11 kalkulus fungsi dinilai vektor
Post on 08-Feb-2018
241 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
1/36
AWAL
KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)
DosenDosen PengajarPengajar::Drs. Ir.Drs. Ir. MochMoch.. DhofirDhofir, MT., MT.
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
2/36
MATERI
AWAL
RuangRuangDimensiDimensiTigaTigadandanVektorVektor
FungsiFungsiDinilaiDinilaiVektorVektorDerivatifDerivatifParsialParsial
IntegralIntegral LipatLipat
KalkulusKalkulusVektorVektor
1
23
4
5
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
3/36
AWAL
2.12.1 PendahuluanPendahuluan
2.22.2 KalkulusKalkulusFungsiFungsiDinilaiDinilaiVektorVektor
2.32.3 PerubahanPerubahanParameter;Parameter; PanjangPanjangBusurBusur2.42.4 VektorVektorTangenTangendandanNormalNormal SatuanSatuan
2.52.5 KurvaturKurvatur
2.62.6 PergerakanPergerakanSepanjangSepanjangKurveKurve
Fungsi Dinilai Vektor
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
4/36
AWAL
DalamDalamseksiseksiiniinikitakitaakanakan
mendefinisikanmendefinisikanlimit,limit, derivatifderivatif,, dandan
integralintegral fungsifungsidini laidinilaivektorvektordandanmendiskusikanmendiskusikansifatsifat--sifatnyasifatnya..
2.2 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
5/36
AWAL
2.2 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
A.A. Limit,Limit, DerivatifDerivatif,, dandanIntegralIntegral
B.B. SifatSifatDerivatifDerivatifdandanIntegralIntegral
C.C. InterpretasiInterpretasiGeometrikGeometrikLimitLimit dandanDerivatifDerivatif
D.D. DerivatifDerivatifOperasiOperasiTitikTitikdandanKaliKali
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
6/36
A. Limit, Derivatif dan Integral
Limit,Limit, derivatifderivatif,, dandan integralintegral
fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektordapatdapat
didefinisikandidefinisikan melaluimelalui limit,limit,derivatifderivatif,, dandan integralintegral
komponenkomponen--komponenkomponen fungsifungsi
dinilaidinilai vektorvektor:: x(tx(t),), y(ty(t),), dandan z(tz(t))
AWAL
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
7/36
AWAL
zat
yat
xatat
atatatt )(zlim)(ylim)(xlim)(rlim
zyx atzatyatxt )(')(')(')(r'
zyx adttzadttyadttxdtt )()()()(r
z
b
ay
b
ax
b
a
b
aadttzadttyadttxdtt )()()()(r
A. Limit, Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
8/36
DariDari definisidefinisi,, dapatdapat dipahamidipahami bahwabahwajikajikalimitlimit sembarangsembarang komponenkomponenrr(t(t)) tidaktidak adaada,,makamaka derivatifderivatifdaridarirr(t(t)) tidaktidak adaada..
FungsiFungsi dinilaidinilai vektorvektordikatakandikatakandiferensiabeldiferensiabel ((integrabelintegrabel))jikajika dandan hanyahanya
jikajika masingmasing--masingmasing komponenkomponendiferensiabeldiferensiabel ((integrabelintegrabel))
AWAL
A. Limit, Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
9/36
DerivatifDerivatifdapatdapatrr(t(t)) dapatdapat dinyatakandinyatakandalamdalam banyakbanyak notasinotasi sbbsbb::
AWAL
'r),('r,r,)(r dantdt
dt
dt
d
A. Limit, Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
10/36
AWAL
0c. dt
da
r(t)r(t).dt
dkk
dt
db
(t)r(t)r(t)r(t)r. 2121dt
d
dt
d
dt
dc
(t))(rr(t))(r(t))(. fdtdt
dtdtftf
dtdd
B. Sifat-Sifat Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
11/36
AWAL
dttkdttke )(r)(r.
dttdttdttrtrf )(r)(r)()(. 2121
)(r)(r. tdttdtdg
Ctdtth )(R)(r.
b
aabdtti )(R)(R)(r.
