bab6b optika fourier

26
 6. OPTIKA FOURIER 6.2. OPTIKA FOURIER

Upload: cipie-veykey

Post on 06-Oct-2015

3 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

j

TRANSCRIPT

  • 6. OPTIKA FOURIER

    6.2. OPTIKA FOURIER

  • 1. Transformasi Fourier 1D (Review)( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ''sin';''cos'

    sincos1

    0 0

    dxkxxfkBdxkxxfkA

    dxkxkAdxkxkAxf

    +

    +

    ==

    +=

    pi

    Dalam bentuk fungsi kompleks :

    ( ) ( )

    ( ) ( )xx

    dxexfkF

    dkekFxf

    ikx

    ikx

    =

    =

    =

    +

    +

    '

    21pi

    F(k) adalah transformasiFourier dari f(x)

    F(k) = Y Y Y Y { f(x)}

  • Karena F(k) adalah fungsi kompleks :F(k) = A(k) + iB(k)

    A(k) bagian riil dari F(k) dan B(k) bagian imajinernya. Dalam bentuk amplitudo dan fasa :

    Invers Fourier Transform

    FT untuk fungsi waktu, f (t) f()

    ( ) ( ) ( )kiekFkF =f(x) = Y Y Y Y -1{ F(k)} = Y Y Y Y -1{YYYY {f(k)}}

    ( ) ( ) ( ) ( ) dtetfFdeFtf titi +

    +

    == ;

  • Contoh : Campuran fungsi(komposit) dan FT-nya

  • Fungsi Gauss (Distribusi Gauss 1D)( ) aCeCxf ax /;2 pi==

    FT-nya :

    ( ) ( ) ( )

    ak

    ak

    ak

    ikxaxikxax

    e

    ea

    C

    aikaxdeea

    C

    dxeCdxeeCkF

    4/

    4/

    4/

    2

    2

    22

    22

    2/;

    +

    +

    ++

    =

    =

    ==

    ==

    pi

  • FT

    Fungsi Gauss (a) dan FT-nya (b)

  • 2. FT 2D

    ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) dydxeyxfkkFdkdkekkFyxf

    ykxkiyx

    yxykxki

    yx

    yx

    yx

    ++

    +

    ++

    +

    =

    =

    ,,

    ,

    21

    , 2pi

    dengan kx dan ky adalah frekuensi sudut ruang(angular spatial frequencies) dari sumbu-x dansumbu-y

  • FT Fungsi Silindris

    ( )

    >+

    +=

    ayx

    ayxyxf

    22

    22

    ;0

    ;1,

    y

    x

    ( )yxf ,a

    1

    ddrrdydxryrx

    kkkk

    y

    x

    =

    =

    =

    =

    =

    sincos

    sincos

  • Fourier Transform-nya

    ( ) ( ) drrdekFa

    r

    rik = =

    =

    0

    2

    0

    cos,

    pi

    Karena fungsinya simetris, maka FT-nya jugasimetris, sehingga F(k,) tidak bergantung pada .

    ( )

    ( ) drrrkJ

    drrdekF

    a

    a

    rik

    pi

    pi

    =

    =

    00

    0

    2

    0

    cos

    2

    ( )rkJ 0 Fungsi Bessel orde-nol

  • Definisikan :

    ( ) ( )

    ( )( )

    =

    =

    = =

    akakJ

    a

    akJakk

    dwwwJk

    kFak

    w

    pi

    pi

    12

    12

    002

    2

    2

    1

    dwkdrrkw 1==

  • APLIKASI DALAM OPTIK1. LENSADifraksi cahaya oleh celah sempit transparanmelalui sebuah lensa konvergen membentuk poladifraksi pada layar (titik fokus lensa).

  • Distribusi medan listrik dari celah (fungsi apertur) ditransformasi oleh lensa menjadi pola difraksi.Jika celah/objek memiliki kerapatan yang hanyabervariasi sepanjang satu sumbunya, maka profile transmisinya adalah segitiga.

    (a). Fungsi segitiga, dan (b) Transformasi Fourier-nya

  • FUNGSI DELTA DIRAC Banyak fenomena fisis terjadi

    pada durasi yang sangatpendek. Sehingga diperlukanfungsi Delta-Dirac

    Contoh : bagaimana responrangkaian tertentu berperilakujika diberi input arussingkat/pulsa.

    ( )

    ( ) 10;0;0

    =

    =

    =

    +

    dxx

    x

    xx

    ( ) ( ) ( )00 xfdxxfxx =+

  • Bentuk kompleks fungsi Delta-Dirac

    ( )

    ( ){ } ( )

    +

    +

    +

    =

    ==

    dkexxxx

    dkedkex

    ikx

    ikxikx

    00

    21

    21

    pipi

    YYYY

    FOURIER TRANSFORM dapat merubah sinyaldiskrit (spektrum) menjadi kontinu atausebaliknya dengan fungsi Delta-Dirac.

  • Contoh : 1. Fungsi Cosinus dan Sinus

    ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdx

    xxxfj

    j

    ++=

    =

    FT

    ( ){ } ( )2/cos22/2/ kdeexf ikdikd =+= YYYY

  • FT

    ( ) ( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdxxf +=

    ( ){ } ( )2/sin22/2/ kdieexf ikdikd == YYYY

  • 2. FT beberapa fungsi

  • 2. FT beberapafungsi (lanj.)

  • 2. Sistem Linier

    Teknik Fourier menyediakan kerangkakerja yang elegan untuk menggambarkanpembentukan citra.

    Kunci dari analisis adalah konsep sistemlinier, yang menggambarkan hubunganinput-output.

  • ( ) ( ){ }zyfZYg ,, = L

    Jika sinyal input f(y,z) melewati suatu sistemoptik menghasilkan output g(Y,Z). Sistemdisebut linier jika : Mengalikan fungsi f(y,z) dengan suatu

    konstanta a menghasilkan ag(Y,Z) Jika inputnya af1(y,z)+ bf2(y,z) menghasilkan

    output ag1(Y,Z)+ bg2(Y,Z) , dimana f1(y,z) danf2(y,z) mengenerate g1(Y,Z) dan g2(Y,Z)

    Secara umum ditulis :

  • Contoh :

  • Fourier Transform dalam kasus Difraksi

    1. Celah tunggal 1D

    >

    =

    2/;02/;)( 0

    bxbxA

    zA

    sinkkz =

    ( ) { }

    ( )2/sinc

    )(

    0

    2/

    2/0

    bkbA

    dzeA

    zAkE

    z

    b

    b

    zik

    z

    z

    =

    =

    =

    +

    Y

  • 2. Celah tunggal 2D

    >

    =

    2/;02/;),( 0

    bxbxA

    zyA

    ( ) { }( )

    =

    =

    =

    +

    =

    +

    =

    RakZ

    RbkYbaA

    dzeAA

    zyAkkEb

    by

    zkkia

    az

    zy

    zy

    2sinc

    2sinc

    ),(,

    0

    2/

    2/

    2/

    2/00

    ba = luas celah

  • 3. Eksperimen Young (Celah Ganda)

    Fungsi aperturg(x) diperolehdari konvolusifungsi h(x).G(k) adalahpola difraksicelah ganda(FT dari g(x)).

  • 3. Tiga celah

    Bandingkan pola difraksi secara analitik(Bahasan 4. Difraksi)Rujukan utama : E. Hechts,Optics, wesley, 2002