(anÁlise de circuitos elÉtricos: mÉtodos das malhas)
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS ITAJAÍ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROELETRÔNICA
wilson.valente@ifsc.edu.br
Prof. Wilson Valente Junior, EE. Dr.
3ª Fase (80 horas)
Circuitos Elétricos I (ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS:
MÉTODOS DAS MALHAS)
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS ITAJAÍ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROELETRÔNICA
wilson.valente@ifsc.edu.br
Introdução aos Métodos de Análise
• Hayt (Pag. 77)
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Leis de Kirchhoff.
• Seus trabalhos são sintetizados pelo
enunciado de duas leis, denominadas
leis de Kirchhoff em sua homenagem:
– Lei das Correntes: A soma algébrica das
correntes que entram em um nó é igual a
soma das correntes que dele saem.
– Lei das Tensões: A soma algébrica das
tensões em um circuito fechado é
sempre igual a zero;
LKT LKC
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Introdução aos Métodos de Análise
• Os métodos de análise de circuitos baseiam-se nas Leis de Kirchhoff, e são sistemáticos para minimizar os problemas mencionados anteriormente. Dentre esses, destacam-se: – Método dos Laços Fundamentais (LKT);
– Método das Malhas (LKT);
– Método dos Cortes Fundamentais (LKC);
– Método dos Nós (LKC);
• Todos estes métodos são baseados na resolução de um sistema de equações lineares simultâneas que evitam a resolução sucessiva da Lei de Ohm.
• A Lei de Ohm fica escrita sob a forma de um sistema equações lineares, ou como um sistema matricial; – Desta formar ela pode ser resolvida utilizando as diversas técnicas de
resolução como o método da substituição ou o método de Cramer
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Introdução aos Métodos de Análise • A escolha entre qual o método mais promissor para análise de
determinado circuito é baseada na teoria de grafos e algumas
considerações que serão vistas no decorrer do curso.
Matriz dos Laços
Fundamentais
Ramos x Ramos
de Ligação
𝑙 = 4
Matriz das Malhas
Ramos x Malhas
𝑙 = 𝑚 = 4
Matriz Incidência
Ramos x Nós
𝑛𝑡 = 6
Matriz dos Cortes
Fundamentais
Ramos x Ramos
de Árvore
𝑛 = 𝑛𝑡 − 1 = 5
Fonte: UFPA (vgmacedo)
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Métodos de Análise de Circuitos
• Um corte é uma linha de separação no grafo do circuito,
traçada de tal modo a gerar dois subgrafos desconexos.
• Um corte fundamental é um corte formado por 1 e
somente 1 ramo de árvore e 1 ou mais ramos de ligação
• LKC → A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que dele saem.
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Método dos Cortes Fundamentais
CF1
CF2
Árvore
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Métodos de Análise de Circuitos
• É um caso particular do método dos cortes fundamentais
• Escreve-se em termos de potenciais (tensões) nodais, os quais são tomados como desconhecidos para um conjunto de equações lineares simultâneas.
• LKC → A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que dele saem.
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Método dos Nós
Nó A
Nó B
Nó C
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Métodos de Análise de Circuitos
• Em um circuito elétrico há “np” nós principais, um deles é
escolhido como nó de referência, e a ele é atribuído
arbitrariamente um potencial zero Volt.
• Aos demais nós são atribuídos diferentes potenciais
simbólicos (tensões nodais são as variáveis do circuito).
8
Método dos Nós
Nó A
Nó B
𝑛 = 𝑛𝑝 − 1
Análise da ordem “n”
a partir de “np”
Nós Totais (nt):
A,B, e C
Nós Principais(np):
A e B
Nó C
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Métodos de Análise de Circuitos
Procedimento:
• 1. Selecione o nó principal que será o nó de referência, e
atribua a cada um dos nós restantes seus potenciais
próprios em relação ao nó de referência;
• 2. Atribua as correntes em todos os ramos do circuito (a
escolha da direção é arbitrária);
• 3. Aplique a LKC escrevendo uma equação de corrente para
cada um dos nós principais (exceto para o nó de referência);
• 4. Expresse as correntes nos ramos em termos de
potenciais dos nós (I = V/R);
• 5. Resolva as equações lineares simultâneas e obtenha as
correntes de malhas.
