第十章重积分 - beijing normal...

第十章

一元函数积分学

多元函数积分学

重积分

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一元函数积分学

重积分

曲线积分

曲面积分

三、二重积分的性质

第一节

一、引例

二、二重积分的定义与可积性

四、曲顶柱体体积的计算

二重积分的概念与性质

二重积分的性质

二重积分的定义与可积性

曲顶柱体体积的计算

二重积分的概念与性质

第十章

一、平面图形的面积

平面有界图形:P平行于坐标轴的直线网:T

:分三类小矩形 i

; )( oi Pi

; )( Pii i

. )( Piii i

平面图形的面积

平行于坐标轴的直线网

可求面积?

:记 )( )( 类矩形的面积的和所有第 iTs p

),( )( 所有第 iTS p

易见 0 ( ) ( ) ( )p ps T S T

对所有的直线网故数集

数集

:记 )},({sup TsI pT

. 0 : PP II 显然

)},({inf TSI pTP

,类矩形的面积的和

,)(), 类矩形的面积的和iii

0 ( ) ( ) ( )p ps T S T 矩形

,)}({ 有上确界数集 Ts p

.)}({ 有下确界数集 TS p

的内面积 P

的外面积 P

称其共同值 III PPP

为可求面积的平面有界图形P

, 0, T直线网

.0 0 PP II 0, 即对

定义1.1

定理1.1

推论

若 ,给定平面图形 IP P

.面积的

.的面积为PP

为可求面积的.)()( . TsTSts PP

.)( . , TStsT P直线网

为可求则称 , PI P

”“ P 为的面积设

分别存在直线网故对 0,

PP ITs

, 21 TTT 记

),( )( 1 TsTs PP

可证

)( PP ITs于是

, ST从而对直线网

.PI为 . PPP III 由定义

使得分别存在直线网 , , 21 TT

)( ,2 2

PP ITS

).()( ), 2 TSTS PP

可证

PP ITS

.)()( TsTS PP

”“ 0, T直线网设对

PP II )(TsP由

PP II 于是 (TSP

,的任意性由因此 PI

.)()( . , TsTStsT PP

).(TSP

)T .)( TsP

，PP I .可求面积P

为可求面积的平面有界图形P

可求面积的充要条件是知，由定理 P 1

, 0, sT直线网对

由于 ()( TSTS PP

所以 .)( TS P

由上面的推论可知 I

定理1.2

为可求面积的 0PI

：可求面积的充要条件是

.)()( . TsTSts PP

),() TsT P

],[: Rbaf 连续，设

.的面积为零

L分段光滑曲线

所表示的平面光滑曲线

.的面积为零

定理1.3

推论1.1

)(: xfy L 曲线连续，

)(),(),(

ttyytxx

或分段光滑曲线

二、二重积分的定义

1. 几何问题: 曲顶柱体的

( , ) , z f x y D z曲面为顶为底、母线平行于轴的柱体

: , ( , ) .

D xOyf x y D

其中为面上可求面积的有界闭区域在上非负连续

二重积分的定义

曲顶柱体的体积

z f x y D z曲面为顶为底、母线平行于轴的柱体

: , ( , ) .其中为面上可求面积的有界闭区域

在上非负连续

),( yxf

体积=？

采用 “分割、代替、求和、目录上页下页返回结束

、取极限”的方法 1111

1)“分割”用任意曲线网分D为 n 个区域

n ,,, 21 以它们为底把曲顶柱体分为

2)“代替”

在每个

3)“求和”

),(fV kkkk 中任取一点

小曲顶柱体

个区域

以它们为底把曲顶柱体分为 n 个

kkk ),

),( kkf

),,2,1( nk 则

k),( kk

4)“取极限”

k PP 21max)(

令 )(max1

10),(lim

k,PP 21

k),( kkf

k),( kk

2. 平面薄片的质量

有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域

计算该薄片的质量度为

设D M

若非常数 , 仍可用

“分割、代替、求和、取极限

解决.1)“分割”

用任意曲线网分D 为 n 个小区域

相应把薄片也分为小块 .

平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .

D 的面积为 , 则

仍可用

其面密

取极限”

个小区域 ,,,, 21 n

2)“代替”

中任取一点k在每个 (

3)“求和”

4)“取极限”

)(max1 knk

10,(lim

),, kk

kkk ),(

k),( kk

则第 k 小块的质量

两个问题的共性：

(1) 解决问题的步骤相同

(2) 所求量的结构式相同

“分割，代替，求和

10(lim

曲顶柱体体积:

平面薄片的质量:

解决问题的步骤相同

所求量的结构式相同

求和，取极限”

kkk ),(

定义: ),( yxf设

将区域 D 任意分成 n 个小区域

任取一点

可积 , ),( yxf则称称此极限值为

积分和

积分域被积函数

是定义在有界区域

的直径中的最大值趋近于零时

,i iD 且与闭区域的分法及点的选取无关，

0 1lim ( , )

k k kk

个小区域

( , )f x y称此极限值为在D上的二重积分.

称为积分变量yx ,

积分表达式

面积元素

是定义在有界区域 D上的有界函数 ,

趋近于零时，这和式的极限存在，

若各小闭区域

,i i 且与闭区域的分法及点的选取无关，

记作

yxfV d),(引例1中曲顶柱体体积:

如果在D上可积,),( yxf

元素d也常记作 ,dd yx 二重积分记作

.dd),(D yxyxf

这时分区域 D , 可用平行坐标轴的直线来划

注：在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的

i i ix y

二重积分的几何意义

当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．

二重积分记作

因此面积

可用平行坐标轴的直线来划

yxyxf dd),(

在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.

,i i ix y

二重积分是曲顶柱体的体积

二重积分是曲顶柱体的体18

,),( 上有界在设 Dyxf

,,,: 21 的一个分割为DT n

),,(sup ),(

myxfMi

作和式 )(1

,的一个分割

).,(inf),(

yxfiyx

;的上和关于分割Tf

.的下和关于分割Tf

在可求面积闭区域yxf ),( 定理1.4

二重积分存在定理

上可积在 fDyxf (),()1(

lim),()2(||||

上可积在

上可积在Dyxf ),()3( ,,0 sT

),()4( 在有界闭区域Dyxf

,),()5( 上有界在设 Dyxf 若f

,有限条的光滑曲线上则

上有定义，则在可求面积闭区域 D

;上有界在Dyx ),(

).(lim)(lim0||||0

.)()( . TsTSts

.),( 上可积在上连续 DyxfD

的不连续点都落在),( yxf

.上可积在则 Dyxf ),(2020

例如, yxyxyxf

22),( 在

上二重积分存在 ; yxf ,(但

二重积分不存在 .

在 D : 10 x10 y

yx 1) 在D 上

三、二重积分的性质

D yxfk d),(.1

D yxf d),(.3

( k 为常数)

为D 的面积, 则

yx d),(

d),(d)D

特别, 由于 ),( yxf

yxf d),(

D yxf d),(

5. 若在D上 ),( yxf ,( yx

6. 设

d),(则有

),(),( yxfyxf

yx d),(

yxf d),(

D 的面积为 ,

7.(二重积分的中值定理)

),( dyxfD

证: 由性质6 可知,

,(1),(min xfyxfDD

由连续函数介值定理, 至少有一点

为D 的面积 ,则至少存在一点连续,

因此

),(maxd) yxfyD

至少有一点

yxf d),(

在闭区域D上

则至少存在一点使

例1. 比较下列积分的大小

(,d)( 2 DD

其中 )1()2(: 22 yxD解: 积分域 D 的边界为圆周

2 ()( yxyx

它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线

(d)( 2 DD

而域 D 位于直线的上方, 故在

比较下列积分的大小:d)3 yx

2的边界为圆周

处与直线

,1 yx 从而

d)( 3 yx

故在 D 上

例2. 估计下列积分之值

coscos100dd

解: D 的面积为 210(由于

x2 coscos1001

积分性质5

100200 I

102200

10:cos2 yxD

200)2 2

即: 1.96 I 2

1001 x

例3. 判断积分

解: 分积分域为 ,, 321 DDD

原式 = yxD

)34(π2π 3 π

的正负号.

,3 则

yx dd1

0)21( 3

猜想结果为负

但不好估计 .

