บทที 1 ความร้เบื องต้นเกียวกับ ... ·...

บทท� 1

ความรเบ�องตนเก�ยวกบเรขาคณตวเคราะห

(Introduction to Analytic Geometry)

เรขาคณตวเคราะห เปนสาขาหน�งของคณตศาสตรซ� งเปนการเช�อมโยงความรระหวางพชคณตและเรขาคณตเขาดวยกน ซ�งเรอเน เดอการตส (Rene De Cartes) และปแอร เดอ แฟรมาต (Pierre De Fermat) เปนผวางรากฐานเอาไว

เรอเน เดอการตส (Rene De Cartes) และปแอร เดอ แฟรมาต (Pierre De Fermat) สองนกคณตศาสตรชาวฝร�งเศส ผวางรากฐานเก�ยวกบเรขาคณตวเคราะห

ในการศกษาเร�องเรขาคณตวเคราะห เราจะทาการศกษาเก�ยวกบคณสมบตของจด และเสนตรงโดยอางองกบระบบพกดฉากเปนหลก ดงตอไปน5

2

1.1 ระบบพกดฉาก (Rectangular Co-ordinate System)

ระบบพกดฉาก ประกอบดวย แกนพกดฉาก 2 แกน ไดแก เสนจานวนท�อยบนแกนนอน (แกน X) และเสนจานวนท�อยบนแกนต5ง (แกน Y) แกนพกดฉากท5งสองน5จะแบงพ5นระนาบออกเปน 4 สวน เรยกพ5นท�ท�ถกแบงออกเปนสวนๆ น5วา "ควอดรนต" (Quadrant) ซ� งมลกษณะดงรป

Y

Quadrant 2 Quadrant 1

( - , + ) ( + , + )

X

Quadrant 3 Quadrant 4

( - , - ) ( + , - )

แกน X และ แกน Y ตดกนเปนมมฉาก เรยกจดน5วา "จดกาเนด" (Origin) คอ (0 , 0) และเขยนแทนตาแหนงของจดบนระบบพกดฉากดวย (X, Y) เม�อ

(1) Ordinate คอ คาตามแกน Y (2) Abscissa คอ คาตามแกน X (3) จด Co-ordinate คอ (X,Y) (4) จดทกจดบนแกน X ม Co-ordinate เปน (a , 0) เม0อ a∈R

(5) จดทกจดบนแกน Y ม Co-ordinate เปน (0 , a) เม0อ a∈R

3

1.2 โปรเจคชน (Projection)

กาหนดให P เปนจด และ L เปนเสนตรง โปรเจคชนของ P บนเสนตรง L เขยนแทนดวย )P(ojPr L คอ จด Q ท0ทาใหสวนของเสนตรง PQ ตBงฉากกบ L ดงรป

.

ขอสงเกต

(1) เราอาจกลาวไดวา โปรเจคชนของจด P บนเสนตรง L คอ จดบนเสนตรง L ท0ทาให ระยะทางจากจด P ไปยงจดนBนส5นท�สด

(2) โปรเจคชนของจด )y,x(P 111 บนแกน X คอจด )0,x( 1 (3) โปรเจคชนของจด )y,x(P 111 บนแกน Y คอจด )y,0( 1

.

P

Q

L

)y,x(P 111

)0,x( 1

)y,0( 1

Y

X

4

1.3 ระยะทางระหวางจดสองจด

พจารณารปตอไปน5

บนเสนจานวน ถาจด 1P แทนจานวนจรง 1x และ 2P แทนจานวนจรง 2x ระยะทางระหวางจด

1P และจด 2P คอคาสมบรณของ 1x - 2x เขยนแทนดวย 21PP หรอ 21PP

จากทฤษฎบทของพทาโกรส จะไดวา

21PP = ( ) ( )22

2

1 PPPP +

21PP = 2

21

2

21 yyxx −+−

21PP = ( ) ( )221

2

21 yyxx −+−

ดงน5น จงสรปเปนทฤษฎบทไดดงน5

ทฤษฎบท 1.1 :

ถา )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 เปนจดสองจดใดๆ ในระนาบ ระยะทางระหวางจด )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 เขยนแทนดวย 21PP ซ� ง

( ) ( )221

2

2121 yyxxPP −+−=

ขอสงเกต

ถาเสนตรงขนานแกน X อาจใชสตร 21PP = 21 xx − ถาเสนตรงขนานแกน Y อาจใชสตร 21PP = 21 yy −

5

ไมยากเลยใชไหมครบเพ�อนๆ อยากเกงตองทาบอยๆ และถาไมเขาใจตองไปถามคณครนะครบ

ตวอยางท� 1.1 กาหนดให )6,1(P1 และ )2,4(P2 − จงหาระยะทางระหวางจด 1P และ 2P

วธทา 21PP = ( ) ( )221

2

21 yyxx −+−

= ( ) ( )2226)4(1 −+−−

= ( ) ( )2245 +

= 1625+ = 51 ≈ 1414.7 หนวย Ans..

