คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา...
TRANSCRIPT
และตดสนใจในชวตประจ าวน
สปดาหท ๒ ตรรกศาสตรเบองตนบทท ๒•ความหมายของตรรกศาสตร•การใหเหตผลเพอสนบสนนความเชอ หรอหาความจรง หรอใหขอสรป•การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)
คณตศาสตรกบการแกปญหา
2.1
สาระการเรยนร
• ความหมายของตรรกศาสตรหรอตรรกวทยา
• การใหเหตผลเพอสนบสนนความเชอ
หรอความจรงหรอใหขอสรป
• การใหเหตผลแบบอปนย
(Inductive Reasoning)
2.1วตถประสงค
• ใหรจกผลทเกดจากเหตผลอยางงาย
• ใหรจกสรปผล ขอเทจจรง และคนหาความจรง จากการสงเกตหรอการทดลอง
• ยกตวอยางในชวตประจ าวนททราบผลจากเหตซ า ๆ ได
• รจกวธการใหเหตผลซงเปนสงส าคญตอการคดและการเรยนคณตศาสตร
2.1
โครงสรางของคณตศาสตร
สรปในรปนามธรรม
การน าไปประยกตใช(Application)
แบบจ าลองคณตศาสตร(Mathematical Model)
• อนยาม (Undefined Term)• นยาม (Defined Term)• สจพจน (Axiom หรอ Postulate)
ตรรกวทยาการใหเหตผล
สรป
กฎ (Law) หรอทฤษฎบท (Theorem)
ธรรมชาต(Nature)
2.1
เพอสนบความเชอหรอเพอหาความจรงหรอขอสรปในเรองใดเรองหนงมาแตครงโบราณและตามโครงสรางคณตศาสตร
การใหเหตผลทางคณตศาสตรม 2 วธคอ• การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)
• การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)
ตรรกศาสตรเบองตน (ตรรกวทยา)
2.1
2.1 การใหเหตผลแบบอปนย
การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกตหรอการทดลองซ าหลายครงจากกรณยอย ๆ แลวน ามาคาดคะเนผล หรอ สรปผล ซงมความนาจะเปนไปไดสง ทขอสรปเปนจรง
การใหเหตผลแบบอปนย ผลสรปทไดอาจเปนจรง หรอไมเปนจรงกได
ความจรงจากสวนยอย ความจรงทเปนสวนรวมไปส
2.1ผลของขอสรป
การหาขอสรป โดยใชวธการใหเหตผลแบบอปนยนน ไมจ าเปนตองถกตองทกครง เพยงแตขอสรปทไดนนมความนาจะเปนสง ทจะถกตอง หรอ เปนจรง หรออาจกลาวไดวา การสรปผลโดยใช การใหเหตผลแบบอปนย เปนการสรปผลทเกนจากหลกฐานขอเทจจรงทมอย
ดงนน ขอสรปจะเชอถอไดมากนอยเพยงใดนนขนอยกบลกษณะของขอมล หลกฐานและขอเทจจรง
1) จ านวนขอมล2) ชนดและตวแทนขอมล3) ความซบซอนของขอมล
2.1
จ านวนขอมล
• หลกฐาน หรอขอเทจจรงทน ามาเปนขอสงเกต หรอขออางองมมากพอกบการสรปความหรอไม เชน ถาไปรบประทานอาหารทรานแหงหนงแลวเกดทองเสย
สรปวา อาหารทรานดงกลาวท าใหทองเสย การสรปจากเหตการณทเกดขนเพยงครงเดยว ยอมจะนาเชอถอไดนอยกวาไปรบประทานอาหารทรานดงกลาวบอยๆ แลวทองเสยแทบทกครง
จ านวนขอมล
2.1
ชนดและตวแทนของขอมล
หลกฐานหรอขอเทจจรงเปนตวแทนทดในการใหขอสรปหรอไม
เชน ถาอยากรวา คนไทยชอบกนขาวเจาหรอขาวเหนยวมากกวากน ถาถามจากคนทอาศยอยในภาคเหนอหรอภาคอสาน
ค าตอบทตอบวา ชอบกนขาวเหนยวอาจจะมมากกวาชอบกนขาวเจา
แตถาถามคนทอาศยอยในภาคกลางหรอภาคใต ค าตอบอาจจะเปนในลกษณะตรงขาม
2.1
ในเรองทเกยวกบจตใจและความรสก
เชน ชายดกวาหญง หรอหญงดกวาชาย เปนตน ซงความคดในเรองดงกลาว คอนขางซบซอน และขนอยกบ เหตผลสวนตวของแตละคน ซงแตกตางกน
การหาขอสรป หรอความจรงโดยใชวธการใหเหตผลอปนยนน ไมจ าเปนตองถกตองทกครง
ความซบซอนของขอมล
2.1
ตวอยางท 1
ทกเชาดวงอาทตยจะขนทางทศตะวนออก และทกเยนดวงอาทตยจะตกทางทศตะวนตก
• ใชหลกการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปไดวา
“ ดวงอาทตยขนทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตก ”
2.1
ตวอยางท 2
มะมวงทกผลในตะกราทหยบมาชมมรสเปรยว
• ใชหลกการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปไดวา
มะมวงทกผลในตะกรามรสเปรยว #
2.1
ตวอยางท 3
ก าหนดรปแบบของจ านวนดงน 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …
3.1 ) จงใชขอสงเกตจากแบบรปของจ านวนทก าหนดใหขางตนหาจ านวนนบถดจาก 11 อกสจ านวน
ตอบ จ านวนนบทถดจาก 11 อกสจ านวน คอ 13 , 15 , 17 , 19
3.2 ) จงใชวธการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปรปแบบของจ านวนทก าหนดใหขางตน ตอบ ขอสรปคอ จ านวนขางตนเปนการนบเพมทละ 2
2.1
ตวอยางท 4
จงหาจ านวน A จากรปแบบทก าหนดใหตอไปน
พรอมทงหาขอสรปของแตละขอ โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย4.1 ) 15 , 25 , 35 , 45 , A
