2 dinamika materijalne tacke

2 DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE

2.1 Newtonovi zakoni

Newtonovi zakoni su temelji mehanike. Na osnovu ovih zakona izvedeni su

zakoni i principi kao što su rad, potencijalna i kinetička energija, količina

kretanja, impuls, moment količine kretanja i moment impulsa.

a) Prvi Newtonov zakon glasi: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili

jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod djelovanjem sila nije

prinuđeno da to stanje promijeni.

Iz ovog slijedi da materijalna tačka ne može sama po sebi izmijeniti stanje

kretanja. Ovaj zakon ukazuje na osnovno svojstvo materije da sama po sebi

ustraje u određenom stanju kretanja. Ovo svojstvo materije naziva se

inercija.

Prema ovom zakonu za izoliranu tačku ili sistem sila u ravnoteži vrijedi:

(2.1)dv

a 0dt

b) Drugi Newtonov zakon glasi: Promjena kretanja prporcionalna je sili koja

djeluje na tijelo i vrši se na pravcu i smjeru djelovanja sile.

Masa je faktor prporcionalnosti.

(2.1)

U ovom zakonu je sadržan i zakon inercije, jer za

(2.2)

Ako silu i ubrzanje razložimo na pravougle koordinate možemo napisati:

(2.3)

dvF m m a

dt

F 0 a 0 v const

x

y

x

F m x

F m y

F m z

U slučaju krivolinijskog kretanja silu razlažemo na tangencijalnu i normalnu

komponentu.

Slika 2.1 Krivolinijsko kretanje

U ovom zakonu je sadržan i zakon inercije, jer za

Za kružno kretanje:

(2.4) (2.5)

2

t t 2

2

n n

d sF m a m

dt

vF m a m

r

t t

2

n n

F m a m r

F m a m r

Kada tijelo slobodno pada u vakumu sila kojom ga privlači Zemlja je:

S obzirom da Zemlja ima oblik kugle i ubrzanje zemljine teže se mijenja u

funkciji položaja tačke na Zemlji. Na nivou mora ubrzanje se može izračunati

na osnovu izraza:

(2.6)

Za sjevernu hemisveru može se usvojiti g=9,81 m/s2

Drugi Newtonov zakon može se napisati i u obliku:

(2.7)

koji je općenitiji jer obuhvata promjenu mase.

(2.8)

G m g

2 2

2

mg 9,78049 1 0,0052884sin 0,0000059sin 2

s

d m vF

dt

0

2

2

mm

v1

c

c) Treći Newtonov zakon glasi: Akciji je uvijek suprotna reakcija, ili uzajamna

djelovanja dva tijela uvijek su jednaka i suprotnog su smjera.

Masa je faktor prporcionalnosti.

(2.9)

Slika 2.2 Međudjelovanja dva tijela

(2.10)

2 1F F

2 11 21 2

1 21 2

1 2

2 1

F m a F m a

m a m a

a m

a m

2.2 Zadaci i metode dinamike

Zadaci dinamike mogu biti:

1) Prvi zadatak dinamike: je da se na osnovu poznatog kretanja materijalne

tačke zadane mase odredi sila koja djeluje na tačku u svakom trenutku

djelovanja.

Kretanje tačke je dato jednačinom koja daje zavisnost koordinata tačke

vremena u vektorskom obliku.

(2.11)

Jednačina (2.11) može se raspisati za različite koordinatne sisteme.

Za pravougli sistem:

(2.12)

2

2

dv d rF m a m m

dt dt

2

x 2

2

y 2

2

z 2

d xF m

dt

d yF m

dt

d zF m

dt

Za cilindrični koordinatni sistem:

(2.12)

Za sferni koordinatni sistem:

(2.13)

22

r 2

2

2

2

z 2

d r dF m r

dt dt

dr d dF m 2 r

dt dt dt

d zF m

dt

2 22

r 2

2

2

2 2

c

d d dF m cos

dt dt dt

1 d d dF m cos sin

dt dt dt

1 d dF m cos

cos dt dt

Za prirodni koordinatni sistem:

(2.14)

Za izračunavanje sile koja djeluje na neslobodnu materijalnu tačku

primjenjujemo izraz:

(2.15)

t

2

n

dvF m

dt

vF m

r

i NF F m a

2) Drugi zadatak dinamike: odnosi se na određivanje zakona kretanja

materijalne tačke zadane mase, ako su poznate sile koje djeluju na tačku.

