bulova algebra i primene
Post on 08-Dec-2016
238 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
MATEMATI~KI INSITUT
Savremena racunska t.ehnika i primena
Knjiga 5
Koriolan Gil.e.zan Bosko Latinovic
BULOVA ALGEBRA 1 PRIMENE
BEOGRAD
1977
-
Rccezer}ti: Slavi~a Presi~, dr NedelJKo Parezanovi~, 3vetozar ~ilid
Primljeno za ;tampu sednici Redakcionog odbora od 3. 1~7). ~Qdine.
;' interesna zajednica n~cn; rad Vojvodine u~estvovala u tro~kovima izdavanJa ~utlikacije. .
e;enJ~ ~epubli~kog sekretariJata za kulturu publikaciJs oslobodJena poreza .
-
R D G V R
Re~enja mnogih m u raznim naucnim discip1inama,
sebno u matematici, tehnici, ekonomiji, sociologiji i med1cini
m se prevesti "da 11i n", odnosno "1 i1i ". Ova ci-
njenica , pored 'osta1og, pospe~i1a razvoj e1ektronike i digi-
talne tehnike, tim i Bu10ve a1gebre, posebno Bu10ve 1
skupu {, 1 } .
Danas se u svetu raznim jezicima Bu1ovoj 1! i
njenim primenama mnogo pi~e. 1 nm jeziku takodje se pi~e
Bulovoj algebr~ i njenim primenama, ali su retke knjige koje
jednom mestu, sistematizovano, tretiraju ovaj problem. Autori se
nadaju da ova knjiga, donek1e popun1ti ovu prazninu.
Knjiga nmnn studentima, ekonom1stima, in!enjerima,
matematicarima i sirem krugu citalaca ! se interesuju za
Bulovu a1gebru i koris.te praksi.
Knjiga sadrzi deset g1ava. U prvoj glavi govori se 1
voj algebri jednoj algebarskoj strukturi proizvo1jnom
nepraznom skupu. Od.druge do seste glave govori posebno
lovoj algebr1 skupu {0,1} (dvoc1ana Bulova algebra), gde
obradjuju Bulove funkcije 1 Bu10ve jednacine. od sedme do desete
g1ave govori se onek1m primenaIJ\a dvoclane Bulove algebre.
u svakoj ~lavi posebno su numer1sane def1n1c1je, teoreme,
slike, formule, pr1meri 1 zadaci.
Na kraju knjige navodi se spisak koriscene literature. Na-
glasavamo da smo pisanju ove knjige kao osnovnu lite.raturu
ze1i radove akademikaGr.C. Mo1sila i prof. S. Rudeanua.
Rukopis ove knjige su akadem1k Dr . 5to.j.akovic,
Dr 5.. Presic, Dr N. Parez~novic, S. Milic i Mr R. Tosic. Na
nj1hovim sugestijama 1 pr1medbama autori se zahvaljuju. Takodje
se zahvaljujemo asistentima . Ses1ij1 i Mr . Vojvodicu Koji
su procitali neke g1ave knjige.
Primedbe strucnu i11 metodsku stranu 1z1aganja autor1
pr1m1t1 sa zahva1noscu.
Autori
-
--
-
S D R Z
Strana
GLAVA 1 BULOVA ALGEBRA .......................... 1
1. Definicija Bulove algebre................... 1
2. Modeli Bulove algebre....................... 2
3. Neke vaznije teoreme Bulove algebre......... 8
4. Binarne relacije ~ i ~" Bulovoj algebri.. 13
5. Ideali. Filtri. Podalgebre.................. 17
6. Zadaci...................................... 22
GLAVA II BULOVA ALGEBRA SKUPA {,l} . 28
1. Bulov izraz................................. 29
2. Forme Bu10vih izraza........................ 31
. Neke teoreme normalnim formama............ 34
4. Zada
-
GLAVA I
GLAVA VII
.Gllczan - 8. Latillovlc
Strana
3. Primena matrice Vajt-Karnaufa.............. 98
4. Proste implikante.......................... 106
5. Metoda Kvajn-Mak Klaskog .............. 110
6. Zadaci..................................... 115
FUNKCIJE LUASIJEVltA ISEFERA ...... 117
1. Definicija funkcija Lukivi6 i Sefera . 117
2. Neka svojstva funkcija Lukaljevi6a i
sefera..................................... 120
3. zadacl .................. "........... 125
BULOVE ATRICE................................ 130
1. Definicija Bulove matrice .. 130
2. Sistem alternattvnih jednacina ... 136
. Bulove matrice i grafovi ...... 137
4. Zadaci ................ " 140
GLAVA VIII SEE SA DlREKTNOM KOANDOM ........ 142
1. Elementi relejno-kontaktne ... 142
2. Strukturna formula i funkctja rada dipola
klase ................................... 145
3. Inverzna !lema.............................. 148
4. Funkcionalna ekvivalentnost dipola ... 149
5. Minimizacija !leme.......................... 154
6. Seme kontaktima i relejima .. 155
7. Konstrukcija !leme zadatim uslovima .... 160
8. Zadaci..................................... 163-
GLAVA IX MULTIPOLI ................ '. . . . . . . 176
1. Definicija l1....................... 176
2. Strukturna matrica multipo~a ..... 178
3. Funkcija provodljivo.;ti multipola .......... 179
4. Eliminaclja cvorova u multipolu .. 184
5. Zadaci..................................... 187
-
JJl1lova algcbra
Strana
GLAVA TRANZISTORI. 193
1. Promenljive pridruzene tranz1storu X ~ 194
2. Serijsko vezivanje tranz1stora ...... 195
3. Paralelno vezivanje tranzistora ...... 200
BIBLIOGRAFIJA. 207
INDEX POJMOVA ' :.............. 211
-
- ... ~_, ___ .. , .. "'~._ ...... I'_I ___ t ~" ~I '111 1 1
-
1
G L V I
BULOVA ALGEBRA
U g1avi I razrnatra specija1na a1gebarska struktura, tzv.
BuZova aZgebra nepraznorn skupu dve binarne i jednorn unar-
nrn operac1jorn. (George 1, eng1eski rnaternaticar 1815.-1864).
Bu10va a1gebra rnoze def1nisati v1se nacina (videti [23], [55 i [57]). Ovde uvedena Bu10va a1gebra preko dve ekviva1e-
ntne def1nicije. Pri dokaz1vanju teorerna krisn defi-
niaija 1. U ovoj g1av1 , pored rnode1a 1 nekih vaznij1h teore-
rn Bu10ve a1gebre, razrnatrane i neke binarne re1acije Bu10ve 1-
gebre.
1. DEFINICIJA BULOVE ALGEBRE
Dat skup nrnn dva e1ernenta, u oznac1 1 I,
korne 11 def1n1sane dve binarne operaaije, u oznac1 .1...1" 1 " ,i
jedna unarna operaaija, u oznaci .-".
Definiaija 1. Nao 8kupu definisana BuZova aZgebra ako
8 . . Vaze 8 Zedede aksiome (zakoni. 8 stva) :
! komutativno8~i
(i) avb = bv f1 () = '
2 Svoj8tva asoaijativnosti
(1) (avb)va = av(bya) () ()=()
distributivnosti
(1) av(b'a) = (a\...Jb)(ava) (~1) (bva) = '...I'
-
.Gi IClan - N.. 1 . ,. il'i4..:
. Svojstva eLemenata 1
(1) avO = (1.1) 1 = B s Svojstva negaciJe
(1) ava = 1 (11) =.
Bulovu algebru skupu operac1jama.' .v ". .-., kra-
6 oznacavamo cetvorku (, v , . , - ). Elemenat obicno
zovemo prvi eLement, element 1 posLednji eLement 1 ). Postoje 1 druge def1n1cije Bulove algebre su ekviva-
lentne def1n1c1j1 1. Navodimo slede6u:
Definicija 1'. Ako Bve ,, vaie aksiome (aakoni,
sIJojstva):
{ (1) avb = tva (11) = '
(1) (avb)v = v(bv ) (11) ( = .()
; (1) aV ( c)=(avbJ ( vc) (11) ' ()=(v ()
; (1) (. bJv (11) (avbJa
; (1) (aa)vb = (11) (aVa)b =
tada kaiemo da i!etvorka (, v , . , - ) BuLova aLgebra.
Za dokaz ekv1valentnost1 def1n1cbje 1. 1 def1n1cije 1: vi-
deti [54. U daljem tekstu 1 6 se uglavnom poz1vat1 def in1ci-
ju 1.
2. MODELI BULOVE ALGEBRE
ModeL 1. Dat skup Lz = {,l} . Uvedimo skupu Lz bi-narne operacije v i (zovemo ih redom disjunkcija 1 konjunk-ciJa) 1 unarnu operac1ju (zovemo negacija) slede61 na-
c1n:
1) Za termine prvi eLement. posLednji eLement videti teoremu 10.
. Olle glave .
-
,,\ 11\(.'\>1":1
v v 1 1 1 vO 1 1 Vl 1
00 01 10 11 1
1 1
111 pomo6u tabela
v 1 1
~ 1 1 1 1 1 1 1
Ovako def1n1sane operac1je skupu L 2 zadovoljavaju aks1-
ome Bulove algebre 1z def1n1c1je 1., sto n1je tesko prover1t1.
Dakle, data algebarska struktura skupu L2 predstavlja model
Bulove algebre. Bulovu algebru skupu L2 zovemo d v ~ t - Butova a.tgtJbl'a 1 ozna~avamo (L2, v , , - ), (v1det1 [25],
[42), [46] ).
ModtJt 2. Dat neprazan skup U Neka part1t1vnom
skupu P(U), P(U) = {xlx U} uo~ene binarne operac1je .v 1 .r"I" (un1ja 1 presek) 1 unarna operac1ja ~." (komplement).
rac1je v , r"I 1 zadovoljavaju aks10me Bulove algebre 12:
def1n1c1je 1. Na1me, ako su , 1 element1 skupa P(U), 1z te-
or1je skupova (v1det1 []) poznato da !!:
(1) AvB = BvA
(2) (AvB)v = Av(BVC)
() Av (BvC)c(AVB) v (AVC)
(B~) Ao..vJ =
( 5 ) AvA-"'U
r"lB = Br"lA
( 1"'\ ) r"lC = r"I(E r"lC)
r"I (Br"I ) = (Ar"I ) r"I ( r"lC)
AI"'\U =
Ar"lA -.. 11
OVde prv1 element prazan skup 11. , poslednj1 element
skup U, data algebarska struktura skupu P(U) predstavlja
model Bulove algebre u oznac1 ( (U) V , r"I, -).
Mod.t . Matr1cu = [/] , / - 1, ,m '" 1,. ,n, gde / {,l} zovemoBulovamatr1caformata m,xn, (v1det1[25],
-
4 .Gilezan - . Latil\ovlc
[55
Neka skup svih Bulovih matrlca formata m n. Uve-
dimo skupu dve binarne operacije, u oznacl .+. i . i dnu unarnu operaclju u oznaci " slede6i nln:
+ ., [ ) = l 1.) i 1, , 1, , - [ = l ' Ij ] i 1, . , 1, .. ,
.., [- 1 = l) i 1, , 1, . ,. Ovde u .~., ," 1 _-. operac1je skupa {0,1} lz modela 1.
Na pr1mer, za Bulove matr1ce
[: :]. ._[:: :] 1:
1\..10]=[111]
1\..11 1 1
0\..11
+ [
11.)
01.) 1\..1
1'0]=[0 ] 1'1 1 [
1'
0'0
1
1'0
"[; : :].[: :]. Uvedene operae1je .+n, ., ' skupu zadovoljava)u
aks10me Bulove algebre 1z d f 1 1 1 1. Za1sta:
( ) (1) + [/ ~ I] = ( 1 \..1 l ] + (11) = [ ']=[I )) ' 11 =
( 2) (1) ( + ) + = [( 1I \..1 )~ 111 [l} \..1 (1 1.) ) ]
+ ( + )
-
BLllova algcl,ra 5
() ( ) [( cij]
(lj . ( ) ( )
() (i) + ( ) [ V ( )
== [,(alj'V ) (/ V )]
( +) ( + )
() ( + ) ( (b/jv ) }
[( /) ) V ( )] ( ) + ( )
(~) (i) Prvi element skupa ulv matrica ciji
'! elementi nule. Oznacimo = [ Prema om
+ = [ jJV [/] =
(ii) Poslednji element skupa j~ ulv matrica
ciji ! eiemen~i jedinice. Oznacimo I = [1) .Prema 0-
I = [aij 1] [ =
(s) (i) + ' [ V ] [ 11 I () ' [/} ] = [.
Dakle, uvedene operacije " + " " " '" skupu , , zadovoljavaju ak~iome Bulove algebre iz d f i i i 1.
i algebarska struktura skupu predstavlja model Bulove al-
gebre u oznaci (, +, , ') . d . Z 4. Neka . neprazan skup. Funkciju f, koja
definisana . skupu i ima vrednosti u skupu {0,1} , tj.
f : ... {0,1}
zovemo i v Z t tdvQvrednQsna). funkcija:
Obelezimo L2M skup svih ovakvih bivalentnih funkcija
~kupu . Uvedimo skupu L2M binarne operacije .V, ."! ~nar-
-
...
6 .Gllczan - . Lallllovlc
nu operac1ju - sld1 na~1n:
(f V '1) () d f(x) V '1 ()
(f 1\ '1) () ~ f () '1 () , _ d_.
f () =.f () ,
za 8vako , '1de 8U operac1je oV', 1 _. respek-
t1vrio d1sjunkc1ja, konjunkc1ja 1 ne'1ac1ja skupu {,l} 1z m 0-
d 1 1.
Uvedene operac1je 8kupu LzM zadovoljavaju ak810me Bulo-ve al'1ebre 1z d f 1 1 1 1. Za1sta:
(, )
(1)
(11)
(1)
(f V '1) () .. f () v '1 ()
= '1() v f () .. ('1 V f) ()
(f '1) () .. f () '1 ()
'1() f(x)
.. ('1 f) ()
f v '1) V h) () .. (f () v '1 ( v h () - f () v ('1 () v (
./t V ('1 V ()
(11) fl\ '1) h)()" (f(x)''1(x'h(x)
(1)
.. f(x)'('1(x)h(x
(f ('1 ()
(f V ('1 h() .. f(x) ('1().(
.. (f () v '1 () ) (f () v h () )
- 1(f V '1) (f V ()
(11) (f (9 V () .. t () ('1 () v h (
.. (f () '9 ( v (f () (
.. f '1) V (f ()
-
HI.lova algclmt 7
(B~) (1) Prv1 element skupa L 2 M bivalentna funkc1ja ~, gde za svak1 1z , ~(x) = . Prema ovome :
(f 'V ~) () = f () v ~ () = f () v = f ()
(11) PO'slednj1 element skupa L2M bivalentna funk-1 1, gde za svako 1z , I(x) = 1. Prema ovome :
(f 1\ 1) () f(x) 'I(x) = f(X)'l = f(x).