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Método dos Nós COPIAR NO CADERNO
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Métodos de Análise de Circuitos
Procedimento: (Observações)
• Para existir corrente é necessário uma diferença de
potencial (tensão) entre os terminais de um resistor;
• Por convenção atribui-se que a corrente vai do sentido
positivo para o negativo, o que indica que a corrente flui
do potencial mais alto para um potencial mais baixo.
(analogia a lei da gravidade).
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Método dos Nós COPIAR NO CADERNO
Sentido da Corrente:
+ - + -
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Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
• Exemplo 1: Para o circuito abaixo calcule a corrente I3 e a
potência dissipada nos resistores R1, R2, R3 e pela Fonte
de Tensão. Dados: R1 = 22 Ω, R2= 80 Ω e R3 = 120 Ω.
Nó A
Nó B
Terra
IR1 IR3
IR2
Determinando VA é possível encontrar
qualquer corrente do sistema.
Nó B: Referência (Terra)
200 0 0
1 2 3
A A AV V V
R R R
1 2 3R R RI I I LCK no Nó A:
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Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
• Exemplo 1: Para o circuito abaixo calcule a corrente I3 e a
potência dissipada nos resistores R1, R2, R3 e pela Fonte
de Tensão. Dados: R1 = 22 Ω, R2= 80 Ω e R3 = 120 Ω.
Nó A
Nó B
Terra
IR1 IR3
IR2
Nó B: Referência (Terra)
200
22 80 120
A A AV V V
200
22 80 120 22
A A AV V V
137,14AV V
1 2 3R R RI I I LCK no Nó A:
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Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
• Exemplo 1: Para o circuito abaixo calcule a corrente I3 e a
potência dissipada nos resistores R1, R2, R3 e pela Fonte
de Tensão. Dados: R1 = 22 Ω, R2= 80 Ω e R3 = 120 Ω.
Nó A
Nó B
Terra
IR1 IR3
IR2
137,14AV V
1
200 200 137,14
1 22
AR
VI
R
1 2,86RI A
2
137,141,71
2 80
AR
VI A
R
3
137,141,14
3 120
AR
VI A
R
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• Exemplo 2: Para o circuito abaixo aplique o Método dos
Nós para encontrar as correntes correntes nos resistores
IR1, IR2 e IR3.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
𝑙 = 𝑏 − 𝑛𝑡 + 1
𝑏 = 5; 𝑛𝑡 = 4 n' = 1 < l = 2
𝑛′ = 𝑛𝑝 − 1
R1
R2
R3
Nó A
Nó B
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• Exemplo 3: Analise o circuito de amplificação abaixo e
encontre a tensão de saída Vout em função de Vin e dos
resistores R1e R2.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
Nó X
IR1
IR2
IA
Dados:
• A tensão no nó X é
igual a Vin (Vx = Vin);
• A corrente IA que entra
no Ampop é nula
(IA = 0);
AMPOP
•Se R2 = 2 kΩ qual deve ser o valor de Rf para que o
ganho do amplificador (Vout/Vin) seja de 10 vezes?
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Método dos Nós
Métodos de Análise de Circuitos
• O procedimento
para resolução de
circuitos com fontes
dependentes pode
requerer um passo
adicional, além das
“Np - 1” equações
de nós.