舍去此项

1lim 20

dd),(1lim 20

),(1lim

),( yxf例4 设是连续函数，求

解根据积分中值定理

dd),( yxyxf

).0,0(f

是连续函数，求

),(1lim 20f

内容小结

1. 二重积分的定义

D yxf d),(n

2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似

3. 曲顶柱体体积的计算

iiif ),(1

)dd(d yx

与定积分性质相似)

二次积分法

被积函数相同

思考与练习

解: 321 ,, III由它们的积分域范围可知

312 III

1. 比较下列积分值的大小关系

相同, 且非负,

yxyxIyx

yxyx dd

比较下列积分值的大小关系:

2. 设D 是第二象限的一个有界闭域

的大小顺序为 ( )

提示: 因 0 < y <1, 故 2y

故在D,03 x又因

是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则

xyI d321

D上有

P139 2作业(4-13)

2 2 22 2 2 2 4 4 0

,x y z xy x y z

z z x y

3. 求由方程所确定的隐函数的极值.

1sin , 0,1. ,0, 0.

xy x yf x y x y

0,0 , 0,0 (2) , , , 0,0x y x yf f f x y f x y证明:(1) 都存在；在点不连续；

(3) , (0,0)f x y 在点可微.2 2 2

2 2 22. , 0, (0,0,0)x y zu a b ca b c

设其中求在点函数

增长最快的方向.（提示:利用公式.）

2 2 22 0,4. : 3 5,x y zC C xOyx y z 已知曲线求上距离面最远的点

和最近的点.目录上页下页返回结束

P139 2，4，5 (1)(4)

第二节

2 2 22 2 2 2 4 4 0

,x y z xy x y z

z z x y

所确定的隐函数的极值.

2 22 2

1sin , 0,

xy x yx y

0,0 , 0,0 (2) , , , 0,0x y x yf f f x y f x y证明:(1) 都存在；在点不连续；

2. , 0, (0,0,0)Taylor

u a b c 设其中求在点函数

增长最快的方向.（提示:利用公式.）

2 0,3 5,

x y zC C xOy 已知曲线求上距离面最远的点

04.0 I即

备用题

1. 估计

D yxI d

.20,10 yx解: 被积函数 ),( yxf

2D 的面积

的最大值),( yxfD上在

),( yxf 的最小值

52 I故

的值, 其中 D 为xy 162

220 yx

2. 判断 d)ln(1

解：当 1 yx 时，

故 )ln( 22 yx

又当时，1 yx

于是

0)ln( 22 yx

的正负.)10(d yx

时，

0dd) yx

*三、二重积分的换元法

第二节

一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

二重积分的计算法

三、二重积分的换元法

一、利用直角坐标计算二重积分

二重积分的计算法

第十章

一、矩形区域上的二重积分的计算

],,[],[ dcbaD 设 : Df

],[ ) ,( 上可积在函数 dcxf

,()( yxfxId

,[ )( 也在如果函数 baxI

.此积分称为累次积分

一、矩形区域上的二重积分的计算

,RD ],,[ bax如对

,上可积则可得如下函数：

].,[ ,) baxdyy

,]上可积b 则得积分

. )),(d

cdxdyyxf

.),( b

cdyyxfdx记为

:类似理解

adxyxfdy

:问题

dyxf ),( ?目录上页下页返回结束

. )),(( d

adydxyxf

,),( b

cdyyxfdx

.),( d

adxyxfdy?

),( 在矩形区域设 yxf

],,[ bax且对积分 d

积分 b

cdyyxfdx ),( 也存在

dyxf ),( b

( ) ( , )d

cA x f x y dy

定理2.1

,],[],[ 上可积在矩形区域 dcbaD

, ),( 都存在dyyx 则累次

,也存在且

cdyyxfdx

: 10 xxax : 10 yycy

,1],,[ 1 ixxI iii 令

,1],,[ 1 jyyJ jjj

形成了因此子矩形 Dji JI

fdA 令由定义，

,),()( dyyxfxId

的分割对 ],[],,[ dcba证明

时，有满足当分割

1 1( , ) . (1)

i j i ji j

A f x y A

目录上页下页返回结束 5

,bxn ,dym

,,n.,m

的分割D yx

].,[ , bax

时，有

( , ) . (1)i j i jA f x y A 39

则现取 ,2

jjji yJf

1),(inf

上的上和与下和在分别是 ],[),( dcf i

10)(lim

dyxf ),( a

1inf ( , ) ( , )

i j j icj

f J y f y dy

）中取在（1

jjji yJf

1),(sup

上的上和与下和

.),( b

cdyyxfdx

inf ( , ) ( , )i j j if J y f y dy

jjji yJf

1),(sup

],,[ dcy且对 ( 积分 b

dyxf ),(

积分也存在 d

adxyxfdy ),(

1.类似于定理

定理2.2

证明

,],[],[ 上可积dcbaD

, ),( 都存在dxyx 则累次

且,也存在

adxyxfdy

dyxf ),(

则有

分条件累次积分交换顺序的充

, ),( 上可积在 Dyxf],,[ bax对积分

],,[ dcy对积分

推论2.1

,],[],[ 上连续在矩形区域 dcbaD

.),( d

adxyxfdy

cdyyxfdx ),(

:分条件

,, ),( 都存在

cdyyxf

. ),( 都存在b

adxyxf

设 yxyxf 1),(其中,),(

dyxf 计算

( , ) 2.1f x y因为满足推论

0),( dxdyxf

所以的条件 ,

01(),( xdyyxf

所以 ),( dyxfD

y.]1,0[]1,0[ D其中

( , ) 2.1因为满足推论

1),( dyyxf x0 x

0) ydydyx

.0)21(

二、一般区域上的二重积分的计算

X型区域

)(|),{( 1 yxyyxD

特点：穿过区域且平行于

y轴的直线与区域

边界相交不多于两

个交点.

二、一般区域上的二重积分的计算

}),(2 bxaxyy

)(1 xyy

)(2 xyy

穿过区域且平行于

Y型区域

)(|),{( 1 xyxyxD

特点：穿过区域且平行于

轴的直线与区域

个交点.

}),(2 dycyxx

穿过区域且平行于

边界相交不多于两x

一般区域

X型区域或分解成有限个无公共内点的

.Y型区域

一般区域上的二重积分

因此

X型区域或 Y型区域上的二重积分计算问题

计算问题归结到一般区域上的二重积分

.上的二重积分计算问题

( , ) ,f x y X D设在型区域上连续

,],[)( 2 上连续在 baxy 则

dyxf ),( b

:分析

,( ,0 ,(),,(

),(yxyxyxf

定理2.3

( , ) ,f x y X D设在型区域上连续 )( 1 xy其中

xydyyxfdx

)(1 xyy

)(2 xyy

.),)DyDy

,)( 1 xy由于 )( 2 在xy

],[],[ Ddcba 矩形区域

上的辅助函数

],[),( 在可以验证 bayxF

dyxf ),(

],[],[

,(dcba

xydyyxFdx

,],[ 上连续在 ba 故总存在

,D ],[],[ dcba 作定义在

.),( ,,),(),DyxDyxy

,],[ 上可积dc 而且

cdyyxFdx ),(

.),()(

xydyyxfdx

( , ) ,f x y Y D若在型区域上连续

dyxf ),( d

类似可证

,],[)( 2 上连续在 dcyx

: 意注积分限的问题

:务必保证

先定后积

上限下限

( , ) ,f x y Y D若在型区域上连续

yxdxyxfdy

)( 1 yx

积分限的问题

同一定积分

累次积分

上限

解两曲线的交点

1,1(,)0,0(2

dxdyyx )( 2 1

xxx )([ 21

例2 求 D

dxdyyx )( 2

2xy 和2yx 所围平面闭区域

72 5 2 52 1 1 1

7 5 4 10x x x x

22 )(x

xdyyxdx

dxxx )](21 4

.14033

dxdy，其中D是由抛物线

所围平面闭区域.

15 2 5

2 1 1 17 5 4 10

x x x x 50

dxdyyx )( 2

ydxyxdy 2 )( 21

.14033

dyy )3

dye y2

无法用初等函数表示解

积分时必须考虑次序

y dxdyex22 dy

dyye y 1

x e d计算

. 围成的区域及 xy

无法用初等函数表示

积分时必须考虑次序

y y dxex0

dyy ).21(

1,0 yxD是由其中

例4. 交换下列积分顺序

0d),(d

xyyxfxI

解: 积分域由两部分组成:

xyD0:2D

21 DDD 将

视为Y - 型区域

2 xy 20 y

yxyxfI dd),(

2d),(d

xyyxfxy

:822 yx

型区域 , 则28 y

解 dxe xy

不能用初等函数表示

先改变积分次序.