ตวอยางท� 1.2 จงหาจดบนแกน X ท�อยหางจากจด (-4,3) และ (3,-4) เปนระยะทางเทากน

วธทา ใหจดบนแกน X คอ (x,0) ระยะทางระหวาง (x,0) ถง(-4,3) = ระยะทางระหวาง (x,0) ถง (3,-4)

( ) ( )221

2

21 yyxx −+− = ( ) ( )221

2

21 yyxx −+−

( ) ( )2230)4(x −+−− = ( ) ( )22

)4(03x −−+−

ยกกาลงสองท5งสองขาง ( ) ( )22

34x −++ = ( ) ( )2243x +−

916x8x 2 +++ = 169x6x 2 ++− x6x8 + = 0 x14 = 0

x = 14

0

x = 0

∴จด (0,0) เปนจดบนแกน X ท�อยหางจากจด (-4,3) และ (3,-4) เปนระยะทางเทากน Ans..

6

ตวอยางท� 1.3 กาหนดจด ( )32,1A , ( )32,32B −+ และ ( )3,3C จงแสดงวา ABC เปนจดยอดของสามเหล�ยมดานเทา

วธทา AB = ( ) ( )22

32321321 −−++−−

= ( ) ( )22

3131 +−+−−

= ( ) ( )13233321 +−+++

= 8 หนวย

BC = ( ) ( )22

332332 −++−+

= 44 +

= 8 หนวย

AC = ( ) ( )22

332131 −++−

= ( ) ( )22

3131 ++−

= ( ) ( )33213321 ++++−

= 8 หนวย

เหนวา AB = BC = AC แสดงวา ABC∆ มดานยาวเทากนท5งสามดาน

∴ ABC∆ เปนสามเหล�ยมดานเทา Ans..

การหาวาจด 3 จด อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

. . .

A , B และ C จะอยบนเสนตรงเดยวกนกตอเม�อ AB + BC = AC

A B C

7

ตวอยางท� 1.4 จงแสดงวา A(1,1) , B(-2,0) และ C(4,2) อยบนเสนตรงเดยวกน

วธทา AB = ( ) ( )220121 −++ = 19 +

= 10 หนวย

BC = ( ) ( )222042 −+−− = 436 + = 40

= 104× = 102 หนวย

AC = ( ) ( )222141 −+− = 19 +

= 10 หนวย

เหนวา AB + AC = BC ซ� งม A เปนจดรวม

∴ จด 3 จดน5 จงอยบนเสนตรงเดยวกน Ans..

ตวอยางท� 1.5 ถาระยะหางระหวางจด (k,1) และ (-2,1) เปน 3 หนวย จงหาคา k

วธทา จาก 21PP = ( ) ( )221

2

21 yyxx −+−

3 = ( ) ( )2211)2(k −+−−

ยกกาลงสองท5งสองขาง

9 = ( ) ( )2202k ++

4k4k2 ++ = 9 94k4k 2 −++ = 0 5k4k2 −+ = 0 ( )( )1k5k −+ = 0 k = -5 , 1

∴k = -5 , 1 Ans..

8

แบบฝกหด 1.1

1. จงหาระยะทางระหวางจดตอไปน5กบจดกาเนด (1) (3,4) (2) (0,3) (3) (-1,-3) (4) (a,b)

2. จงหาระยะทางระหวางจดแตละคตอไปน5 (1) (2,5) และ (9,5) (2) (-4,7) และ (6,7) (3) (-5,6) และ (-5,-3) (4) (-4,-8) และ (-4,-2) (5) (3,4) และ (2,2) (6) (-1,-2) และ (3,-4) (7) (2,13) และ (8,5) (8) (-5,3) และ (0,8) (9) (-6,4) และ (-6,17) (10) (-2,-1) และ (-7,-6)

3. ABC เปนรปส� เหล�ยมคางหมดงรป โดยท� BC ยาว 8 หนวย ถาจด A มพกดเปน (-4,0) จด B มพกดเปน (-1,4) และพ5นท�ของรปส�เหล�ยมคางหมน5 เทากบ 48 ตารางหนวย จงหา (1) พกดของจด C (2) ความยาวของเสนของเสนตรง AB (3) พกดของจด D

X

Y

0

B(-1,4)

A(-4,0)

C

D

9

4. จงแสดงวา (1,1) , (-1,-1) และ (-4,2) เปนจดยอดของสามเหล�ยมมมฉาก 5. จงหาระยะหางระหวางจด (-3,-4) กบแกน X 6. จงหาความยาวของเสนรอบรปสามเหล�ยม ABC ซ�ง A มพกดเปน (3,4) B มพกดเปน (7,8) และ