(5) (1)
(11)
(f V f> () f () v f () 1 = I(x)
(f 1\ f> () = f () ffi) = ~(x)
data algebarska
struktura skupu L ~ predstavlja model Bulove algebre. Bulo-
vu algebru skupu L2M zovemo: Bulova algebra bivaZentnih
funkaija 1oznacavamo (L2M, V ,1\ , - ), (v1det1 [55] ).
ModeZ 5. Neka skup 1skazan1h formula 1) . Pr1dru:Hmo svakoj 1skazanoj formu11 , , skup 1skazan1h ~ormula , ;
gde q ( ekv1valentno sa ). OVaj skup zovemo
k Z k v i v Z i 1skazane formule 1 0-
bele~avamo sa [), tj.
lp)a'f { I , q } . Neka / skup sv1h klasa ekv1valenc1je (skup kol1c-
111k). Uved1mo skupu / dve binarne operac1je "V , 0'- (d1s-junkc1ju 1 konjunkc1ju) 1 unarnu operac1ju .-0 slede61 n-1n:
[.), [ ] ., [ V q 1, gde V q d1sjunkc1ja 1skaza ,, [] . (] [ 1\ ], gde 1\ q konjunkc1ja 1skaza ,,
- [ []=, -,], gde -, negac1ja1skaza .
Prepuita se c1taocu da prov~r1 aks10me Bulove algebre 1z
d f 1 1 1 1. za ovako uvedene operac1je skupu /
tj. da ( / , V' , - ) model Bulove algebre (v1det1 [46 ) . I)Vidi: S.P~elid. EZementi mtmtik Zogik~. Beog~ad. 8.'
-
8
. NEE VA~NIJE TEOREE BULOVE ALGEBRE
Navodimo sp1sak vazn1j1h teorema Bulove algebre (, v , . ,
- ). Neke od nj1h zovemo i d t i t t i, (v1det1 [2} [55]).
1 d t i t t i:
1 (i) avb = bVa (11) ' = ' 2 (1) (avb)v = l..J (bv ) (11) (' ). = ' ( )
, (1) av(bc)=(aVb)(avc) (11) a(b,Jc)=(ab)v(ac)
. (i) avO = (ii) 1
, (i) ava 1 (11) '
6 (1) av = () 7 (1) avI 1 ()
. (1) av(ab) = (11) (avb) = ( 1 ) V (;,. av (11) (av )
JIO (1) (avb)v(;'b)= 1 (11) ( (avb) =
JII (1) (avbJ(;'b)= (11) ( V(avb)= 1
= (11) 1
() : ;'vb
r :
1. Ako av% = 1 i % = onda % = .
m 2. avb = ako i ako = = .
. ' 1 ako i m ako = = 1.
4. ' ako i ako = ili = .
5. BuLovoj aLgebri postoji jedan prvi Lement.
6. BuLovoj aLgebri postoji jeda .. pos.Lednji Le-
ment.
-
9
Teorema 7. U Bulouoj algebri 8uaki element p08toji 8
n element .
Doka~1mo neke' od naveden1h ident1teta. Pr1 dokazu kor1st1-
prinaip dual.no8ti u Bulovoj algebr1. Na1me,' u! svakog .1-
dentiteta (teoreme) u Bulovoj algebr1 (, u, . , - ) ide7
ntitet (teorema) * koj1 1zveden medjusobnom zamenom operac1-
u l' kao 1 medjusobnom zamenom elemenata 1 1 u 1dent1-
tetu . Tako primer, dual identiteta
()
1dentitet (*)
(1 U ) ( u )
( ) U ( 1)
.
1dentitetima Jk(i) spiska (1{"k
-
10
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
.Gllcz;1I1- . Lali";
, (11) =
= 1 (zakon , (11)
= ( v ) (zakon 5 (1 .. ( ) v ( ) (zakon , (11 .. ( ) v O (zakon 5 (11 = . . (zakon ,(1.
* ldent1tet1 ,(11) 1 ,(1) 8U dualn1, to je8t,J,(11) :; ,(1)
i J:(i)= J,(1i). Iz dokaza 1dent1teta .(1) v1dimo da
sled1ca ak810ma , (1), 5 (11), , (1), 5 (1) 1 , (11). Iz dokaza
1dent1teta ,(11) v1dimo da po81ed1ca aks10ma ,(11),5(1),
,(11), 5(11) 1 ,(1). Dakle, 1dent1tet ,(11) po81ed1ca ak-
* * * * * * 10 , (1), , (11), , (1), , (1) 1 , (11) jer , (1):; , (11) , * .. * * , (11) ", (1), (1) :: , (11), , (1) :: , (11) 1 , (11) :: , (1).
u daljem tek8tu dokaza6emo neke 1dent1tete 801. sp18ka ~1-taocu o8tavljamo da obrazlo!1 dokaze nj1hov1h dualn1h 1dent1teta
kor116enjem pr1nc1pa dualno8t1.
Doka
(1)
(2)
(3)
(4)
, (11)
= (
( )
-= .
. ..
)
(zakOn 8, (11
(zakon 8. (11) )
(1dent1tet ,(11
(zakon 5(11.
Ident1tet 7(1) posled1ca 8,(1),8.(1), ,(1) 1 ,(1) (kor1-
8timo dualnost1).
.(1) V ( ) = Doka8.
(1 ) V ( ) 1 V ( ) (zakon , (11
-
(2)
(3)
(4)
= (1 V = . 1
=
(zakon (11) )
(1dent1tet 7(1
(zakon B~ (11
1dentitet' (11) posled1ca B~ (1), (1), 7 (11) 1 B~ (1).
(1)
(2)
(3)
(4)
Do1caz.
,(11)
( ) v (
v ( )
( v
=
(zakon (11
(zakon 5 (11
(zakon l (1
(zakon _ (1) )
1dent1tet ,(1) posled1ca (1), 5(1), l(11) 1 _(11).
l (1) ( v ) v ( . ) 1 Do1caz.
(1) (avb) v(a.E):=avJy ) avb)vE) (zakon , (1
(2) = (av (av.b ( v (bvE (zakon1 2(1)'l (1
(3) =aVa)vb) (avI) (zakon1 2 (1),5(1
(4) = (1v ) (av 1) (zakon 5 (1 (5) =(bV1) (avI) (zakon l (1
(6) = 1 1 (1dent1tet 7(1
(7) = 1 (1dent1tet ,(11.
11
Ident1tet l (11) posled1ca (11), 2 '(11) 1 l (), 2 (11)
1 5 (11), 5 (11), l (11) 7 (11), , (1).
(2 )
(3)
Do1call.
ll(11) ( . ) v ( v ) 1
(zakon l(1
= vE) .,) avE) vb) (zakon , (1
-(av(av; avb)vb) (zakon l )
-
12 .Gllczan - . Lalilluvic
(4) = aV a)v ) (av (bV (zakon 2 (1) )
(5 ) =(IVb) (...,l) (zakon , :1) )
(6) =(bVI) (avI) (zakon I (1
(7) 1 1 (1dent1tet .1 7 (1) )
(8) 1 (1dent1tet .1,(11.
Ident1tet .111 (1) posled1ca l (11), (11), l (11),
, (11), 81 (11), .17 (11) 1 , (1).
Dokaz.
(1 ) = (zakon ,(11 1
(2) (ava) (zakon , (1) )
(3) ( ) v ( ) (zakon 8,(11
(4) ( a)v (zakon , (11
(5) OV ( ) (zakon l (1
(6) ( ) v ( ) (zakon1 85 (11) ,81 (11
(7 ) = (ava) (zakon 8(11
(8) = 1 (zakon 85 (1
(9) = (zakon 8. (11.
.11 3 (1) 1
Dokaz.
(1) OVO (zakon 8. (1
(2) OvO (zakon 81 (1) )
(3) 1 (zakon 85 (1.
1dent1tet .111 (11) posled1ca 8. (11), 81 (11) 1 85 (11).
dokaza11 1dent1tet .11.(1) prvo dokazat1 t.o-
reu 1.
-Ako aVx 1 1 onda = .
-
Bulova algebra 13
Dk.
(1) = 1 (zakon . ( (2) = (ava) (zakon Bs (1 (3) ( ) v(x ) (zakon (
(4) ( ) v(a ) (zakon 1 (
(5) v(a ) (pretpostavka '=)
(6) ( x)VO (zakon 1 (1
(7) ( ) v(a ) (zakon Bs (
(8) = (xva) (zakon (
(9) = 1 (pretpostavka avx=I) -(10) (zakon . (
1. (1) :7 = - Dk.
(1) (a.vb) v ( ) .. 1 (1dentitet 1 0(1
(2) (a.vb) ( ) ~ (1dentitet 1 1 (1
(3) \'avb = (pretpostavka) -(4) = (pretpostavka)
(5) AvX = 1 (zamena (3) 1 (4) u (1)
(6) . = . (za'mena (3) 1 (4) u (2) )
(7) = (1z (5) 1 (6) teorem1 1)
(8) av = (zamena (3) 1 (4) u (7)
Za detalje dokaza osta11h teorema koj1 ovde n1 naveden1 videti
[ 48), [55), [11].
4. BINARNE RELACIJE < , ;. U BULOVOJ ALGEBRI
Uved1mo u Bulovu algebru (B,v, , - ) binarnu relac1ju < (mn iZi jednako) sld1 n1n:
-
14 .Gil7.'- .Llill"';.'
Defini~ija 2. Za eLemente . ia kaiemo da
ako i ako xvy = . To~a 8. < ako i ako = .
< "
Dokaz. Dokaza6emo prvo da 1z < pro1z1az1 . Za-
1sta:
(1) < (pretpostavka) (2) xVy (def1n1c1ja 2.)
(3) = (1dent1tet =)
(4) x{xvy) (zamena (2) u (3) )
(5) = (1dent1tet . (11.
Doka!lmo sada da 1z = prolz1azl ;;;; . Zalsta ,.
(1 ) = (pretpostavka)
(2) xvy XVy (ldentltet =)
(3) xvy '" xYv (zamena (1) u (2
(4) xvy vxy (komutaclja I (1
(5) Xv (ldentltet ,(1
() .;;; (def1nlclja ~.).
l dokazall teoremu.
To~a 9. ReLa~ija < ~ela~ija po~etka u Bulovoj aLgeb~i (. V. - . . 8vaki .", ia aadovoljava u8Love:
(1) < . (11) ako < !I i !I .;;; onda = %~
(111) ako < . i .;;; onda < . Dokall.
(1) (1 ) xvx '" (1dentltet ,{l
(2) < (deflnlc1ja 2.) (11) (1 ) .;;; i < (pretpostaVka)
(2) xvy = 1 xvy '" (def1n1c1ja 2.)
-
1I\ll\' al!(cl>ra 15
(3) xvy 1 yvx=x (1dentitet l (1
(4) = (tranz1t1vnost) (111) (1) < 1 < z (pretpostavka)
(2) xvy = 1 yvz = z (def1n1c1ja 2.) (3) ( v ) v z = z (zamena 1z (2 (4) v ( v z) = z (asoc1jac1ja Jz(1 (5) xvz = z (pretpostavka) (6) .:;;. z (def1n1c1ja 2.).
S11cno kao u def1n1c1j1 2. uvodimo binarnu relac1ju ~ (ve-
Ui jednako).
Definiaija 3. Za Zemente . ia kalemo :r: . .;;. V ako
i ako = .
Def1n1c1ja.2. 1 def1n1c1ja 3. su dualne.
Uopite, neka teorema (def1n1c1ja, 1dent1tet) Bulove al-
gebre (, v, , - ) u kojoj se pojavljuju 1 s1mbo11 ~ , ~ . Du-
alna teorema (def1n1c1j~, 1dent1tet) * 1zvod1 se tako ito se -
red medjusobne zamene s1mbola v 1 , 1 1 vri1 medjusobna
zamena 1 simbola < 1 > . Neposredno pro1z11az1 da (*)* _ .
Teorema 10. BuZovoj aZgebri ( v, . , - ) Bvaki vale BZedeca BvojBtva:
(Tl) (1) :r:::y 1 V;;':r:Y
( 2 ) . (1) :: ako i ako :r:>
() (1) ako :r:(;V n :r:vaV n :r:;;;"
(T~) (1) :r: (5) (1) (; ako i ako :r:y =
(11) :r:;;,V ako i ako :r:vy = 1
.. i
-
16 .Gi Iczan - . LcttiHovic
( ) (i) = ako i ako (xvy)' ( ) 1 (ii) = ako i ako = .
Dua1na svojstva svojstvirna (Tk
) (i) (1";; k ";;6) su svojstva
(T~) () i obrnuto, to jest, (Tt ) * (i) =' (.) () i (Tk ) * () =' (.)
(i). Ostav1ja se ~itaocu da doka~e navedena svojstva.
Primsr 1. U dvo~lanoj Bu1ovoj a1gebri ({,l}, , , -) iz
m Jde1a 1.' postoj i binarna re1acija ~ (rnanje i1i jednako). Zai-
sta " , "1, 1 " 1 jer V = , V 1 = 1, 1 v 1 = (zadovo1jena definicija 2.). Medjutim, nije > 1 niti 1 " .
Primer 2. U skupovnoj Bu1ovoj a1gebri ( (U) , v, 'I, ') iz td1 2. postoje re1acije , ~ (relacija inkluzije). Za1sta
neka , ~p (U). Tada
ako i samo ako v ,
~ ako i ako 'I .
Primer 3. U Bu1ovoj a1gebri (, + , , , ) iz modela 3.,
gde skup Bu10vih rnatrica i
( ] t = 1, ... , , 1, .. , [ = 1,_ , ; 1, .. ,
postoj i re1acija ~ data
" ako i sao ako za svaki ,
Tako primer, ako
[: : :] - [: :], tada
,,;; jer + .
-
5. IDEALI. FILTRI. DLGRE
Definiaija 4. BuZovoj aZ(Jbl'i (, , , - )
Bkup zovemo ideaZ (v1deti [57]) ako zadovo.ljena BvojBtva:
(1) ,
17
neprazan
BZededa
() Za Bvaki :1:.11 ako :1:.11 onda i :1:Il ,
(1) Za Bvaki :1:.11 ako :1: i 11 ~.1: onda i
Ocigledrio da , jer za svaki , O~x.
Pl'imel' 4. Neka U = {,,} 1 ) >rt1t1vn1
1 unarna operac1ja -= , 1z modela 2.