B. Sifat-Sifat Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
12/36
AWAL
TheoremaTheorema ::
JikaJika r(tr(t)) fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektor,, makamaka
derivatifderivatifr(tr(t)) dapatdapat dinyatakandinyatakan sebagaisebagai ::
h
thtt
h
)(r)(rlim)('r
0
B. Sifat-Sifat Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
13/36
AWAL
BuktiBukti ::
htht
h
atzatyatxahtzahtyahtx
ah
tzhtzah
tyhtyah
txhtx
atzatyatxt
h
zyxyyx
h
zh
yh
xh
zzx
)(r)(rlim
)()()()()()(lim
)()(lim)()(lim)()(lim
)(')(')(')('r
0
0
000
B. Sifat-Sifat Derivatif dan Integral
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
14/36
AWAL
JikaJika r(tr(t)) fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektor,, makamaka
limlimrr(t(t) = L) = L
t at a
jikajika dandan hanyahanyajikajika vektorvektorradiusradius rr== rr(t(t))
mendekatimendekati L,L, baikbaik panjangpanjang maupunmaupun
arahnyaarahnya ketikaketika t a.t a.
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
15/36
AWAL
JikaJika CC grafikgrafik yangyang dinyatakandinyatakan oleholeh rr(t(t),),
makamaka rr(t(t)) adalahadalah tangentangen padapada CC dandan
dalamdalam araharah peningkatanpeningkatan parameter,parameter,sepertiseperti terlihatterlihat padapada gambargambarberikutberikut..
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
16/36
AWAL
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
r(t)
r(t)
C
x
y
InterpretasiInterpretasi geometrigeometrirr(t(t))
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
17/36
AWAL
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
r(t) C
x
y
r(t
+h)
r(t+h) -r(t)
UntukUntuk h > 0h > 0
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
18/36
AWAL
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
r(t) C
x
y
r(t+h) -r(t)
UntukUntuk h < 0h < 0
r(t+h)
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
19/36
AWAL
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
x
y
VektorVektortangentangenrr(t(t)) dandan garisgaris tangentangen
r(to)
r(to)
Garis tangen
P
C
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
20/36
AWAL
PP sebuahsebuah titiktitik padapada grafikgrafik sebuahsebuah fungsifungsi
dinilaidinilai vektorvektor rr(t(t)) dandan rr(t(too)) vektorvektorradiusradius
daridari originorigin keke PP.. JikaJika rr
(t(too)) adaada dandan rr
(t(too)) 00,, makamaka kitakita sebutsebut rr(t(too)) sebagaisebagaivektorvektortangentangen padapada grafikgrafik r(tr(t)) ..
PersamaanPersamaan garisgaris tangentangen ::
rr(t(t) =) = rr(t(too) + t) + t rr(t(too))
C. Interpretasi Geometrik Limit dan
Derivatif
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
21/36
AWAL
D. Derivatif Operasi dan x
)(r)(r)(r)(r)(r)(r
)(r)(r)(r
)(r)(r)(r
212
121
212
121
tdttd
dttdttt
dtd
tdt
td
dt
tdttt
dt
d
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
22/36
AWAL
D. Derivatif Operasi dan x
TheoremaTheorema ::
JikaJikarr(t(t)) adalahadalah fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektordandan
rr(t(t)) bernilaibernilai konstankonstan untukuntuk semuasemua tt,,makamaka
rr(t(t)) rr(t(t) = 0) = 0
SehinggaSehinggarr(t(t)) dandanrr(t(t)) vektorvektor--vektorvektoryangyang ortogonalortogonal..
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
23/36
AWAL
D. Derivatif Operasi dan x
BuktiBukti ::
0)(r
)(r
)(r)(r20
,)(r
)(r)(r2)(r
)(r)(r)(r
)(r)(r)(r
2
dt
tdt
atau
dt
tdt
makatsetiapuntuktetaptKarena
dttdtt
dtd
tdt
td
dt
tdttt
dt
d
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
24/36
1.1. TentukanTentukan
a. Limita. Limit rr(t(t)) untukuntuk tt mendekatimendekati 00
b.b. rr(t(t)) dandanrr(1)(1)
c.c.
