คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา...

และตดสนใจในชวตประจ าวน

สปดาหท ๒ ตรรกศาสตรเบองตนบทท ๒•ความหมายของตรรกศาสตร•การใหเหตผลเพอสนบสนนความเชอ หรอหาความจรง หรอใหขอสรป•การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)

คณตศาสตรกบการแกปญหา

2.1

สาระการเรยนร

• ความหมายของตรรกศาสตรหรอตรรกวทยา

• การใหเหตผลเพอสนบสนนความเชอ

หรอความจรงหรอใหขอสรป

• การใหเหตผลแบบอปนย

(Inductive Reasoning)

2.1วตถประสงค

• ใหรจกผลทเกดจากเหตผลอยางงาย

• ใหรจกสรปผล ขอเทจจรง และคนหาความจรง จากการสงเกตหรอการทดลอง

• ยกตวอยางในชวตประจ าวนททราบผลจากเหตซ า ๆ ได

• รจกวธการใหเหตผลซงเปนสงส าคญตอการคดและการเรยนคณตศาสตร

2.1

โครงสรางของคณตศาสตร

สรปในรปนามธรรม

การน าไปประยกตใช(Application)

แบบจ าลองคณตศาสตร(Mathematical Model)

• อนยาม (Undefined Term)• นยาม (Defined Term)• สจพจน (Axiom หรอ Postulate)

ตรรกวทยาการใหเหตผล

สรป

กฎ (Law) หรอทฤษฎบท (Theorem)

ธรรมชาต(Nature)

2.1

เพอสนบความเชอหรอเพอหาความจรงหรอขอสรปในเรองใดเรองหนงมาแตครงโบราณและตามโครงสรางคณตศาสตร

การใหเหตผลทางคณตศาสตรม 2 วธคอ• การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)

• การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)

ตรรกศาสตรเบองตน (ตรรกวทยา)

2.1

2.1 การใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกตหรอการทดลองซ าหลายครงจากกรณยอย ๆ แลวน ามาคาดคะเนผล หรอ สรปผล ซงมความนาจะเปนไปไดสง ทขอสรปเปนจรง

การใหเหตผลแบบอปนย ผลสรปทไดอาจเปนจรง หรอไมเปนจรงกได

ความจรงจากสวนยอย ความจรงทเปนสวนรวมไปส

2.1ผลของขอสรป

การหาขอสรป โดยใชวธการใหเหตผลแบบอปนยนน ไมจ าเปนตองถกตองทกครง เพยงแตขอสรปทไดนนมความนาจะเปนสง ทจะถกตอง หรอ เปนจรง หรออาจกลาวไดวา การสรปผลโดยใช การใหเหตผลแบบอปนย เปนการสรปผลทเกนจากหลกฐานขอเทจจรงทมอย

ดงนน ขอสรปจะเชอถอไดมากนอยเพยงใดนนขนอยกบลกษณะของขอมล หลกฐานและขอเทจจรง

1) จ านวนขอมล2) ชนดและตวแทนขอมล3) ความซบซอนของขอมล

2.1

จ านวนขอมล

• หลกฐาน หรอขอเทจจรงทน ามาเปนขอสงเกต หรอขออางองมมากพอกบการสรปความหรอไม เชน ถาไปรบประทานอาหารทรานแหงหนงแลวเกดทองเสย

สรปวา อาหารทรานดงกลาวท าใหทองเสย การสรปจากเหตการณทเกดขนเพยงครงเดยว ยอมจะนาเชอถอไดนอยกวาไปรบประทานอาหารทรานดงกลาวบอยๆ แลวทองเสยแทบทกครง

จ านวนขอมล

2.1

ชนดและตวแทนของขอมล

หลกฐานหรอขอเทจจรงเปนตวแทนทดในการใหขอสรปหรอไม

เชน ถาอยากรวา คนไทยชอบกนขาวเจาหรอขาวเหนยวมากกวากน ถาถามจากคนทอาศยอยในภาคเหนอหรอภาคอสาน

ค าตอบทตอบวา ชอบกนขาวเหนยวอาจจะมมากกวาชอบกนขาวเจา

แตถาถามคนทอาศยอยในภาคกลางหรอภาคใต ค าตอบอาจจะเปนในลกษณะตรงขาม

2.1

ในเรองทเกยวกบจตใจและความรสก

เชน ชายดกวาหญง หรอหญงดกวาชาย เปนตน ซงความคดในเรองดงกลาว คอนขางซบซอน และขนอยกบ เหตผลสวนตวของแตละคน ซงแตกตางกน

การหาขอสรป หรอความจรงโดยใชวธการใหเหตผลอปนยนน ไมจ าเปนตองถกตองทกครง

ความซบซอนของขอมล

2.1

ตวอยางท 1

ทกเชาดวงอาทตยจะขนทางทศตะวนออก และทกเยนดวงอาทตยจะตกทางทศตะวนตก

• ใชหลกการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปไดวา

“ ดวงอาทตยขนทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตก ”

2.1

ตวอยางท 2

มะมวงทกผลในตะกราทหยบมาชมมรสเปรยว

• ใชหลกการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปไดวา

มะมวงทกผลในตะกรามรสเปรยว #

2.1

ตวอยางท 3

ก าหนดรปแบบของจ านวนดงน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …

3.1 ) จงใชขอสงเกตจากแบบรปของจ านวนทก าหนดใหขางตนหาจ านวนนบถดจาก 11 อกสจ านวน

ตอบ จ านวนนบทถดจาก 11 อกสจ านวน คอ 13 , 15 , 17 , 19

3.2 ) จงใชวธการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปรปแบบของจ านวนทก าหนดใหขางตน ตอบ ขอสรปคอ จ านวนขางตนเปนการนบเพมทละ 2