, 1', - ) ideali su slede61 skupov1: 1 {9},
2 {9 {} } ,
= {9 , {} } ,
. {9 {} {} {,}
Js { {} {} {,}
Ima 1h I ostavlja c1taocu da 1h i.
Skupov1
! = {{} , {}, {}},
; {{} {}, {,}},
n1su idea11 jer n zadovoljavaju uslove defin1c1je 4.
Definiaija 5. U BuZovoj aZgebl'i (, , . , -
Bkup F zovemo fiZter (v1deti [571) ako zadovoZjena BvojBtva:
(i) F ,
11 .
skup, tj.
neprazan
BZededa
-
18
(ii) Za 8vaki , , onda i ',
(iii). Za Bvaki , ( i
-
11111",'" "Igcbra 19
Primer 7. Neka (, + , " ') Bulova algebra 1z modela
. , gde skup Bulov1h matr1ca formata n. Tada su (;,
= 1,2 Bulove podalgebre, gde + , , , )
1 {0,1}, 2 = {O,A1,Az,1}
i gde
[ . "] ~.~:::~ 1 0 ... 0
l' 1 . 1
1 1 1
1 1 ... 1 [
... 0 1. "1] 1= ~.~:::~ 2= ~.~:::~
11 . 1 00 ... 0
Teorema 11. Svaka BuLova podaLgebra (, v gebre (, v, . , - ) jeste BuLova aLgebra.
- BuLove aL-
Dokaz. Kako def1n1c1j1 . to binarne operaci-
v i' skupa 2adovoljavaju aks10me 1 , 2' 1 1z def1-n1cije 1. Na osnovu (11i) 12 def1nicije . pro1zilazi da za
svako i (, anaosnovu (1) 1 () 1zdef1n1cije .
sledida XVXEBoiX'xEBo,tojest 1(B o iO(Bo (jer
\ = 1, = ). OVim teorema 11. dokazana.
Definicija 7. Neka (, v , . , - ) i ( 1, + , * , ') u-ZOVe aZgebre. PrssZikavanje [: B~B1 aovsmo homomorfizam ako
aaqovoZjava usZOVe:
(i) f(:z;V ) = f(:z:) + [().
() f( = (f(:z;))'
Primer 8. Dat1 u skupov1 ~ {,} 1 = {1,2,,}. -
1m part1t1vnom skupu () binarne operac1je v , 1 rrkt1vn uniju, presek 1 komplement, skupu binarne
operac1je + 1 * slede61 n1n:
+
*
NZS (,)
NZD (,)
unarnu operac1ju
- 6 : ,
(nn1 zajedn1ck1 sadr~alac za ,8)
(n6! zajedn1cki delilac za , ) i
za .
~etvorke ( () , v , , , ) 1 (, + , * , - 1 l0 algebre.
-
20
Preslikavanje f ~ () dato sa
2 3
{,}
jeste homomorfizam jer zadovoljava svojstva (i), (ii) iz defini-
cije 7.
Teorema 12. Ako [: + l homomor[izam tada :
() [() = [() I(} () [() l 1(I } 1 1
gde i 1 B odnosno l i 1 1 prvi i posLednji eLement
Lgebre (, - ) odnosno (l, + ,
) . V, , , , () Ako ~ tada I(} ~ [().
Dokaz.
() (1) f(xy) f(XVf) (zakoni de Morgana)
(2) (f (xvy , (uslov (11) iz definicije
(3 ) (f () +f () ) , (definicija 7. (1
(4 ) (f )'. (f ( , (zakon de Morgana)
(5) f (x).f () (us1ov (11) iz definic1je
(6) f () .f () (dvostruka negac1ja =).
() (1) f(OB) f (') (zakon s, (11) )
(2) f () .f () (teorema 12., (
(3) f (). (f ( , (us1ov (11) iz defin1cije
(4 ) l (zakon Bs, (11) ).
(1 ) f(1B
) f
-
Btllova algcbra 21
Deliniaija 8. Neka (, v, . ,-) i (l' +, *, -) Butove atgebre. Prestikavanje 1 : + l zovemo izomorliza ako zadovotjava ustove:
(1) 1 obostrano nnn prestikavanje.
() f(:r;vy) = I(:r;) + '().
(111) 1(;) = (I(:r;))'.
Primer 9. Neka su ( () , v , , - ) 1 (, + , * , -) Bu-love algebre 1z pr1mera 8. PreS11kavanje f : + (), dato
f 2 3
{:) {} {} jeste 1zomorf1zam jer zadovoljava (1) , () 1 (1) 1z defin1c1-
8.
Teorema 13. Ako (, v, . , -), (l'+ , * , -) 1 (2' V , 1\ , -, ) BuZove aZgebzoe i 1 : + BI' g : . 1 + 2 izomorliz-
mi tada i kompozitum gol : + 2 imrlizm. gde
(gol)(:r;) = g(I(:r;))
Dk.
(1) Kako f 1 g obostrano jednoznacna pres11kavanja to
1z ~ sled1' f(x) ~ f(y) i 1z 1st1h razloga 1z
f () ~ f () sled1. g (f ( ~ g (f () ). Dakle 1 presli-
kavanje gOf obostrano jednoznacno.
() (gOf) (xvy) = g (f (xvy
g(f(x) + f(y
g(f(xt) V g(f(y
(gof) () V (gof) ()
(1) (gof) () g (f (
g f ( -) = -, (g (f () ) )
= -, (gof) ()
-
22 " .Gi ICl~\1\ - . .. ilIH\ i.t.:
Teorema 14. PresLikavanje [: ~ , izomor[iaam ako i
ako [-1: , ~ iaomor[iaam.
Dokaz. Neka f izomorf1zam 1 z,w (f(B). Tada z=f(x)
1
(1) w = f () za , .
Dakle = f-1(z) 1 = f- 1 (w).
Ako z F w tada 1 F . Na1me, ako bilo =
tada 1ma11 z = f(>:)=f(y)=w. Odavde 1mo da
pres11kavanje -' obostrano jednozna~no.
(11) f (xvy) = f () + f () = z + w onda
-, -,-, f (z+w)=xvy=f (z)vf (w).
(111) f(x) (f () ) '= z' onda
---,--(f (z) )
S11~no se dOkazuje da ako f-' izomorf1zam onda 1 f 1-
zomorf1zam.
ZADACI
Zadatak 1. Kor1stet:!1 1dent1tete J t (1) i J t (11),
dokazat1 da u Bulovoj algebr1 (, V , , - ) va~e sledet:!1 1den-
t1tet1:
1. (1) XYVKY = 1 ) (11) ( vy) () =
2. (1) - - (11) (XVY) (xVY) (xvz) ( JZ)=X vxyv xz vxz=x . (1)
- - (11) ( Vy) (z Vy) (xvy) (yvz)=xz xyvzyvxyvyz=xvz 4. (1) - - (11) ( vy) ( Vy) (XVY) = xyvxYvxy=xvy 5. (1) vxy vxy vxy=I (11) (xvY) (XVY) (xvy) (XVy) =0
6. (1) xz (yv z) =xzy (11) xv z Vyz=x vyv z
1) Umesto z.v. ukoLiko n un. pisa&emo zv.
-
iI"lo\'" ulgcl>ra 23
7. (i) xy(zvy)=xy () vyvzy"'xvy
8. (i) z vxyz=I () xyz (XVyvz)=O
9. (i) (xvyvz) (XVyvz)=O () xyzvxyz=I
10. (i) ( yz) =xyz () xy(yvz)=XVYV z
11. (i) ))= () ()= -- -- -12. (i) = () =
13. (i) () ()= () -= 14. (i) xyzv xyz vxz=z () (XVyvz) (XVyvz) (xvz)=z
15. (i) xyvxzVxy=xz
-
...
24 .Gilclal1- . [,alil1uv;c
odrediti tako da = xvyv z.
(ii)Data = (xvyvz) (xvYVZ) (XVyvz) (xvyvz) (xvyVZ)
(xvyvz) (av xvyv z), E(O,I};
odrediti tako da = xyz.
Zadatak 3. Dokazati sld Bulove identitete:
1. (i) '-, -i- 1)
;) = I I , (11) ;=1
" . 2. (i) (U x,)v (-i -1 /=! (11) (,-, ,) (V )=
,=, '=1 '=1 '=1
3. (i) -,-!
i ;=1
;tj) (VX;)=O '=1
(11)
(Ux,)V( 1-1 ,)=I ,=, ',..1
4. (i) l (X1VX2) (X1VX2 vx,) . (X\ VX 2V" .vx n _ 1 v x n )= 'I=
5.
.
1)
(ii) X1V \2 VX1X2X, V .. VX1X2" . . " =u , 1='
" (11) XV(-'-\ I)= '-- (xvy,)
i=t 1=1
, i)
t " (i) Vx, =Vxjn v (UX jn ) ,=, h =, h=k+l
" () ,-,, -'1 -'1 ) ,
'=1 h = 1 h=k+l gde SU 1 , 2 , ...... , 11 permutacije od 1,
, ......
V X ; X1VX,V . VX. -\ -Ix \ 2' .. ' . . , '=1 i=t
-
7.
1.
2.
.
4.
(1)
(11)
n. V(XiVYi) 1=1
JJtllova algcl>ra
11
(vxi)v(LJY,) ;=1 '''''1
11 11
(rlx)'(/-' .). i=1 I ;=1'
Zadatak 4. U Bulovoj algebr1 (. , , - ) dokazat1: (1) , ~ ako 1 sao ako ~
(11) > ako 1 sarno ako >.
(1) ab~cvd ako 1 sao ako ~b d
(11) ~C d ako 1 sarno ako ~ . d (i) = ako 1 sarno ako ~ ~b
(11) ( v ) () ako 1 sao ako >;;;,
(i) ~b ako. 1 sarno ako ~ .
25
Zadatak 5. Neka U neprazan skup 1 () njegov part1-
tat1vn1 skup. .. 1 .n" (n1 1 presek) binarne operac1je i
11 " (kornplernent. ' = \ . ( () ) unarna operac1ja.Po
delu 2. cetvorka ((). v , , ') Bulova algebra.
Matr1cu = [] i = 1, = 1, 1/1. gde su elernent1 skupa (), zoverno Bulova rnatr1ca forrnata rnn.
Neka skup skup sv1h Bulov1h rnatr1ca forrnata rnn,
11 + 11 1 11 binarne operac1je uvedene sledec1 n1n:
+ tle.f
[ / 1, , V = ; =
tlef
[ I = 1, , 111 ; = 1, ,
gde su v 1 operac1je n1 1 presek skupa ().
Uved1rno unarnu operac1ju sledeci nn;
= 1, , :: 1, , ,
gde , 11 unarna operac1ja kornplernent = U'\ / Dokazat1 da cetvorka ( . + - ) Bulova algebra tj.
da su zadovoljene aksiorne Bulove algebre 1z defin1cije 1. Napo-
minjemo da su prvi 1 poslednji elernent:
-
26 K.Gllezan- B.Lallllovlc
Zadatak 6. Date Bulove algebre
(1,Vl,'.lt -1), (B 2 ,Vz,nZ' -2)' ... '( n 'V''' '\", -,,).
Dokazati da (, v , , - Bulova algebra, gde
= , ,
= (Xl,X2, . ,X,I)' to jest ako i ako
'{1,2, .. ), operacije v
cin:
, ,- definisane slede6i
",.,. (, v,y" " ) xv 2 V2Y2"" , N Vf'I
11t'1
(, \', , ntt 2 nZY2t ... , ,,)
Ilt( -1 _ 2
-
(, , 2, , )
i
na-
Zadatak 7. Dokazati da (, + , , - )Bulova algebra,gde
:
, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70)
+ NZS (,) (najmanji zajednicki sadrzalac)
NZD (.) (najve6i zajednicki delilac)
= 70 : .
Zadatak 8. U Bulovoj algebri (. + , , - ) iz zadatka 7.'
odrediti ideale, filtre i podalgebre.
Zadatak 9. Data Bulova algebra (. v, , - ) svih Bulovih matrica formata mxn, gde
= { r i ] \ i= 1, , = 1, , /11 DOkazati da (, + , , ') Bulova algebra gde :
+ (Ief
[ ' .I ]
cle'
[ I ]
i skup
}
-
\ll algcbra 27
l = l, ,~ .= 1, ,
,,,''', .-0 operaci'je skupa .
-
28 .Gilczal\ - . Latill0vic
G-LAVA II
u L V L G R L 2
u ll 1 razmatrana Bu10va a1gebra prolzvoljnom ne-praznom skupu najmanje dva elementa. U glavl 11 razmatra
1 a1gebra skupu L2 = {0,1} Razlog za posebno tretl-ranje Bulove a1gebre skupu L 2 obrazla!emo slede61m: ona
najvle korlstl, aparat kojl odnosl dvovrednosne promen-
1l uvek najsavrenljl.
Napomlnjemo da sve teoreme navedene u Bu1ovoj algebrl (,
V , . , - ) va!e 1 za Bulovu algebru (L 2 , v, . , - ). U glavl prolruje splsak teorema navedenln u glavl 1. Neke vre-
de 1 u 1 a1gebrl (, v, . , - ) (vldetl [24), [55}, (571). U ll 1 (model 1.) defln1sall mo skupu L2 = {0,1} -
narne operac1je .v (d1sjunkc1ju) 1 (konjunkc1ju) l-
deC!1 nal:ln:
(1 )
(2)
v
,
,
v 1 1,
1 = ,
1 V 1, 1 V 1 1
1 , 1 . 1 1.
Takodj~ def1nlsa11 unarnu operac1ju - (negac1ju) slede-
61 nalHn:
(3) = 1, i = . Bu10vu a1gebru skupu L2 = {,1} , gde su uvedene binar-
ne operac1je .v 1 pomoC!u (1) 1 (2) 1 unarna operac1ja
l
pomoC!u (3), zovemo Bu10va a1gebra dvol:Lanog skupa (111
a1gebra L2).
S11l:no, ako skupu S = {,} uvedemo binarne operac1je
1 unarnu operac1ju slede61 nal:1n
-
Bulova algcbra 29
GJ
f onda cetvorka (5, , , - ) dvoclana Bulova algebra. Prepus-tamo citaocu da dokaze da su l0 algebre (Lz, V, . , - ) i
(5, , (1), -) izomorfne.