)( dxeex x

例5 计算积分 dyI 21

dyedxI 221

不能用初等函数表示

dxedy21

dxedy1

设函数

D 位于 x 轴上方的部分为D1

),,(),()1( yxfyxf

),,(),()2( yxfyxf

d),(D yxf

当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量

在闭区域上连续

有类似结果.

yxyx dd)(

对称性

0d),( D

yxf函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍

在 D 上

在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,

在第一象限部分, 则有

dd)(4 22D

例6. 计算

,4 2xy 1,3 xxy 所围成

解: 令 ln(),( yxyxf

21 DDD (如图所示

显然, ,1上在D ),( yxf

,2上在D ),( yxf

其中D 由

所围成.

xy 32D

如图所示)

),( yxf

yxy dd)2

0yxy dd)1 2

解: 利用对称性, 考虑第一卦限部分

其曲顶柱体的顶为

则所求体积为

00:),(

RxyDyx

考虑第一卦限部分,

222 Rzx x

),( 2中含有当 xyxf

,22 项时表达式中有 yx

将积分化为极坐标下的二重积分

,sin,cos

的累次积分去求解和关于 r

,2项y 的边界或者D

, 变换

,极坐标下的二重积分

,20 , r

.的累次积分去求解

通常利用极坐标

然后化为

kkk rr

kkkk rr ,cos

对应有

在极坐标系下, 用同心圆 r

则除包含边界点的小区域外

),,2,1( nkk

在 k ),,( kkr 内取点

kk rr 221 )(

及射线 =常数, 分划区域D

kkr sin对应有

r =常数

则除包含边界点的小区域外,小区域的面积

kkr 221

,cos(lim

Dyxf d),(即

kkkkk rr )sin

dd rrrrf )sin,cos(

)(1 rr )(2 rr

如何化为累次积分?

:可表示成

, 常数与DDo :特点

dxdyyxf ),(

)( 21 rrr

.)sin,cos()(

rrdrrrf

D )(2 rr )(1 rr

.的边界至多交于两点D

的边界上在原点 Do

dxdyyxf ),(

:可表示成

:特点

D )(rr

.)sin,cos()(

rdrrrf

的边界上

思考: 下列各图中域 D 分别与

答: ;π0)1(

问的变化范围是什么?

(1) )(r

分别与 x , y 轴相切于原点,试

2π)2(

的内点为原点 Do

dxdyyxf ),(

:可表示成

:特点

此时若 f ≡1 则可求得D 的面积

d目录上页下页返回结束

.)sin,cos()(

rdrrrf

的内点

的面积

0( ) dr

的边界至多交于两点常数与Dr

dxdyyxf ),(

:可表示成

:特点

.)sin,cos()(

.21 rrr ),(2 r

.的边界至多交于两点

dd)( 22

yyx 422

yyx 222

例8. 计算 dd)( 22 yxyxD

yyx 422 及直线 3x

解：

平面闭区域.

sin22 d rrr )3

2π(15

其中D 为由圆

所围成的

,y ,222 yyx

03 xy,03 y

例 9 求曲线 )( 222 yx 和 222 ayx 所围成的图形的面积

解根据对称性有 14DD

在极坐标系下

(2)( 22222 yxayx

,222 arayx

arar 2cos2

, 得交点

dxdy 1

)(2 222 yxa 所围成的图形的面积.

)2y ,2cos2 ar

得交点 )6

,( aA ,

2cos2a

ardrd ).

33(2 a

例10. 计算

解: 在极坐标系下00

原式 D

2e x 的原函数不是初等函数

由于

坐标计算.

其中 .: 222 ayxD

rra r de0

)e1(π2a

的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角

注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上

非常有用的反常积分公式

|),{( 221 yxyxD

|),{( 222 yxyxD

0,0|),{( yRxyxS

显然有 ,0

yx dxdye x y

e dxdy

设在第一象限内 ,

利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上

21 DSD

2 2x ye dxdy 2 2

e dxdy

1D2DSS

yx dxdyeI22

yx dxdye

同理 2I

yx dxdye

10由例

当 R 时, ,41I I

故当 R 时, ,4I 即

所求广义积分

R xR dxee

R yx dyedxe0

R x dxe

R r rdred

22 );1(4

)222 Redx

例11. 求球体

所截得的(含在柱面内的

解: 设由对称性可知

,cos20: arD

d44 22 rraVD

332 3 a

被圆柱面 xayx 222

含在柱面内的)立体的体积.

22 d rrra

例12. 交换积分顺序

提示: 积分域如图

d ararccos

ararccos

xaararccos

d),( rf

*三、二重积分换元法

axxf d)(

定积分换元法

),(),(: vuyy

vuxxT vu ),(

满足在Dvuyvux ),(,),()1(

雅可比行列式上在D)2(

),(),(),(

vuyxvuJ

(3) 变换 DDT :则 D

yxyxf dd),(

定理: ),( 在闭域设 Dyxf

是一一对应的

三、二重积分换元法

))(( tx ttt d)()](

上D 一阶偏导数连续;

雅可比行列式

vuyvuxf )),(),,((

,上连续D 变换:

是一一对应的 ,

vuvuJ dd),(

证: 根据定理条件可知变换

用平行于坐标轴的,坐标面上在 vOu

直线分割区域 ,D 任取其中一个小矩

形, 其顶点为

(,),( 21 MvuM

通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边

形, 其对应顶点为

(,),( 43 MkvhuM

1 1 1 2 2 2( , ), ( , ),M x y M x y

3 3 3 4 4 4( , ), ( , ).M x y M x y

T 可逆(见P90).用平行于坐标轴的

任取其中一个小矩

T),,( vhu

2M vkv

面上得到一个四边1M

).,( kvu

1 1 1 2 2 2( , ), ( , ),M x y M x y

3 3 3 4 4 4( , ), ( , ).M x y M x y74

同理

当h, k 充分小时,曲边四边形

边形, 故其面积近似为

1 2 1 4M M M M

1 2 2 1 2 1M M x x i y y j

, , , ,x u h v x u v i y u h v y u v j

u ux h i y h j o

1 4 4 1 4 1M M x x i y y j

, , , ,x u v k x u v i y u v k y u v j

v vx k i y k j o

2 2 .h k 这里

曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四

1 2 1 4M M M M

1 2 2 1 2 1M M x x i y y j

, , , ,x u h v x u v i y u h v y u v j

,x h i y h j o

1 4 4 1 4 1M M x x i y y j

, , , ,x u v k x u v i y u v k y u v j

,x k i y k j o

d因此面积元素的关系为

从而得二重积分的换元公式

Dyxyxf dd),(

Dvuxf ),,((

1 2 1 4M M M M

进而

x h y hx k y k

uxff kkkk ,(),(

vuvuJ dd),(d

从而得二重积分的换元公式:

vuy )),(), vuvuJ dd),(

i j kx h y hx k y k

x x hky y ( , )J u v hk

vuvuyxvuyv kkk

),(),(),(),,

特别, 直角坐标转化为极坐标时

),(),(

yxyxf dd),(

Drf cos(

( , ) D( , )x yJu v

若在区域内个别点上或在一条

曲线上为零,而在其他点上不为零,则换元公式仍成立.

注记：

直角坐标转化为极坐标时, sin,cos ryrx

sinrcosr

rrr dd)sin,cos

D若在区域内个别点上或在一条

曲线上为零,而在其他点上不为零,则换元公式仍成立.

例12. 计算

所围成的闭域. 解: 令 , xyvxyu

2uvyuvx

),(),(

e ,dd yx

其中D 是 x 轴 y 轴和直线

,x 则

dde 21

vu vu u

例13. 计算由

所围成的闭区域

解: 令则

bvaqup

),(),(

yxS dd

所围成的闭区域 D 的面积 S .

avu dd ))((

31 abpq

例14. 试计算椭球体

由对称性,1: 2

axD取

令 sin,cos rbyrax : 0 1 , 0 2D r

),(),(

sincos

cba 1d21

0 .J D r 由于在内仅当时为零，故换元公式仍成立

yxcD b

yax dd12 2

由对称性

, 则D 的原象为

: 0 1 , 0 2 π

cossin

rrr d1 2 cbaπ34

的体积V.