Rješavanje drugog zadatka dinamike svodi se na integraciju diferencijalnih

jednačina kretanja.

Za rješenje diferencijalnih jednačina pored sile potrebno je poznavati i

početne uslove kao što su početni položaj tačke i početna brzina tačke.

U opštem slučaju integracijom diferencijalnih jednačina potrebno je izračunati

šest integracionih konstanti na osnovu početnih uslova x0, y0, z0, y0x, v0y, v0z.

U slučaju kretanja u ravnini imamo četiri konstante: x0, y0, y0x, v0y.

(2.16)

2

2

0

0 0

F td ra f t

dt m

v v f t dt

r r v t f t dt dt

3) Treći zadatak dinamike: može biti takav da je za njih poznato nešto o

silama, a nešto o kretanju, pa treba odrediti i dio kretanja i dio sila.

Takav problem se naziva miješani problem dinamike.

Primjer takvog problema je kada se radi o neslobodnoj materijalnoj tački kod

koje je poznata trajektorija kretanja i ukupna aktivna sila, a traži se zakon

kretanja i sile veza.

Pri rješavanju zadataka dinamike treba utvrditi:

1) O kakvom se kretanju radi, šta je poznato a šta nepoznato;

2) Koji su parametri dinamike poznati a koje treba odrediti;

3) Je li dinamički proces sastavljen od više faza ili je isti;

4) Trenutak kada dinamički proces počinje i završava ili njegova pojedina

faza.

2.3 Pravolinijsko kretanje materijalne tačke

Pri pravolinijskom kretanju materijalne tačke inercijalne sile su sile koje se

suprostavljaju promjeni stanja kretanja.

Slika 2.3 Pravolinijsko kretanje materijalne tačke

Ako je poznata sila koja djeluje na materijalnu tačku treba odrediti zakon

kretanja materijalne tačke.

(2.17)x

2

x 2

m x X m a

d xm y Y a x

dt

m z Z

(2.18)

Dvostrukom integracijom dolazi se do puta:

(2.19)

Početni uslovi se definišu u slijedećem obliku:

(2.20)

Iz početnih uslova određuju se integracione konstante C1 i C2, pa opšte

rješenje (2.19) ima oblik:

(2.21)

0 0 0t 0 x x x x v

2

2

d xx f t,x,x

dt

1 2x f t,C ,C

0 0x f t,x ,v

2.3.1 Kretanje materijalne tačke kada je sila konstantna

Ako na materijalnu tačku djeluje konstantna sila F, tada je i ubrzanje tačke

konstantno a=const.

(2.22)

Diferencijalna jednačina kretanja može se napisati:

(2.23)

Izrazi za brzinu i put su:

(2.24)

(2.25)

dxm F X

dt

x a const

1

Fx t C

m

2

1 2

F tx C t C

2 m

Ako su zadati početni uslovi:

(2.26)

Diferencijalna jednačina kretanja može se napisati:

(2.27)

(2.28)

Kod razmatranja pravolinijskog kretanja slobodne materijalne tačke pod

uticajem sile teže na malim visinama smatramo privlačnu silu konstantnom.

Ovdje imamo tri zadatka:

-vertikalni hitac naviše;

-vertikalni hitac naniže;

-slobodni pad.

0 x 0t 0 x x v v

2

0 0

1 Fx t v t x

2 m

0 2 x 0 1x x C x v v C

Ako transformižemo koordinate može se napisati:

(2.29)

Ubrzanje teže je:

(2.30)

(2.31)

Znak (-) odnosi se na kretanje naviše, a znak (+) naniže.

2

0 0

1 Fy y v t t

2 m

Fg

m

2

0 0

1 Fy y v t t

2 m

2.3.2 Slobodan pad u vazdušnom prostoru

Pad u sredini sa otporom nijeisti kao u vakumu, pa stoga jednačinu kretanja

treba korigovati. Otpor sredine zavisi od gustine medija, brzine i oblika tijela.

(2.32)

gdje je:

c-koeficijent oblika tijela;

ρ-gustina medija (kg/m3);

A-površina projekcije tijela u rani normalnoj na pravac kretanja;

v-brzina tijela.