Iz definicije Bulove algebre (definicija 1., Gl. 1) i nave-
denih osnovnih teorema neposredno sled1 da u Bulovoj algebri (L2'
V, . , - ) za a,b,c~L2 vaze .sledeca. svojstva (identite-
ti) :
51 (i) avb = bVa (i1) =
52 (i) (aVb)Vc aV(bVc) () () = ()
8 (i) aV = : (ii) =
5~ (1) avab = (11) a(aVb) =
55 (i) aVbc. (avb) (avc) (11) a(bVc) = abvac
86 (i) aVl 1 (11)
57 (i) avO = (11) 1 = 8 (1) aVa 1 (11) - = 59 (i) aVb () = v
= = 511 (i) avab avb (11) a(avb)
Za detalje videti [42], [27] , [39] i [55].
1. BULOV IZRAZ
Uvedimo skupu L2 relac1ju
= ako 'f
(4) Cl
1, ako = , a,xEL z Prema (4)
-
39 K.(;iICI.~H' - B.I.aIiItH\"il..:
00 1, 01 = , 10 = , 1 1 1.
Na osnovu (3 ) 1 (4 ) 1m:
(4 ') = 1 =
(4 ' ') .
Takodje 1 slede6a relac1ja:
L2
x~ , L, f (4 "
u L2 , f . u L2,a
Na relac1je (4')1 1dent1teta 51(1), 5,(11), 5~(1)
(11) relac1ja (4", neposredno se ver1f1kuje. Za1sta:
1 58
=
l 1
1 =
U
xlU 1
U l
Dogovorno uz1mamo da
love konstante, slova
= ,
= 1 ,
= ,
u = ,
XUX = l ,
xUx 1.
se s1mbo1i 1 1 1z
x,y,z, ... koja uz1maju
skupa L2 zovu
vrednost1 1 1
1z skupa' L2 Bulove promenlj1ve.
Definioija 1.
1. BuLoue konstante 0,1 i BuLoue p~omenLjiue ..3 ... u
BuLoui i~i.
2. Ako i BuLoui i~i tada ( U ), (')' ,
Loui i~i.
. BuLoui i~i oni simboLi koji dobijaju kona-
p~imsnom 1.i 2.
Na pr1mer, Bulov1 1zraz1 :
-
Blllova lg 31
, 1, , , ZO (jer ZO = z), ZI, (xv ), (), (), XvO)x), x1)VY).
Da bismo 1zbegl1 glomaznost, ob1cno uvod1mo konvenc1ju
br1sanju spoljn1h zagrada. Tako, pr1mer, Bulov 1zraz
xv ))
jednostavno 1s
( v ).
2. PORE BULOVIH IZRAZA
Defini'oija 2.
(1) Bu7..ovi izrazi 1
-
32
i Bvaka promenLjiva x k (iLi nn negacija ~k,k=l,
n) uzeta jednom (i n) utvu izgradnji dis-
junkcije .
Na primer, elementarne konjunkcije
xyz, xyz, xyz
su kanonske elementarne konjunkcije u odnosu promenljive ,
i z, elementarna konjunkcija nije kanonska elemantarna
konjunkcija u odnosu , i z jer ne sadrzl l z ni z.
Elementarne kanonske konjunkcije
xyz, xyz, xyz
u odnosu promenljive , i z mogli bismo, prema
(4 ') pisati
Z
relaciji
uopste, kanonska ele~entarna konjunkclja u odnosu pro-
menljlve I, 2, ' oblika
gde CL
-
Bulova algebra
Definiai;ja 4: (1) Bulov izpaz ob~ika
CIVC2V VC "
33
gde I '2' ,Crelementapne kOn;jUnka,iJe, zove d i ; n-
k t i v f (kpace DF).
(11) Bulov izpaz oblika
DID2 Dn gde DI,D2, ,D r elementapne dis;junkai;je. zove k ; -
k t i v f (kpace KF).
Na pr1mer, Bulov1 1zraz1 - - - - - - Vxyv xyz, xv xyz vxyz, xyV xyzv xyz...;
su d1sjunkt1vne forme, Bulov1 1zraz1
. x(XVy) (xvyvz), x(XVyvz) (xvyvz), x(YVx)
su konjunkt1vne forme.
Definiai;ja 5.
(1) Dis;junktivna ' m
zove kanonska disjunktivna nopmalna ' (kpace KDNF) od-
ppomenl;jive :l:1,:l:2, .:I: n ' ako CI,C2, ... ,C ... ,kanonske
elementarne kon;junkaije odnosu promenl;jive :1:1':1:2' :l:.
(11) Konjunktivna forma m
-1 IDI 1=1
zove kanonska kon;junktivna nopmalna ' (kpace KKNF) od-
promenljive :l:1,:l:2, . ,:l: n, ako DI,D2, ... ,D m kanonske
elementapne disjunkaije odnosu ppomenljive :l:1,:l:2, ,:l:n.
Na pr1mer, Bulov1 izraz1 - - -xyzv xyzv xyz ...;xyz, xyzv xyz, xyz vxyz vxyz
su kanonske,d1sjunkt1vne normalne forme u odnosu promenlj1ve
, i z, dok Bulov 1zraz
-
34 K.Gilczall- . Lalillvi
-
ntllova algcb.a 35
Skup 3
L2 = L2XL2XL2 = {(,,) ,(0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0) (1,1,1)}
1ma 23 = 8 elemenata (uredjen1h trojk1).
postoji 2 n pa&Zi~itih kanonskih konjunkaiJa obZika
l 2 n (5) Zl Z2 "'Zn' (al,a2,"" n> L2 ,
nn 2 n & U~itih kanonskih disjunkaija obUka
(6) l 2 n "
Zl U Z2 V ,~. (alta2, #an)EL2 ,
gde i&pa&i dati (4) (1 (4~.
Doka&. Kako svaka konjunkc1ja obl1ka (5), odnosno d~sjurik
1 obl1ka (6), sadrzi 1zraze
, l {,l}, 1= , ,n
to prema relac1j1 (4~) 1 varijac1je ponavljanjem od dva
elementa n-te klase, tj. 2" konjunkc1ja, odnosno d1sjunkc1ja.
Ppimep 1. Za promenlj1ve , postoj1 22 = 4 kanonsk1h ko-
njunkc1ja obl1ka (5), tj.
1 -
, , , ,
odnosno 22 = 4 kanonsk1h d1sjunkc1ja obl1ka (6), tj.
111 xuy, xvy, xvy, xuj.
2.
(1) Disjunkaija evih kanonekih konjunkaija obZika (5)
naka l~ tj.
-
36 .Gilczan -1J.I,lillviC
-
tl 0\'3 aJgcbra 37
Prerna tome, postoj1 sao jedna d1sjUnkc1ja obl1ka () koja
jednaka ; osnovu 1dentiteta . = sled1 da. (8) 1njeno.
P:rime:r 2.
Na osnovu Teoreme 2. pro1z11az1:
(1) Za promenlj1ve , d1sjunkc1ja sv1h kanonsk1h konju-
nkc1ja jednaka 1, tj.
- - --XYvXYVxyvxY. = 1.
Za1sta - -xYVxYv.xyvxy
(11) Za promenlj1ve , konjunkc1ja sv1h kanonsk1h d1s-
junkc1ja jednaka , tj. . - - --(xvy) (XVy) (xvy) (xvy) . Za1sta
(XvY) (xvy) (xvy) (XVY)=(XVyxvxyVYY) (XVyxvxYvYY)
(xvx(YVY (xvx(YVY= (xvx) (xvx) = = .
Teo:rema 3.
(1) Konjunkcija koje dve :r~iit kanonake konjunkcije
ob~ika (5) jednaka , tj.
l 2 n 131 132 I3 n (11:1 11:2 ... l1:n )(11:1 11:2 l1: n ) = ,
gde
, (131,132'"'' I3n)E L2 ,
(ll 2, .. , n ) 'i' (1311132 , ... , I3 n )
(11) biajunkcija koje dve :rz~iit kanonake diajunkcije
obZika () jednaka 1, tj.
{
1 2 n 131 13 2 13 (11:1 V 11:2 V . Vl1: n )V(I1:J Vl1:2 V Vl1: n )= 1.
(I3,I321""l3 n ) EL2
-
38 .Gllezan - . Latinovlc
Dokaa.
(i) Neka
Tada postoji bar jedno 0< < ) tako da
-
Lllv algcbra 39
Dokaz. Neka Bulov 1zraz. r1st1 svojstva Bulove
algebre, dat1 1zraz m::!m transform1sat1 u D~(odnono F) '0
Ako . KDNF (odnosno KKNF) dokaz zavrsen. Aka.1zraz
n1 KDNF (odnosno KKNF) onda postoj1 bar jedna elementarna kon-
junkc1ja (odnosno elementarna d1unk1 D ) kojan1je ka-
nonska elementarna konjunkc1ja (odnosno kanonska elementarna d1-
sjunkc1ja) .
Ako konjunkc1je ' (odnosno d1sjunkc1ju D' )ne sadr::!e pro--menlj1vu 111 mo::!emo.p1sat1
~ = ' ( v ) = ' v ' 111
D~ = D' v(x ) = (D'vx )(D'vx).
Prema tome, svaka konjunkc1ja (odnosno d1sjunkc1ja) ::!
transform1sat1 u KDNF (odnosno KNF)
Pl'imel' 4. Transform1s1mo Bulov 1zraz
xVy
za promenlj1ve , u KDNF.
(1) xvy xlvy1 (1dent1tet S6 (11) )
(2) (YvY) vy (xvx) (1dent1tet S8 (1) )
-(3) xyvxy l.JYXVYX {1dentitet 'S5 (11) ) (4 ) xyvxyvxy (identitet1 S1 (1) i S (1) )
Pl'imel' 5. Transformis1mo Bulov 1zraz
(z)v xz
za promenlj1ve x,y,z u KDNF.
(1) (yvz) ,z=vzvz (1dent1tet S5 (11.) )
(2) (zvz)v xz (V) xz (YVY) (1dent1tet1 S7(11) 1 'S8 (1) )
- -(3) xyzvxyz vxzyvxzyvxzyvxzy (1dent1tet ~5(11 - -(4) = xyz Vxyz vxyz vxyz (1dentitet1 S1 (1) 1 S, (11)
Pl'imel' 6. Transform1s1mo Bulov 1zraz
-
..
40
u KNF.
() (1)
(2)
(3)
() (1)
(2)
(3)
(4 )
.Gi Iczan - . Latillovic
xvxy
xvxy
) za promenlj1ve ,
za promenlj1ve x,y,z
(xvx) (xv )
1 (xvy)
xvy
xvxy .. xvy
(1dentitet
(1dent1tet
{1dent1tet
(1dent1tet
55. (1
58 (1) )
57 (11)
() )
(xvy)v zz (1dent1tet1 57 (11) 1
({xvy)vz) (xvy)vz) (1dent1tet 55. (1
(xvyvz) (xvyvz).
S8 (11) )
Primer 7. Transform11mo u NF u odnosu promenljlve ,
, z Bulov izraz (xv ) (xv ) z.
(xvy) (XVy)z=(xvyvzz) 6cvyvzz) (zvxxVyy)
=(xvyvz) (xvyVz) (XVyvz) 6cvyvz)
({zv ) (zv ) \.. )
=(XVyvz) (xvyvz) (XVyvz) (xvyvz) (zvxvy)
(z vx vy) (z vxvy) (z vxvy)
=(xvyvz) (XVyvz) (XVyvz) (XVYvz) (XVyvz)
(XVyvz )
Teorema 5. BuLov iaraa KDNF u odno8u promenLjive
l.Z "'n ako i 8 ako iaraa KKNF u odn08U promen-Ljive l.z 'n '
Dokaa. Ako lzraz DNF onda svaka konjunkclja, koja
u~eBtvuje u 1zgradnji izraza , elementarna kanonska konjunkc1-
, to jeBt
E=V l az a n l xz " .xn '
-
gde MCL~
Tada
BuIova aIgcbra
] 2 _ an ] 2 'Xn
r1st1 zakone de Morgana 1 relac1ju (4 ) 1mamo:
I~-I (11 2 2 (1 VX2 V . V?,2 ). (a.l, ... ,a2)
41
Obrnuto, neka 1zraz KNF. _Onda svaka d1sjunkc1ja,
koja u~estvuje u 1zgradnj1 1zraza , elementarna kanonska d1s-
junkc1ja, tj.
=-I I 1 2 an -(] VX2 v VXn ),
gde
MCL~
Tada
1 2 a n (1 V X2 V . VXn )
( 1" ,an ) .
Kor1ste61 zakone de Morgana 1 relac1ju (4 ) 1mamo:
_ ] 2 an = V (]- 2 . ,-xn ). ( 1, , an )
Ov1m teorema dokazana.
P~ime~ 8. Neka
.. xyzvxyz vxyz
Izraz nap1san u DNF za promenlj1ve x,y,z. Tada
'" (XVyvz) (xvyvz) c;Vyvz)
-
42 .Gi le,,,,, - 8. Latillovi':
tj. napisan u KKNF u odnosu promenljive x,y,z.
Iz ranijih primera mogli smo zaklju~iti da za neki Bulov
izraz jednostavnije napisati KDNF nego KNF. Teorema 5. olakAava
nam konstrukciju za Bulove izraze. mo Bulov izraz tran-
sformisali u KNF radimo slede6e:
(1) Izraz transformiemo u izraz .
(2) Izraz napiemo u KDNF.
() Konstruiemo negaciju za KDNF izraza . osnovu te-
oreme 5. dobijamo KNF za izraz .
Primer 9. Transformiimo u KNF u odnosu promenljive ,
y,z Bulov izraz = (xvy) (Xvz).
)
(2)
()
Koriste6i teoremu 5. imamo:
(xvY) (xvz) = xyvxz
xy{zvz) vx{yvy)z = xyzvxyzvxyzvxyz
(XVyvz) (X"vyvz) (XVyvz) (xvyvz) = .
ZADACI:
Zadatak 1. TransformiAimo u DNF u odnosu promenljlve ,
i z Bulove izraze: 1) x{yvz), 2) xvyz, ) x(yvi) ,4) (x,\-Iy)
(XVy) ' z).
Reenje:
1) x{yvz) xyvxz
xy(zvz)vxz{YV1)
-xyz v xyz v xyz v xyz xyz vxyzvxyz,
2) xvyz x{yvy) (zvz)vyz{xvx)
- - -xyz vxyzvxyz vxyzvxyz vxyz - -xyzv xyzv xyzvxyz vxyz,
V{y"cz)
xvyz
-
x(yvY) (zvz)Vyz{xvx)
xyz v xyz v xyz v xyz v xYz v xyz
- -xyzvxyzvxyzvxyzvxyz, 4) (xvz) (XVY) (yvz)=xyvxyzVyzVxyzvxz
=xy(z vz) VxyzVyz (xvx)V xyz vxz (YVy)
=xyz v xyz vxyz vxyz Vxyz ;xyz vxyz vxyz
- -=xyzvxyzvxyzvxyz
43
Zadatak 2. Transformisimo u KKNF u odnosu promenljive ,
i z Bulove izraze: 1) ;, 2) x(yvz), 3) yvzvxyz.