0 .由于在内仅当时为零，故换元公式仍成立

内容小结

(1) 二重积分化为二次积分的方法

直角坐标系情形 :• 若积分区域为

则 dd),(b

aDxyxf

• 若积分区域为

dd),(x

cDyyxf

二重积分化为二次积分的方法

xyyyxf

)(1 xyy

)(2 xyy

)(1 yxx

)(2 yxx

rfyxf (d),( 则

(2) 一般换元公式

),(),(

vuyyvuxx

Dyx ),(

DDfyxf [d),(

极坐标系情形: 若积分区域为

在变换下

rr )sin,cos

0),(),(

vuyxJ且

vuvuyvux dd )],(),,([ J

若积分区域为

(3) 计算步骤及注意事项

• 画出积分域

• 选择坐标系

• 确定积分序

• 写出积分限

• 计算要简便

域边界应尽量多为坐标线

被积函数关于坐标变量易分离

积分域分块要少

累次积分好算为妙

图示法

不等式( 先积一条线

充分利用对称性

应用换元公式

域边界应尽量多为坐标线

被积函数关于坐标变量易分离

积分域分块要少

累次积分好算为妙

先积一条线, 后扫积分域 )

充分利用对称性

应用换元公式83

思考与练习

1. 设且

求 .d)()(d11

0yyfxfxI

x提示: 交换积分顺序后, x

I xyfxfy

d)()(0

I2 yyfxfxx

d)()(d11

0d x yyfxf d)()(

0目录上页下页返回结束

1Ox , y互换

0d)(d)( yyfxxf 2A

作业(4P156-8 1 (2), (4); 2

9; 11(2), (4);

15 (1) (3); 19 (2); 21; 22;

(4-16/18)2 (2), (4); 6 (4), (6);

13 (2), (4); 14 (2), (3);

19 (2); 21; 22;

第三节

axy 2解：

原式

22 xaxy aax

备用题 1. 给定

改变积分的次序.

y ayx 2

22 yaax 22 yaax

2xz 例求由曲面

解 1、作出该立体的简图

222 yx

消去变量 z得一垂直于

面的柱面

立体镶嵌在其中,立体在

所围成的立体的体积

2: 22 yxD

曲面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域

22 y 2226 yxz

、作出该立体的简图, 并确定投影

得一垂直于

立体在曲面的投影区域就是该柱面在xoy

2()26([ 222

dyx )336( 22

2、列出体积计算的表达式

3、配置积分限, 化二重积分为二次积分

dxdV 236

目录上页下页返回结束 54

dy ])2 2

、列出体积计算的表达式

化二重积分为二次积分

dyd 23

dxyx 2, 的对称性由

dydxxdxx

dxxx 2

22 sin4424

2!)!22(!)!12(!)!12(16

2241116

所以体积

d22 cossin

6612 所以体积

第三节

一、三重积分的概念

二、三重积分的计算

三重积分

三重积分的概念

三重积分

第十章

一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想

引例: 设在空间有限闭区域

物质, ),,( zyx

可得

k 10lim

“分割, 代替, 取和, 求极限”

解决方法:

质量 M .密度函数为

类似二重积分解决问题的思想, 采用

kkk v),

),,( kkk

设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的

,C 求分布在内的物质的

求极限”

为定义在三维空间可求设 ),,( zyxf

上的有界函数V有界区域

.,,, 21 nVVV 1( 以 i iV

}. {max||||1

的直径iniVT

作积分和 (1

VT来分割组成的曲面网

体积的为定义在三维空间可求

.上的有界函数用若干光滑曲面所

个小区域分成把 nV

,),,2,1 的体积表示 iVn

,),,( iiii V任取

. ),, iiii V

为定义在三维空间可求设 ),,( zyxf

0,如对都

),,( 无论 iiii V

都有),,(|

),,( 上可积在则称 Vzyxf

.V 三在的重积分上

上的函数的有界闭区域V

,分割

定义3.1

:记为 (V

xfA或目录上页下页返回结束

体积为定义在三维空间可求

.是一个确定的常数A,0

, |||| T只要,如何取iV

,| ) AVi

,上可积称为数 A ),,( zyxf

,上的函数

的任何使得对于V

,),, dVzyx

.),, dxdydzzy93

------),,( :其中 zyxf

------,, zyx

------V

, 1),,( 时当 dVzyxfV

,完全类似于二重积分情可积性条件和性质

,),, dVzy

,-被积函数

,-积分变量

.-积分区域

.的体积在数值上等于VdV

.形完全类似于二重积分情

直角坐标系中将三重积分化为三次积分．

长方体 .1 ),,( zyxf 在长方体设

,上的三重积分存在

定理3.1

且对任何

存在D

dydzzyxfxI ),,()(

dxdydzzyxf ),,( ),,(

adydzzyxfdx则积分

直角坐标系中将三重积分化为三次积分．

],[],[ dcbaV 在长方体 ],[ he

],,[ bax且对任何

,存在 ],,[],[ hedcD

adydzzyxfdx

dydz ,也存在且

),,( zyxf 在长方体若

则上连续 ,

dxdydzzyxf ),,(

( , , ) .b d h

a c edx dy f x y z dz

],[],[ dcbaV 在长方体 ],[ he

hdxdyzyxfdz

edzzyxfdxdy ),,(

如图

“先一后二法” )1(

一般区域 .2

:特点

边界相交不多于两点．

的的内点的直线与

轴且通过平行于

)(1 yxy

|),,{( zyxV ),(1 yxz

),(1 yxzz

),(2 yxzz

)(1 xyy

),( yx )(2 xyy

bxa ),(2 xy }

),,(2 yxzz

dxdydzzyxf ),,(

xydydx

D Y若为型区域，

yxdxdy

平面上时平面或投影到当 yzzxV

上连续，在设 Vzyxf ),,(

上连续，在 D (),( 21 yxy

则有

定理3.2

yxzdzzyxfdxdy

yxzdzzyxfdy

yxzdzzyxfdx

.,结果类似平面上时

上连续， ),(),,( 21 yxzyxz

上连续，在 ],[)( bax

2 2 2 2

, 0, 0, 0,

zdV V x y z

x y z R

计算其中

0|),,{(

RdydxzdV

0021 xRR

2 2 2 2

, 0, 0, 0,

zdV V x y z

x y z R

中为由

围成的区域

yxRzdzdy

222 )(x

利用对称性计算三重积分

( , , ) 0

( , , )

( , , ) 2 ( ,

( ), ,若

函数

积分域函

关于面对数关于变量

关于变量

f x y z dxdydz

f x y z

f x y z dxdydz

Vf x y z

计算三重积分

( , , ) 0

( , , ) 2 ( , , )上

是奇函数，

则；

数是偶函

对称

数，

，量

则。V V

f x y z dxdydz

f x y z dxdydz f x y z dxdyd

利用轮换对称性计算重积分

, ,x y zV

V积分域边界曲面若依次轮换时，

的则积分域具有轮换

( , , ) ( , , )( , , )V VV

f y z x dxdydz f z x y dxdydzf x y z dxdydz 若闭区域V具有轮换对称性

( , , ) ( , , ) ( , , )V

f x y z f y z x f z x y=13

计算重积分

积分域边界曲面，

的，则积分域具有轮换

不变的方程对称性。

( , , ) ( , , )V V

f y z x dxdydz f z x y dxdydz 具有轮换对称性，则

.( , , ) ( , , ) ( , , ) dxdydzf x y z f y z x f z x y

x dV计算

3 22 上侧所围成的立体抛物面

是由上半球面其中

解球面与抛物面的交线为：

zyxzyx3

上侧所围成的立体

与yxz

球面与抛物面的交线为：

由对称性：

dVx 2 V

22 )(21

dxdyyx

yx 4)((21 22

rd 4(21 3

dVyx )(21 22

yxyx dz

dxdyyxyx )

rdrrr )3

例 3 化三重积分 V

积分，其中积分区域 V 为由曲面22 xz 所围成的闭区域

zx22y2

dxdydzzyxf ),,( 为三次

为由曲面 22 2 yxz 及

所围成的闭区域.