• Ver passo 5 (Hayt)
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• Exemplo 4.2 (Hayt): Circuitos sem fontes dependentes
• Determine as tensões nodais do circuito da figura abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
𝑏 = 8; 𝑛𝑡 = 4 n' = 3 < l = 5
LKC Nó 1: −3 + −8 = 𝐼4 + 𝐼3
−3 − 8 = 𝑣1 − 𝑣3
4+
𝑣1 − 𝑣2
3
LKC Nó 2: 𝐼3 = −3 + 𝐼1 + 𝐼7 𝑣1 − 𝑣2
3= −3 +
𝑣2 − 0
1+
𝑣2 − 𝑣3
7
LKC Nó 3: 𝐼4 + 𝐼7 + 𝐼5 = −25 𝑣1 − 𝑣3
4+
𝑣2 − 𝑣3
7+
0 − 𝑣3
5= −25
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• Exemplo 4.2 (Hayt): Circuitos sem fontes dependentes
• Determine as tensões nodais do circuito da figura abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
𝑏 = 8; 𝑛𝑡 = 4 n' = 3 < l = 5 𝑣1 = 5,41𝑉 𝑣2 = 7,74𝑉 𝑣3 = 46,32𝐴
Solução:
Sistema
3X3
[R]-1[V]=[I] [G]·[V]=[I]
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• Exemplo 4.4 (Hayt): Com Fonte Controlada por Tensão
• Determine as tensões nodais do circuito da figura abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
LKC Nó 1: 15 = 𝑖𝑎 + 𝑖1 LKC Nó 2: 3𝑣𝑥 + 𝑖𝑎 = 𝑖3
𝑣1 = 7,14𝑉 𝑣𝑥 = −4,2𝑉
𝑣1 − 𝑣𝑥 + 0,5𝑣1 = 15
3𝑣𝑥 + 𝑣1 − 𝑣𝑥 − 0,333𝑣1 = 0 Sistema
2x2
Solução:
Conclusão: Como a variável de controle é uma
tensão nodal ( 𝑣𝑥 ) não é necessário equação
adicional para analisar o circuito
𝑏 = 5; 𝑛𝑡 = 3 n' = 2 < l = 3
𝑖𝑎 15 =
𝑣1 − 𝑣𝑥
1+
𝑣1
2 3𝑣𝑥 +
𝑣1 − 𝑣𝑥
1=
𝑣𝑥
3
Definindo o Nó inferior como referência:
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• Exemplo 4.3 (Hayt): Com Fonte Controlada por Corrente
• Determine as tensões nodais do circuito da figura abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
LKC Nó 1: 15 = 𝑖𝑎 + 𝑖1 LKC Nó 2: 3𝑖1 + 𝑖𝑎 = 𝑖𝑥
Definindo o Nó inferior como referência:
𝑣1 = −40𝑉 𝑣2 = −75𝑉
1 𝑣1 − 𝑣2 + 0,5𝑣1 = 15
3𝑖1 + 1(𝑣1 − 𝑣2) − 0,33𝑣2 = 0
Sistema
3x3
Solução:
Conclusão: Como a variável de controle é uma
corrente (𝑖1 ) foi necessário adicionar a equação de
vínculo para a fonte controlada
𝑏 = 5; 𝑛𝑡 = 3 n' = 2 < l = 3
V1
V2
𝑖𝑎 15 =
𝑣1 − 𝑣2
1+
𝑣1
2 3𝑖1 = −
𝑣1 − 𝑣2
1+
𝑣2
3
? 𝑓(𝑣1, 𝑣2, 𝑖1)
Eq. vínculo: 𝑖1 = 𝑣1/2
𝑖1 = −20𝐴
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• Exemplo Modificado 8.16 (Boylestad): Escreva as
equações e encontre as tensões nodais para os circuitos.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n' = 1 > l = 2
V1
LKC Nó 1: 𝑖14 = 𝑖2 + 𝑖7
Sistema
1x1
4 − 𝑣1
14=
𝑣1
2+
𝑣1 − 9
7
4 − 𝑣1 = 7𝑣1 + 2𝑣1 − 18
𝑣1 = 2, 2𝑉
Definindo o Nó inferior como referência:
Solução:
10𝑣1 = 22
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• Exemplo Modificado 8.17 (Boylestad): Escreva as
equações e encontre as tensões nodais para os circuitos.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n' = 2 > l = 3
V2 V1
LKC Nó 1: 𝑖1 = 𝑖1′ + 𝑖2