C มพกดเปน (-1,-2) 7. จงหาจดซ� งอยบนแกน Y และอยหางจากจด (2,5) และ (3,-7) เปนระยะทางเทากน 8. รปสามเหล�ยมรปหน�งมจด (6,8) , (4,6) และ (-2,-2) เปนจดยอด สามเหล�ยมรปน5 เปนสามเหล�ยม

หนาจ�วหรอไม 9. รปวงกลมรปหน�งมจดศนยกลางท� (-3,2) และผานจด (7,4) จงหาความยาวของรศมวงกลมน5 10. รปสามเหล�ยมรปหน�งมจด (10,0) , (-12,0) และ (8,-8) เปนจดยอด จงหาพ5นท�ของสามเหล�ยม

รปน5 11. จด (0,0) , (8,18) และ (12,27) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม 12. จงบอกเง�อนไขท�ทาให 1P , 2P และ 3P ใดๆ อยบนเสนตรงเดยวกน 13. รปวงกลมวงหน�งมจดศนยกลางท�จด (3,4) และผานจด (6,8) จงหาความยาวของรศมของ

วงกลมน5และตรวจสอบดวาจด (0,0) อยบนวงกลมน5หรอไม 14. รปวงกลมวงหน�งมจดศนยกลางท�จด (4,-3) และมแกน X เปนเสนสมผส จงหาจดสมผส

℘℘℘℘℘℘℘℘℘

10

1.4 จดก�งกลางระหวางจดสองจด

ให )y,x(P เปนจดก�งกลางของ 21PP เราสามารถหาพกดของจดก�งกลางของ 21PP โดยพจารณารปตอไปน5

ให RP1 เปนสวนของเสนตรงท�ขนานกบแกน X ต5งฉากกบ PQ และ RP2 ซ� งเปนสวนของเสนตรงท�ขนานกบแกน Y ท�จด Q และ R ตามลาดบ

จะได จด Q มพกดเปน ( )1y,x จด R มพกดเปน ( )12 y,x

และ QPP1∆ คลายกบ 21RPP∆

จะได RP

QP

1

1 = 21

1

PP

PP

แต )y,x(P เปนจดก�งกลางของ 21PP

จะได 21

1

PP

PP = 2

1

น�นคอ RP

QP

1

1 = 2

1

QP1 = RP2

11

จะได QP1 = QR หรอ

1xx − = xx2 −

11

เน�องจาก x อยระหวาง 1x และ 2x ดงน5น 1x < x < 2x หรอ 2x < x < 1x เพราะฉะน5น x - 1x และ 2x - x จะเปนจานวนเตมบวกเหมอนกน หรอเปนจานวนเตมลบเหมอนกน

ดงน5น x - 1x =

2x - x x + x = 2x + 1x x2 = 1x + 2x

x = 2

xx 21 +

ในทานองเดยวกนสามารถแสดงใหเหนวา

y = 2

yy 21 +

ดงน5น จงสรปเปนทฤษฎบทไดดงน5

ทฤษฎบท 1.2 : ถาจด )y,x(P เปนจดก�งกลางระหวางจด )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 แลว

x = 2

xx 21 +

y = 2

yy 21 +

12

ตวอยางท� 1.6 จงหาจดก�งกลางระหวางจด A(2,4) และ B(-4,0)

วธทา ให )y,x(P เปนจดก�งกลางตามท�ตองการ

x = 2

xx 21 +

= 2

)4(2 −+

= 2

2−

= 1−

y = 2

yy 21 +

= 2

04 +

= 2

4

= 2

∴ จดก�งกลาง คอ (-1,2) Ans..

เสนมธยฐานของรปสามเหล�ยม :

หมายถง เสนตรงท�ลากจากมมยอดไปแบงคร� งฐานของรปสามเหล�ยม ซ�งจะมท5งหมด 3 เสน และพบกนท�จดจดหน�งเสมอ เรยกวา จด Centroid หรอ จดรวมมวล

ซ� งหาจดน5ไดโดยใชสตร

x = 3

xxx 321 ++

y = 3

yyy 321 ++

13

ตวอยางท� 1.7 สามเหล�ยมรปหน�งมจดยอดเปน (-5,3) , (2,4) และ (4,0) จงหาจดปลายและ ความยาวของเสนมธยฐานท�ลากจากจด (-5,3) มายงฐานซ�งเกดจากการ ลากเสนเช�อมจด (2,4) และ (4,0)

วธทา

ให )y,x(P เปนจดก�งกลางของ AB

x = 2

xx 21 + = 2

42 + = 2

6 = 3

y = 2

yy 21 + = 2

04 + = 2

4 = 2

∴ จดปลายของเสนมธยฐาน คอ (3,2) Ans..

ความยาวของเสนมธยฐาน = ( ) ( )221

2

21 yyxx −+−

= ( ) ( )222335 −+−−

= ( ) ( )2218 +−

= 164 + = 65 หนวย

∴ เสนมธยฐานยาว 65 หนวย Ans..