故 V ：

zyxyxx

xdydxI

解由

得投影区域 2 yx

.),,(2

yxdzzyxfdy

]))(([0 0 0 x v u

dvdudttf

证明

证思路：从改变积分次序入手．

v ufdtdttfdu

00 0)(

dvdudttf0 0 0

]))(([

tdvtftvdt

.)()(21

dttftx

思路：从改变积分次序入手．

dutf )( v

dttftv0

dttftvdv0 0

.)()(21

dttftx

(1) 把积分区域V 向某轴（例如

投影区间 ],[ 21 cc ；

(2) 对 ],[ 21 ccz 用过点 0,0(面去截V ，得截面 zD ;

(3) 计算二重积分zD

yxf ,(

其结果为z的函数 )(zF ；

(4) 最后计算2

cdzzF 即得三重积分值

“先二后一法”－－－ )2(

向某轴（例如 z 轴）投影，得

),0 z 且垂直于z轴的平

dxdyzy ), ，

即得三重积分值.

截面法“先二后一法”－－－

上连续，在设 ),,( Vzyxf

dxdydzzyxf ),,(

, 轴投影时轴向当 yxV

定理3.3

则有上连续，

dxdyzyxfdz

. , 有类似的结果轴投影时

zdxdydz1

,0|),{( yxyxDz

1)(1(21 zzdxdy

0可化为三次积分 zdz

241)1(

2 dzzz

zdxdydz

例 5 计算三重积分V

zdxdydz

标面及平面 1 zyx 所围成的闭区域

}1,0 zyx

0来求

z zydxdy

zdxdydz，其中V 为三个坐

例 6 计算三重积分 zV 2

椭球面 2

:V |),,{( zczyx

原式 ,2 zD

cdxdydzz

解先二后一

dxdydz2 ，其中 V 是由

1 所成的空间闭区域.

,c }1 2

czadxdy

),1( 2

czab 2

|),{( yxDz 2

原式

)1() 2

dzz 2 .154 3abc

先一后二

:V |),,{( zyx 12

zdxdy原式＝

例8 计算 ,dd dzyxz

其中

先一后二

,10{ 2222 zyxyx

22 yxD

zdzdxdy

dxdyyx

其中是由 z=x2+y2 和 z=1

0 ≤ z ≤ 1,

先二后一 zD x y z

0dddd zzzyxz

zz 2)(

2 2: zD x y z

小结: 三重积分的计算方法

方法1. “先一后二”

方法2. “先二后一”

方法3. “三次积分”

三种方法(包含12种形式)各有特点

被积函数及积分域的特点灵活选择

三重积分的计算方法

1d),,(dd yxz

yxzDzzyxfyx

yxzyxfz dd),,(d

1d),,(d yxz

xyzzyxfy

具体计算时应根据各有特点,

被积函数及积分域的特点灵活选择. 115

三重积分的换元变换

),,( 在有界闭区域设 zyxf

,(),,,(: uyywvuxxT

'V 一对一的映成空间中的区域

函数 ),,,(),,,( wvuywvux

且函数的行列式内连续导数在 ,'V

定理3.4

),,(),,(),,(

wvuzyxwvuJ

三重积分的换元变换

, 上可积在有界闭区域V 若变换

),,,(),,, wvuzzwv 将 uvw

,Vxyz空间中的区域一对一的映成

及它们的一阶偏),,( wvuz

且函数的行列式

,0)) '.),,( Vwvu

dxdydzzyxf ),,(

wvu ,('

dudvdwwvuJ

zy wvuwvu

|),,(|

), ),,(),,(

例9 计算 cos()( V

10),,{( yxzyxV

解引入坐标变换：

zyxwzxvyxu

,)cos( 2 dVzyx

,10,1 zx}.10 zyx

其中

111101

2sin61 w

2cos31

wwdvdu cos1

cos()( V

,(,(cos

V vuyxww

dww312

,)2 dVz

),), dudvdw

2. 利用柱坐标计算三重积分

,),,( 3RzyxM设 , 用极坐标将 yx就称为点M 的柱坐标.

sinyzz

直角坐标与柱面坐标的关系

常数

坐标面分别为

圆柱面

常数半平面

常数z 平面

利用柱坐标计算三重积分

,, 代替用极坐标 ),, z（则

直角坐标与柱面坐标的关系:

圆柱面

半平面

平面

z),,( zyxM

)0,,( yxO

如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为

zv dddd

因此 yxzyxf ddd),,(

其中 cos(),,( fzF

注：柱面坐标变换的Jacobi

cos sin 0( , , ) sin cos 0 ,( , , ) 0 0 1x y zJ

在柱面坐标系中体积元素为

),sin, z

Jacobi行列式为

cos sin 0sin cos 0 ,

适用范围:

1) 积分域表面用柱面坐标表示时

2) 被积函数用柱面坐标表示时

表面用柱面坐标表示时方程简单 ;

用柱面坐标表示时变量互相分离.

例3. 计算三重积分

xyx 222

解: 在柱面坐标系下 :

及平面

z dd2 原式

由柱面

围成半圆柱体.

其中为

0),0(,0 yaazz 所

cos2 2 d

20 az 0

zv dddd

解: 在柱面坐标系下

0 21π2

0 1 π2

zyx 422 ( hhz与平面

原式 =

)0h 所围成 .

其中由抛物面

zv dddd

3. 利用球坐标计算三重积分

,),,( 3RzyxM设其柱坐标为

就称为点

直角坐标与球面坐标的关系

, zOM ),,( r则

000 cossinrx

sinsinry cosrz

坐标面分别为

常数r 球面

常数半平面

常数锥面

利用球坐标计算三重积分

),,,( z其柱坐标为

就称为点M 的球坐标.

直角坐标与球面坐标的关系

半平面

,rOM 令

),,( rM

sinrcosrz

如图所示, 在球面坐标系中体积元素为

ddsind 2 rrv 因此有

zyxzyxf ddd),,(

),,(rF

其中 cossin(),,( rfrF

注：球坐标变换的Jacobi

( , , )( , , )x y zJr

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

r rr r

在球面坐标系中体积元素为

)cos,sinsin,cos rr

dddsin rx

Jacobi行列式为

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

r rr r

2 sin .r

适用范围:

1) 积分域表面用球面坐标表示时

2) 被积函数用球面坐标表示时

表面用球面坐标表示时方程简单;

用球面坐标表示时变量互相分离.

解: 在球面坐标系下

xzyx dd)( 222

4π0 Rr 0

与球面

)22(π51 5 R

所围立体.

其中

dddsind 2 rrv rr 4 d

例6.求曲面 )( 2222 zyx解: 由曲面方程可知, 立体位于

,cos0: 3 ar

利用对称性, 所求立体体积为

dcossinπ

0dsin 2

yOz面对称, 并与xOy面相切,

)0(32 aza 所围立体体积.立体位于xOy面上部,

所求立体体积为

d3 cos

d 3π31 a

3 cosar

,2π0 π20

, 故在球坐标系下所围立体为

且关于 xOz

dddsind 2 rrv

内容小结

zyx dddzddd

ddsin2 rr

坐标系体积元素

直角坐标系

柱面坐标系

球面坐标系

* 说明:

三重积分也有类似二重积分的

对应雅可比行列式为

ddd),,(

zyxzyxf

积分区域多由坐标面

被积函数形式简洁, 或

适用情况

三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:

),,(),,(

wvuzyx

* ddd),,(

wvuJwvuF

变量可分离.

围成 ;

1. 将

.)(),,( Czyxf ,2,0 xx ,1y

zyxfI d),,(

提示: y 21

思考与练习

六个平面

围成 ,

2, zxz

用三次积分表示,

,42, yx

v 其中由

d),,(x

zzyxfy

2. 设

提示: 利用对称性

原式 = 122

计算

奇函数

3. 设由锥面

所围成 , 计算

提示:

利用对称性

vzyx d)( 222

xzyxI 2( 222

用球坐标

dsin40

和球面z

vzxzyyx d)22

rr d4 221

作业

P166 1(2),(3),(4)

7; 8; 9

*10 (2) ; 11

作业(4-20)(2),(3),(4); 4; 5;

7; 8; 9 (2);

; 11 (1), *(4)； 14.