untukuntukrr(t(t) = t) = t2 aaxx + e+ ett aayy -- 22 coscostt aazz
2.2. TentukanTentukan persamaanpersamaan parametrikparametrik garisgaris
tangentangen untukuntuk helikhelik lingkaranlingkaran ::x =x = coscos t , y = sin t , z = t,t , y = sin t , z = t, padapada t =t = /6/6
Contoh
AWAL
1
0)(rdan)(r dttdtt
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
25/36
No. 1aNo. 1a dandan 1b1b
Penyelesaian
AWAL
yx
zy
t
x
zy
z0
y
t
0x
2
00
aea2)1('r
t)asin(2aeat2)('r
a2a
t)acos(2limaelimatlim)(rlim
t
ttttt
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
26/36
No. 1cNo. 1c
Penyelesaian
AWAL
yx
zyx
zyt
x
zy
t
x
aea
aaeeadttr
Cataeat
adttadteadttdttr
)1(3
1
)0sin(sin)()01()(
sin23
cos2)(
20133
31
1
0
3
2
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
27/36
No. 2No. 2
rr(t(t) =) = x(tx(t) a) axx ++ y(ty(t) a) ayy ++ z(tz(t)) aazz
== cos(tcos(t) a) axx ++ sin(tsin(t) a) ayy + t+ t aazz
rr(t(t)=)= --sin(tsin(t) a) axx ++ cos(tcos(t) a) ayy ++ aazzPadaPada t =t = /6,/6,
rr((/6)/6) = cos(= cos(/6/6) a) axx + sin(+ sin(/6/6) a) ayy ++ /6/6 aazz
rr((/6)/6) = (= (33/2) a/2) axx + (1/2) a+ (1/2) ayy ++ /6/6 aazz
rr((/6/6) =) = --sin(sin(/6/6) a) axx + cos(+ cos(/6/6) a) ayy ++ aazz
rr((/6/6) =) = --(1/2) a(1/2) axx + (+ (33/2) a/2) ayy ++ aazz
Penyelesaian
AWAL
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
28/36
No. 2No. 2
PersamaanPersamaan garisgaris tangentangen ::
rr== rr((/6) + t/6) + t rr((/6)/6)
rr == ((33/2) a/2) axx + (1/2) a+ (1/2) ayy ++ /6/6 aazz + t {+ t {--(1/2) a(1/2) axx ++((33/2) a/2) ayy ++ aazz}}
KarenaKarenarr= x a= x axx + y a+ y ayy + z+ z aazz ,, makamaka
x =x = 33/2/2(1/2) t ; y =(1/2) t ; y = + (+ (33/2) t ; z =/2) t ; z = /6/6 + t+ t
Penyelesaian
AWAL
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
29/36
1.1. TentukanTentukan ::
Soal mandiri :
AWAL
zyxt
zyxt
atat
ta
tb
at
at
tata
2sin21
ln3lim.
2cos
2tanlim.
221
2
1
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
30/36
2.2. TentukanTentukan persamaanpersamaan parametrikparametrik
garisgaris tangentangen padapada grafikgrafikrr(t(t)) didi t = tt = toountukuntuk ::
Soal mandiri :
AWAL
2;ln)(r.
31;sin2cos2)(r.
3
ozy
t
x
ozyx
tataeattb
taktatatta
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
31/36
3.3. TentukanTentukan persamaanpersamaan parametrikparametrik
garisgaris tangentangen padapada grafikgrafikrr(t(t)) didi t = tt = toountukuntuk ::
Soal mandiri :
AWAL
2;ln)(r.
31;sin2cos2)(r.
3
ozy
t
x
ozyx
tataeattb
taktatatta
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
32/36
4.4. TentukanTentukan ::
Soal mandiri :
AWAL
dtttc
dttteb
dtta
t
2/19
1
2/1
3/23
3
2/3
,.
ln,.
1,t)(3,)3(.
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
33/36
5.5. TentukanTentukan r(tr(t)) apabilaapabila diketahuidiketahui
rr(t(t) = e) = e--2t2t aaxx + cos+ costt aayyaazz dandan
rr(0) = 3 a(0) = 3 axx + 2+ 2 aazz
6.6. TentukanTentukanrr(t(t)) apabilaapabila diketahuidiketahui
rr (t(t) = 4 sin2) = 4 sin2tt aaxx + 6t a+ 6t ayy ++ ee--tt aazz dandan
rr(0) = 2 a(0) = 2 axx ,, dandan rr(0) =(0) = aazz
Soal mandiri :
AWAL
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
34/36
7.7. HitunglahHitunglah (d/dt)[(d/dt)[rr11(t)(t)rr22(t)](t)] apabilaapabila ::a.a. rr11(t) = 2t a(t) = 2t axx + 3t+ 3t
22 aayy + t+ t33 aazz ,,
rr22(t) = t(t) = t44 aazz
b.b. rr11(t) = 3 sec(t) = 3 sectt aaxx -- t at ayy ++ lnlntt aazz dandan
rr22(t) = 4t a(t) = 4t axxsinsintt aazz
Soal mandiri :
AWAL
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
35/36
8.8. ApabilaApabilarr== rr(t(t),), tunjukkantunjukkan bahwabahwa ::
Soal mandiri :
AWAL
''rr'rr.
)w
v(u)wv
(u)wv(u
)wv(udt
dc.
rr
'rr'r
r
1
r
r.
'rrr
1r.
3
dt
dd
dt
d
dt
d
dt
d
dt
db
dt
da
-
7/22/2019 11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor
36/36
top related