Slika 2.4 Pad kroz sredinu sa otporom

2

wF c A v

Na tijelo djeluju slijedeće sile:

(2.33)

Diferencijalna jednačina prevolinijskog kretanja je:

(2.34)

Ako uvedemo prikladnije označavanje dobijamo jednostavniji oblik jendačine

(2.34).

(2.35)

(2.36)

2

i wY G F my G c A y my 0

2my G c A y

y y y

y

dv dv dvdyy v

dt dy dt dy

2G dvv G c A v

g dy

Uvođenjem oznake :

(2.37)

I množenjem jednačine (2.36) sa g/G dobijamo:

(2.38)

Razdvajanjem promjenjivih jednačina (2.38) poprima oblik:

(2.39)

Integracijom dobijamo:

(2.40)

2 Ga

c A

2

2

dv vv g 1

dy a

2 2 2

vdv gdy

a v a

2 2

12

gln a v 2 y C

a

Ako su početni uslovi:

(2.41)

(2.42)

Brzina je:

(2.43)

Iz izraza se vidi da sila Fw ne može biti veća od G.

2

0 0 1y y 0 v 0 C lna

2 2

2 2

a v gln 2 y

a a

2

g2 y

av a 1 e

2 2

gr

Ga v

c A

2.3.3 Sila koja djeluje na materijalnu tačku je promjenjiva u

vremenu

Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke je:

(2.44)

Integracijom dobijamo:

(2.45)

Gdje su C1 i C2 integracione konstante, a dobijaju se iz početnih uslova.

x xmx F t F X

x

1

x

1 2

F tx dt C

m

F tx dt dt C C

m

2.3.4 Sila koja djeluje na materijalnu tačku zavisi od rastojanja

Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke je:

(2.46)

Ubrzanje se prikladnije može napisati:

(2.47)

(2.48)

Integracijom dobijamo:

(2.49)

(2.50)

Rješavanjem (2.50) po x dobijamo jednačinu kretanja tačke.

(2.51)

xmx F x

dx dxx

dx dt

xF txdx dx

m

2x x

1 1

F x F xxdx C x 2 dx C

2 m m

2

x

1

dxdt x,t t x,t dx C

F x2 dx C

m

1 2x f C ,C ,t

2.3.5 Sila koja djeluje na materijalnu tačku zavisi od brzine

Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke je:

(2.52)

Prikladnije za integraciju se može napisati:

(2.53)

Integracijom dobijamo:

(2.54)

Rješavanjem (2.54) po v i ponovnom integracijom dobijamo jednačinu

kretanja tačke.

xmx F x

x x

dx dxm 1 m dt

dtF x F x

1

x

dxt m C x,t

F x

2.4 Kosi hitac u vakumu

Ovaj problem svodi se na određivanje kretanja materijalne tačke izbačene sa

površine zemlje početnom brzinom v0 pod uglom α.

Početni uslovi su:

(2.55)

Slika 2.5 Krivolinijsko kretanje materijalne tačke

0 0 0

0x

0y 0

0z 0

x y z 0

v 0

v v cos

v v sin

Diferencijalne jednačine kretanja kosog hitca su:

(2.56)

Integracijom prve jednačine dobijamo:

(2.57)

Iz početnih uslova za

(2.58)

Ponovnom integracijom dobijamo

(2.59)

2

2

2

2

2

2

d xX m

dt

d yY m

dt

d zZ m m G

dt

x 1

dxv C

dt

0x 1t 0 v 0 C 0dx

0dt

2 0 2x C t 0 x 0 C 0

x 0

Integracijom druge jednačine dobijamo:

(2.60)

Iz početnih uslova za

(2.61)

Ponovnom integracijom dobijamo

(2.62)

Iz početnih uslova za

(2.63)

y 3

dyv C

dt

0y 0 3 0t 0 v v cos C v cos

0 4t 0 y 0 C 0

0

dyv cos

dt

0 4y v tcos C

0y v tcos

Integracijom treće jednačine dobijamo:

(2.64)

Iz početnih uslova za

(2.65)

Ponovnom integracijom dobijamo

(2.66)

Iz početnih uslova za

(2.67)

z 5

dzv g t C

dt

0z 0 5 0t 0 v v sin C v sin

0 6t 0 z 0 C 0

0

dzg t v sin

dt

2

0 6

tz g v t sin C

2

2

0

tz g v t sin

2

Jednačine kretanja materijalne tačke u ravnini 0yz su:

(2.68)

Eliminisanjem vremena iz jednačina (2.68) dolazimo do jednačine

paraboločne trajektorije.