A(2,4)

B(4,0)

เสนมธยฐาน

C(-5,3) )y,x(P

Y

X

14

ตวอยางท� 1.8 จด )y,x(P เปนจดก�งกลางของ 21PP พกดของจด P และ 1P คอ (2,3) และ (5,4) ตามลาดบ จงหาพกดของจด 2P

วธทา x = 2

xx 21 + y = 2

yy 21 +

2 = 2

x5 2+ 3 = 2

y4 2+

4 = 2x5+ 6 = 2y4+ 54− =

2x 46− = 2y

2x = 1− 2y = 2

∴ (-1,2) เปนพกดของจด 2P Ans..

ตวอยางท� 1.9 วงกลมวงหน�งมจดศนยกลาง (-2,-3) จดปลายเสนผานศนยกลางขางหน�ง คอ (5,10) จงหาพกดของจดปลายอกขางหน�งของเสนผานศนยกลาง

.

วธทา x = 2

xx 21 + y = 2

yy 21 +

2− = 2

x5 2+ 3− = 2

y10 2+

4− = 2x5+ 6− = 2y10+ 54 −− = 2x 106 −− = 2y 2x = 9− 2y = 16−

∴ พกดของจดปลายอกขางหน�งของเสนผานศนยกลางของวงกลมน5 คอ (-9,-16) Ans..

(-2,-3) (5,10)

15

แบบฝกหด 1.2

1. จงหาจดก�งกลางระหวางจดแตละคตอไปน5 (1) (-1,-3) และ (5,3) (2) (-3,-2) และ (-1,-1)

(3) (2

1 ,2) และ (3,-1)

(4) (3,2

5− ) และ (-3,-9)

2. จด P เปนจดก�งกลางของสวนของเสนตรง AB จงหาพกดของจด P ถา (1) P มพกดเปน (1,2) และ B มพกดเปน (3,4) (2) P มพกดเปน (5,6) และ B มพกดเปน (15,-4)

3. สามเหล�ยมรปหน�งมจดยอดเปน A(2,6) , B(4,-4) และ C(-2,3) จงหาความยาวของเสนมธยฐานท�ลากจากจด C ไปยงดานตรงขาม

4. วงกลมวงหน�งมจดศนยกลาง (-4,1) จดปลายขางหน�งของเสนผานศนยกลาง คอ (2,6) จงหาพกดของจดปลายอกขางหน�งของเสนผานศนยกลาง

5. วงกลมวงหน�งมจดศนยกลาง (3,2) คอรดยาว 8 หนวยและจดก�งกลางคอรดเปน (5,3) จงหารศมของวงกลมวงน5

6. วงกลมวงหน�งมจด (2,3) เปนโปรเจคชนของจดศนยกลางบนคอรด ซ�งมจดปลายขางหน�งเปน (-1,-4) จงหาจดปลายอกขางหน�ง

℘℘℘℘℘℘℘℘℘

16

1.5 ความชนของเสนตรง

คอ ลกษณะของเสนตรงในระนาบแกนมมฉาก ซ� งลกษณะเหลาน5จะบอกใหรวาเสนตรงน5ทามมแหลมหรอมมปานกบแกน X หรอขนานแกน X , Y

จากรป สามารถสรปเปนบทนยามไดดงน5

บทนยาม 1.1 :

ให L เปนเสนตรงท�ผานจด )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 โดยท� 21 xx ≠ m เปนความชนของเสนตรง L กตอเม�อ

m = 21

21

xx

yy

−−

ขอสงเกต

(1) ถา 21 xx = เสนตรงจะขนานกบแกน Y ถอวาหาความชนไมได (2) ความชนของเสนตรงท�ขนานแกน X คอ 0 (3) ถาความชนมคาเปนบวก หรอมากกวาศนย เสนตรงจะทามมแหลมกบแกน X

เม�อวดทวนเขมนาฬกา (4) ถาความชนมคาเปนลบ หรอนอยกวาศนย เสนตรงจะทามมปานกบแกน X

เม�อวดทวนเขมนาฬกา

17

เราสามารถนาเอาบทนยามของความชนท�กลาวมาขางตนไปใชในการอธบายคณสมบตของเสนตรงสองเสนท�ขนานกนและต5งฉากกนไดดงน5

(1) เสนขนาน

ทฤษฎบท 1.3 :

เสนตรงสองเสนท�ไมขนานแกน Y จะขนานกน กตอเม�อ ความชนของเสนตรงท5งสองเทากน (2) เสนต�งฉาก

ทฤษฎบท 1.4 :

เสนตรงสองเสนท�ไมขนานแกน Y จะต5งฉากกน กตอเม�อ ผลคณความชนของเสนตรงท5งสองเทากบ -1

ตวอยางท� 1.10 จงหาความชนของเสนตรงท�ผานจดตอไปน5

(1) ผานจดกาเนด และ (4,-2) (2) ผานจด (a+b , a) และ (b , a-b)

วธทา (1) ผานจดกาเนด และ (4,-2)

m = 21

21

xx

yy

−− =

40

)2(0

−−− =

4

2

− =

2

1− Ans..