Resenje:
1) XVY
2) x(yvz)
(XVYY) (YVXX)
(XVY) ( VY) (yvx) (yvx)
(xvy) (xvy) (xvy).
(XVyyvzz) (yvzvxx)
(xvYYvz) (xv yyvz) (yvz vx) (yvz )
(XVyvz) (XVyvz) (XVyvz) (XVyvz) (XVyv z )
(yvzvx),
3) yvz vxyz
(xvYVz) (XVYvz) (XVyvz) (XVyvz) (xvyv z ).
(yvzvx) (yvzVyz)
(XVYVz) yvz)v(yvz
xVyvz.
Zadatak 3. Transformisati u KDNF i KKNF sledece Bulove iz-
raze:
1) xvyx za promenljive ,
2) za promenljive x,y,z
3) (XVy)z za promenljive x,y,z
4) xVyz za promenljive x,y,z
-
44
za promenljive x,y,z.
2adatak 4. Transformisati u KKNF u odnosu promenljive ,
sledece Bulove izraze:
,
Es ,
= x(xvY),
= xvy.
xvy,
2adatak 5. Dokazati iledece identitete:
1) (1) xyvxzvxyzvxyz=xyvxz , (11) (xvy) (xvz) (xVYvz)
2) (i) xyvxzvYZ-Z(v} ,
3} (i) xYvyzvxyvxyz=xvz,
4) (i) xyvxzvyzvxyz=xvyvz,
5} (i) xyvxyvxy=xvy,
} (i) xyv xyv xy=xvy,
7} (i) xvx(yzvvzvv}vyv=l,
} (i) (xvyvz}vvyvvx'vxyzv
coxvyv',:,
Zadatak . Dokazati da
.(XVyvz)=(xvy) (xvz),
() (XVy) (xvz) (YVZ}=ZL'XY
() (xv ) (yv z) (zv )
.(xvyvz}=xz,
() (XVy) (xvz) (yvz)
.(xvYvz)=xyz,
() (XVY) (xvy) (XVy)=xy,
- - --() (xv ) (xvy) (xv ) =,
() (x(xv(yvzvv)zv) (yvv)=O,
() (xYZVV)(yvv)x
.(XVyv ZVV) =xyv.
-
Bul'ova algebra 45.
G L V !
U L V F U N !
U glavi III razmatr~ju funkcije ~ijisu i dr~ginal1 i
slike element.t skupa {.,1} Zovu Bulove funkcije. Bulov1m
funkcijama u kojoj Bulovoj algebri ~italac m v!4eti [1, (55]
Pored opsteg razmatranja Bulovih funkcija u algebri (L2,V,
, - ) u ovoj glavi govori i specijalnim Bulovim funkci-
: simetri~nim i alternativnim.
Ovde posebno razmatra mogu~t pisanja Bulove funkcije
omu Bulovih izraza u raznim formama.
1. DEFINICIJA BULOVE FUNKC~JE
Definicija 1. ZOfl Zi1
-
?M~r~r 2. Bulove funkcije [" [ 2 , f, date su slcde6im Bulo-
vim izrazima:
f 1 () , L2; [ 2 (,) = xvy,
(,) (L~; f J (X,y,Z) = xvyvxz, (X,y,Z) CL:,
gde su binarne operacije .v (disjunkcija), .. ' (konj,;'Ckcija) i U-
narna operacija (negacija) definisane skupu L. (glava I,
model 1.)
P~imer 3. Date su slede6e Bulove tunkcije
f (, ) = ,
(,)( L.;
(x,y,z)CL .
Odgovaraju6e tablice datih funkcija su:
WF xvY [. ( , f (,)
1 1 1 1 1
1
z z f,(x,y,z)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
Iz ovog primera vidimo da za svaku Bulovu funkciju,datu -
lovim izrazom, mozemo formirati odgovaraju6u tablicu, koristeci
tablice za disjunkciju, konjunkciju i negaciju, kao i svojstva
Bu)"'. algebre (L2' V, , - ).
Vazi i obrnuto. Svaku Bulovu funkciju, datu tablicom, moze-
predstaviti Bulovim izrazom (videti teoremu 2., teoremu 3. i
teoremu 4. glave) .
-
Hitlova, algcllra 47
2. NEE TEOREME BULOVIM FUNKCIJAA
m 1. razZicitih BuZovih funkcija promenZji-
vih 2 2n
Dokaz. Kako u skupu L~ postoj12n raz11c1t1h n-tork1,1 sva-koj n-torki rnozerno pr1druz1t1 rn jednu od vrednost1 111 1,to
irnrn var1jac1je ponavljanjern od dva elernenta klase 2n Nj1-
hov broj , kao sto znarno 22
Primer 4. Postoje cetir1 raz11c1te Bulove funkc1je jed-
nrn prornenlj1vorn. Dajerno 1h u sledecoj tablic1:
f1 () f2 () f () f4 ()
1 1 1 1 1
Funkcije f1 ()= i f4 ()=1 zovu konstantne Bulove funk-
1. Funkcija f 2 (x)=x zove ident1cna funkcija ( direktna ) , funkcija f()= kornplernentarna (indirektna).
postoji sesnaest razlicitih Bulovih funkcija od dve prornen-
ljive. Dajerno '1h u sledecoj tabl1c1:
f 1 f 2 f f 4 f 5 f 6 f 7 f e f 9 f 1 f 11 f 12 f 1 f 14 f 15 f 16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Najcesce koristirno sledece: f2, f1, { , fJ,f 10, f H 1 f l5 Dajerno u sledecern spisku nj1hova irnena i n oznacavanje:
f 2 (x,y)=xy funkc1ja i:. fkonjunktivna funkcijaJ f 1 (x,y)=x 61 funkcija ekskluzivno ili ( aZternativna funkcijaJ f 8 (,) = funkcija ili (disjunktivna funkcijaJ f
9 (,)= funkcija niZi { Lukasijevic!eva funkcijaJ
f 1 (,) = funkcija ekvivaZencije
f 1~ (,)==> funkcija imp Zikacije
f i 5 (,) =x.L funkcija ni {$eferova funkcijaJ.
-
48 K.Gilczal\ - . L"li""~'lc
Teorema 2. Za koju B~o funkciju
f L~" L 2
jednakost
l a n f(xI""'xn ) =~) f(al, ... ,an)x "'Xn '
aEL~
(1)
(tj. funkc1ja mo~e bit1 predstav1jena u KDNF).
Dokaa. Ozna~imo desnu stranu jednakost1 (1) F(XI""'Xn )
tj.
" \ 11 ( (2) F,(K1, .. ,Xn ) ="-.-/ f(alt .. ,an)xl "'Xn '
L~ Zamenom n-torke (al, .. ,a ) L~ u re1ac1ju (2) 1mamo
Konjunkc1je
(3)
imaju, osnovu relac1je (4) (glava II), vrednost 111 1, tj.
{1, (al' . ,an )
, (al, ,an~ ~ (al, ,(lo)
Zna~i, postoji sao jedna konjunkc1ja (3) jednaka 1.
Na osnovu svojstva
1'f(a) = f(a), Of(a)=O, Ovf(a)
gde = (al, . ,an), 1m
(4) F(al, .. ,an ) = f(all ... ,an }
f (),
re1ac1ja (4) zadovo1jena za n-tcrku 1z Ln pro-2
izilazi da
F(Xlt .. ,Xn ). = f(xI""'xn ),
1spunj"na re1acija (1). Ovim dokazana teorema 2.
Teorema 3. Za koju B~o funkciju
-
ulv algcbrn 49
vali jednakost
(1 ') f ( l' ' ) ,-, ii7
= (f(a1t ,an)VX1V ... VXn)
aEL~
(tj. funkc1ja mo~e bit1 predstav1jena u KNF).
Dokaz. Ozna~1mo desnu stranu jednakost1 (1') ( ""' ) tj.
Zaenom n-torke (l"" , ) L2
u re1ac1ju (2') ~mamo .;.
-- F(aJl ... ,an )=' I (f(al, ... ,an)Val~ ... vanR.)
' EL~
D1sjunkc1je
(3' ') l l V ... ' (1, ... ,) L 2 ,
1m, osnovu re1ac1je (4) (l 11), vrednost 111 1, tj.
{1, ako .
. . = , ako
Znac1, postoj1 jedna d1sjunkc1ja (3') koja jednaka
.
Na 9 svojstava
f(a)VO = f(a), f(a)V1 = ", f(a)'1 = f(a), gde = (l,2, ... ,), !
(4') F(a1,a2, ... ,an) = f(a1t a 2, ... ,an )
Kako re1ac1ja (4') zadovoljena za svaku n-torku 1z L~ pro1z11az1 da F(x) f(x) 1spunjena relac1ja (l').Ov1
dokazana' teor~a 3.
-
50
Primer 5. Bulove funkcije f 1 , f 2 , f , f., fs i f. date su
slede6im tablicama:
f 1 () f 2 (,) f (,) f. (,)
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
z fs (x,y,z) f6 (x,y,z)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
NapiAimo KDNF (odnosno KKNF) datih runkcija.
Na osnovu teoreme 2 i tablica, KDNF datih funkcija su:
f 1 (x) = Uf 1 (o.)x(}. . L2
f 2 (,)= U f2 (0.,B)x(}.yB=f 2 (,), f 2 (, l) l V f 2 (1,) 1 (0., ) L~
Vf2(1,1)Xlyl=0.XOyO V 1XOylV1.XlyO V 1 1 l
=xyvxyvxy.
Sli~no, za funkcije f" f., f s , f., imamo:
f (x,y)=l.xOyOv O.XOy 1V 1X 1 yOv 1X 1 y l= yvx yvx ,
f.(x,y)=l.XOyOv 1.XOylV1.XlyOVO.Xlyl=X yvx yv ,
f 5 (, , z) =0. z v . Z 1 V . 1 Z v . 1 Z lv 1. 1 Z
v 1 1 z 1 V 1. 1 1 Z V 1. 1 1 Z I = z v z V z
v z,
f. (, , z) =, xyz vxyzv xyzV xyzv xyzv xYz.
Na osnovu teoreme 3. i tablica, KKNF datih funkcija su:
-
./lIl algcb,"a
f,(x) = (fJ(a)l...Ixa ) t L2 (Ivxo ) (Dvx J ) (11...1 ) (01...1 ) = (11...1 ) (01...1 )
1 (01...1 ) = OV"~ ,
f 2 (,) =(f(,(3)v~) (,(3) L~
=(f(O,O)v xol...lYo) (; (,)I...I XI...lYl) (f (1,0)I...I 1 ,. ) -
(f(I,I)vX1vy l)
=(ovxvy) (lvxvy) (IVxVy) ( 11...1 1...1 )
=(OVxvy) , I xVy) (11...1 xvy) (11...1 1...1 )
=(xvy)II1 = xvy.
Slicno, za funkcije f , f., f s imamo:
f (,) (ll...lxOvYO) (OI...lXrvYl) (IVX1 V yo) (1I...1X1 vY1)
(11...1 xvy) (Ol...lxVY) (IVXVy) (IVxvy)
(IvxVY) (ovxvy) (11...1 1...1 ) (11...1 1...1 )
1 ( 1...1 ) 11 = Xl...ly,
(lvxo~)yO) (IVXO vy1) (IVX1vyO) (OV;IV y1) (lI...lXVY) (11...1 1...1 ) (11...1 1...1 ) (Ol...lxl...ly)
(11...1 ) (11...1 XI...i ) (11...1 xvy) (01...1 1...1 )
111 (XVy) = XVy,
f s (, ,z) = ( I...I 1...1 yOv;-) (01...1;1...1 y0l...l ;1) (01...1 ;01...1 1 1...1;0) (01...1;01...1 y1v~) (11...1 ;I VYOV ;-0) (11...1 ;IVyOV;I) (11...1 X1vy1v ;-O) (IVx1V 1 V~l)
=(OVxVyvz) (OVXVYl...lz) (OVxVyvz) (OI...lXI...lYI...IZ)
1111
=(xvyvz) (xl...lyl...lz) (Xl...l 1...1 z) (Xl...lyvz).
51
Teorema 4. koja BuZova funkcija f : L2 ~ L2ea- promen-
Zjivim Xl, ,Xn
biti predetavZjena l! dil1junkcije i n
gacije. nn konjunkcije i negacije. tj.
-~
I
-
')2 . Gi \..,13n - 11. Lal "\ iC
(i) f ( 1 , ,)
Dokaa.
I~-I l I (rci) . 1 ).
L 1
\ 1 "--,,,f()l n
ELI
\_;:)v~lv ... vx:n L~
1
-- l n (f (a)V I V . VKn )
aEL~
(teorema KDNF)
(svojstvo =)
(svoj stvo ~ =! K i
(teorema KKNF)
\--, l n I I (f(a)Vxl V VKn
) (svojstvo =)
EL~
Teorema 5. Skup 8utovih funkciJa
F = {f\f : L~ ~ L }
(svojstvo V 1. =1
(svojstvo ~=a).
kome Un binarne operaciJe .v i . i unarna operacija .-"
-
BlIlova ulgcl)lo"
~Zededi na!in:
(D1J (f 1V f 2) '! U (f 1 () V f 2 () )
L~
gde
(1"" 'Xn) =,
jeste BuZova aZgebpa.
=,
53
Pot~ebno pokazat1 da zadovoljen1 aks1om1 1z def1n1c1-
Bulove algebre (def1n1cija 1. gl. I).
Dokaz.
(1)(1) (flVf 2)(x)=U (f1(a)vf 2 (axa
CL~ (def1n1c1ja (D 1
= U (f2(a)vf 1 (axa
aEL~ (zakon 1 (1
'" (f 2 v f 1) () (def1n1c1ja (D1,
(2) (1) flv f 2)Vf)()= U f 1 ()vf2(Vf(
L~ (def1n1c1ja (Dl
U (f1 (a)v (f 2 ()vf ( )
L~ (zakon 2 (1) )
.. (f 1 V (f2 Vf () (def1n1c1ja (D .
Na s11can nac1n proveravamo vazenje aks10ma l(11), 2(11)
iz detin1c1je 1. (gl: I), takodje 1 aks10me (1) 1 (11)
Prv1 element 1 poslednj1.element I suokonstantne Bulove
funkc1je, gde za svako L~ ,
() = 1 I(x) = 1.