(2.69)

0

2

0

y v tcos

g tz v t sin

2

2

2 2

0

gz tg y y

2v cos

2.5 Inercijalne sile

Inercijalna sila je naziv za silu kojom se materija suprostavlja svakoj promjeni

kretanja.

Inercijalna sila se pojavljuje pri pravolinijskom i krivolinijskom kretanju.

Slika 2.6 Inercijalna sila na tijelu

(2.70)

Tijelo se odupire promjeni intenziteta brzine inercijalnom silom, zbog čega je

i potrebno upotrijebiti aktivnu silu.

Prema zakonu akcije i reakcije vrijedi:

(2.71)

iR F T F m a

in iF F m a

Pri krivolinijskom kretanju inercijalne sile će se javljati kao otpor promjeni

intenziteta brzine (tangencijalno ubrzanje) i kao otpor promjeni pravca

(normalno ubrzanje).

(2.72)

Slika 2.7 Inercijalne sile kod krivolinijskog kretanja

Za kružno kretanje:

(2.73)

in inT inN

inT T

inN N

F F F

F m a

F m a

inT

2

inN

dvF m

dt

vF m

r

inT

22

inN

dvF m m r

dt

vF m m r

r

2.6 D’alembertov princip

Prema ovom principu sistem sila koje djeluje na materijalnu tačku,

dodavanjem inercijalnih sila, svodi na sistem sila u ravnoteži.

Na taj način zadatak dinamike se svodi na sistem sila u ravnoteži.

Ova metoda naziva e još i kinetostatička metoda.

Slika 2.8 Dodavanje inercijalnih sila

(2.74)

Objasniti D’alembertov princip na primjeru.

R iF F 0

2.7 Opšti teoremi dinamike materijalne tačke

Svi opšti teoremi dinamike materijalne tačke iz osnovnog zakona dinamike,

drugog Newtonovog zakona.

Svaki od tih teorema daje zavisnost između osnovnih dinamičkih

karakteristika kretanja, pa time pruža mogućnost analize kretanja.

Slika 2.9 Trajektorija kretanja materijalne tačke

2.7.1 Impuls sile i količina kretanja

Iz osnovnog zakona dinamike proizilazi:

(2.75)

Vektor čiji je intenzitet jednak proizvodu mase i brzine naziva se količina

kretanja, a ekvivalentan vektor, koji je jednak proizvodu sile i vremena njenog

djelovanja , je impuls sile.

U opštem slučaju ako je masa promjenjiva izraz (2.75) postaje:

(2.76)

Iz izraza (2.76) se može reći da je diferencijal količine kretanja jednak

elementarnom impulsu sile.

(2.77)

dvm F m dv Fdt

dt

d mv Fdt

t

0

0

mv mv Fdt

Promjena količine kretanja jednaka je impulsu sile u istom intervalu.

Projekcije na ose pravouglog koordinatnog sistema daju skalarne jednačine:

(2.78)

Ako je F=0 može sa napisati:

(2.79)

Ako je F=const može sa napisati:

(2.80)

Ako vrijeme t vrlo malo, onda promjenu količine kretanja može izazvati

veoma velika sila, što se javlja kod udarnih opterećenja:

(2.81)

t

x 0x

0

t

y 0y

0

t

z 0z

0

mv mv Xdt

mv mv Y dt

mv mv Zdt

0mv mv 0

0mv mv F t

t

0

0

1v v Fdt

m

2.7.2 Kinetički moment (zamah)

Po analogiji na statički momenat sile u odnosu na tačku možemo naći

momenat bilo koje vektorske veličine.

Ako količinu kretanja posmatramo kao vektorsku veličinu onda će moment

količine kretanja u odnosu na tačku 0 iznositi:

(2.82)

Slika 2.10 Kinetiči moment

Vektor ovog momenta je okomit na ravninu u kojoj leže vektori r i v.

0K r mv

Deriviranjem kinetičkog momenta po vremenu dobijamo:

(2.83)

Vektori v i mv su kolinearni te je njihov proizvod jednak nuli.

(2.84)

Derivacija kinetičkog momenta u odnosu na neku po vremenu, jednaka je

momentu sile u odnosu na istu tačku.

