й2; 3) 10 )^21 == 46 (с,и2). 38. У к а за н и е . Соединяемданную точку К с точкой D — серединой стороны А С , проводим

; 2 ) 4 V 3Q У У,B E \ \ D K . Прямая К Е будет искомая. 39. 1) -

3) 1 Нг УЪ. 40. 1) ; 2) 3г2 |'Т. 41. 6 дм2. 42. 2250 см2

или 522 с м 2. 43. 55 см, 48 см . 44. 12 с м или 16 см. 45. 1) 1440 с м 2,

2) 9,6 м . 46. ] / 2т7 Г ‘ 51, 12,8 ^ 52‘ Т ( 1)=:=0' 183й2-53. 75 с м 2. 54. а 2 (3 У У ) ^ 4,73я2. 55. 2я2 ( У 2 - 1) й= 0,8я2. 56. 8,4 л/2. &7. 6912 с м 2. 58. 52 с.и2. 59. 1) 84; 2) 60; 3) 10 У 2 % 14,1; 4) J | 6.49; 5) 5,28; 6) 1 7 - i ; 7) 8; 8) 18-i-; 9) 3 -^ - .6 0 .1 )2 м;

2) 112. 61. 1) 130 д м , 125 д м , 15 дм; 2) 18 см , 20 см, 34 см. 62. 144 с м 2. 63. 30 см. 64. 1224 с.и2. 65. 270 с.и2. 66 . 1) 25 или 39; 2) 14 или 12. 67. 36 кв. единиц. 68. 6 см. 69. 14 м , 30 м , 40 м. 70. 546 с м 2; У 1621=sr40 (см). У к а за н и е . Для определения B D прово­дим В Е \ А С , D F J _ A C и D O || А С до пересечения с продолже­нием BE. 71. 1) 8 см; 2) 25 см; 3) 8 с м и 10 см . 72. 1,9 м 2.73. 13,25 л*2. 74. 1100 м 2. 75. 11583 с м 2 ^ 1,2 л*2. 76. 1) 10 см; 2)2:3.77. 24 д м 2. 78. 288 с м 2. 79. . 80. 480 с.и2. 81.540 м 2. 82. 1) 256 с м 2;

2) Л2. 83. ^ • 34. 216 с м 2. 85. 8316 с м 2. У к азан и е . Пусть A B C D —данная трапеция, причем B C W A D . Проводим C E .\ \B D , где Е — точка на продолжении A D , и трапецию заменяем треугольником А СЕ.

86. — . 87. y • 88. 1) 1764 с м 2; 2) 150 .и2. 89. 48 с.и. 90 .- i - [й,Л,+

-j- d t (ht - у Л,)] = 12,0 га . 91. ^ 34л. 92. I) - i Ы; 2) Ы. 93. i - (а +

4 - Ь y ~ S ) (b -j- а У $ ). 94. (я2 + ab -(- Ь2). 95. 426 с.и2. У к а за н и е .

Провести В Е ± А О и C F ± A D . 96. ( / 3 + 4 ) . 97. 1) 8 с.и; 2) 166л:.

Ответы f§ 13—14—15) 117

98. o r2 / 3 . 99. 8 4 / 6 . 100. 650. 101. 28,5 л 2. 102. 1) - у i

2) 2r2 / 8 ; 3 ) i - V 2S / / 103. 1) 2R* / / 2) 3 R*. 104. 4=355 c m * -

105. =5; 10,7 cm*. 106. 1) 2) СЦ ^ - . 107. 1) R * V 31ф L I2) 4^?2 (2 — /2 " ). 114.3:2. 116. 2 (a* + ah ~f b*). U 7 ^ P :Q = 2:3. 118. пл. A B C : ил. D B E = 1:2. 120. 16; 25. 121. 5 / 2 4=7,07 (дм).

122. ~ . 123. h у - ^ О Д 124. 1) 4:21:56. 2) m *:(2m + n) tu

125. 256 c m * . 126.3:5:7 . 127.1) = 2) i - ; 3) . 128.32 дм*,

72 д м 2, 128 дм*. 134. У~2. 135. 10 / 2 4 = 14,14 (л). J36 . 300 дм*. 138. 25 дм*. 139. 60 см* и 40 см*. 140. 1:3'. 141. /3 + 1 4 = 2 ,7 3 2 ;2 (2 + /3 )4 = 7 ,4 6 4 . 143.

(т + п)г

§ 14.