(2) ผานจด (a+b , a) และ (b , a-b)

m = 21

21

xx

yy

−− =

b)ba(

)ba(a

−++− =

bba

baa

−+−− =

a

b Ans..

18

สงทนาสรรเสรญทสดในชวตของเรากคอ ความวรยะ อตสาหะ

ตวอยางท� 1.11 กาหนดจด )4,x(A 1 และ )4,3(B − เปนเสนตรงท�มความชนเปน -1 จงหาคาของ 1x

วธทา m ของ AB = 21

21

xx

yy

−−

1− = 3x

)4(4

1 −−−

)3x)(1( 1 −− = 8 3x1 +− = 8

1x− = 38−

1x− = 5

1x = 5−

∴ 1x = 5− Ans..

ตวอยางท� 1.12 จงแสดงวาเสนตรงท�ผานจด A(0,4) และ B(3,1) ขนานกบเสนตรงท�ผานจด

C(-1,-2) และ D(-4,1)

วธทา m ของ AB = 21

21

xx

yy

−− =

30

14

−− =

3

3

− = 1−

m ของ CD = 21

21

xx

yy

−− =

)4(1

12

−−−− =

3

3− = 1−

เหนวา m ของ AB = m ของ CD แสดงวาเสนตรงสองเสนน5ขนานกน

∴ เสนตรงท�ผานจด A และ B ขนานกบเสนตรงท�ผานจด C และ D Ans..

19

ตวอยางท� 1.13 จงแสดงวาจด A(-4,3) , B(-1,2) และ C(2,11) เปนจดยอดของสามเหล�ยมมมฉาก

วธทา m ของ AB = 21

21

xx

yy

−− =

)1(4

23

−−−− =

3

1

−

m ของ BC = 21

21

xx

yy

−− =

31

112

−−− =

3

9

−− = 3

m ของ AD = 21

21

xx

yy

−− =

24

113

−−− =

6

8

−− =

3

4

เหนวา ผลคณของ m ของ AB และ m ของ BC เทากบ -1 น�นคอ ดาน AB ต5งฉากกบดาน BC

∴ จดท5งสามเปนจดยอดของรปสามเหล�ยมมมฉาก Ans..

ตวอยางท� 1.14 จงแสดงวาจด A(-1,-2) , B(0,1) , C(-3,2) และ D(-4,-1) เปนจดยอดของส�เหล�ยมดานขนาน

วธทา m ของ AB = 21

21

xx

yy

−− =

01

12

−−−− =

1

3

−− = 3

m ของ BC = 21

21

xx

yy

−− =

)3(0

21

−−− =

3

1− = 3

1−

m ของ CD = 21

21

xx

yy

−− =

)4(3

)1(2

−−−−− =

1

3 = 3

m ของ AD = 21

21

xx

yy

−− =

)4(1

)1(2

−−−−−− =

3

1− = 3

1−

เหนวา m ของ AB = m ของ CD และ m ของ BC = m ของ AD น�นคอ มดานขนานกนสองค

∴ จดท5งส� เปนจดยอดของรปส� เหล�ยมดานขนาน Ans..

20

ตวอยางท� 1.15 ถาจด A(3,-1) , B(6,1) และ C(-3,k) อยบนเสนตรงเดยวกนแลว จงหาคา k

วธทา จะไดวา m ของ AB = m ของ BC

63

11

−−− =

)3(6

k1

−−−

3

2

−− =

9

k1−

3

2 = 9

k1−

93

2× = k1−

6 = k1− k = 61− k = 5−

∴ k = 5− Ans.. ตวอยางท� 1.16 เสนตรงท�ผานจด A(-3,-1) , B(2,3) ขนานกบเสนตรงท�ผานจด

C(-4,-5) , D(k,3) จงหาคา k

วธทา จะไดวา m ของ AB = m ของ CD

23

31

−−

−− = k4

35

−−

−−

5

4

−

− = k4

8

−−

−

5

4 = k4

8

−−

−

( )k44 −−× = 5)8( ×− k416 −− = 40− k4− = 1640 +− k4− = 24−

k = 4

24

−

−

k = 6

∴ k = 6 Ans..