Isto važi i za osu.

(2.85)

0

0

dK d dr dr mv mv r mv

dt dt dt dt

dKv mv r F

dt

00F

dKr F M

dt

yx zx y z

dKdK dKM M M

dt dt dt

2.7.3 Mehanički rad sile

Ako se materijalna tačka pod djelovanjem sile F pokrene po svojoj putanji za

ds, onda je mehanički rad što ga je izvršila sila:

(2.86)

Slika 2.11 Rad sile

Ukupan mehanički rad sile na putu od s1 do s2 biće:

(2.87)

dA F ds cos

2

1

s

s

A F cos ds

U vektorskom obliku mehanički rad je:

(2.88)

(2.89)

Slika 2.12 Rad sile

Rad smatramo pozitivnim ako vektori sile i brzine zatvaraju ugao α<π/2.

Rad je negativan kada je α>π/2. ako je α=π/2 rad je jednak nuli.

Ao su sila i ugao konstantni na konačnom putu s, rad se može napisati:

(2.90)

dA F ds

2

1

s

s

A Fds

A F cos s Nm

Ako na materijalnu tačku djeluje više sila ukupan rad se može napisati kao

zbir svih radova od pojedinačnih sila.

(2.91)

(2.92)

Slika 2.12 Rad sistema sile

Na isti način možemo rad sile izraziti preko njenih komponenata na

koordinatnim osama.

(2.93)

1 2 ndA dA dA ... ... dA

1 2 nA dA dA ... ... dA

dA X dx Y dy Z dz

A Xdx Ydy Zdz

Mehanički rad sile na putu s može se grafički prikazati pomoću površine

dijagrama FT=f(s).

Slika 2.13 Dijagram sila-put

Ukupan rad obavljen na putu s2-s1 jednak je površini omeđenom apcisom i

funkcijom f(s).

2.7.4 Rad momenta sile

Opši izraz za mehanički rad sile je:

(2.94)

Slika 2.14 Rad momenta sile

(2.95)

(2.96)

ds rd

A F cos ds

A F cos r d

(2.97)

(2.98)

Ako se intenzitet momenta sile ne mijenja rad je:

(2.99)

F tM F r F cos r

F 2 1A M

2

1

FA M d

2.7.5 Deformacioni rad

Ako opteretimo oprugu silom F, ona će se izdužiti za x.

(2.100)

Slika 2.15 Deformacioni rad

Sila F nije konstantna, već se linearno mijenja u funkciji deformacije.

2

1

x

x

A Fdx

(2.101)

Slika 2.16 Dijagram F-x

C- elastična konstanta opruge [N/m]

(2.102)

(2.103)

F c x

2

2

1

1

x 2 22x 2 1x

x

x xxA c xdx c c c

2 2 2

2 1 2 1

2 1 2 1

cA x x x x

2

1F F x x

2

2.7.6 Rad sile teže

Materijalna tačka se pod djelovanjem sile teža G pomiče iz položaja M1 u

položaj M2.

(2.104)

(2.105)

Rad je pozitivan ako se visina tačke smanjuje. Ne ovisi o putanji.

Slika 2.17 Rad sile teže

2

1

z

2 1 1 2

z

A Gdz G z z G z z

dA X dx Y dy Z dz

Z G

dA Gdz

2.7.7 Rad centralnih sila

Centralne sile su one čiji pravac djelovanja prolazi kroz jednu tačku, centar

sila.

Slika 2.18 Centralne sile

(2.106)

(2.107)

(2.108)

(2.109)

F f r

dA F dscos F,v

ds cos F,v dr

dA F dr f(r) dr

(2.110)

Znak + odnosi se na odbojnu silu, a znak – na privlačnu silu.

Rad ne zavisi o obliku putanja, već samo o krajnjim položajima tačke r1 i r2.

2

1

r

r

A f(r)dr

2.7.8 Kinetička energija

Množeći osnovnu jednačinu skalarno s dr dobijamo:

(2.111)

(2.112)

(2.113)

Polovina proizvoda mase i kvadrata brzine naziva se kinetička energija.

Diferencijal kinetičke energije jednal je elementarnom radu sile koja djeluje

na materijalnu tačku.

dvF m dr v dt

dt

dvF dr m v dt

dt

F dr m v dv

2vF dr d m

2

Ako integriramo lijevu i desnu stranu dobijamo:

(2.114)

Položajima Ai B odgovaraju brzine v1, v2, i putev s1, s2.