第四节

双曲抛物面z=xy的图像：它过(0,0,0)点，z轴上半部分过一、三卦限

的图像：轴上半部分过一、三卦限

备用题 1. 计算

分析：若用“先二后一”

计算较繁! 采用“三次积分”较好

所围成.

其中由

若用“先二后一”, 则有

采用“三次积分”较好.

思考: 若被积函数为 f ( y )

表为

所围, 故可

) 时, 如何计算简便? 137

2. 计算

,1),(21 22由 zzyxz

利用对称性

xyx dd)(21 22

)(d21 224

其中

.4围成z

r3 d 21

第四节

一、立体体积

二、曲面的面积

三、物体的质心

四、物体的转动惯量

五、物体的引力

重积分的应用

一、立体体积

三、物体的质心

重积分的应用

第十章

一、立体体积

• 曲顶柱体的顶为连续曲面

则其体积为

xyxfV dd),(

• 占有空间有界域的立体的体积为

zyxV ddd

的顶为连续曲面

的立体的体积为

所围立体的体积

例1. 求曲面

分析:

(示意图)

任一点的切平面与曲面

所围立体的体积 V .

第一步: 求切平面方程;

第二步: 求与S2的交线

在xOy面上的投影,

写出所围区域 D ;第三步: 求体积V .

所围立体的体积

解: 曲面 1S00 122 yyxxz

它与曲面的交线在

()( 02

0 yyxx

00 122 yyxx

1 20 ()( xx

,cos0 yrxx 令

在点

rrr dd2

例1. 求曲面

任一点的切平面与曲面

所围立体的体积 V . 的切平面方程为

201 yx

的交线在 xOy 面上的投影为

yx dd 22 yx 20

yx dd 20 )( yy

sin0 ry

(记所围域为D )

π rr dd1

例2. 求半径为a 的球面与半顶角为

内接锥面所围成的立体的体积

解: 在球坐标系下空间立体所占区域为

则立体体积为

zyxV ddd

sincos3π16

cos20 ar 0

的球面与半顶角为的

内接锥面所围成的立体的体积.

在球坐标系下空间立体所占区域为

d )cos1(3

π4 43

rrv dddsind 2

设曲面S的方程为： (fz

D 其中 xOy是面上可求面积的平面有界区域，

上有连续在Dyxf ),( 的一阶偏导数，

A求曲面的面积？

),,2,1( niD i 分割

),,2,1( niSS i 分割

, 作此点的切平面ii SM

,iA上取一小块并在ii SA 的投影区域都是与使得

),,( yx ,),( Dyx

是面上可求面积的平面有界区域，

的一阶偏导数，

,作此点的切平面x

,i的投影区域都是144

那么在点

用切平面 iA代替小曲面片

.lim 10||||

AS 故

:的面积下面计算 iA

面上的投影在为 xoyAii

,cos iii A

的法向量(指向朝上)与轴的夹角

i由于的直径很小，

,附近那么在点 iM

,iS代替小曲面片有时故当 , |||| T

,面上的投影

z的法向量(指向朝上)与轴的夹角

1 22yxi ffA

AS10||||

lim 故T ||||

yx dff 221

,cos iii A

若光滑曲面方程为 (gx

zyD目录上页下页返回结束

1cos22yx

iiyx ff

z z dxdyx y

,),(,),( zyDzyzy 则有

zyA )(1

若光滑曲面方程为 (hy

若光滑曲面方程为隐式

xzxy dd)() 22

,),(,),( xzDxzxz

则有

y DyxFF

FFF 22

例3. 计算双曲抛物面

解: 曲面在 xOy 面上投影为

zzAD yx1 2

)1([π32 2

出的面积 A .

被柱面所截

面上投影为 ,: 222 RyxD 则

yxy dd2

例4. 计算半径为 a 的球的表面积

设球面方程为 ar 球面面积元素为

ddsind 2aA

02 sindaA

2π4 a

方法2 利用直角坐标方程

方法1 利用球坐标方程

的球的表面积.

利用直角坐标方程. (略)

利用球坐标方程.

.36000 ,

例设有一颗地球同步轨道通信卫星，距地面的高度为运行的角速度与地球自转的角速度相同，试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值。

（地球半径为）

解：通信卫星所覆盖的曲面即是上半球面被半顶角为的锥面所截的部分。

例设有一颗地球同步轨道通信卫星，距地面的高度为运行的角速度与地球自转的角速度相同，试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值。

解：通信卫星所覆盖的曲面即是上半球面被半顶角为的锥面所截的部分。

,(uxx 由设空间曲面 S

其中 ,( ux ,),( 表示Dvu

上具有连续的一阶偏导面积的有界区域D

),(),(,

),(),(

中至少一个不为零vuxz

的面积为S D

, :222

其中

),,(),,(),, vuzzvuyyv

在可求),(),,(),, vuzvuyv

,数上具有连续的一阶偏导且

,中至少一个不为零则曲面

,2 dudvFEG

,vuvuvu zzyyxx

曲面的第一基本量

三、物体的质心(重心)设空间有n个质点,

,),,2,1( nkmk 由力学知

设物体占有空间域 , 有连续密度函数

公式 ,

分别位于

即:采用“分割, 代替, 近似和, 取极限”

),),,( kkk zyx 其质量分别

由力学知, 该质点系的质心坐标

有连续密度函数则

分别位于

取极限”可导出其质心

将分成 n 小块,

将第 k 块看作质量集中于点

令各小区域的最大直径

系的质心坐标就近似该物体的质心坐标

在第 k

块看作质量集中于点

例如,

系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.

的质点,

即得

此质点

k 块上任取一点

同理可得

,),,( 常数时当 zyx 则得

zyxzyx

ddd),,

zyxzyx

ddd),,

则得形心坐标：

的体积为 zyx ddd

若物体为占有xOy 面上区域

yxyxxx

,常数时

yxxx D y

得D 的形心坐标

则它的质心坐标为

面上区域 D 的平面薄片,

yxyD dd

( A 为D 的面积)

形心坐标:

则它的质心坐标为

其面密度

— 对 x 轴的静矩

— 对 y 轴的静矩

例5. 求位于两圆

的质心.

解: 利用对称性可知 0x

rr ddsinπ3

dsin2π9

56 2π

rr dsin

π956 π

之间均匀薄片

例6. 一个炼钢炉为旋转体形

的方程为

内储有高为 h 的均质钢液,

解: 利用对称性可知质心在

采用柱坐标, 则炉壁方程为

zyxV ddd h

自重, 求它的质心.不计炉体的

其坐标为

zyxz ddd

一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线

利用对称性可知质心在 z 轴上，

则炉壁方程为 ,)3(9 22 zzr

2d)3(9

zDyxdd

因此

故O x

z若炉

不计炉体的

d ddz x y z

5409043060

93 hhV

)51 2h

设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数

.),,( zyx 该物体位于(x , y ,

yx ()( 22

因此物体对 z 轴的转动惯量

xyxI z ()( 22

zId对 z 轴的转动惯量为

因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和

连续体的转动惯量可用积分计算

A l J mr质点对于轴的转动惯量

, .A r A l质点的质量为与轴的距离

有连续分布的密度函数

, z) 处的微元

vzyx d),,(的转动惯量:

zyxzyx ddd),,

因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算.

2 ,A l J mr质点对于轴的转动惯量 m其中为

, .A r A l质点的质量为与轴的距离

类似可得:

)( 22 zy

)( 22 zx

( 22 yx

对 x 轴的转动惯量

对 y 轴的转动惯量

对原点的转动惯量

对坐标平面的转动惯量分别为

( , , )xyI z x y z dxdydz 2

( , , )zxI y x y z dxdydz 目录上页下页返回结束

zyxzyx ddd),,(

zyxzyx ddd),,( )2z

转动惯量分别为:

I z x y z dxdydz 2

( , , )yzI x x y z dxdydz

I y x y z dxdydz160

如果物体是平面薄片, 面密度为

则转动惯量的表达式是二重积分

)( 22 yx

密度为 Dyxyx ),(),,(

yxyx dd),(

则转动惯量的表达式是二重积分.

ddsin0

例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径

解: 建立坐标系如图,

yxyIDx dd2

半圆薄片的质量 M

的转动惯量.

的均匀半圆薄片对其直径

D rr ddsin23

2π21 a

cossin( 22

解: 取球心为原点, z 轴为

yxyx dd)( 22

0d dsin

例8.求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴

域为

转动惯量.

