çarpanlara ayırma

ÇARPANLARA AYIRMA VE SADELEŞTİRME

KONU ANLATIMI

ÇARPANLARA AYIRMA SADELEŞTİRME

En az iki terim arasında ortak çarpan bulunarak sadeleştirme, bir diğer işlem adıyla bölme yapılır.

ÇARPANLARA AYIRMA SADELEŞTİRMEOrtak Çarpan Parantezine Alma

Herhangi bir ifadeyi ortak çarpan parantezine almak için her terimi oluşturan ortak çarpanlar bulunur ve çarpan parantezine alınır.

ifadesinde 20, 12 ve 4 sayılarının ortak çarpanı 4′tür. Dolayısıyla bu ifadeyi 4 ortak çarpan parantezine alabiliriz:

Görüldüğü üzere bir ifadeyi ortak çarpan parantezine almak demek, o ifadenin içindeki terimleri tek tek ortak çarpana bölmeyi gerektirmektedir.

ÇARPANLARA AYIRMA SADELEŞTİRME

Yok Etme Metodu

Yok edilmesi istenilen bilinmeyenin katsayıları aynı ancak işaretleri ters yapılmalıdır.

Örnek: 2a+3b=12 iken, a+b=6 ise a’yı yok etmek için ikinci denklem -2 ile çarpılır.

b=0 bulunduğuna göre denklemlerin herhangi birinin yerine bu değer konulur;a+0=6 => a=6 değerine ulaşılır.

ÇARPANLARA AYIRMA SADELEŞTİRME

Birini Diğeri Cinsinden Yazma

a’nın b cinsinden değeri sorulursa a yalnız bırakılır

ÇARPANLARA AYIRMA ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

ÇARPANLARA AYIRMAÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı - Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab2. İki Küp Farkı - Toplamı1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

ÇARPANLARA AYIRMAÖZDEŞLİKLER

3. n. Dereceden Farkı - Toplamı

a) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + ... + xyn – 2 + yn – 1) dir.

b) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – ... – xyn – 2 + yn – 1) dir.

ÇARPANLARA AYIRMAÖZDEŞLİKLER

4. Tam Kare İfadeler

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

c) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

d) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

ÇARPANLARA AYIRMAÖZDEŞLİKLER

n bir tam sayı ve a ≠ b olmak üzere,

• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

ÇARPANLARA AYIRMA5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

ÇARPANLARA AYIRMA5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

ÇARPANLARA AYIRMA5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

a3 + b3 + c3 – 3abc =

(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

ÇARPANLARA AYIRMAax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır.

1. Yöntem

A- a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

ÇARPANLARA AYIRMAax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

B- a ≠ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

ÇARPANLARA AYIRMAax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

2. Yöntem

Çarpımı a × c yi,toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 1

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 1

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 2

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 2

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 3

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 3

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 4

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 4

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 5

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 5

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 6

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 6

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 7

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 7

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 8

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 8

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 9

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 9

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 10

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 10

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 11

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 11

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 12

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 12

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 13

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 13

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 14

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 14

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 15

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 15

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 16

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 16

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 17

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 17