21

แบบฝกหด 1.3

1. จงหาความชนของเสนตรงท�ผานจดสองจดตอไปน5

(1) (0,0) และ (2,6) (2) (0,0) และ (-2,6) (3) (5,3) และ (12,7) (4) (3,-8) และ (-5,7) (5) (t+1 , s) และ (2t , s-3)

2. จงหาคา x ท�ทาใหเสนตรงท�ผานจด P และ Q มความชนเทากบ m ตามท�กาหนดให (1) P(5,2) และ Q(x,6) เม�อ m = 4

(2) P(4,x) และ Q(-3,1) เม�อ m = 2

1

(3) P(6,-3) และ Q(9,x) เม�อ m = 3

2−

(4) P(x,12) และ Q(5,12) เม�อ m = 0

(5) P(1,x) และ Q(4,3) เม�อ m = 3

4

3. จงหาคา k ททาใหเสนตรงท�เช�อมจด (1,k) และ (k,-2) มความชนเปน 4 4. จงหาความชนและความยาวของดานแตละดานของรปสามเหล�ยมซ�งมจด A(2,10) , B(5,7) และ

C(5,7) เปนจดยอด 5. จงแสดงวาเสนตรงซ�งผานจด (-2,-4) และ (3,3) ขนานกบเสนตรงซ�งผานจด (1,-2) และ (6,5) 6. ถาเสนตรงผานจด (k,7) และ (-3,2) ขนานกบเสนตรงท�ผานจด (3,2) และ (1,-4) จงหาคา k 7. จด (1,2) , (6,7) และ (-3,4) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม เพราะเหตใด 8. จงหาคา k ท�ทาให (k,6) , (1,4) และ (-4,2) อยบนเสนตรงเดยวกน 9. จงแสดงวา A(-4,2) , B(2,6) , C(1,0) และ D(-2,-2) เปนจดยอดของส�เหล�ยมคางหม

10. ถาความชนของเสนตรง L เทากบ 3

4 แลวเสนตรงท�ต5งฉากกบเสนตรง L จะมความชนเทาไร

11. เสนตรงซ�งผานจด (4,3) และ (-3,-5) ต 5งฉากกบเสนตรงซ�งผานจด (-2,-3) และ (-8,2) หรอไม 12. เสนตรงซ�งผานจด (k,7) และ (-3,-2) ต 5งฉากกบเสนตรงซ�งผานจด (3,2) และ (1,-4) จงหาคา k 13. จงแสดงวา (2,1) , (6,4) , (3,8) และ (-1,5) เปนจดยอดของส� เหล�ยมจตรส และหาพ5นท�ของรป

ส� เหล�ยม

℘℘℘℘℘℘℘℘℘℘

22

1.6 ความสมพนธซ�งมกราฟเปนเสนตรง

1.6.1 รปแบบของเสนตรงท�ขนานกบแกน X มรปแบบเปน y = b เม�อ b เปนคาคงตว

- ถา b มากกวา 0 เสนตรงจะอยเหนอแกน X

- ถา b เทากบ 0 เสนตรงจะทบแกน X

- ถา b นอยกวา 0 เสนตรงจะอยใตแกน X

23

1.6.2 รปแบบของเสนตรงท�ขนานกบแกน Y มรปแบบเปน x = a เม�อ b เปนคาคงตว

- ถา a มากกวา 0 เสนตรงจะอยขวาแกน Y

- ถา a เทากบ 0 เสนตรงจะทบแกน Y

- ถา a นอยกวา 0 เสนตรงจะอยซายแกน Y

24

1.6.3 รปแบบของเสนตรงท�ไมขนานแกน X และแกน Y ซ� งอยในรปท�วไปคอ Ax + By + C = 0 เม�อ A , B และ C เปนคาคงตว และ A , B ไมเทากบศนยพรอมกน

รปแบบน5หาความชนไดโดยใชสตร B

Am

−=

ตวอยางท� 1.17 จงหาความชนจากสมการเสนตรง 2x – 3y + 5 = 0

∴ 3

2

3

2

B

Am =

−−

=−

= Ans..

1.6.4 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป y = Ax + B

- คา A คอ ความชนของเสนตรง - คา B คอ จดตดบนแกน Y ซ� งคอจด (0,B)

ตวอยางท� 1.18 จงหาความชน และจดตดบนแกน Y จากสมการเสนตรง y = 5x + 3

∴ 5m = ตดแกน Y ท�จด (0,3) Ans..

1.6.5 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป Point Slope Form คอจะบอกจดท�เสนตรงผาน และบอกความความชนของเสนตรงมาให เราสามารถหาสมการเสนตรงน5ไดโดยใชสตร

( )11 xxmyy −=−

1.6.6 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป Two Point Form คอจะบอกจดท�เสนตรงผานมาให 2 จด คอ ( )11 y,x และ ( )22 y,x เราสามารถหาสมการเสนตรงน5ไดโดยใชสตร

( )1

21

211 xx

xx

yyyy −

−−

=−

1.6.7 รปแบบของเสนตรงท�อยในรป Intercept Form คอบอกจดตดบนแกน X และจดตดบนแกน Y มาให เราสามารถหาสมการเสนตรงน5ไดโดยใชสตร

1b

y

a

x=+

เม�อเสนตรงตดแกน X ท�จด (a,0) และตดแกน Y ท�จด (0,b)

25

การเรยนแมเหนอยยาก ยอมลาบากอยาทอถอย

สดทางทรอคอย คออนาคตอนงดงาม

ตวอยางท� 1.19 จงแสดงวาเสนตรง x = 2y +4 ขนานกบเสนตรง y = 22

x+

วธทา จากเสนตรง 04y2x:L1 =+− 2

1

2

1

B

Am1 =

−−

=−

=

จากเสนตรง 22

xy:L2 +=

2

1m2 =

เหนวา 21 mm =

∴ เสนตรงสองเสนน5ขนานกบ Ans..