2 М ) 12 дм ; 2) т а = /Т П 5 4= 3,4; т ь — /7 /7 5 4 = 2 ,8 ; отс = = / 2 , 5 ч=1,6. 3. 30. 4. 150л и 25 0л. 5. 144. 6 . 16,5. 7. 1) У к а з а -

2 2кие. Сначала построить тр-к А М В со сторонами с, — т а и ъ 0 02

2) 72. §• 1) У казани е . Построить тр-к A M К со сторонами у ту,

2 2j f l t j и у т с, а затем найти основание А С искомого тр-ка А В О ,

2) 72. 10. 6; 10; 24. 11. 4.12. 12 и 27. 13. 29с м и 12сл. 14. 1)Вне треугольника; 2) внутри треугольника; 3) на середине гипотенузы.17. 1) /? = 8 у , г = 4; 2) /? = 8 - i- , /- = 1,5; 3 )Р = 2 4 у , / = 2 - ;

4 )/? = ~ ^ 3 , 6 , / = ^ 4 = 1 , 2 . 18.4,5. 19. 1) /?; 2) 7 ? / 2 ./ 9 6 2

20. У к а за н и е . Выразить все высоты через площадь и стороны.21. ~ ( 3 + / 3 ) . 22 .40 с м и 42 см . 23. 1) R*; 2) R* / 2 ;

3 ) /?2/ + 4) 2 / .

§ 15.1. 1) 4= 62,8 л ; 2) 4= 94,2 л ; 3) 4=220 ел. 2.1) 4 :1 6 ел; 2) 4= 4,0 см;

3) 4=0,76 дМ. 3. 60. 4. 4=5,9 — . 5. 1) 2) ; 3)с ек 4 360 ; 14 400 ■

6. 1) = 2 ) ^ . 7 . 133о20 '.8 .4=2Г ,5 . 9. 1) 144°; 2) 1 у сл; 3 )7,2сл.

118 Ответы (§ 15)

10. X: 180°г 810°kR 2)

2)i Уч 1,11a; 3)

71

2 n .a \ f 3

— . 11. = 57°18'. 12. 1) ^ = 1,05a;71 О

= 1,21a. 13. 1 )— = 0 ,9 5 1 ; 2 ) : ^ 5 =71 7t

= 0,901; 3) =0,831. 14. 25 см. 15. 1) 2пт; 2̂ прозор и для

земного шара и для мяча один и тот же и равен —̂ = 0,16 (м).

16. 1) = 182 мм\ 2) =5:8,0 см. 17.5 0 я = 157 (см). 18. -у 1.20. = 119 см.21. 2. 22. = 0,15«/„. 2 3 .= 0,000050. 24.1) = 314 м \ 2) % 50,2 дм2;3) =г= 21,2 с м 2. 25.1) = 0,8 cjh; 2) = 4л«; 3) = 2,3 дм. 26. = 346,28 м \ 27. = 78,5 с м 2. 28. = 4 см . 29.=0,282б м 2. З0.=2,6 т. 3 1 .1)=5,1 с м 2:

,rF2) = 15 см. 32. 2) 10 см. 33. у . 34. = 15,7 мг. 35. 1) 1:4; 2) 1:2;

3) 3:4. 36. = 0 , 2 - ^ . 37. 39. 1) 2)с м 2 4 16 ' 160

40. 1) j / ^ ; 2) 41. 360°. - j i j . 42. 1) у ( г с - 2 ) =

=е 0,275 #*; 2) ̂ (2гс - 3 У Т) = 0,09 #*; - 3) ^ (я - 2 У 2) =Х4 о

== 0,04 #*; 4) ^ (ГС- 3 ) =5=0,01#*. 43. 1) | ! (4я- - 3 / Э ) = 0,20 а*;

2) у (гс — 2) =5= 0,14а*; 3) ~ (2гс - 3 f % = 0,09 а*. 44. = 3,7 м 2.

45. 1) i - w * = G,5/-*'; 2 ) ^ . 46. у - \ 47. | ! ( 7 я - 6 - б У З ) =

=5:0,23а* нлн | ! ( 1 3 г с - |- 6 - б У З ) = 1,52а*. 48.

49. + У Т = 7 ) =t= 1,8 # и | ч У У у ^ - ) / Т ^ ) =

=5=0,87#. 50. — = 2,55Q. 51. = , 1,820. 52. 1:2.7t О

53. 1) у (4 - it) =5= 0,215 #*; 2) ^ (3 У з ~ rc) = 0,68 #*;

3) у ( 2 У Т — я) =5= 0,05#*. 54. ̂ (rc -{- 6) = 0,38 а2. 55. 1) В 9 раз,

в 25 раз; 2) в 2 раза, в УТГ= 2,236 раза. 56. Нет, надо 4 такие малые трубы. 57. а*. 58. 1) = 0,215 г 2; 2 )а Ь — 0,215 **;3) = 0,393#*;

4) =0,858 л*. 59. у (4гс - 3 У Т ) = 1,23 #*. 60. у (гс - 2) = 0 5 7 а2.

