capítulo 1 números reais 2014
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SERVIO PBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERALDO PAR CAMPUS UNIVERSITRIO DE TUCURUI CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CLCULO 1 PROFESSOR: Manoel Santos
CAPTULO 1
NMEROS REAIS
Resumo terico e lista de exerccios Introduo: A partir do sculo VIII, os rabes introduziram na Europa o sistema conhecido como sistema de numerao indo- arbico, com 10 smbolos, sofreu alguma modificaes no decorrer do tempo, somente no sculo XIV os smbolos adquiriram o formato que temos hoje.
Nmeros Naturais: Os nmeros naturais so aqueles que utilizamos para fazer contagem de nmero de pessoas, nmero de cidades, pginas de um livro, etc. Representao: IN
IN = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Nmeros Inteiros: Para cada nmero pertencente ao conjunto dos naturais, temos um nmero correspondente negativo, chamados nmeros opostos. Por exemplo: O oposto de 5 5; o oposto de 10 10 e assim por diante. Por tanto temos como conjunto dos nmeros inteiros todos os nmeros positivos, no caso os naturais, seus opostos e o zero. Representao:
* +
Nmeros Racionais: Nmero racional aquele que pode ser escrito da forma:
Representao:
Exemplo: 5
2,
4
1,
3
2
A operao que a cada par de nmeros racionais associa a sua soma denomina-se adio , e a que associa o produto denomina-se multiplicao. Sejam r e s dois racionais dizemos que r estritamente menor que s (ou que s estritamente maior que r) e escrevemos ( respectivamente ) se existe um racional t estritamente positivo tal que A notao ( L-se: r menor ou igual a s ou simplesmente r menor que s) usada para indicar a afirmao A notao ( L-se: r maior ou igual a s ou simplesmente r maior que s) usada para indicar a afirmao r positivo equivale dizer que . Se dizemos que r negativo.
Nmeros Reais:
O conjunto dos nmeros reais ser indicado por IR. , isto , todo nmero racional um nmero real. Os nmeros reais que no so racionais denominam-se irracionais INTERVALOS: INTERVALO ABERTO: intevalo aberto de extremidades a e b denotado por ]a,b[ definido por :
( ) * +
INTERVALO FECHADO: intevalo fechado de extremidades a e b denotado por [a,b] definido por :
, - * +
INTERVALO SEMI-ABERTO: FECHADO EM a E ABERTO EM b: intevalo fechado de extremidades a e b denotado por [a,b[ definido por :
, ) * +
INTERVALO SEMI-ABERTO: ABERTO EM a E FECHADO EM b: intevalo fechado de extremidades a e b denotado por ]a,b] definido por : - - * +
Os quarto intervalos assim definidos so ditos limitados.
Ao introduzir os smbolos , (l-se: menos infinito e mais infinito), definimos os intervalos ilimitados:
( )
, ) * +
( ) * +
1. Dados os conjuntos: A = [ 2 ; 5 ] e B = [ 4; 7]. Calcule:
a) b) c) d)
2. Dados os conjuntos: A = [ - 1 ; 3 [ e B = ] 0; 6]. Calcule: a) b) c) d)
3. Dados os conjuntos: A = [ - 4 ; 3 [, B = ] 1 ; 5 ] e C = ] - 6 ; 1]. Calcule:
a) b) c) d) ( )
-
4. Dados os conjuntos: A = [ 3 ; 8 ], B = [4 ; 8[ e C = ] 4 ; 9]. Calcule: a)
b) c) d) ( )
5. (FGV-SP)Sejam os intervalos ]2,0]],1,] BA e
]1,1[C . O intervalo BAC : a) ]1,1] b) ]1,1[ c) ]1,0[
d) ]1,0] e) ]1,]
DESIGUALDADE A representao geomtrica dos nmeros reais sugere que estes podem ser ordenados . Utilizando os smbolos usuais para maior, maior ou igual, menor, menor ou igual ( ), podemos ver, por exemplo que se , ento, . No eixo coordenado temos que a est esquerda de b, para todo , temos:
Exemplos: resolva a inequao: 5x + 3 < 2x + 7
Conjunto soluo: {
}