ตวอยางท� 1.20 จงแสดงวาเสนตรง 3x + 2y = 8 ต5งฉากกบเสนตรง 4x – 6y = 3

วธทา จากเสนตรง 08y2x3:L1 =−+ 2

3

B

Am1

−=

−=

จากเสนตรง 03y6x4:L2 =−− 3

2

6

4

B

Am2 =

−−

=−

=

เหนวา 1mm 21 −=×

∴ เสนตรงสองเสนน5ต 5งฉากกน Ans..

26

พากเพยร เรยนร ดตวอยาง บนไดสทางกาวหนา

ตวอยางท� 1.21 จากสมการเสนตรง 06y4

3x

3

2=−−

จงบอกความชนและจดตดบนแกน X และแกน Y

วธทา หาความชนโดยใชสตร 9

8

3

4

3

2

4

33

2

B

Am =×=

−

−=

−= Ans..

หาจดตดบนแกน X ตองให y = 0

60x3

2−− = 0

x3

2 = 6

x = 2

36×

x = 9

∴ เสนตรงตดแกน X ท�จด (9,0) Ans..

หาจดตดบนแกน Y ตองให x = 0

6y4

30 −− = 0

y4

3− = 6

y =

−×3

46

y = 8−

∴ เสนตรงตดแกน Y ท�จด (0,-8) Ans..

27

ตวอยางท� 1.22 จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (2,3) และมความชน 2

1

วธทา 1yy− = ( )1xxm −

3y− = ( )2x2

1−

6y2 − = 2x − 2x6y2 +−− = 0 4y2x −+− = 0 4y2x +− = 0

∴ 4y2x +− = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..

ตวอยางท� 1.23 จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (-3,-1) และขนานกบเสนตรง 2x + 3y + 12 = 0

วธทา หาความชนโดยใชสตร 3

2

3

2

B

Am =

−−

=−

=

สมการเสนตรงท�จะหา ม 3

2m = และผานจด (-3,-1)

1yy− = ( )1xxm −

)1(y −− = ( ))3(x3

2−−

1y + = ( )3x3

2+

3y3 + = 6x2 + 3y3x2 −+− = 0 3y3x2 +− = 0 ∴ 3y3x2 +− = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..

28

ความรคอชวต บอกความคดและปญญา การเรยนมคณคา อนาคตขางหนาจะดเอง

ตวอยางท� 1.24 จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (1,-3) และ (-3,4)

วธทา 1yy− = ( )1

21

21 xxxx

yy−

−−

3y + = ( )1x31

43−

+−−

3y + = ( )1x4

7−−

12y4 + = 7x7 +− 5y4x7 ++ = 0

∴ 5y4x7 ++ = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..

ตวอยางท� 1.25 จงหาสมการเสนตรงท�ตดแกน X ท�จด (-3,0) และตดแกน Y ท�จด (0,5)

วธทา b

y

a

x+ = 1

5

y

3

x+

− = 1

นา -15 มาคณท5งสองขาง

y3x5 − = 15− 15y3x5 +− = 0

∴ 15y3x5 +− = 0 เปนสมการเสนตรงท�ตองการ Ans..

29

แบบฝกหด 1.4

1. จงบอกความชนและจดตดแกน X และแกน Y

สมการ ความชน จดตดแกน X จดตดแกน Y

(1) 2x – 3y = 7 (2) 5x + 4y – 2 = 0 (3) x – 4y + 5 = 0 (4) 3x + 2y + 7 = 0 (5) 5x – y – 11 = 0

(6) 24y3

4x

4

3=−

(7) x – y = 0 (8) 2y + 3 = 0 (9) x = 4 (10) 3(y – 1) = –2(x – 2)

2. จงแสดงวาเสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบเสนตรง y = 1x3

2+

3. จงแสดงวาเสนตรง 2x + y = 8 ต5งฉากกบเสนตรง y = 5x2

1−

4. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (0,-3) และมความชนเปน 4

3−

5. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (7,5) และขนานกบเสนตรง x + 2y + 12 = 0 6. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (3,2) และต5งฉากกบเสนตรง 3x – 2y +12 = 0 7. จงหาสมการเสนตรง และ