61. у ( а * 4 - * 2) - у . 63. у (2гс — 3 У ~ 3 ) = 0,18 а*. 64. у (2гс +

Ответы (§ 16) 119

+ 3 / 3 ) ^ 1,9а2. 67. 988 с м г. 68. % 25 с м 2. 69. (1,57/?-{-2д)* —— 1,215**. 70. 625л м2. 71. 1 ) - | ; 2) R ( / Т - 1) ^ 0,4/?;

3) R ( 2 / 3 — 3) = 0,46/?.

§ 16.

_ 1. 2) / 2 , / 3 , У 4 = 2, У 5, / 6 , У 7, У 8, / 9 = 3, / 1 0 . 3. № 1Г 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13 — первого измерения; 4, 7, 14, 16, 18 — второго измерения; 5, 6, 15, 17 — третьего измерения, 8 — нулевого измерения. 4. № 2, 4, 5, 6. 6. Указание. 8) Построитьсначала у = ~ , а затем уже х = = . 7. Указания. 2) х = /у& ,

где = у ; 5) x = / i 2-j-ys , где у = с / 3 ; 6) х =

= / ‘‘‘ ■ F T a = r , , z ' г = ; г + т « = « + « - 8-

== / / ? = У У Щ -драта Xz

Сторона ква-

. 9. Радиус искомого круга

x z = R y 2 . 10. Радиус концентрической окружности х = —р/ ? / 2

И . Сторона квадрата *=/] аЛ. 12. Искомый радиус х =

hb~ У R 2 — г 2 . 13. Высота искомого треугольника равна15. 1) Преобразовать уравнение к виду: х { р — x) — q ‘ и составить из него пропорцию; 3) мнимые корни. 16. Большая часть х =

а ( /§ "— 1) а (3 —У Ъ )= ——^ м е н ь ш а я часть а —. х — ------ у — - .

RУъ- 1 2 236 ■— . 18. Большая часть равна а •—— 7-

1 :0,618а, а этоg £ _

отличается от — а приблизительно на 0,007 а. 19. 1) — ( У 5 4 - 1). 8 220. 2r V / 5 — 2 = i 0,98г . 23. Искомое расстояние точки 'от центрах = г У 5. 24. Одна из вершин квадрата, находящаяся на диаметре,

г У 5удалена от центра на расстоянии x z 25. Сторона прямо­угольника, перпендикулярная к основанию треугольника, х =

_ ---- a) Расстояние искомой параллели от вершины тре­

угольника X ZЬ У 2

27. Расстояние искомого перпендикуляра от

120 Ответы {§ 16)

/ Ьтвершины меньшего угла при основании треугольника х — у — , где b — основание треугольника, т — проекция большей боковой

• ас г rf ,(3 i!r |/3 \стороны на основание. 28. Стороны прямоугольника х = — '

и у = ~2 > где rf, и d 2 — диагонали ромба. 29. Расстояние

вершины треугольника от вершины квадрата х = а (2 — УЗ), где а — сторона квадрата. 30. Расстояние между вершинами данного и иско-

(Z — CL'̂мого квадратов х = ——---- ---------- . 31. Радиус искомой окруж-

д24-&2 — г2пости х = — , , где а — длина перпендикуляра, проведен-г)ного из центра данной окружности на данную прямую, Ь — рас­стояние этого перпендикуляра от данной точки. 32. Стороны иско-

(а + 6 ) ± У ( а + - b f - 4 c dмого прямоугольника равны2

где а иb — стороны первого прямоугольника, с и d — стороны второго прямоугольника. 33. Сторона прямоугольника, параллельная высо1е

bhti bhтреугольника, у — ^ , ■ ^ — -----—— , где Ь — основание, h —bn -j- mh

b + — h n

высота треугольника. 34. B E

36. Искомый радиус г —

b 'а -j- b — У 2 ab

35. B E —Ь ± у ь * ■4a2

где а и b — стороны

прямоугольника. 37. х = [ У т 2 4- 46 (а + 6)—т\. У к а за н и е . Про­должить отрезок А В = д до пересечения с данной прямой в точке С и обозначить расстояние от точки С до ближайшей из данных то­чек буквой Ь. Воспользоваться свойством секущих, проведенных из одной точки.