ตอบ A =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบเพมทละ 10
4.2 ) 3, 2 , 1 , 0 , -1 , -2 , Aตอบ A =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบลดทละ 1
55
- 3
2.1
ตวอยางท 5 ก าหนดรปแบบการบวกเลขจ านวนค ดงน
1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 91 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
5.1 ) จงหาจ านวนนบถดทก าหนดใหตามรปแบบขางตน เพมอก 2 จ านวน ตอบ
5.2 ) จงใชวธการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปรปแบบของจ านวนทก าหนดใหขางตน
ตอบ
จ านวนทอยถดไป จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 จ านวนทอยถดไป จ านวนทสอง คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13 = 49
ขอสรปคอ น าจ านวนเลขคทน ามาหาผลบวก ยกก าลง 2
2.1
ตวอยางท 6 ชาวกรกโบราณใชจ านวนสามเหลยม ( Triangular Numbers )
เขยนแทนจ านวนตางๆ เชน เขยนแทนจ านวน 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 โดยใชสญลกษณดงน
6.1 ) จงเขยนจ านวนสามเหลยมทอยถดจาก 21 อก 1 จ านวน
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
2.1
ตวอยางท 6 ( ตอ)6.2 ) จงใชวธการใหเหตผลแบบอปนย อธบายวธการเขยนจ านวนสามเหลยม
โดยการแทนดวยจด วาแตละรปมความสมพนธกนอยางไร
ตอบ จ านวนจดทฐานของสามเหลยม เพมขนทละ 1 จด
2.1
ใบงานท 4
ขอ 1 ) จงหาจ านวน a จากรปแบบทก าหนดใหตอไปนพรอมทงหาขอสรปของแตละขอ โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย
1.1 ) 12 , 32 , 52 , 72 , a ตอบ =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบเพมทละ 20
1.2 ) 12 , 10 , 8 , 6 , a ตอบ =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบลดทละ 2
92
4
2.1
1.3 ) –15 , –5 , 5 , 15 , a ตอบ =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบเพมทละ 10
1.4 ) 5 , 2 , -1 , - 4 , – 7 , a ตอบ =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการนบลดทละ 3
1.5 ) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , a ตอบ =
ขอสรป คอ รปแบบทก าหนดเปนการ จ านวนนบตงแต 1 มายกก าลง 2
25
-10
36
ใบงาน (ตอ)
2.1
ขอ 2 ) ก าหนดขอมลดงตอไปน “สมในเขงน ทกผลทหยบมาชมมรสหวาน”จงใชการใหเหตผลแบบอปนยหาขอสรปจากขอมลขางตน
ตอบ ใชหลกการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปไดวา สมทกผลในเขงนมรสหวาน
ใบงาน (ตอ)
2.1
ขอ 3 ) “ผลคณของจ านวนเตมสองจ านวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตวเสมอ” จงใชการใหเหตผลแบบอปนยหาขอสรปจากขอมลขางตนวาจรงหรอเทจ ถาเปนเทจ จงหาเหตผลมาขดแยง
ตอบ เทจ เพราะวา 3 5 = 15 ซง 15 หารดวย 2 ไมลงตว
ใบงาน (ตอ)
2.1
ขอ 4 ) “ ก าลงสองของจ านวนนบใดๆ ทมคามากกวา 1 จะเปนจ านวนคเสมอ” จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาขอสรปจากขอมลขางตนวาจรงหรอเทจ ถาเปนเทจ จงหาเหตผลมาขดแยง
ตอบ เทจ เพราะวา ( 3 ) = 9 ซง 9 ไมเปนจ านวนค
ใบงาน (ตอ)
2.1
ขอ 5 ) นกคณตศาสตรชาวเยอรมนชอ คารล ฟรดรช เกาส ไดหาผลบวกของจ านวนนบตงแต 1 ถง 100 มคาเทากบ 5,050 โดยใชวธการดงน
101
101
101
101
1+ 2 + 3 + … + 50 + 51+ … + 98 + 99 + 100
เกาส สงเกตวา จ านวน 101 มทงหมด 50 จ านวนดงนน เขาจงหาค าตอบโดยหาผลคณของ 50 101 ซงเทากบ 5,050
จงใชวธการของเกาสในตวอยางขางตนหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 +… + 300
ใบงาน (ตอ)
2.1
วธท า จากวธการของเกาสในตวอยางขางตน
หาผลบวกของ 1 + 2 + 3 +… + 300 ไดดงน
301
301
301
301
1 + 2 + 3 + … + 150 + 151 + … + 298 + 299 + 300
จากขางตนพบวา มจ านวน 301 มทงหมด 150 จ านวน
ดงนน ผลบวกของ 1 + 2 + 3 +… + 300
มคาเทากบ 150 301 ซงเทากบ 45,150
ใบงาน ขอ 5 (ตอ)
2.1ถาม-ตอบ
2.1บรรณานกรม
• คณตศาสตร เลม 1 . สสวท. กระทรวงศกษาธการ ชนมธยมศกษาปท 4 องคการคาครสภา, 2547.
• การใชเหตผล:ตรรกวทยาเชงปฏบต. ภาควชาปรชญา คณะอกษรศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย . ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย , 2541.