(4) (1) (fvO) ()= U (f(a)vO{axa (def1n1c1ja (Dl
L~
-
54 .Gllcz
-
LI!\' nlgcbra
f)(2')'),
X)X2V 2V )
Dokazimo da f () '2 ,) = f (2 ,) ,)
Zaista
f () , 2 , ) ~ ( ) V 2) ( 2 V ) ( V ) ) = ) 2 V ) 2 ,
f (2 ,) ,) =(2 V ) () V ) (v 2) =)2V )2
Dakle f(),2') = f(2t),)
Slicno se dokazuje i za ostale permutacije.
55
m 6. Ako 8 f i g 8imetriane BuZove funkaije n 8
i fvg, fg,f 8imetriane funkaije, gde
(fv g) () (/-! f () v g () ,
(fq) () .I!!:! f(x) g(x),
f () d
za svako
Dokaz. Neka su f i g simetricne funkcije, tj.
f(x) f (. , .. ,. ), 1.) 1.
n
g(x) = g(x. , . ,xi
) 1.)
za svaku permutaciju (. , . ,. ) promenljivih )' n 1.) 1.n Tada
imamo
(fvg) () f(x)vg(x)
f (. , ... ,. ) v g (. , ... ,x i ) 1.) 1.n 1.)
(fvg)(x. , ,. ), 1.) 1. n
-
56 K.Gilczan-Il.Ltillvk
(f g) () f (~) . 9 ()
f(x i "",xi )'g(x i "",xi ) 1 1
(f.g)(xi
, ... ,. ), 1 l.n
f(x) = f(Xl, .. ,Xn ) = f(X i1"",X
i )
OVim dokazana teorema 6.
4. ALTERNATIVNE FUNKCIJE
f(X i ""'X i ). 1
Na strani 47.naveli smo tablicu esnaest Bulovih funkcija
od dve promenljive. Medju njima i alternativnu funkciju
f (,) = 8 ,
koja se ~esto koristi u praksi. Ona data izrazom 8 u ko-
figurie jedna specijalna binarna operacija 8 skupu L2 (ta-
kozvano sabiranje modelu 21 kra6e mod. 2). Navodimo jed-
tablicu alternativne funkcije (videti [36, [44] ).
8
011 1 1 110
Na osnovu teoreme KDNF i KKNF izmedju operacije 8 i -
racija v postoje slede6e veze:
VE8
(i) 8 x'Yv
() 8 (xvyHxvy)
(iii) xvy , 8 8 .
Definicija 3. 10 Konstante 0,1 i promenljive ..." .skupa
{,1) alternativni izi.
20 Ako i alternativni izrazi tada
8 , ', , alternativni izi.
0 lternativni. izi oni simboU ko'
ji dobijaju konacnom primenom 1 0 i 2~
-
l algcbr:l 57
Pr~mBr 7. A~tBrnativni iaraai :
,. 1, , , , , (. ) 1td. Na 08nOVU veza V.(1) 1 V.(111) svak1 alternat1vn1 1zraz
1 Bulov 1zraz,1 obrnuto. Prema ovom 1 uvek mozemo govor1t1 Bu-
lovom 1Zrazu.
$
B1narna relac1ja 1 slede6a svojstva:
S.1. =
Si2 ( z) ( ) z '" {1~ . .= (11) 1 =
S.4. (1) = 1
.5. ( z) =
S.6. =
-S.7. (1) = S.8. l.2 xn
';. I.2$ ... $n
Dokaz1:
(11)
xz
(11) =
l. 2 . n l.2." '.n ............ l.2.' ;n
l. 2$ .. n ' za n=2k.
(veza V. (1) )
(komutativnost za V 1 )
(veza V$(i.
(y$z) ,= (.) $ z
. (y$z)=x. (yz Vyz)
=x(yzVyz) vx(yzVyz)
=x(yzVyz)vxyvz) (yvz
(vezaV.(i
(veza V$ (i
(zakon1 de Morgana)
-
58
=xyz vxyzvx (yzVyz)
=xyz vxyz vxyz vxyz
=(xyvxy) z v(xyvxy) z ,
=(XYvxy)ZVXVY) (xvyz
= ( v ) z v ( v ) z = (xyvxy)$ z
=( 81 ) $ z
(zakon d1st~1butivnosti)
(zakon distributivnosti)
(zakoni asoc. 1 dlst~.)
(zakoni distrubucije)
(zakon1 de Morgana)
(veza V8/(i
(veza V$(i.
8/0=
81
$
$
xOvx(j (veza $ ()
' 1 (svojstva = i ( 1 )
= (zakon '! = ).
Sli~no se dokazuju svojstva 5813' (11), 5$4. (i), 5$4. (11) i
81
- - yv x
yvx
Yvx
81
$
yvx
(XVY) (XVy)
yvx
yvx
= $
(veza V 81 (1) )
(identitet = )
(zakon komutativnosti)
(veza V$(i
(zakoni de Morgana i =)
(zakon1 distr. i , (i))
(1dentitet = )
51i~no se dokazuje svojstvo 5$7. (11).
1=1, ... ,
-
Bulova :algcbra 59
Neka
Kako operac1ja $ zadovoljava zakone asocijat1vnost1 1 komu-
tat1vnost1 1
Dakle,
l:$x1 }=I
1 $ g l' 1=1,2, ... ,n.
1 g 1 (svojstvo 8$7. (1.
OV1m svojstvo 8$8. dokazano.
Teorema 7. Za koju BuZovu funkaiju f jednakost
f(XI, ,X) = ~$f(a)iICa
L 2
vali
(tj. funkcija moze bit1 .predstavljena pomo6u sabiranja modulu
2, konjunkc1je 1 negac1je).
Dokaz.
f(x) = V f(a)xa aEL~
Ov1m teorema dokazana.
Primer 8. Za Bulovu funkc1ju 3
f : L 2-+- :r;.2
datu tabelom
(teorema KD
NF)
f3 (svojstvax
=0, a"f3 1 $
=).
-
60
A1
2 4
.Cilczan - . LlillV;
z f (, ,z)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
teoremi 7.
f(x,y,z) xyz 18 xyz 18 xyz 18 xyz 18 xyz,
5kup Lz binarnim operacijama .18 (sabiranje mod.2) i
(konjunkcija) jeste polje u oznaci (L z , 18, . ).
Za svako x,y,z( L va~e aksiome polja:
18 = (svojstvo 5181)
(y.z) (xlily ) 61 z (svojstvo 5612)
61 = (svojstvo 518 (i))
Za svaki L x6lx=O (svojstvo 5614 ())
5kup Lz'{O} jeste, u odnosu binarnu operaciju 0 (kon -
junkcija) komutativna grupa.
5 = (komutativnost konjunkcije)
(yz) () z (asocijativnost konjunkcije)
7 ! = (svojstvo jedinice)
Za svaki xELz'{O} =!
Zadovoljen distributivni zakon konjunkcije prema sabira-
nju mod. 2.
9 (y6lz) 111 xz (svojstvo 5615)
(yl8z) I zx.
5kup L~ nad poljem (Ll' 18, ) jeste 11nearni prostor u od-nosu binarne operacije sabiranje i no~enje skalarom, gde
+
-
Bulova algcbra
Za svaki x,y,z L~ i , EL vai!:e aksiome linearnog pro-stora
+ = + 1 2 4 Ps
7
+ (y+z)
+ ,
+
lx =
()
(+)
(+) + z
gde 0=(0, ,0)
(-)
+
($) = +. Dokaz.
1 + ~ (X1$yl, ,Xn$Yn)
(Yl$Xl, ,Yn$xn )
2 Slicno dokazuje koriste6i asocijativnost mod. 2.)
( $ , , xn $0)
(x1' 'xn )
=
+ = (, . , $ ) .
(, ,0)
.
Slicno pokazuju svojstva Ps ' ' 7 i
61
Primer 9. Neka su Vj = (0,1,1,0) i V2 = (1,1,0,0) vektori
prostora L~. Tada
( $ 1~ 1 $ 1, 1 , $ ) - (1,0,1,0)
(01, 01, 01, 00) (0,0, , )
(10, 11, 11, 10) (0,1,1,0)
-
62 .Gilczan - . Lalil\U"i~:
Definicija 4. Vektori V1 ,V 2 , ,vm m>l linearno
visni ako toji 1. . L2, tako da iz ) )
+ V =
proizilazi ~ .
Definicija 5. Vektori V1 ,V 2 , ,vm m>l linearno n-
zavisni ako Bvako , ( L2, iz
CXIV1+ CX2V2+ . +CXnvm = proizlazi l=2="'=m=0
Primer 10. Vektori
(1,1,0,0), 2 = (1,0,1,1), VJ = (1,0,1,0), v. (1,1, 0,1)
iz prostora L~ su linearno zavisni. Zaista lz
. (1,1,0,1)
(0,0,0,0)
i jednakosti vektora proizi1azi da
Jedno od reenja ovog sistema jeste ,=l, 2=1, ,=l .=l, to
1ako proveriti. Dakle, definiciji ., vektori " V2, ,
i v. su linearno zavisni.
Primer 11. Vektori
(0,0,0,1), V2 = (0,0,1,0), v, = (0,1,0,0), v (1,0,0,0) ,
iz prosto'ra L 2 , su 1 f learno nezavisni. Zaista iz
-
Bulova aJgebra
+a~ (1,0,0,0)
=(0,0,0,a1)+(0,0,a20)+(0,a,0,0)+(a~,0,0,0)
= (, , , )
1 jednakost1 vektora pro1z11az1 da a~=O, ,=, 2=0, ~1=0,
su vektor1 Vl, V2, v 1 v~ 11nearno nezav1sn1;
Definicija . u tinea~no neaavisnih vekto~a Vl, ,Vk ia
L~ aovemobaaa p~oeto~a L~ evaki EL~ vektol'i X,Vl, . ,vk ~inea~no aavisni.
Jedna baza prostora L~ su vektor1
! (1,0,0, ,0)
2 (0,1,0, ,0)
.................. n - (0,0,0, ,1),
jer se .svak1 vektorx=(x1 , ,Xn) 1z L~ mo~e pr1ka~at~ kao 11-
nearna komb1nac1ja
= xlel+x2e2+ +Xnen.
Za1sta,
= x 1 (1,O, O)+Xz(O,1, ,O)+ . +xn(O,O, .. ,1)
= ( ,, ,0)+(0, 2 , ,0)+ +(,, ,n )
($ 81 81 , 81 2$ $ , 081 81 ..... xn
) .
(l'2' 'n ) .
Prime~ 12. Ska1arn1 pro1zvod vektorax=(1,1,O,O,1) 1
(1, 0,1,1,1) vektorskog prostora L~
-
64 .Gllezan - . Latlllovlc
= 11 10. 0'1 01 1"1 ~ 1 . Q 1 .
SkaZarni. proi.lIvod < , > J.ma slede~a svojstva:
1 ;;;'
20 ~
]0 = +
+
40 = =
.Alt - Q ka!emo da vektorl 1 ortogona1nl.
Pod skupov 1
svakl 1
ZADACI:
1 N
svakl
skupa
N
L2 zovu ~e ortogonalnl ako
.. .
za
Zadatak 1. Postojl 2' razll~1tlh Bulovlh funkc1ja f : L~+L2 (tabllca stranl (7). Nap1satl kanonske dlsjunktlvne noralne
forme, odnosno kanonske konjunkt1vne normalne forme za funkclje:
nOkazatl da dobijenl lzraz1 za funkclje f7, f" fl0, f 10 1
f ls mogu trnsform1sat1 u 81ede~e veze:
-x'yv ', xvy,
= x'yvx'y,
=> xvY,
1.. .
Zadatak 2. Data Bulova funkclja f:L:+L281ede~om tabllcom: z
Q Q 1 Q 1 Q 011 1 Q 1 Q 1 110 111
f (, ., z)
1 1 1 1 1 1
-
8\110 algebra
Kor1ste61 KDNF dokazat1 da fL,y,z)
Resenje: Kanonska d1sjunkt1vna nor.malna
f (, ,z) =xYZvxyZvxYZVXYzvxyz vxyz
Kor1ste61 zakone Bu'love algebre, mozemo p1sat1
f(x,y,z)=xz (YVy)vyz () vxz (YVY)VYZ{xvx)
xzvyzvxzvyz
z(xvx)vyzVyz
zvY(Zvz)
zvy.
Zadatak . Date su Bulove fUnkc1je f, f2, f ,
bl1com
z f f 2 f f~ f 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
) Nap1sat1 KDNF 1 KKNF -za date funkc1je.
) 1n KDNF 1 KNF transform1sat1 u obl1ke
f 1 (x,y,z) yvz f 2 (,, z) xz
f (,,z) xvyvz f~ (x,y,z) xyz
f5 (x,y,z) = xvyvZ.
65
v f~, f 5 , 'ta-
Zadatak 4. Ako su 1 Bulove promenlj1ve 1 opera-c1je
11 => , .1 11 date vezama
=>
(6 ) () = )
dokazat1 da
) 1. => .. 1
2. => ) => ) => 1
-
.GilclOI - 11. Latillovit'
.
4. (=>)=> ({y=>z) => (x=>z)) 1
6. => ( =~ )
7. {=> ( =>z)) => ({=>) => (=> z)) 1
. => ( =>(=>)) = 1
) 1. = 1
)
d)
)
2 ( ). ( )
. ( ) ( )
1. (=>) (y=>z) => (x=>z) = 1
2. () ( z) =>(xz) = 1
. ( ) ( =>)'{=> ) = 1
1 (=>) (y=>z) (x=>z) = xyvxz.vxzvyz
2. ( ) ( z) (=> z) = xyvxzvyz
1.
2.
. (xy)z = {yz).
Zadatak 5. Dokazatl veze: xVy=x=>y, ==>, , L2.
Zadatak 6. Dokazati identitete:
( =>) => Z
(x=>y)=>z
=> (y=>z),
x=>{y=>z), x,y,Z(L2'
Zadatak 7. Dokazatl veze:
v 1 = ;(1=> (~2=> (XI=> .,. =>(Xn_1=>Xn ) .. )), 1=1
-llx1
1=1
XI=> (2=>{'=>'" ~>(x => ) . )), n-1 n.
-n---1 1 1 1=1
-
lll,'" algcbra
Zadatak 80 Dokazat1 da koja Bulova funkc1ja f
promenlj1v1m ,ooo,xn
moze nap1sat1 u obl1ku
(1) f(x)= u l 2 an - 1 . an f () => (] => (2 => => (xn - 1 => ~n ) ) )
67
(11) f () = _ l 2 1'l_1 an I (f () => (I => (2 => => (xn - 1 => x n ) )
EL~
Zadatak 90 Dokazat1 da koja Bulova funkc1ja moze pr1-
kazat1 negac1je 1 impl1kac1jeo
Zadatak 100 Dokazati 1dent1tete:
10 f(x) = Xof(l)vX of(O) = (xvf(O) (xvf(I
2 f () v g ()
30 f(x)og(x).
