analiza danych eksperymentalnych

Analiza danych eksperymentalnych

Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:

• błędy grube

• błędy systematyczne

• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem

o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej,

nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.

Błąd gruby

• wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki eksperymentatora, wyraźnej niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia układu pomiarowego

• objawia się istnieniem jednego wyniku znacząco odstającego od pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów

• wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj łatwo zauważalny i należy go odrzucić.

23,3 ppm; 24,5 ppm; 27,9 ppm ; 33,5 ppm; 0,02 ppm

ppm = g/g

W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować czasami skomplikowane testy statystyczne !!!!

xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )

x0 – wartość prawdziwabłąd gruby

BŁĘDY „GRUBE” ODRZUCAMY

Błędy grube

Błąd systematyczny

• błąd polegający na stałym lub zmiennym, systematycznym odchyleniu wyniku pomiaru od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej

• przesunięcie wyniku następuje zwykle w tę sama stronę

• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.

niedoskonałość przyrządów pomiarowych błędne wyskalowanie, niewyzerowanie błąd paralaksy w analityce – złe wzorce nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków skalowania (inne warunki pomiaru próbki i wzorca)

Oddziaływania systematyczne:

xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )

x0 – wartość prawdziwa

Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest mały. Błędy te są powodowane oddziaływaniami systematycznymi

Błędy (niepewności) systematyczne

Błędy przypadkowe

powstaje na skutek działania czynników losowychjest miarą rozrzutu otrzymywanych wyników wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.błędu przypadkowego w zasadzie nie da się wyeliminować a także nie da się go oszacować przed dokonaniem pomiarustaramy się tak zaprojektować i przeprowadzić pomiar, aby wartość błędu przypadkowego była jak najmniejszapo zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny wielkości błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych.

niedokładność odczytu (niedokładna ocena części działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych) fluktuacja warunków pomiaru (temperatura, ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej) obecność źródeł zakłócających; nieokreśloność mierzonej wielkości; niedoskonałość zmysłów obserwatora;

Oddziaływania przypadkowe:

xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )

x0 – wartość prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i przestrzenne wielkości nie mierzonej. Charakter losowy. Źródłem błędów przypadkowych są tzw. oddziaływania przypadkowe:

Błędy (niepewności) przypadkowe

„„Dane należy torturować tak Dane należy torturować tak długo, aż zaczną zeznawać”długo, aż zaczną zeznawać”**

* - Napotkane w sieci internetowej

WIELKOŚCI MIERZONE

W pomiarach bezpośrednich W pomiarach pośrednich

Pomiar kilku wielkości x1,x2,…xn

Obliczenie wielkości pośredniej zgodnie ze wzorem funkcyjnym:

y=f(x1,x2,…xn)Na przykład pomiar okresu drgańi długości wahadła matematycznego. Obliczenie wartości przyspieszeniaziemskiego g.

Pomiar jednej wielkości (np. pomiar masy ciała, pomiar temperatury, itd.

2

2

T

l4g

g

l2T

l, T – wielkości wejściowe, zmierzone w pomiarach bezpośrednich, mają swoje niepewności

Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych warunkach?Jak policzyć niepewność g?

Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiarwielkości l (wielkości nieskorelowane)

Zgodnie z Przewodnikiem niepewnościklasyfikujemy na dwie kategorie

w zależności od metody ich obliczania:

TYPU A TYPU B

BŁĄD NIEPEWNOŚĆ

Omyłka, uchyb, błąd*), niepewność

SYNONIMY?

* - Asystent zwraca się do studentki:

A z jakim błędem wyznaczyła Pani grubość próbki?

