çarpanlara ayırma

ÇARPANLARA AYIRMA VE SADELEŞTİRME

KONU ANLATIMI

ÇARPANLARA AYIRMA SADELEŞTİRME

En az iki terim arasında ortak çarpan bulunarak sadeleştirme, bir diğer işlem adıyla bölme yapılır.

ÇARPANLARA AYIRMA SADELEŞTİRMEOrtak Çarpan Parantezine Alma

Herhangi bir ifadeyi ortak çarpan parantezine almak için her terimi oluşturan ortak çarpanlar bulunur ve çarpan parantezine alınır.

ifadesinde 20, 12 ve 4 sayılarının ortak çarpanı 4′tür. Dolayısıyla bu ifadeyi 4 ortak çarpan parantezine alabiliriz:

Görüldüğü üzere bir ifadeyi ortak çarpan parantezine almak demek, o ifadenin içindeki terimleri tek tek ortak çarpana bölmeyi gerektirmektedir.


Yok Etme Metodu

Yok edilmesi istenilen bilinmeyenin katsayıları aynı ancak işaretleri ters yapılmalıdır.

Örnek: 2a+3b=12 iken, a+b=6 ise a’yı yok etmek için ikinci denklem -2 ile çarpılır.

b=0 bulunduğuna göre denklemlerin herhangi birinin yerine bu değer konulur;a+0=6 => a=6 değerine ulaşılır.


Birini Diğeri Cinsinden Yazma

a’nın b cinsinden değeri sorulursa a yalnız bırakılır

ÇARPANLARA AYIRMA ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

ÇARPANLARA AYIRMAÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı - Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab2. İki Küp Farkı - Toplamı1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)


3. n. Dereceden Farkı - Toplamı

a) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + ... + xyn – 2 + yn – 1) dir.

b) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – ... – xyn – 2 + yn – 1) dir.


4. Tam Kare İfadeler

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

c) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

d) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)


n bir tam sayı ve a ≠ b olmak üzere,

• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

ÇARPANLARA AYIRMA5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.


Pascal Üçgeni

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4


Pascal Üçgeni

a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

a3 + b3 + c3 – 3abc =

(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

ÇARPANLARA AYIRMAax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır.

1. Yöntem

A- a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,


B- a ≠ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.


2. Yöntem

Çarpımı a × c yi,toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.

ÇARPANLARA AYIRMAÖrnek 1

ÇARPANLARA AYIRMAÇözüm 1

çarpanlara ayırma

Education