analiza danych eksperymentalnych
DESCRIPTION
Analiza danych eksperymentalnych. Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej, nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter. Przyczyny niepewności wyników eksperymentu: błędy grube błędy systematyczne - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Analiza danych eksperymentalnych
Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:
• błędy grube
• błędy systematyczne
• błędy przypadkowe
Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem
o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej,
nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.
Błąd gruby
• wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki eksperymentatora, wyraźnej niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia układu pomiarowego
• objawia się istnieniem jednego wyniku znacząco odstającego od pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów
• wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj łatwo zauważalny i należy go odrzucić.
23,3 ppm; 24,5 ppm; 27,9 ppm ; 33,5 ppm; 0,02 ppm
ppm = g/g
W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować czasami skomplikowane testy statystyczne !!!!
xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )
x0 – wartość prawdziwabłąd gruby
BŁĘDY „GRUBE” ODRZUCAMY
Błędy grube
Błąd systematyczny
• błąd polegający na stałym lub zmiennym, systematycznym odchyleniu wyniku pomiaru od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej
• przesunięcie wyniku następuje zwykle w tę sama stronę
• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.
niedoskonałość przyrządów pomiarowych błędne wyskalowanie, niewyzerowanie błąd paralaksy w analityce – złe wzorce nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków skalowania (inne warunki pomiaru próbki i wzorca)
Oddziaływania systematyczne:
xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )
x0 – wartość prawdziwa
Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest mały. Błędy te są powodowane oddziaływaniami systematycznymi
Błędy (niepewności) systematyczne
Błędy przypadkowe
powstaje na skutek działania czynników losowychjest miarą rozrzutu otrzymywanych wyników wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.błędu przypadkowego w zasadzie nie da się wyeliminować a także nie da się go oszacować przed dokonaniem pomiarustaramy się tak zaprojektować i przeprowadzić pomiar, aby wartość błędu przypadkowego była jak najmniejszapo zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny wielkości błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych.
niedokładność odczytu (niedokładna ocena części działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych) fluktuacja warunków pomiaru (temperatura, ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej) obecność źródeł zakłócających; nieokreśloność mierzonej wielkości; niedoskonałość zmysłów obserwatora;
Oddziaływania przypadkowe:
xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )
x0 – wartość prawdziwa
Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i przestrzenne wielkości nie mierzonej. Charakter losowy. Źródłem błędów przypadkowych są tzw. oddziaływania przypadkowe:
Błędy (niepewności) przypadkowe
„„Dane należy torturować tak Dane należy torturować tak długo, aż zaczną zeznawać”długo, aż zaczną zeznawać”**
* - Napotkane w sieci internetowej
WIELKOŚCI MIERZONE
W pomiarach bezpośrednich W pomiarach pośrednich
Pomiar kilku wielkości x1,x2,…xn
Obliczenie wielkości pośredniej zgodnie ze wzorem funkcyjnym:
y=f(x1,x2,…xn)Na przykład pomiar okresu drgańi długości wahadła matematycznego. Obliczenie wartości przyspieszeniaziemskiego g.
Pomiar jednej wielkości (np. pomiar masy ciała, pomiar temperatury, itd.
2
2
T
l4g
g
l2T
l, T – wielkości wejściowe, zmierzone w pomiarach bezpośrednich, mają swoje niepewności
Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych warunkach?Jak policzyć niepewność g?
Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiarwielkości l (wielkości nieskorelowane)
Zgodnie z Przewodnikiem niepewnościklasyfikujemy na dwie kategorie
w zależności od metody ich obliczania:
TYPU A TYPU B
BŁĄD NIEPEWNOŚĆ
Omyłka, uchyb, błąd*), niepewność
SYNONIMY?
* - Asystent zwraca się do studentki:
A z jakim błędem wyznaczyła Pani grubość próbki?