LKC Nó 2: 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖4
2 − 𝑣1
1=
(𝑣1−4) − 0
1+
𝑣1 − 𝑣2
2
𝑣1 − 𝑣2
2=
𝑣2
3+
(𝑣2 + 2) − 0
4
Definindo o Nó inferior como referência: 2 − 𝑣1 = 𝑣1 − 4 + 0,5𝑣1 − 0,5𝑣2
2 − 𝑣1
1=
(𝑣1−4) − 0
1+
𝑣1 − 𝑣2
2
−2,5𝑣1 + 0,5𝑣2 = −6
2𝑣1 − 2𝑣2 = 1,33𝑣2 + (𝑣2 + 2)
2𝑣1 − 4,33𝑣2 = 2
𝑣1 − 𝑣2
2=
𝑣2
3+
(𝑣2 + 2) − 0
4
Sistema
2x2
−2,5𝑣1 + 0,5𝑣2 = −6
2𝑣1 − 4,33𝑣2 = 2
𝑣1 = 2,54 𝑉
𝑣2 = 0,71 𝑉
𝑖1 = −0,54 𝑉
𝑖2 = 0,91 𝑉
𝑖3 = 0,68 𝑉
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• Exemplo 8.23 e 8.25 (Boylestad): Escreva as equações e
encontre as tensões nodais para os circuitos abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n' = 2 > l = 3 n' = 3 = l = 3
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• Exemplo 8.23 e 8.25 (Boylestad): Escreva as equações e
encontre as tensões nodais para os circuitos abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n' = 2 > l = 3
2 +𝑣1
6+
𝑣1 − 𝑣2
3= 0
Definindo o Nó inferior como referência:
𝑣1 − 𝑣2
3+ 3 =
𝑣2
4
Sistema
2x2
3𝑣1 − 2𝑣2 = −12
4𝑣1 − 7𝑣2 = −36
𝑣1 = −0,92 𝑉
𝑣2 = 4,62 𝑉
LKC Nó 1: 𝐼1 + 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅3 = 0
LKC Nó 2: 𝐼𝑅3 + 𝐼2 = 𝐼𝑅2
4𝑣1 − 4𝑣2 − 3𝑣2 = −36 3𝑣1 − 2𝑣2 = −12
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• Exemplo 8.23 e 8.25 (Boylestad): Escreva as equações e
encontre as tensões nodais para os circuitos abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
Definindo o Nó inferior como referência:
𝑣1 = 3,67𝑉
𝑣2 = 7,16 𝑉
𝐼1 𝑅1
𝑅2 𝑅3
𝑅4
𝑅5 𝑣1
2+
𝑣1 − 𝑣2
2+
𝑣1 − 𝑣3
10= 0
LKC Nó 1: 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 + 𝐼𝑅5 = 0 1:
𝑣1 − 𝑣2
2+ 3 =
𝑣2 − 𝑣3
2
LKC Nó 2: 𝐼𝑅2 + 𝐼1 = 𝐼𝑅3 2:
LKC Nó 3: 𝐼𝑅5 + 𝐼𝑅3 = 𝐼𝑅4
𝑣1 − 𝑣3
10+
𝑣2 − 𝑣3
2=
𝑣3
4 3:
Sistema
3x3
1,1𝑣1 − 0,5𝑣2 − 0,1𝑣3 = 0
0,5𝑣1 − 𝑣2+ 0,5𝑣3= −3
0,1𝑣1 + 0,5𝑣2 − 0,85𝑣3 = 0
n' = 3 = l = 3
𝑣3 = 4,64 𝑉
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[G]·[V]=[I]
NNNNNN
N
N
i
i
i
v
v
v
GGG
GGG
GGG
2
1
2
1
21
22221
11211
Discussão Temática:
Métodos de Análise de Circuitos (Análise Nodal por Inspeção)
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Análise NODAL por Inspeção:
• Em circuitos com apenas fontes
independentes de corrente é
possível obter as equações
nodais por inspeção visual.
• É uma maneira direta e
extremamente rápida para a
construção da matriz de
resolução.
• Utiliza a matriz de condutância
[G], onde G = 1/R.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
Sistema Matricial:
[G]·[V]=[I]
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DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROELETRÔNICA
Análise NODAL por Inspeção:
• Exige que o circuito possua apenas
fontes independentes de corrente.