INEQUAO DO PRODUTO: Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) < 0 e f(x).g(x) = 0 , so denominadas inequaes produto. Vejamos por exemplo, como determinamos o conjunto soluo S da inequao ( ) ( ) De acordo com a regra de sinais do produto de nmeros reais, um nmero soluo da inequao ( ) ( ) se, somente se, ( ) e ( ), no nulos, tem o mesmo sinal. Assim so possveis dois casos: 1 ( ) ( ) Se so, respectivamente, os conjuntos solues dessas inequaes, ento o conjunto soluo do sistema. 2 ( ) ( ) Se so, respectivamente, os conjuntos solues dessas inequaes, ento o conjunto soluo do sistema. Da concluimos que o conjunto soluo da inequao do produto ( ) ( ) :
( ) ( ) Raciocnio anlogo seria feito para a inequao ( ) ( ) Exemplos: resolva a inequao (x + 2) . (2x 1) > 0
Conjunto soluo: {
}
Um outro modo de soluo:
Exemplo 2: Resolva a inequao; ( ) ( ) ( )
Conjunto soluo: {
}
Exerccios de aplicao: a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ( ) ( )
INEQUAO DO QUOCIENTE: Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
So denominadas inequaes do quociente. Considerando as regras de sinais do produto e do quociente de nmeros reais so anlogas, podemos ento, construir o quadro-quociente de modo anlogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma frao no pode ser nulo Exemplo:
Resolver a inequao:
Lembrando que :
Conjunto soluo: {
}
Exerccios de aplicao;
a)
b)
-
Exerccios de aplicao: 6. Seja a um nmero inteiro. Prove que:
i) Se a for mpar, ento tambm ser mpar;
ii) Se for par, a tambm ser par; ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNO: Seja a funo , definida por y = f(x), analisarmos o sinal da
funo verificarmos para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0. Resolver este problema significa estudar o sinal da funo y = f(x) para cada x pertencente ao seu domnio: Exemplo: estudar o sinal da funo y = f(x) do grfico abaixo:
Observemos, inicialmente , que o que nos interessa o comportamento da curva y = f(x) em relao ao eixo x, no importando a posio com relao ao eixo y:
Concluso: ( )
( )
( )
7. Estudar o sinal das funo representadas nos grficos abaixo:
a)
b)
c)
8. Resolva a inequao:
a) R: {
}
b) R:
c) R:
d) R:
e) R:
f) R:
g) R:
h) R: [4;8]
i)
R: ( ) (
)
j)
9. Resolva a inequao:
a)
R:
b)
R:
c)
R:
d)
R:
e)
R:
f) ( )( ) R:
g) ( )( ) R:
h)
10. Estude o sinal da expresso:
a)
b)
c) d)
e)
f) ( )( )
g)
-
h)
i) ( )( )
j) ( )
k) ( ) 11. Estude o sinal da expresso , onde e b so dois reais
dados;
Identidades:
1 . ( ) ( ) 2 . ( ) ( ) 3. ( ) ( ) 4. ( ) ( ) 5. ( ) ( )
6. ( ) ( ) 7. ( ) ( ) IDENTIDADES:
1. ( ) ( )
2. (
) (
)
3. (
) (
)
12. Simplifique:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
POLINMIOS Generalizando, se o polinmio
( )
admite n razes , podemos decomp-lo em fatores do primeiro grau da seguinte forma:
( )
( )( ) ( )
Exemplo 1:
Fatorar o polinmio ( )
Resoluo: Fazendo , obtemos as razes r1 = 5 e r2 = 2.
Logo: ( )( ). Exemplo 2:
Fatorar o polinmio , sabendo que suas razes so
Resoluo: ( )( )( )( )( )
13. Fatore o polinmio do 2 grau dado:
a) R: (x 1 )(x 2) b) R: (x + 1 )(x 2) c) R: (x 1 )2 d) R: (x 3 )2 e) R: (2x 3 )(2x 3) f) R: x(2x 5 )
14. A afirmao:
para todo x real,
( )
falsa ou verdadeira? Justifique; Soluo:
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS:
Clculo vol 1, UERJ, Mauricio Vilches, Maria Correa Fundamentos da matemtica elementar, volume 1, gelson iezzi, carlos \murakami, 3 edio Guidorizzi, Hamilton Luiz; Um curso de Clculo, Vol. 1; 5 ed Leithold Louis, O clculo com Geometria Analtica, vol.1 3 ed.
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