bab-6b. optika fourier
Post on 01-Feb-2017
242 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1. Transformasi Fourier 1D (Review)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ''sin';''cos'
sincos1
0 0
dxkxxfkBdxkxxfkA
dxkxkAdxkxkAxf
∫∫
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
∞ ∞
==
+=
π
Dalam bentuk fungsi kompleks :
( ) ( )
( ) ( )
xx
dxexfkF
dkekFxf
ikx
ikx
=
=
=
∫
∫∞+
∞−
−+∞
∞−
'
2
1
πF(k) adalah transformasiFourier dari f(x)
F(k) = Y Y Y Y { f(x)}
• Karena F(k) adalah fungsi kompleks :
F(k) = A(k) + iB(k)A(k) bagian riil dari F(k) dan B(k) bagian imajinernya.
• Dalam bentuk amplitudo dan fasa :
• Invers Fourier Transform
• FT untuk fungsi waktu, f (t) → f(ω)
( ) ( ) ( )kiekFkF φ=
f(x) = Y Y Y Y -1{ F(k)} = Y Y Y Y -1{YYYY {f(k)}}
( ) ( ) ( ) ( ) dtetfFdeFtf titi ωω ωωω ∫∫+∞
∞−
−+∞
∞−
== ;
Fungsi Gauss (Distribusi Gauss 1D)
( ) aCeCxf ax /;2
π== −
FT-nya :
( ) ( ) ( )
ak
ak
ak
ikxaxikxax
e
ea
C
aikaxdeea
C
dxeCdxeeCkF
4/
4/
4/
2
2
22
22
2/;
−
−
∞+
∞−
−−
+∞
∞−
+−+∞
∞−
−
=
=
−==
==
∫
∫∫
π
βββ
2. FT 2D
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )dydxeyxfkkF
dkdkekkFyxf
ykxkiyx
yxykxki
yx
yx
yx
+∞+
∞−
∞+
∞−
+−+∞
∞−
+∞
∞−
∫ ∫
∫ ∫
=
=
,,
,2
1, 2π
dengan kx dan ky adalah frekuensi sudut ruang(angular spatial frequencies) dari sumbu-x dansumbu-y
FT Fungsi Silindris
( )
>+
≤+=
ayx
ayxyxf
22
22
;0
;1,
y
x
( )yxf ,
a1
θθθ
αα
α
α
ddrrdydx
ry
rx
kk
kk
y
x
===
==
sin
cos
sin
cos
Fourier Transform-nya
( ) ( ) drrdekFa
r
rik
∫ ∫= =
−
=
0
2
0
cos, θαπ
θ
αθα
α
Karena fungsinya simetris, maka FT-nya jugasimetris, sehingga F(kα,α) tidak bergantung pada α.
( )
( ) drrrkJ
drrdekF
a
arik
α
πθ
α
π
θα
∫
∫ ∫
=
=
0
0
0
2
0
cos
2
( )rkJ α0 Fungsi Bessel orde-nol
Definisikan :
( ) ( )
( )
( )
=
=
= ∫=
ak
akJa
akJakk
dwwwJk
kFak
w
α
α
ααα
αα
π
π
α
12
12
0
02
2
2
1
dwkdrrkw 1−=→= αα
APLIKASI DALAM OPTIK1. LENSA
Difraksi cahaya oleh celah sempit transparanmelalui sebuah lensa konvergen membentuk poladifraksi pada layar (titik fokus lensa).
Distribusi medan listrik dari celah (fungsi apertur) ditransformasi oleh lensa menjadi pola difraksi.
Jika celah/objek memiliki kerapatan yang hanyabervariasi sepanjang satu sumbunya, maka profile transmisinya adalah segitiga.
(a). Fungsi segitiga, dan (b) Transformasi Fourier-nya
FUNGSI DELTA DIRAC• Banyak fenomena fisis terjadi
pada durasi yang sangatpendek. Sehingga diperlukanfungsi Delta-Dirac
• Contoh : bagaimana responrangkaian tertentu berperilakujika diberi input arussingkat/pulsa.
( )
( ) 1
0;
0;0
=
=∞≠
=
∫∞+
∞−
dxx
x
xx
δ
δ
( ) ( ) ( )00 xfdxxfxx =−∫+∞
∞−
δ
• Bentuk kompleks fungsi Delta-Dirac
( )
( ){ } ( )∫
∫∫∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−
−=−
==
dkexxxx
dkedkex
ikx
ikxikx
00
2
1
2
1
δδ
ππδ
YYYY
FOURIER TRANSFORM dapat merubah sinyaldiskrit (spektrum) menjadi kontinu atausebaliknya dengan fungsi Delta-Dirac.
Contoh : 1. Fungsi Cosinus dan Sinus
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdx
xxxfj
j
−−++−=
−=∑
δδ
δ
FT
( ){ } ( )2/cos22/2/ kdeexf ikdikd =+= −YYYY
2. Sistem Linier
• Teknik Fourier menyediakan kerangkakerja yang elegan untuk menggambarkanpembentukan citra.
• Kunci dari analisis adalah konsep sistemlinier, yang menggambarkan hubunganinput-output.
( ) ( ){ }zyfZYg ,, = L
• Jika sinyal input f(y,z) melewati suatu sistemoptik menghasilkan output g(Y,Z). Sistemdisebut linier jika :– Mengalikan fungsi f(y,z) dengan suatu
konstanta a menghasilkan ag(Y,Z)– Jika inputnya af1(y,z)+ bf2(y,z) menghasilkan
output ag1(Y,Z)+ bg2(Y,Z) , dimana f1(y,z) danf2(y,z) mengenerate g1(Y,Z) dan g2(Y,Z)
Secara umum ditulis :
Fourier Transform dalam kasus Difraksi
1. Celah tunggal 1D
>
≤=
2/;0
2/;)(
0
bx
bxAzA
θsinkkz =
( ) { }
( )2/sinc
)(
0
2/
2/
0
bkbA
dzeA
zAkE
z
b
b
zik
z
z
=
=
=
∫+
−
Y
2. Celah tunggal 2D
>
≤=
2/;0
2/;),(
0
bx
bxAzyA
( ) { }( )
=
=
=
∫ ∫+
−=
+
−=
R
akZ
R
bkYbaA
dzeAA
zyAkkEb
by
zkkia
az
zy
zy
2sinc
2sinc
),(,
0
2/
2/
2/
2/
00
ba = luas celah
3. Eksperimen Young
(Celah Ganda)
Fungsi aperturg(x) diperolehdari konvolusifungsi h(x).
G(k) adalahpola difraksicelah ganda(FT dari g(x)).
3. Tiga celah
Bandingkan pola difraksi secara analitik
(Bahasan 4. Difraksi)
Rujukan utama : E. Hechts,”Optics”, wesley, 2002
top related