( f(l)vx'f(0v(g(1)xvg(0) )
f(1) vg(Ix v(f(O) vg(Ox)
(f(1)xvf(0)x) (g(l)XVg(O)x)
(f(1) og(l)x) v(f(O) og(O)x)
Zadatak 110 Dokazat1 identltete:
10 x 1f(x) xif(Xl,000,x1_1,I,x1+1'000,xn)
20 x1f(x) X1f(Xl,000,xi_l,0,x1+1'000,xn)
30 x i vf(x) = 1 vf(xl,000,x1_1,0,xi+l'000,xn)
4 x i vf () = X1vf(Xl,000,x1_1,I,x1+1'000,xn), 1=1, ,
Zadatak 120 Dokazat1 1dent1tete:
10 f(x) = xif(xl,000,x1_1,1,x1+1'000,xn)
Vx1f (], ,,_1 , '1+1 ' ,xn ) , 1=1, , 20 f(x) = (x1~f,x],000,.x1_1,0,x1+1'000,xn
30 f ()
(1 vf , '1_1 ,1,1+1 , 'Xn' 1=1, . , X1X1+1f(X],000,X1_1,1,1,X1+2'000,xn)
vX1X1+1f(X],000,X1_1,liO,x1+2"00,Xn)
-
~ .GilczO\I\ - .I ... I iIHl\j I.f
V;{i x i+1 f (,' ... ,x1_ 1 ,0,1,xi +2 , 'n)
VXiX1+1f(Xl, ... ,xl_1,0,0'X1+2, ... ,Kn), i=1, ... ,n.
4. f () ( 1 i+ 1 V f ( 1 , , i -1' , ' 1 + 2 ' .. ' n ) )
( i ;{i+1 V f ( 1 , ,K i - 1 ,0,1, Xi + 2 ' ... ,) )
( i 1 + 1 V f. ( 1 , , 1- 1 ' 1 , , i + 2 ' . ) )
(X i ;{1+1 vf(XI, ... ,K1_1,1,1'X1+2, .. Kn, i=1,2, ... ,n
Zadatak 13. Ako $ = z, onda
1. $ z
2. $ z =
3. $ $ z = , dOkazati.
Zadatak 14. Neka
n = (()!() Ua } (L~
to jest, n skup Bulov1h funkclja u KDNF. Dokazatl da skup
n pOlju (L 2 , $, . ) 11nearni prostor u odnosu binarne 0-
peracije sabiranja i mnozenja skalarom, gde
f () +g ()
kf(K) II~I [ ().
'-../ kacx'x ,
CX(L~
,,$" i "." sabiranje 1 mnozenje mod. 2.
2adatak 15. Data Bulova funkc1ja
f(K,y)=f(O,O)xY$f(O,l)KY$f(l,O)KY$f(O,l)XY;
transformisati u baze:
I = {l, , , }
= {1, , , }
2 = {l, , , }
.= , , , ;{}
Resenje za bazu . f(x,y)=f(O,O)$(f(l,O)$f(O,Ox
$ (f ( , 1) $ f ( , ) ) $ (f ( 1 , 1) $ f ( , 1) $ f ( 1 , ) $ f ( , ) ) .
-
l3ulova al~cbra 69
G L V IV
U L V D N"A I N
1. BULOVIM JEDNAeINAA
Sada op1sat1 Bulove jednac1ne (1 nejednac1ne) u Bulo-
voj algebr1 (L2 , V', ',' - ). Def1n1c1je 1 neke teoreme
'jednac1nama, koje ovd~,1z1a~eo, mogu se pros1r1t1
Bulovu algebru. Za detalje v1d1 (39), .[55 ..
Bulov1m
bilo koju
U ovoj glav1 se daju neke metode za resavanje ulv jedna-
C1~e. Detaljn1je obradjena metoda sukces1vn1h elim1nac1ja ko-
se cesto kor1st1 u praks1. Obradjene su alternat1vne jednac1-
ne kao spec1jaln1 slucaj ulv1h jednac1na.
Definicija 1. Ako .(l,'" ,xn ) 1 (! ,' ,n ) Bu~ovi is-l'asi, gde l' jedan od njih sadl'si pl'omen~jive l"" ,x
n skupa" L2,
tada jednakost
(1 )
80Ve BuZova jednaaina.
Pl'imel' 1. Ako su , 1 z .1z skupa L2,tada BU jednako'st1
V1 = 1, (XVy)z = , (xvz)xy = (xVy)z
ulv jednac1ne. Medjut1m, jednakost1
1VO=1, (lvO).l=l, (lV1)'0
n1su ulv jednac1ne.
Vektor =(, ,) skupa L~ zove part1kularno resenje"
ulv jednac1ne (1) ako
() ().
-
70 h..Gil-':l':llt - (l.I.illil1t1,"ic:
Skup svih partikularnih reenja Bulove jednacine (1) zovemo
skup reenja jednacine. sa R oznacimo skup reenja Bulove
jednacine (1),unda
R = { I ()
to jest
Prime!' 2. Skup reenja Bulove. jednacine = 1
R = {(, 1), (1,0), (1,1)}, gde (,)( R.
R prazan skup onda Ka~eo Bulova jednacina
nemogu6a. , primer, jednacine = 1, () = 1 su nemogu6e.
Definicija 2. Ako (' 'n ) i (, ,n ) 8u~ovi iz!'aai,gde !' n od njih sadrii p!'omenljive ' 'n skupa L2,tada !'elacija
(2) A(XJ, ... ,Xn)
-
Blllova al~cbra 71
(J1 ) (.) . . (YVZ) {jedna~1na (l
() (XVy) ' . (y.z) (zakon1 de Morgana)
(Kz ) - (.) ,z xxvyx (zakon1 d1str1buc1je 1 asoc1jac1je)
(] ) OVY'x Oz (zakon1 = )
(2 ) = (zakon1 avO =,=).
Jedna1!1ne (), 1), (2), (]) 1 (2) su ekv1valentne.
Teol'ema 1. Bu~ova jednacina = ekviva~entna jednacinama
A'BVA'B = (11) (AvB). (AVB) = 1.
Dokaz.
(1) (l) = ako 1 samo ako "' 1 <
(glava I, teorema 9.)
(11)
-(2) A~B 1 B~A ako 1 sao ako = 1 =
(glava I, teorema 10., (Ts) (1
(3) '= 1 = ako 1 sao ako A.BVAB=O (glava I, teorema 2.)
(1) = ako 1 samo. ako '" 1
-
72 .Gilezan - . Lallnovlc
(1) (1) ", 1 '=- (glava 1, te.orea 8.)
(2) (') (zaena . u (1) )
(3) () (zaxoni asoclj acije 1 -
mutaclje)
(4) ' = (zakon - = ) (5) ' = (zakon - ).
(11) (1) -
-
nulova algcbra
S1stem Bulov1h jedna~1na
xyvz 1
(xl;)z)y 1
-xVy 1 teorem1 . (11) ekv1valentna Bulovoj jedna~1n1
(XYVz) (XVz)y 6) - 1.
Pr1rodno name6u slede6e posled1ce 1 teorema:
PoeZedioa 1. Sietem BuZovih j.dna~ina
1 = 1 , 1 8 1, ,n,
ekvivaZentan BuZovim j.dna~inama _ _
(1) V (111111 )= (11) 1=1
(posled1ca teoreme 1.1 teoreme .).
(1 1 ) (A1 UB1 )=1 1=1
PoeZedioa 2. Sietem BuZovih n.jedna~ina
1 < 1 , 1 = 1, ,n .. ek-vivZntn " Zovim jedna~inama
(11)
~posled1ca teoreme 2. 1 teoreme .).
7
Prema , s1stem Bu~ov1h jedn~~1na 1 nejedna~1na uvek
o~e svest1 jednu Bulovu jedna~1nu.
p:rime-zo 8. S1stem Bulov1h jedna~1na 1 nejednalS1na
xyuz = xuyz = xvzy yvxz
yuxz < n teoreme 1.(1) 1teoreme 2. (1) ekv1valentan s1stemu
(XUy)zx v(xyuz)x -
x(yuz)yv(xvyz)y =<
_x(ZUY) (yvxz) u(xuzy)ycXvz) ..
Cvvxz)x ..
-
74 .Gllezan - . Lalll10vic
odno8no 818temu
xyzvxz ..
XyzvxY - xyzvxyz ..
.. .
Dobijen1 s18tem jedna~1na , osnovu teoreme . ekv1va-
lentan Bulovoj jednaiHn1
(xYzvxzl V(~zvxYl v
-
Bulova algebra 75
= ~.
Ostale konjun~c1je u (5) su jednake nu11. Dakle A'(e~, ,en)-l,
ito u suprotnost1 ~11n da su jedna~1ne (3) 1 (4)
kv1valentne. Prema ovome, part1kularno reienje (e~, ,en) ~ , odakle sl,ed1 (.1, .. , ) L~' ito .1 trebalo dokazat1.
Primer9. Nadjlno skup reienja Bulove jedna~1ne
(xuy)zux(yuz)vx = .
Datu jedna~1nu !, osnovu teoreme DNF, transform1sat1
u ekv1valentnu jednalHnu
xyzv xyzv xyzv Xyz V xYz = ,
odnosno '.
qde
= {(1 ,.~ ,1), (1,0,1), (1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,0)}.
Dakle, skup reienja date jedna~1ne
R = L;\M - {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0)}.
Lema 1. Svaka BuZova jedna~ina
(6) A(Xl'.~.Xn) =
ekvivaZentna BuZovim dninm
1 = 1,2, ,n.
Dokaz leme 1. neposredan.
Teorema 5. Jedna~ina (6) mogudaako i
(, ,1_1 ,1 ,1+1 , . ' ) (, ,1_1 ,0 ,1+1 , ~ ' ) =0, 1=1,2, ,.
Dokaa. Neka (q.1 ..... ,~) reiienje jedna~1ne (6). Na osnovu
leme 1. (1.1' '(12) reienje 1 s1stema (7), to jest
-
76 K.Gllczan- B.Lalinovlc
1.cl,2, .. ,n.
teorem1 . s1stem (8) ekv1valentan s1stemom
(9)
A(al, ,a1_1,0,a1+1, ,an)a1=0, 1=1,2, ... ,n,
teorem1 2. (1) s1stem (9) ekv1valentan s1stemom~edna
~ina
to jest s1stem (9) ekv1valentan sistemom nejedna~1na
(10) A(al' .... ,a1_1'1,a1+1; . ,an)
-
Bulova algebra 77
Teol'ea 6. jednaiHna (12) O(Jut!a. to j t, n
' . l'.'enje j.dna~in. (12) i
(I) 1)< <
(I "') .. .
Doka,..DokaI1Jao prvo relac1ju (1).
1,. ax\.ibx -
2. - 1 '"
.
-
78 K.Gllezan - . Latil1ov\c
-
- ,
jer (uslov da jedna~1na (14) mogu~a).
Neka relenje jedna~1ne (14). Zamenom = u (13'),
1z teoreme 6. pro1z11az1 da = \.
su relac1je (1) 1 (11) 1z (15) ekv1valentne 1z1az1 1z:
\ = (\ )\
.. (\)\
.. \.
(bva - pro1z11az1 1z uslova da jedna~1na (14) mogu~a, to
jest = , iito teorem1 2. ekv1valentno b~a,odnosno
ekv1valentno \; '" ).
Prim.r 12. Reiienje jedna~1ne
\ (\ ) = teorem1 7.(1)
= (bvc)pV (bVc)p, tj. - bvc.
Reiienje jedna~1ne
abxV (\) -
teorem1 7. (1)
= (aVb)pV (aVb)p, tj. - avb.
2. SUKCESIVNIH ELIINACIJA
Keka data Bulova jedna~1na
(16) A(Xl,.",Xn ) "': B(Xl, ,Xn ).
Na osnovu teoreme 1. (1) jedna~1nu (16) molemo transform1sat1 u e~.
kv1valentnu jedna~1nu
(17) iBVAB" , u oznac1 !l~J" 'Xn) - .
Na osnovu leme 1. jedna~1nu (17) molemo trans!or.mlsatl u ekv1va-
lentnu jedna~1nu
-
Dulova algebra
(18.1) [l(1'2' ' )vf(0,2, , )1 = . .
Na osnovu teoreme 5. jeana~1na (18.1) mogu~a ako
(18.1~) f.](1,2, ,n)f(0,2"",n ) = , u oznac1 f 2 (2 , 'n) = ,
gde e11m1n1sano .].
U slede~em koraku,na osnovu leme 1.,
(18.2)
odakle sled1
(18.2~) f2 (1,x~, 'n) f2 (,, ,
f ( , 'n ) = ;
ovde el1m1n1s~no 2.
Postupak e11m1nac1je produ!avamo
(18.n) f (1) Vf () .. ,
gde f n (1) 1 f n () konstante skupa L2.
, u oznac1
79
teorem1 5. Bulova jedna~1na (18.n) mogu~a ako 1
ako
(18.n") fn
(1);fn
(0) .. .
teorem1 7. (1) rn Bu10ve jedna~1ne (18.n)
(19.1) n = f n (1)PnVfn(0)Pn , tj. n = gn(pn), gde n promenlj1v1 parametar.skupa L2
Zamenom (19.1) u (18.n-1) dobijamo Bulovu jedna~1nu
f n- 1 (1,gn(PnXn_1Vfn_1(0,gn(PnXn_1=
~1je rn, osnovu teoreme 6.(1)
(19.2) Xn-1~fn-1 (1,gn(pnPn-1Vfn-1 (0,gn(PnPn - 1 ,
tj. xn- 1=gn-1(Pn-1'Pn) gde n-1' n parametr1 skupa L2.
Produ!avanjem postupka, dolaz1mo do
(19.n) 1=f (1 ,g2 (Pz, 'n)' ,gn (n) )
vf:] (0,g2 (2, 'n)' ,gn ) ) .] ,
-
80 .Gllczan - . Latillovic
tj. 1 = gl(PJ,PZ,""Pn),
gde su ""n parametr1 skupa Lz.
Na osnovu (19.1) , ,(19.n) reenje jedna~1ne (17)
1 = gl (P1,""Pn), gde su PI""Pn parametr1 skupa Lz
Za deta1jan dokaz v1d1 [55].
P~ier 13. Data Bu10va jedna~1na
(20) (bVc)x\vcxzVbx,vcx\xZv (v)z,v\, = ,
gde su ,. 1 parametr1 1z skupa Lz. ~11m1n11mo 1z jedna~1-
n (20) nepoznatu ,. Na osnovu (18.1') dob1jamo jedna~1nu
t(bv ) \ cxzv CX\XZ V (v ) 2 \) bve) x\v exzVbvcx\xz)=O
koja ekv1va1entna jedna~1nom
(21) (v)\v2v\zvz = . 11m1n11 1z jedna~1ne (21) nepoznatu Xz. osnovu (18.