)sinsincos 2222 r

l 轴,则

dddsin2 rr

球体的质量

3π34 aM

均匀球体对于过球心的一条轴 l 的

设球所占

(用球坐标)

0 )()( yyxxr

设物体占有空间区域,

物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为

rzyxGFy

(),,(d 3

rzyxGFz

(),,(d 3

引力元素在三坐标轴上分量为),,,( zyx FFFF

其中

2 )() zz ,G 为引力常数

处的单位质量质点的引力为

vyy d)( 0

vzz d)( 0

其密度函数

引力元素在三坐标轴上分量为

ryxGFz

若求 xOy 面上的平面薄片D

的引力分量,

),( yx z GF

因此引力分量为

则上式改为D上的二重积分

即可. 例如,

其中: 20 ()( yxxr

xxz d)()3

yyz d)()3

zzz d)()3

D, 对点P0处的单位质量质点

D rzyx d)0(),(

上的二重积分, 密度函数改为

20 )() zzy

例9. 设面密度为μ ,半径为

求它对位于点

解: 由对称性知引力

zFd aG

处的单位质量质点的引力.

222 )(

半径为R的圆形薄片

a 0M。

),0,0 zF

23222 )(

例10. 求半径为R的均匀球

的单位质量质点的引力

解: 利用对称性知引力分量

zazG d)(

azG([ 22

zazG d)(

zD yx2[

的均匀球对位于

的单位质量质点的引力.利用对称性知引力分量 0 yx FF

322 ])(

zazG d)(

222 2 23RG R Ra

0 2322

a) 22 2d aazR

π4 3RM 为球的质量

1. 能用重积分解决的实际问题的

所求量是对区域具有可加性

—— 用微元分析法 (元素法

分布在有界闭域上的整体量

3. 解题要点:

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、

定出积分限、计算要简便

2. 用重积分解决问题的方法

能用重积分解决的实际问题的特点:

对区域具有可加性

元素法)建立积分式

分布在有界闭域上的整体量

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、

定出积分限、计算要简便

方法:

作业

P177 2，3，6, 8, 9

11, 13 , 14

作业(4-23)

6, 8, 9 (2),

11, 13 , 14

习题课

)(th ( t 为时间

侧面满足方程(2)( xthz

时间单位为小时,

设有一高度为

已知体积减少的速率与侧面积成正比

(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm

多少小时? (2001考研)

备用题

为时间) 的雪堆在融化过程中,其

设长度单位为厘米,

已知体积减少的速率与侧面积成正比

130 cm 的雪堆全部融化需要

提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为

yx dd)(

21 ])()([π

thzthth

π2th rth 16)( 22

02)(th

)()(2 22

)( thyxthz

侧面方程:

侧面积为 S ,则

)(: 22122

0 thyxD

])()([: 22122 zththyxDz

)(4π 3 th

yd (用极坐标)

π13 2 th

12π13 hS ,)(

4π 3 thV

由题意知

令 ,0)( th 得 (h)100t

因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为

100小时.

)(2 th

厘米的雪堆全部融化所需的时间为

*第五节

一、被积函数含参变量的积分

二、积分限含参变量的积分

含参变量的积分

第十章

[),( Ryxf 是矩形域设

则积分

yyxf d),( 确定了一个定义在

记作

xfx ,()(

x称为参变量, 上式称为含参变量的积分

含参积分的性质

定理1.(连续性) ),( yxf若

上连续,则由①确定的含参积分在

— 连续性

],[],[ ba 上的连续函数,

确定了一个定义在[a, b]上的函数,

yy d),

上式称为含参变量的积分.

],[],[ baR在矩形域

确定的含参积分在[a, b]上连续.

连续性, 可积性, 可微性 :

证: ),( yxf由于在闭区域

,0任给 ,0存在 R内任意两点对

只要 21 , yxx

就有 (),( 211 xfyxf

,0, 任给因此 0存在

)()( xxx

yxxf ),(

这说明 .],[)( 上连续在 bax

在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即,),(,),( 2211 yxyx内任意两点

), 22 y

,0 ,时当 x 就有

yyxfyxxf d)],(),([

yyxf d),()

定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数

算与积分运算的顺序是可交换的

xxd),(lim

同理可证, 在矩形域若 ),( yxf

axfy ,()(

则含参变量的积分

.],[ 上连续也在

由连续性定理易得下述可积性定理

闭矩形域上的连续函数, 其极限运

算与积分运算的顺序是可交换的. ,],[0 bax 即对任意

xxd),(lim

上连在矩形域 ],[],[ baR

xy d),

由连续性定理易得下述可积性定理:

定理2. (可积性) ),( yxf若

上连续,

yxfx ),()(则

同样, b

axyxfy d),()(

推论: 在定理2 的条件下,

],[],[) baR在矩形域

yd) 且上可积在 ,],[ ba

yxyxf dd),(

x 且上可积在 ,],[

yxyxf dd),(

, 累次积分可交换求积顺序,

定理3. (可微性) ),( yxf若

],[],[ 上连续矩形域 baR

且上可微在 ,],[ ba

xx d),(

证: 令 d),()(

yxfxg x

函数, ,],[ 时故当 bax

axxg d)( f x

),() yxf x及其偏导数都在

,上连续

yyxfx d),()(则

yyxf x d),(

,d y 上的连续是则 ],[)( baxg

xyyx dd),(

yxyxfx dd),(179

)()( ax 因上式左边的变上限积分可导

)()( xgx

axxg d)(

此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续

时, 求导与求积运算是可以交换顺序的

yyafyxf d),(),(

)因上式左边的变上限积分可导, 因此右边，可微)(x 且有

yyxf x d),(

被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续

求导与求积运算是可以交换顺序的 .

例1. (dln

xxxIab 求

由被积函数的特点想到积分y

xxy yb

.)0( ba

由被积函数的特点想到积分:

xxx ab

)],[]1,0[( 上连续在 bax y

例2. .d1

)1ln(1

0 2 xxxI

解: 考虑含参变量 t的积分所确定的函数

11ln()(

0 2xxt

显然, 1,0[]1,0[1

)1ln(2 在

由于xxt

1)(1()(

t 111 1

的积分所确定的函数

,]1 上连续 ,)1(,0)0( I

)1ln(21

4π2ln

)0()1( I1

1arctan2ln

21 t ln(

I 2ln4π

2ln8π

I因此得

)1ln(arctan xtxt 01

)1ln( t

d)1ln(4π2ln

12 )1ln( t t

1)1ln(1

在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形

),( yxf设为定义在区域

上的连续函数,

也是参变量 x的函数 ,

)(,()(

其定义域为

利用前面的定理可推出这种含参积分的性质

常遇到积分限含参变量的情形, 例如,

ba)(xy

其定义域为 [ a , b ] .

利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.

定理4.(连续性) 在区域若 ),( yxf)(),{(: yxyxD

上连续, [)(),( 为其中 axx

.],[ 上连续在 ba证: 令 )([)( xtxy

0,()( xfx

由于被积函数在矩形域 ,[ ba

上述积分确定的函数 )( 在x

在区域

}),( bxax

,], 上的连续函数ba 则函数

d), yyx

,]1,0[,)]( tx 则

]1,0[]b 上连续, 由定理1知,

.],[ 上连续在 ba185

定理5. (可微性) ),( yxf若

],[],[ 上连续矩形域 dcbaR

上],[ ba

且，上可微在 ],[ ba

中的可微函数

)(,()(

x x yxfx

证: )( 看作复合函数把 x

),,()( xHx (

],[ dc其值域含于

),() yxf x及其偏导数都在

,上连续为定义在)(),( xx

d), yyx

中的可微函数, 则

d) yy )())(,( xxxf

)())(,( xxxf ,看作复合函数令

,d), yyx )(),( xx 186

利用复合函数求导法则及变限积分求导

),,()( xHx (

()( xHxHx

x x yxf

利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得

,d), yyx )(),( xx

)() xHx

d y )())(,( xxxf

)())(,( xxxf

例3. dsin)(2

解: )(x yyxx

xyx 2sin

xx3 sin2sin3

).(,d xy 求

xxx 2sin2

3 1sin 2

xx3sin2

xx2sin

例4. 0)( 的某邻域内连续在设 xxf分小时, 函数

!)1(1)(

的 n阶导数存在, 且 )()( xn

证: 令 )(),( 1 ftxtxF n

在原点的某个闭矩形邻域内连续

!)1(1)(

,的某邻域内连续充验证当 x

n ttft 1 d)()

.)() xf

,)(tf ),(),(, txFtxF x及显然

在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得

n ttftx 2 d)())(

)()(!)1(

1 1 xfxxn

!)2(1)(即

同理 (!)3(

xn ttfx0

)1( d)()(

)()()( xfxn 于是

n ttft 2 d)()

,d)() 3 n ttft

作业(4P184 1(2);

4 (2) ;

arctan 1: .注

(4-25)2 (2), (4) ;

(2) ; 5 (1)

arctan 1: .1

x dyx x y

习题课

一、重积分计算的基本方法

二、重积分计算的基本技巧

三、重积分的应用

重积分的计算

重积分计算的基本方法

第十章

计算及应用

1. 选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线被积函数用此坐标表示简洁或变量分离

2. 选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙

图示法

列不等式法(从内到外

3. 掌握确定积分限的方法

练习 P185 2 (3)

线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.