Studentka:

No, wie Pan! Ja nie robię błędów

Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:

Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I Pracowni Fizycznej

METODA TYPU ABłędy (niepewności) przypadkowe

Metoda szacowania niepewności, która opiera się na obliczeniach statystycznych(statystyczna analiza serii pomiarów – n 4)

Najczęściej pomiar jednokrotny

METODA TYPU BBłędy (niepewności) systematyczne

Metoda szacowania niepewności, która Wykorzystuje inne metody niż statystyczne: doświadczenie eksperymentatora porównanie z wcześniej wykonywanymi podobnymi pomiarami certyfikat producenta wykorzystywanych w pomiarach przyrządów analiza materiału wzorcowego (odniesienia)

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH

n

x

x

n

1ii

n

1i

2ix xx

1n

1S)x(u

1. Wykonujemy serię (skończoną) pomiarów2. Wielkością najbardziej prawdopodobną

jest średnia arytmetyczna :

3. Niepewność standardowa pojedynczego pomiaru u(x) (tzw. odchylenie standardowe pojedynczego

pomiaru Sx)

Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność wyniku czyli wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

1nn

xx

n

SSxu

n

1i

2i

xx

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH POŚREDNICH

)x,...x,x(fy K21

K21 x,...x,x)x(u),...x(u),x(u K21

x1, x2,…,xK – wielkości wejściowe nieskorelowane, każde określone w pomiarach bezpośrednich. Znamy: oraz niepewności standardowe średnich:

PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?

PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową wielkości y ?

(*)

K21 x,...,x,xfy

1x

2x

Kx

y

1.

Schemat przenoszenia wielkości wejściowych

2. Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością standardową (ang. combined standard uncertainty)

K

1ii

2

2

ic )x(u

x

f)y(u

)x(u 1

)x(u 2

)x(u K

)y(uc

Schemat przenoszenia niepewności wielkości wejściowych

Metoda szacowania niepewności wykorzystująca inne metody niż statystyczne: wcześniejsze doświadczenie eksperymentatora specyfikacja producenta odnośnie używanegow pomiarach przyrządu (klasa przyrządu) z kalibracji (wcześniej wykonanej) badania na materiale odniesienia (chemia analityczna)

Najczęściej jeden lub dwa pomiary

METODA TYPU B

100

pomiaru zakresKxk

Parametry metrologiczne aparatury:Klasa przyrządu K (dana przez producenta)Niepewność pomiaru wynikająca z klasy przyrządu kx:

Dla woltomierza klasy 0,2 na zakresie 50 Vpopełniamy „błąd” kx = 0,1 V

Rozdzielczość przyrządu :

Dla pomiarów długości:1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla suwmiarki;0,01 mm dla śruby mikrometrycznej

Dla pomiarów temperatury:0,1 °C dla termometru lekarskiego;10 °C dla termometru „zaokiennego”

Dla mierników wychyłowych – „odstęp” pomiędzy kreskami (ew. połowa)

xxx kdg

Rozdzielczość przyrządu:

Dla mierników analogowych - zmiana ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 0,01 V)Niepewność wynikająca z rozdzielczości aparatury d

Maksymalna (graniczna) niepewnośćpomiaru szacowana metodą typu B wynosi:

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B W POMIARACH POŚREDNICH

x1

y

x2

xK

K21 x,...,x,xfy

x1, x2, …,xK – wielkości pomiarów jednokrotnych

Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru g(y)może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej

gx1

gx2

gxK

g(y)ig

K

1i ig x

x

fy

UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do zawyżonych wyników niepewności (zwłaszcza dla K> 3)

A w jaki sposób obliczyć niepewność wielkości, która uzależniona jest od oddziaływań systematycznych iprzypadkowych ?

2B

2Ac uu)x(u Standardowa niepewność

całkowita

PAMIĘTAJ !!! Do obliczania wielkości pośrednich i niepewności używaj wielkości niezaokrąglonych

Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci: XR = XM ± ΔXgdzie: XR - wartość rzeczywista wielkości mierzonej,

XM - wartość uzyskana w wyniku pomiaru,

ΔX - niepewność lub błąd pomiaru.  Powyższy zapis oznacza, że:- najlepszym przybliżeniem wartości mierzonej jest według eksperymentatora liczba XM ;

- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana wartość znajduje się gdzieś pomiędzy Xm - ΔX i Xm + ΔX.

Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników II

Błąd pomiaru ΔX jest wielkością oszacowaną. Nie ma więc sensu podawać wszystkich cyfr, które otrzymujemy z obliczeń. Obliczone wartości Xm i ΔX podajemy zaokrąglone.

Oznacza to, że przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.  Cyframi znaczącymi danej liczby różnej od zera nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer. Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, jeśli są one wynikiem obliczeń, a nie zaokrągleń. Oznacza to, że pierwsza liczba znacząca musi być różna od zera, natomiast druga, trzecia i dalsze mogą być zerami.

Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników III

Przy zaokrąglaniu wyniku pomiaru stosowane są powszechnie przyjęte zasady zaokrągleń : liczbę kończącą się cyframi 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5 - 9 w górę .

Oszacowane błędy zaokrąglamy zawsze w górę, ponieważ w żadnym przypadku nie wolno pomniejszać błędów. Zawsze lepiej podać zawyżoną wartość błędu niż go niedoszacować .

Obliczenia wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr, niż chcemy podać wynik. Zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu obliczeń.Błędy pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej (wyjątek: 1, 2). Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru.

DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI KOŃCOWEBŁĘDY I WYNIKI KOŃCOWE::

PRZYKŁAD:PRZYKŁAD:

Pewien eksperymentator wykonał kilkaset Pewien eksperymentator wykonał kilkaset pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:

100,543100,543667877872234134111 5,800 5,8002234134177894894443 3 mm

rozmiar atomurozmiar atomurozmiar jądrarozmiar jądra

rozmiar kwarkarozmiar kwarka

Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc zlewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.

ZAPAMIĘTAJ POJĘCIE: CYFRA ZNACZĄCA!

0,12501 - 5 cyfr znaczących

0,012501 - 5 cyfr znaczących

0,0125010 - 6 cyfr znaczących

PRZEPIS „KUCHENNY” ZAOKRĄGLANIA :

1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności

ZAWSZE W GÓRĘ DO JEDNEGO LUB DWÓCH MIEJSC ZNACZĄCYCH

Do jednego miejsca znaczącego, gdyna skutek zaokrąglenia błąd ten nie

zwiększy się nie więcej niż o 10%

0,12501 może być tylko 0,2 lub 0,13

Którą wybieramy?

Sprawdzamy:

(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)

Zatem niepewność = 0,13

1. Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np. 123,37602

0,13

2. Patrzymy na cyfrę:

3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy

według następujących zasad: Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół

tzn. gdyby wynik był 123,37 489 to dostaniemy

123,37 0,13

Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy wgórę tzn. dla wyniku 123,37 602 zostanie:

123,38 0,13

Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, apo niej następują jakiekolwiek cyfry różne odzera

W sytuacji np. wyniku 123,3750000001

lub 123,3753210023

zaokrąglamy do 123,38 0,13

ZAPAMIĘTAJ !ZAPAMIĘTAJ !

PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:

WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ SAMĄ ILOŚĆ MIEJSC SAMĄ ILOŚĆ MIEJSC DZIESIĘTNYCH !DZIESIĘTNYCH !

NIE !!!

R = 123, 35602 0,12501

TAK !!!!

R = 123,36 0,13

PRAWIDŁOWO: 36,35 0,04 0C

2,5 0,4 kg

3,7110-2 0,02 10-2

m

NIEPRAWIDŁOWO: 36,35 0,04

2,51 0,4 kg

3,7110-2 0,023 10-2

m

12,34567 0,22643 Bq

PRECYZJA PRECYZJA

A DOKŁADNOŚĆ ?A DOKŁADNOŚĆ ?

STRZELAMY DO TARCZY

Nieprecyzyjnie i niedokładnie Precyzyjnie ale niedokładnie

Nieprecyzyjnie ale dokładnie Precyzyjnie i dokładnie