2') dobijamo jedna~1nu
({bvc)xJvcxJVbC)' ((bvc)XJVc))=
koja ekv1va1entna jedna~1n1
(22) (bVC)Xl = .
Jedna~1na (22) mgu jer O(bVc) = . Na n teoreme 7. 1z (22), (21) 1 (20) d4\:
(21.1)
(21.2) Xz
(21.3) ,
pv(bVe)p
(exIV bCXl)q V ( VbXl) .q (bXlvbCXl)' (bCX2vcx Z)'r
vbve)x\xZv 2) .?
Zamenom (21.1) u (21.2) el1m1n1emo l, zat~ zamer~m(21.
2) u (21.3) e11m1n1emo 1 2' kraju dobijamo opte reenje
-
l .. bvcvp
2 .. v~
... bV~r,
gde 8U p,q 1 r roenl1v1 parametr1 8kupa L2.
T"ol'ema 8 . (L. Lowenhe1m).
Zal'no l'elenJe BuZove Jedna6ine
(23) f(Xl.' ,Xn ) -,
onda nn oplte "l'elenJe
(24) x1-t1f()V1!(), 1E{1, ,n},
gde.Je P-(l, ,n ) Pl'Oi8voZJan vektol' ekupa L~.
81
Doka8. 08nOVU teoreme DNF jedna~1na (23) ekviva-
lentna 8
(25) V'C .. , . EL.n
gde " f(al, ,an). ~z (24) pro1z11az1 da (26) ~,-t1f(~)V1f(), 1E{l,.,n},
jer akO j~ f(p) .. onda 1 - t 1 , tj. 1 .. t 1 , ako f(p) l,onda 1 .. 1 , tj. 1 = 1. 08nOVU (24) 1 (26) 1mamo:
., 1 1 ." 1-24) x1 -t1 f(p)VP1 f(p}," 1E{l, ,n}, "1EL2.
eka 8ada opite reienje
1 .": t1f(p)VP1f(P), 1E{1, ,ri}, 1 f(p - O~t .. (tl, ... ,tn}!tada zamenom (24') U (25) 1mamo:
-
82 K.Gilczal\- . [.alillov!c'
f)f()vf()f() : , jer f(;) = 1 ff .
Neka (x~, ... ,x) = resenje jedna~lne (23), to jest
f(x*) : , f(x*) = 1 1 = , onda
! = ;lf(x.)~x~f(X.) i:ol,2, .. ,n.
OVim teorema dokazana.
Primer 14. Jedno partikularno resenje Bulove jedna~lne
11 11 _
~ 1=1' (XjVXh ) = (~I""';n) : (0, . ,0). Njeno opste resenje, osnovu teo-
reme 8. (24),
iE{l, .. ,n},
to jest
11 11
1 =! Ij=l(ajv(~ PjPhJ, iE{l, ... ,n},
gde su PI,."'Pn parametri iz L2
. Postoje i druge teoreme Bulovim jedna~inama (nejedna~ina
). Za detalje videti [], [421, [551.
3' ALTERNATIVNE JEDNAt1NE
Ranije definisali alternativni izraz (qlava 111, ode-
ljak 4.). Sada m definisati alternativnu jedna~lnu i navesti
nekoliko teorema koje se odnose nju.
vni iaraai, gde jedan od njih dr.i n ljive
skupa L2,tada jednakost (nejednakostJ
-
\' aJgcbra
(l,'" ,Xn)=B(Xl ~ 'n)" ({, ,Xn )";; {, 'n aOVe aZtepnativna jednaaina (nejednaaina).
ppimep 15. Jednakosti
.. , (. y)z =
su alternativne jednaaine, nejednakosti .
.";;, (x.y)z";;O
su alternativne nejednaaine.
m 9. AZtepnativna jednaaina
() (, ,n). (l, ,n)=(, ,n )
ekvivaZentna aZtepnativnoj jednaaini
(2) ( , 'n) = ( , 'n). ( ' .... 'n )
Dokaa.
(jedna~ina (
83
(l) $=
(2) ABVA ..
(3) (AVAB) V(V) =
(4) vvv.=
(veza V.(i), glava III)
(teorema 1., glava III)
(zakoni de Morgana i distri-
but1vnost1)
(5) (v).V(v) (BVC) ..
() ( ~)v (v) ..
(7) -v
(d1str1but1vnost 1 zakon1 de
organa)
(zakon1 de Morgana)
(teorema 1., glava IV)
(8) = $ (veza V.(1), glava III).
OV1m dokazana ekv1valentnost jednaalna (l) 1 (2).
PpimBP 1. Prema teorem1 9. jedna~1na = ekviva-lentna jedna~1ni = . TakO, resenje s1stema alternat1vnih
jedna~1na
$ ..
-
84
$ $ z = $ $ t ... d
= , = 81 , z .. $ , t = d. Teorema 10. l.ternativna jednaiHna
(27 ) =
ekvival.entna Bul.ovoj jedna~ini
(28) v(a ) .
. Jedna~1na . = ekv1valentna jedna~ln1 81 ( ) osnovu svojstva
butivnost1 1 asoc1jat1vnost1 sled1
. = 1, pr1menom d1str1-( ) = .
Teorema 11. Al.ternativna jedna3ina (27) moguda i
; = .
Dokaa. Jedna~1na (27) ekv1va1entna jedna~1ni (28),
osnovu teoreme 5. jedna~1na (28) gu i samo
( $ ) = Ato ekv1valentno sa . = jer (. ) = $ =. ( $ l) = ;.
Teorema 12. jedna~ina (27) rnoguda. Op5te re5enje
dnacine (27)
(29) = $ , gde promentjivi parametar L 2
_. Na osnovu teoreme 10, jedna~1ne (27) 1 (28) su ekv1-
valentne. ReAenje jedna~1ne (28) osnovu teoreme 7.(1)
= ( b)pvbp ( b)pvbp (relacija = )
= ( )' .ta ) (relacija avb = $ ) . (relaclje ' , )
= (relac1je = 1, '! = ). Primer 17. Opte reenje alternatlvne jednalHne
(avb)x = , gde su , i konstante 1 L 2 ,je, .= () ; ovde promenljiv parametar 1 L2'
-
Bulova algebra
ZADACI
Zadatak 1. Date BU Bulove jednac1ne
1 (1)
2 (1)
(1)
J~ (1)
yvxz
zvxy
xvyz
yvzx
=
= z
(11) xyzvxyz
(11) xyz
(11) =
(11) = yzvyz.
85
Dokazati da BU (i) 1 (11), k=1,2,3,4 ekv1valentne jednac1ne.
Zadatak 2., Dat s1stem jednac1na 1 nejednac1na:
yvxz =
zvxy = 1 < xvyz < 1 < . ,
gde su 1 parametr1 1z skupa L2. Dokazat1 da dat1 sistem jednacina 1 nejednac1na ekviva-
lentan jednacinom
vz ~ (bVc)yzVcxz = .
Zadatak 3. Data Bulova. jednac1na
() v [ () l..l () ,. , gde su , 1 parametri iz skupa L2.
Dokazati da data jednac1na mgu.
Reenje. Data jednacina transformi~e ekvivalentnu
dnacinu
()= ,
gde () = za svako , i EL. Zadatak 4. Odrediti skup re~enja Bulovih jednac1na:
(i) xyvxz"
-
86 .Gilczal\ - . Lalillovic
.()
(111)
(iv)
xvyz =
x(yvz) .= 1
vxz vxy.ZV xyz
() Yvz vxyz = 1.
Reenje:
(1) L:' {(0,0,1),. (, , ),
() L; ,((0,1,1), , 1,1) ,
(111) L) z ,{(0,1,1), (0,1,0),
(1v) L' 2
(v) L~' {(,,)}.
xYvxz
(1,1, ) , (1,0,0) }
(1,0,1), (1,'1, ) ,
(, 0,1) , (0,0,0) ,
(1, , ) }
(1,0,1) }
Zadatak 5. Metodom sukceslvnlh ellmlnaclja odredltl
reenje Bulov1h jedna~1na:
(1)
(11) cxvcYvcxYVyzvxz = ,
gde su ' 1 parametrl lz skupa Lz.
Reenje.
(1) = bvcvp
cvbpq
z = vqr
(11) = cvp
cvpq
z = cpqr, ,.
-
Zadatak 7. Qdred1t1 opste resenje Bulovih jedna~1na
Resenje:
(1) 1 =! (V /-1 ah1 pih) , 1=1, ... , k=1 1=1
gde su PI""Pn parametr1 1z skupa Lz '
R _ . _ _
(11) 1=1 -/ -/ V(ah1V PhVPj ) ... 1=1, n, k=1 =I
gde su PIJ."'Pn parametr1 1z skupa L2.
Zadatak 8 . Odred1t1 skup resenja s1stema alternat1vn1h
nac1na
$ .=
.$ = $ $ z = $ $ t = ,
gde su , parametr1 1z skupa L2.
Recezenti; dr Slavisa Presic, dr NedelJko Parezanovic, dr Svetozar ~ilic
Primljeno za stampu sednici Redakcionog 6dbora od . 1915. gOdine .
. Samoupravna interesna zajednica za naucni r~d Vojvodine ucestvovala utro~kovima izdavanja publikacije.
87
jed-
Prema re;enju Republickog sekretarijata za ku1turu SR Srje publikacija os1obodJena poreza promet.
-
88 .Gllczan - B.Lallnovlc!
GLAVA V
1 N I 1 Z 1 3 U L V
!' U N I
~lta1ac 6 u qlavl VIII upoznat1 neke rte Bu10ve a1qe-
bre re1ejno-kontaktne l. Vlde6e da zahtevl konstruk-
c1ju jedne kontaktne l u ~etku obi~no 108 u verba1nom 0-
bl1ku, zat~ 8 prevo4e u a1q8bar8k1 obl1k. Bu10va funkc1ja,
pr1drulena l1,8 zat1m nek1 na~1n uproldava tako da kontak-
tnalea bude Ito m09'\lc!e ekonoml~n1ja. l'o4'ekonoml!!n1jom l
IIIO podrazUDeva 8 ~lj lzqradnju treba u10lltl manje are
datava. edjut1m, unlverzalnoq krlterljuma Ita zna!!1 mini-matna fwnkaiJa .n. '. O~no 8 kao krlter1juml uz1maju:m1-
n1Jll41nl broj 81ova, IIIln1ma1nl broj konjunkc1ja 1 1111n1ma1n1 z
d1lj.unkc1jau 1zrazu koj1m le daje funkc1ja (vldet1 [15], [17],
[28 1 (25). RAn1je I ve6 da11 neke pr1mere a1qebar8koq uprol6avanja
8ulove funkc1je. ll nam da jednu 8ulovu funkc1ju, da.tu
8ulov1m 1zrazom 31 , pred8tav1lllo ekv1va1entn1111 Bulov1lll. lzrazolll
2 koj1 1JII4 lIIanj1 broj 810va od datog 1zraz& ~1' ada n181110 ek8-
p11c1tno na91&8111, to naj1akle poBt1le. ako le Bu10va funkc1-
f 1' u DNF (odnOBno NF), zat1lll uporedjuje Bvaka
konjunkc1ja (o4n08no d18junkc1ja) 08ta11lll konjunkc1jaIIIA (d18-
unkc1j ama) 1 pr1lllenjuju, gde to Il109'\168, 1dent1tetl
XYvxY - , odn08nO!
{Xv10 {XvY> - .
P~im.~ 1. Za fuklu f datu '
-
nt~lova algcbrn 89
- ---f ( , , ,_) .. l~ VlZ~ VlZ_ VXlX2XSX_ molemo,primen1t1 1dentttet XYvxY = konjunkc1je redam:pr-vu 1 drugu, tre6u 1 ~etvrtu, petu 1 !estu. Imamo:
f (! '2 , ,X~) .. z_ (XlV Xl) VI2 _ V _) V I cX_v _)
.. 2~VlZV1..ZS_VlZ ( vxs)
= _ VX1XZ.
11 ovog de1a jeste da daju s1stemat1~n1je metode za u-
pro!6avanje Bu10ve funkc1je f. Iz10116emo dve: metodu Vajt-Kar-
naufa (V~ltch-Karnaugh) 1 metodu Kvajn-ak K1askog ( Qu1ne -. C!uskey). Pre nego predjemo opis pomenutih metoda ~ 9: metr1jsku reprezentac1ju Bu10ve funkc1je (v1det1 (28]).
1. GEOETRIJSA REPREZENACIJA BULOVE FUNClJE
. :ta promen1j1ve XJt ,xn (g1ava II,' teorema 1.) postoj1 2
konjunkc1ja obl1ka ! n
(1) ! 2 n 1 2n d1sjunkc1ja obl1ka
(2) ! 2 n
! VX v . vxn
1 -SVak1 1.zraz 1 u konjunkc1j1 obl1ka (1) mo!emo zamen1t1
111 1, u zav1snost1 da 11 1 '" 1 111 1 .. 1 (g1ava II,re-11 (4. Svakoj konjunkc1j1 obl1ka (1) mo!mo pr1drul1t1
broj k.u s1stemu osnovom 2 1 obrnuto, to jest
(1 ') n
l 2 n .. Ck '
gde
111 druk~1je
k
-
90 K.Gllczan- . Latillovlc
Indeks k dekadni broj koji jednak broju a 1 a 2 a n u -
narnom sistemu.
Odavde proizilazi da sve konjunkcije oblika (1) o~eo pi-
sati u .normalnom poretkU
., Cl.' . ' Ck , , 2 -1
Primer 2. Za promenlj1ve , i z postoji 2 ]=8
t1h konjunkcija obl1ka (1) Njih mo~eo poredjati u
poretku sld1 na!!1n:
z . jer 000 =
z l jer 001
z 2 jer 010 2
z ] jer 011
z , jer 100 4
z S jer 1l 5
z , jer 110
z 7 jer 111 7.
i konjunkcija oblika (1 ) i disjunkc1je oblika
redjati u normalnom poretku
Do, Dl' , Dk , , D ' 2 -1
razli!!i-
normalnom
(2) o~e-
gde indeks k odredjuje kao u slu!!aju konjunkc1ja oblika (1).
1 u glav1 uglavnom slu~iti KDNF Bulove funkc1je
f, odnosno konjunkcijama ., Cl' ' 2 -1
Na osnovu teoreme KDNF Bulove funkc1je (glava 111, teore-
2) i relacije Ck
se napisat1 u obliku
Pr
top related