累次积分易算为妙 .

从内到外: 面、线、点)

掌握确定积分限的方法

— 累次积分法

; 8 ; 9 (1), (3)193

2 (3). 计算二重积分

其中D 为圆周所围成的闭区域

提示: 利用极坐标

原式

033 )sin1(

:Dcos0 Rr

解答提示:

D R xO

8. 把积分

其中由曲面

提示: 积分域为

原式 22

所围成的闭区域 .

化为三次积分,

d), zzy

及平面

9 (1) .计算积分

( R > 0 )的公共部分.

提示: 由于被积函数缺 x ,

原式 = zD

2(π20

利用“先二后一”计算方便

5π48059 R

其中是两个球

zz d)2

计算方便 .

R d)(π2

9 (3).计算三重积分

xOy平面上曲线

提示: 利用柱坐标rzryxx

原式

5221 xr

100 rπ20

rr d10

其中是由

sincos

x 轴旋转而成的曲面与平面

1. 交换积分顺序的方法

2. 利用对称性或质心公式简化计算

3. 消去被积函数绝对值符号

练习题

*5. 利用重积分换元公式

P185 2 , 5 , 9 (2)

答案提示: (见下页)

4. 利用扩展积分域进行计算

分块积分法

利用对称性

利用对称性或质心公式简化计算

消去被积函数绝对值符号

(2), 12

利用扩展积分域进行计算

2(1). 设由

,0,2222 yxRzyx

提示:

右边为正 , 显然不对

利用对称性可知 , (

确定 , 由

0,0 z 所确定 , 则 C

显然不对 , 故选 ( C ), (A), (B), (D) 左边为 0 ,

上半球

第一卦限部分

2(2). 则

sincos(

yxyxAD

ddsincos2)(1

D)sincos(4)(

提示: 如图 , 21 DDD

由对称性知

在上是关于

),{( xayxD },,0 ayxax

D 2D3D

yxy dd)

yxyxBD

dd2)(1

1D43 DD

上是关于 y 的奇函数

上是关于 x 的偶函数

},, ayxa ),{(1 yxD

y xamaxxfy

0d)(ed

证明:

提示: 左端积分区域如图,

交换积分顺序即可证得

P186 5.

9(2). ln(2

1222 zyx 所围成的闭区域

提示: 被积函数在对称域

对称性可知原式为

由球面

a xam xxfxax0

)( d)(e)(

a交换积分顺序即可证得.

其中是

被积函数在对称域上关于 z 为奇函数 , 利用

对称性可知原式为 0.

12. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上

个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片

的另一边长度应为多少?

提示: 建立坐标系如图.由已知可知

yxy dd0 dR

2332 bRR

由此解得 Rb32

薄片的重心恰好落在圆心上

的圆形薄片的直径上 , 要接上一

个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个

22 xRy

,0y由已知可知

问接上去的均匀矩形薄片

即有

薄片的重心恰好落在圆心上 ,

例1. 计算二重积分 ID

(1) D为圆域

(2) D由直线

解: (1) 利用对称性.

d)(21 22 xyx

,dd)e(222 yxyxx yx

D 其中:

yx dde22

围成 .

(2) 积分域如图:

添加辅助线

利用对称性 , 得

yxyx yx dde22

,xy 将D 分为 ,, 21 DD

yxy dd2

添加辅助线

yxyxx yxD

dd)e(222

例2. 计算二重积分

2)1( x其形心坐标为:

面积为:

yxxI dd5

9]23)1(5[ A

积分区域

AyAx 35

其中D 是由曲

所围成的平面域 .

22 3)2( y

yxy dd

形心坐标

例3. 计算二重积分

d)sgn()1( 2 xxyID

2()2( 22 yxID

在第一象限部分

解: (1) 2xy

21, DD 两部分, 则

1 2 ddx

把作辅助线

,dd)22 yxxy

在第一象限部分.

2Ddd yx

;1011: yxD ，

其中D 为圆域

把D 分成1D

(2) 提示:

21 , DD 两部分

dd)(22

说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号

xy 作辅助线将D

xyyxID

2π)12(

需分块积分以去掉绝对值符号.

2DD 分成

D yxdd2

yxxy dd)2

例4. 求抛物线

所围区域 D 的面积

解:如图所示 \ 12 DDD

d),( 时计算 D yxf 注:

则也可利用上述方法简化计算上可积 ,

的面积A . xy 2

1D 2D D

,时 1),( Dyxf 可扩展到若

则也可利用上述方法简化计算.

例5. 交换积分顺序计算 I x y x y

y dde1 D

0d e d

03 (1 )e dyy y

解. 积分域如图.

0 0 1 0d e d d e d

xx y yI x y x y

yxy dd

xy )3(

1D 2D3 x

解: 在球坐标系下

2 d)(π4

40 π)(lim

利用洛必达法则与导数定义

30 π4)(π4lim

0)0( F

xftzyx

其中

，求 )(π1lim 40

利用洛必达法则与导数定义,得

)(lim0

zyxzy ddd)22

1. 几何方面

面积 ( 平面域或曲面域

质量, 转动惯量, 质心,

证明某些结论等

2. 物理方面

3. 其它方面

平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心

, 引力

证:左端 fxxfb

)([ 221

a)()( 2

= yxxfD

证明

yy d)(

222 vuuv 利用

yxyf dd)](2

byabxa

= 右端

例8. 设函数 f (x) 连续且恒大于零

其中 ),,{()( 2xzyxt

),{()( 2 yxyxtD

(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞)

(2) 证明 t > 0 时, π2)(tF

连续且恒大于零,

},222 tzy

}.22 ty

( 0, +∞) 内的单调性;

.)(π2 tG (2003考研)

解: (1) 因为

dsind)(

两边对 t 求导, 得

()(2)(

ftfttF

,0( 在

),0()( 单调增加上在故 tF

f (x) 恒大于零,

rrrf 22

,0)() tF上

.单调增加214

(2) 问题转化为证

即证 (d)(00

frrrf)(tg

()()(0

rftftg

,),0()( 单调增在故 tg 又因

()0()( gtg 0

因此 t > 0 时, )(π2)( tGtF

0d)(d)( 20

rrrfrr

0d))( 22 rrtr

,0)( 连续在又因 ttg 故有

利用“先二后一”计算.

zyxV ddd 20

2d)1(π

例9. 试计算椭球体

解法1

利用“先二后一”计

cyxz ddd

abcπ34

的体积 V.

*解法2 利用三重积分换元法

,cossin rbyrax 则

),,(),,(

sin2rcba

zyxV ddd

rabc dsin2

利用三重积分换元法.

cos,sinsin rczr

,sin :

rJ ddd

cbaπ34

π20π010

第十章重积分 - beijing normal...

Documents

第五章不定积分

微积分 -...

§6 重积分的应用

第三节定积分的还原积分法和分部积分法

第 14 章曲线积分

3.2 runge-kutta 积分法

积分统计（2/2013)

monte carlo 模拟第四章 monte carlo 积分. monte carlo...

第 13 章重积分

§3 分部积分法

§7.6 二重积分

第二节函数的和、差、积、 ...

广东第二师范学院 -...

9.4 对面积的曲面积分

第五章不定积分

§1. 第一类曲线积分的计算 §2. ...

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