(1) ผานจด (-1,0) และขนานกบเสนตรงซ�งผานจด (1,2) และ (-3,4) (2) ผานจด (-1,-4) และต5งฉากกบเสนตรงซ�งผานจด (-1,3) และ (-2,-2)

8. จงหาสมการเสนตรงท�ตดแกน X ท�จด (5,0) และตดแกน Y ท�จด (0,-4) 9. จงหาสมการเสนตรงท�ผานจด (4,2) และตดแกน Y ต�ากวาจดกาเนด 3 หนวย 10. จงหาสมการเสนตรงซ�งต5งฉากกบคร� งของเสนตรงท�เช�อมจด A(-5,2) และ B(3,-2)

℘℘℘℘℘℘℘℘℘

30

1.7 ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะระหวางเสนคขนาน

1.7.1 ระยะระหวางเสนตรงกบจด

.

ทฤษฎบท 1.5 : ระยะหางระหวางเสนตรง Ax + By + C = 0 กบจด )y,x( 11

คอ

22

11

BA

CByAxd

+

++=

1.7.2 ระยะระหวางเสนคขนาน

ทฤษฎบท 1.6 : ระยะหางระหวางเสนตรง 0CByAx 1 =++ และเสนตรง 0CByAx 2 =++ คอ

22

21

BA

CCd

+

−=

d

Ax + By + C = 0

)y,x(P 11

0CByAx 1 =++

0CByAx 2 =++

d

31

การศกษา คอ ความเจรญงอกงาม

ตวอยางท� 1.26 จงหาระยะหางจากจด (2,-3) ไปยงเสนตรง 6x – 8y + 4 = 0

วธทา d = 22

11

BA

CByAx

+

++

= 22 )8(6

4)3)(8()2(6

−+

+−−+

= 6436

42412

+

++

= 100

40

= 10

40

= 4 หนวย Ans..

ตวอยางท� 1.27 จงหาระยะหางจากจดกาเนด ไปยงเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0

วธทา d = 22

11

BA

CByAx

+

++

= 22 )4(3

)5()0)(4()0(3

−+

−+−+

= 169

)5(00

+

−++

= 25

5−

= 5

5

= 1 หนวย Ans..

32

ตวอยางท� 1.28 จงหาระยะหางจากเสนตรง 3x – y – 8 =0 ไปยงเสนตรง 3x – y – 2 = 0

วธทา d = 22

21

BA

CC

+

−

= 22 )1(3

)2(8

−+

−−−

= 19

28

+

+−

= 10

6−

= 10

6

= 10

106

= 5

103 หนวย Ans..

ตวอยางท� 1.29 จงหาสมการเสนตรงท�ขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 2 = 0 และ อยหางจากเสนตรงน5 2 หนวย

วธทา เสนตรงท�จะหามสมการเปน 3x – 4y + c = 0

d = 22

21

BA

CC

+

−

2 = 22 )4(3

2c

−+

−

2 = 25

2c −

10 = 2c − 2c − = 10

3x – 4y + 2 = 0 2 หนวย

2 หนวย

33

ครเปดประตให แตคณตองเดนเขาไปดวยตนเอง

จะได c – 2 = 10 หรอ c – 2 = –10 c = 10 + 2 c = –10 + 2 c = 12 c = –8

∴ สมการเสนตรงท�ตองการ คอ 3x – 4 y +12 = 0 และ 3x – 4y – 8 = 0 Ans..

34

แบบฝกหด 1.5

1. จงหาระยะหางระหวางเสนตรงกบจดท�กาหนดใหตอไปน5 (1) 6x – 8y + 4 = 0 และ (2,-3) (2) 4x + 3y – 8 = 0 และ (0,6) (3) 2x + 3y = 13 และ (0,0)

(4) y – 4 = 5

7 (x – 3) และ (8,11)

(5) y = 1 และ (-1,1) 2. จงหาระยะทางระหวางเสนคขนานตอไปน5

(1) 3x + 4y – 7 = 0 และ 3x + 4y + 3 = 0 (2) 3x – 4y – 7 = 0 และ 6x – 8y + 16 = 0 (3) 5x + 12y – 15 = 0 และ 10x + 24y + 9 = 0 (4) x – y – 3 = 0 และ 3x – 3y + 7 = 0 (5) 3x + y + 5 = 0 และ 7 – 3x – y = 0

3. จงหาสมการเสนตรงท�ขนานกบเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0 และอยหางจากเสนตรงน5 1 หนวย 4. จงหาสมการเสนตรงท�ขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 26 = 0 และอยหาจากจด (8,8)

เปนระยะ 2 หนวย 5. จงหาสมการเสนตรงท�ต5งฉากกบเสนตรง 12y = 5x – 7 และอยหางจากจด (-1,2)

เปนระยะ 3 หนวย 6. ถาเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนเสนตรงท�อยก�งกลางระหวางเสนขนานคหน�ง ซ� งอยหางกน

8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน5

℘℘℘℘℘℘℘℘℘