• Para fontes de tensão, pode-se
aplicar o teorema da transformação
de fontes (baseado na lei de ohm).
• Cada termo diagonal principal da
matriz de condutância é a soma
das condutâncias conectadas ao
nó indicado pelo índice de matriz
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
Sistema Matricial:
[G]·[V]=[I]
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DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROELETRÔNICA
NNNNNN
N
N
i
i
i
v
v
v
GGG
GGG
GGG
2
1
2
1
21
22221
11211
[G]·[V]=[I]
Análise NODAL por Inspeção:
• Gkk: Soma das condutâncias conectadas ao nó k (diagonal principal)
• Gjk: Os termos fora da diagonal, Gjk são o negativo da soma de todas
as condutâncias diretamente conectadas entre os nós J e K com j ≠ k.
Vk: É a tensão desconhecida do nó K.
• Ik: A somatória das fontes de corrente independentes conectadas
diretamente ao nó K, considerando como positiva as correntes que
entram no nó.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
Sistema Matricial:
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• Exemplo 8.23 (Boylestad): Escreva as equações e
encontre as tensões nodais para os circuitos abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n' = 2 > l = 3 3𝑣1 − 2𝑣2 = −12
4𝑣1 − 7𝑣2 = −36
𝑣2 = 4,62 𝑉
Resolução NODAL por Inspeção:
Nó 1:
Nó 2:
𝑣1 = −0,92 𝑉
Sistema
2x2
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• Exemplo 8.25 (Boylestad): Escreva as equações e
encontre as tensões nodais para os circuitos abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
Definindo o Nó inferior como referência:
𝐼1
𝑣1
2+
𝑣1 − 𝑣2
2+
𝑣1 − 𝑣3
10= 0
LKC Nó 1: 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 + 𝐼𝑅5 = 0 1:
𝑣1 − 𝑣2
2+ 3 =
𝑣2 − 𝑣3
2
LKC Nó 2: 𝐼𝑅2 + 𝐼1 = 𝐼𝑅3 2:
LKC Nó 3: 𝐼𝑅5 + 𝐼𝑅3 = 𝐼𝑅4
𝑣1 − 𝑣3
10+
𝑣2 − 𝑣3
2=
𝑣3
4 3:
n' = 3 = l = 3
Resolução NODAL por Inspeção:
Nó 1:
Nó 2:
Nó 3:
Sistema
3x3
1,1𝑣1 − 0,5𝑣2 − 0,1𝑣3 = 0
−0,5𝑣1 +𝑣2 − 0,5𝑣3= 3
−0,1𝑣1 − 0,5𝑣2 + 0,85𝑣3 = 0
𝑣1 = 3,67𝑉
𝑣2 = 7,16 𝑉
𝑣3 = 4,64 𝑉
Sistema
3x3
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• Exemplo 3.8 (Sadiku): Por inspeção, encontre as tensões
nodais para o circuito da figura abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n = 4 < l = 7
Resolução NODAL por Inspeção:
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DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROELETRÔNICA
• Exemplo 3.8 (Sadiku): Por inspeção, encontre as tensões
nodais para o circuito da figura abaixo.
Métodos de Análise de Circuitos
Método dos Nós
n = 4 < l = 7
[G]·[V]=[I]
Resolução NODAL por Inspeção:
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4ª Lista de Exercícios
• Resolver a 4ª Lista de Exercícios (Nível Básico);
Análise de Correntes
Método das Malhas
Método dos Nós
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Próxima Aula
• Métodos de Análise e Leis de Kirchhoff
– Método das Malhas
– Método dos Nós
36
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Referências
1. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 10ª
ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
2. SADIKU, M. N. O.; ALEXANDER, C. K. Fundamentos de
circuitos elétricos. P. Alegre: Bookman, 2003.
3. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S.A. Circuitos elétricos. 8ª ed.
São Paulo: Pearson, 2009.
4. HAYT, W.H, Análise de Circuitos Em Engenharia:
Mcgraw-Hill, 2014.
5. DORF, R.C.; SVOBODA, J.A. Introdução aos circuitos
elétricos, 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
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