(2.115)

Promjena kinetičke energije na određenom putu, koji prevali materijalna

tačka, jednaka je radu što ga na tom putu obave sile koje djeluju na

materijalnu tačku.

B B B

A A A

m v dv F dr X dx Y dy Z dz

2 2

1 1

v s

v s

2 2

2 1

m v dv Fcos ds

mv mvA

2 2

(2.116)

Derivacija kinetičke energije po putu, jednaka je tangencijalnoj komponenti

sile koja djeluje na materijalnu tačku.

Promjena količine kretanja jednaka je impulsu sile:

(2.117)

Ako izraz (2.117) pomnožimo sa v i sa v0 a zatim ih saberemo dobijamo:

(2.118)

2

T

kT

vd m dA F ds

2

dEF

ds

t

0

0

mv mv Fdt

2 2

2 10

2 202 1

mv mv 1v v

2 2 2

mv mv v v

2 2 2

2.7.9 Potencijalna energija

Dio prostora unutar kojeg djeluje sila na materijalnu tačku smještenu u tom

dijelu prostora, naziva se polje sila.

Tako npr. imamo polje sila oko Zemlje usljed sile zemljine teže.

Pretpostavimo da polje sila ispunjava slijedeće uslove:

- veličina, pravac i smjer sile F u polju sila zavisi samo o položaju tačke;

- rad sile F pri premještanju iz položaja 1 u položaj 2, ne zavisi o putanji

tačke, već o njenim krajnjim položajima.

Polje sa navedenim osobinama naziva se potencijalno polje sila.

Ako u potencijalnom polju fiksiramo jednu tačku M0, onda je rad što ga obavi

sila pri premještanju materijalne tačke iz položaja M u nulti položaj, jednak

potencijalnoj energiji ma terijalne tačke u položaju M.

(2.119)

Pretpostavimo da potencijalna energija tačke u položaju M ima vrijednost C.

(2.120)

p pE E x,y,z

pE x,y,z C

Slika 2.19 Ekvipotencijalna površina polja

Ekvipotencijalne površine se međusobno ne sijeku.

Rad sile u potencijalnom polju jednak je razlici potencijala početne i završne

tačke.

(2.121)

Slika 2.20 Rad sile u potencijalnom polju

p1 p2A E E

Po teoremi o kinetičkoj energiji, rad sila u potencijalnom polju jednak je

promjeni kinetičke energije materijalne tačke.

(2.122)

Odavde proizilazi da je:

(2.123)

Zbir kinetičke i potencijalne energije u potencijalnom polju je konstantan.

Zajednički naziv za kinetičku i potencijalnu energiju je mehanička energija.

Izraz (2.123) predstavlja zakon održanja mehaničke energije.

Ovaj zakon važi za konzervativne sile kao što su sila teže, sila opruge,

magnetskog polja i druge sile elastičnih tijela.

Ako na tijelo djeluju i druge sile, onda se ukupna energija mijenja s veličinom

rada nekonzervativnih (disipativnih sila).

k1 p1 k2 p2E E E E const

2 2

2 1p1 p2

mv mvA E E

2 2

2.7.10 Snaga

Mehanički rad sile u jedinici vremena naziva se snaga ili efekat sile.

(2.124)

U opštem slučaju je:

(2.125)

Ako je sila konstantna:

U praksi se koristi jedinica za snagu – konjska snaga [KS]

(2.126)

A Nm JP W

t s s

dAP

dt

Fcos dsP F v

dt

1KS 735,5W

Snaga izazvana djelovanjem momenta sile proizilazi iz izraza za elementarni

rad:

(2.127)

Pri pretvaranju jednog oblika energije u drugi nastaju gubici. Stvarna

(efektivna) snaga je uvijek manja od teoretske.

Odnos efektivne i teoretske snage se izražava faktorom korisnosti:

(2.128)

F

F

F

dA M d

P M

P M 2 n

ef

t

P

P

Na primjeru vodene turbine ako visinu pada vode na lopatice označimo sa H

[m], a protok Q [m3/s], teoretska snaga će biti:

(2.129)

Efektivna snaga je:

(2.130)

(2.131)

tP H Q g

0,75 0,95

eP H Q g