2.1

ตวอยางท 4

จงหาจ านวน A จากรปแบบทก าหนดใหตอไปน

พรอมทงหาขอสรปของแตละขอ โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย4.1 ) 15 , 25 , 35 , 45 , A

ตอบ A =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบเพมทละ 10

4.2 ) 3, 2 , 1 , 0 , -1 , -2 , Aตอบ A =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบลดทละ 1

55

- 3

2.1

ตวอยางท 5 ก าหนดรปแบบการบวกเลขจ านวนค ดงน

1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 91 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

5.1 ) จงหาจ านวนนบถดทก าหนดใหตามรปแบบขางตน เพมอก 2 จ านวน ตอบ

5.2 ) จงใชวธการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปรปแบบของจ านวนทก าหนดใหขางตน

ตอบ

จ านวนทอยถดไป จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 จ านวนทอยถดไป จ านวนทสอง คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13 = 49

ขอสรปคอ น าจ านวนเลขคทน ามาหาผลบวก ยกก าลง 2

2.1

ตวอยางท 6 ชาวกรกโบราณใชจ านวนสามเหลยม ( Triangular Numbers )

เขยนแทนจ านวนตางๆ เชน เขยนแทนจ านวน 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 โดยใชสญลกษณดงน

6.1 ) จงเขยนจ านวนสามเหลยมทอยถดจาก 21 อก 1 จ านวน

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(7)

2.1

ตวอยางท 6 ( ตอ)6.2 ) จงใชวธการใหเหตผลแบบอปนย อธบายวธการเขยนจ านวนสามเหลยม

โดยการแทนดวยจด วาแตละรปมความสมพนธกนอยางไร

ตอบ จ านวนจดทฐานของสามเหลยม เพมขนทละ 1 จด

2.1

ใบงานท 4

ขอ 1 ) จงหาจ านวน a จากรปแบบทก าหนดใหตอไปนพรอมทงหาขอสรปของแตละขอ โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย

1.1 ) 12 , 32 , 52 , 72 , a ตอบ =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบเพมทละ 20

1.2 ) 12 , 10 , 8 , 6 , a ตอบ =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบลดทละ 2

92

4

2.1

1.3 ) –15 , –5 , 5 , 15 , a ตอบ =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบเพมทละ 10

1.4 ) 5 , 2 , -1 , - 4 , – 7 , a ตอบ =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบลดทละ 3

1.5 ) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , a ตอบ =

ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการ จ านวนนบตงแต 1 มายกก าลง 2

25

-10

36

ใบงาน (ตอ)

2.1

ขอ 2 ) ก าหนดขอมลดงตอไปน “สมในเขงน ทกผลทหยบมาชมมรสหวาน”จงใชการใหเหตผลแบบอปนยหาขอสรปจากขอมลขางตน

ตอบ ใชหลกการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปไดวา สมทกผลในเขงนมรสหวาน

ใบงาน (ตอ)

2.1

ขอ 3 ) “ผลคณของจ านวนเตมสองจ านวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตวเสมอ” จงใชการใหเหตผลแบบอปนยหาขอสรปจากขอมลขางตนวาจรงหรอเทจ ถาเปนเทจ จงหาเหตผลมาขดแยง

ตอบ เทจ เพราะวา 3 5 = 15 ซง 15 หารดวย 2 ไมลงตว

ใบงาน (ตอ)

2.1

ขอ 4 ) “ ก าลงสองของจ านวนนบใดๆ ทมคามากกวา 1 จะเปนจ านวนคเสมอ” จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปจากขอมลขางตนวาจรงหรอเทจ ถาเปนเทจ จงหาเหตผลมาขดแยง

ตอบ เทจ เพราะวา ( 3 ) = 9 ซง 9 ไมเปนจ านวนค

ใบงาน (ตอ)

2.1

ขอ 5 ) นกคณตศาสตรชาวเยอรมนชอ คารล ฟรดรช เกาส ไดหาผลบวกของจ านวนนบตงแต 1 ถง 100 มคาเทากบ 5,050 โดยใชวธการดงน

101

101

101

101

1+ 2 + 3 + … + 50 + 51+ … + 98 + 99 + 100

เกาส สงเกตวา จ านวน 101 มทงหมด 50 จ านวนดงนน เขาจงหาค าตอบโดยหาผลคณของ 50 101 ซงเทากบ 5,050

จงใชวธการของเกาสในตวอยางขางตนหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 +… + 300

ใบงาน (ตอ)

2.1

วธท า จากวธการของเกาสในตวอยางขางตน

หาผลบวกของ 1 + 2 + 3 +… + 300 ไดดงน

301

301

301

301

1 + 2 + 3 + … + 150 + 151 + … + 298 + 299 + 300

จากขางตนพบวา มจ านวน 301 มทงหมด 150 จ านวน

ดงนน ผลบวกของ 1 + 2 + 3 +… + 300

มคาเทากบ 150 301 ซงเทากบ 45,150

ใบงาน ขอ 5 (ตอ)

2.1ถาม-ตอบ

2.1บรรณานกรม

• คณตศาสตร เลม 1 . สสวท. กระทรวงศกษาธการ ชนมธยมศกษาปท 4 องคการคาครสภา, 2547.

• การใชเหตผล:ตรรกวทยาเชงปฏบต. ภาควชาปรชญา คณะอกษรศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย . ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย , 2541.