Studentka:
No, wie Pan! Ja nie robię błędów
Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:
Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I Pracowni Fizycznej
METODA TYPU ABłędy (niepewności) przypadkowe
Metoda szacowania niepewności, która opiera się na obliczeniach statystycznych(statystyczna analiza serii pomiarów – n 4)
Najczęściej pomiar jednokrotny
METODA TYPU BBłędy (niepewności) systematyczne
Metoda szacowania niepewności, która Wykorzystuje inne metody niż statystyczne: doświadczenie eksperymentatora porównanie z wcześniej wykonywanymi podobnymi pomiarami certyfikat producenta wykorzystywanych w pomiarach przyrządów analiza materiału wzorcowego (odniesienia)
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
n
x
x
n
1ii
n
1i
2ix xx
1n
1S)x(u
1. Wykonujemy serię (skończoną) pomiarów2. Wielkością najbardziej prawdopodobną
jest średnia arytmetyczna :
3. Niepewność standardowa pojedynczego pomiaru u(x) (tzw. odchylenie standardowe pojedynczego
pomiaru Sx)
Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność wyniku czyli wartości średniej
Niepewność standardowa średniej:
1nn
xx
n
SSxu
n
1i
2i
xx
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH POŚREDNICH
)x,...x,x(fy K21
K21 x,...x,x)x(u),...x(u),x(u K21
x1, x2,…,xK – wielkości wejściowe nieskorelowane, każde określone w pomiarach bezpośrednich. Znamy: oraz niepewności standardowe średnich:
PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?
PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową wielkości y ?
(*)
K21 x,...,x,xfy
1x
2x
Kx
y
1.
Schemat przenoszenia wielkości wejściowych
2. Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością standardową (ang. combined standard uncertainty)
K
1ii
2
2
ic )x(u
x
f)y(u
)x(u 1
)x(u 2
)x(u K
)y(uc
Schemat przenoszenia niepewności wielkości wejściowych
Metoda szacowania niepewności wykorzystująca inne metody niż statystyczne: wcześniejsze doświadczenie eksperymentatora specyfikacja producenta odnośnie używanegow pomiarach przyrządu (klasa przyrządu) z kalibracji (wcześniej wykonanej) badania na materiale odniesienia (chemia analityczna)
Najczęściej jeden lub dwa pomiary
METODA TYPU B
100
pomiaru zakresKxk
Parametry metrologiczne aparatury:Klasa przyrządu K (dana przez producenta)Niepewność pomiaru wynikająca z klasy przyrządu kx:
Dla woltomierza klasy 0,2 na zakresie 50 Vpopełniamy „błąd” kx = 0,1 V
Rozdzielczość przyrządu :
Dla pomiarów długości:1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla suwmiarki;0,01 mm dla śruby mikrometrycznej
Dla pomiarów temperatury:0,1 °C dla termometru lekarskiego;10 °C dla termometru „zaokiennego”
Dla mierników wychyłowych – „odstęp” pomiędzy kreskami (ew. połowa)
xxx kdg
Rozdzielczość przyrządu:
Dla mierników analogowych - zmiana ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 0,01 V)Niepewność wynikająca z rozdzielczości aparatury d
Maksymalna (graniczna) niepewnośćpomiaru szacowana metodą typu B wynosi:
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B W POMIARACH POŚREDNICH
x1
y
x2
xK
K21 x,...,x,xfy
x1, x2, …,xK – wielkości pomiarów jednokrotnych
Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru g(y)może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej
gx1
gx2
gxK
g(y)ig
K
1i ig x
x
fy
UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do zawyżonych wyników niepewności (zwłaszcza dla K> 3)
A w jaki sposób obliczyć niepewność wielkości, która uzależniona jest od oddziaływań systematycznych iprzypadkowych ?
2B
2Ac uu)x(u Standardowa niepewność
całkowita
PAMIĘTAJ !!! Do obliczania wielkości pośrednich i niepewności używaj wielkości niezaokrąglonych
Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników
W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci: XR = XM ± ΔXgdzie: XR - wartość rzeczywista wielkości mierzonej,
XM - wartość uzyskana w wyniku pomiaru,
ΔX - niepewność lub błąd pomiaru. Powyższy zapis oznacza, że:- najlepszym przybliżeniem wartości mierzonej jest według eksperymentatora liczba XM ;
- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana wartość znajduje się gdzieś pomiędzy Xm - ΔX i Xm + ΔX.
Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników II
Błąd pomiaru ΔX jest wielkością oszacowaną. Nie ma więc sensu podawać wszystkich cyfr, które otrzymujemy z obliczeń. Obliczone wartości Xm i ΔX podajemy zaokrąglone.
Oznacza to, że przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń. Cyframi znaczącymi danej liczby różnej od zera nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer. Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, jeśli są one wynikiem obliczeń, a nie zaokrągleń. Oznacza to, że pierwsza liczba znacząca musi być różna od zera, natomiast druga, trzecia i dalsze mogą być zerami.
Przedstawianie błędów pomiarowych i zaokrąglanie wyników III
Przy zaokrąglaniu wyniku pomiaru stosowane są powszechnie przyjęte zasady zaokrągleń : liczbę kończącą się cyframi 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5 - 9 w górę .
Oszacowane błędy zaokrąglamy zawsze w górę, ponieważ w żadnym przypadku nie wolno pomniejszać błędów. Zawsze lepiej podać zawyżoną wartość błędu niż go niedoszacować .
Obliczenia wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr, niż chcemy podać wynik. Zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu obliczeń.Błędy pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej (wyjątek: 1, 2). Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru.
DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ DLACZEGO MUSIMY ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI KOŃCOWEBŁĘDY I WYNIKI KOŃCOWE::
PRZYKŁAD:PRZYKŁAD:
Pewien eksperymentator wykonał kilkaset Pewien eksperymentator wykonał kilkaset pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:
100,543100,543667877872234134111 5,800 5,8002234134177894894443 3 mm
rozmiar atomurozmiar atomurozmiar jądrarozmiar jądra
rozmiar kwarkarozmiar kwarka
Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc zlewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.
ZAPAMIĘTAJ POJĘCIE: CYFRA ZNACZĄCA!
0,12501 - 5 cyfr znaczących
0,012501 - 5 cyfr znaczących
0,0125010 - 6 cyfr znaczących
PRZEPIS „KUCHENNY” ZAOKRĄGLANIA :
1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności
ZAWSZE W GÓRĘ DO JEDNEGO LUB DWÓCH MIEJSC ZNACZĄCYCH
Do jednego miejsca znaczącego, gdyna skutek zaokrąglenia błąd ten nie
zwiększy się nie więcej niż o 10%
0,12501 może być tylko 0,2 lub 0,13
Którą wybieramy?
Sprawdzamy:
(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)
Zatem niepewność = 0,13
1. Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np. 123,37602
0,13
2. Patrzymy na cyfrę:
3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy
według następujących zasad: Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
tzn. gdyby wynik był 123,37 489 to dostaniemy
123,37 0,13
Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy wgórę tzn. dla wyniku 123,37 602 zostanie:
123,38 0,13
Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, apo niej następują jakiekolwiek cyfry różne odzera
W sytuacji np. wyniku 123,3750000001
lub 123,3753210023
zaokrąglamy do 123,38 0,13
ZAPAMIĘTAJ !ZAPAMIĘTAJ !
PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:
WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ SAMĄ ILOŚĆ MIEJSC SAMĄ ILOŚĆ MIEJSC DZIESIĘTNYCH !DZIESIĘTNYCH !
NIE !!!
R = 123, 35602 0,12501
TAK !!!!
R = 123,36 0,13
PRAWIDŁOWO: 36,35 0,04 0C
2,5 0,4 kg
3,7110-2 0,02 10-2
m
NIEPRAWIDŁOWO: 36,35 0,04
2,51 0,4 kg
3,7110-2 0,023 10-2
m
12,34567 0,22643 Bq
PRECYZJA PRECYZJA
A DOKŁADNOŚĆ ?A DOKŁADNOŚĆ ?
STRZELAMY DO TARCZY
Nieprecyzyjnie i niedokładnie Precyzyjnie ale niedokładnie
Nieprecyzyjnie ale dokładnie Precyzyjnie i dokładnie