chapter1 integral[1]
Post on 03-Oct-2014
145 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
1
บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ (Improper Integrals)
ปรพนธจ ากดเขต (definite integral) ( )b
a
f x dx ถกพจารณาในกรณ a และ b เปนจ านวนจรง
ในขณะททฤษฎหลกมลของแคลคลสมเงอนไขทส าคญวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , ]a b ในบทน เราจะศกษาการหาปรพนธในกรณ a หรอ b นอกจากน เราจะศกษาการหาปรพนธในกรณทสมาชกในชวงของการหาปรพนธซงท าให f ไมมความตอเนองบนชวงนน มจ านวนจ ากด ปรพนธทเราจะศกษานเรยกวา ปรพนธไมตรงแบบ (improper integral)
1.1 ปรพนธไมตรงแบบชนดทหนง (Improper Integral of the First Kind)
ในหวขอน เราจะพจารณาการหาปรพนธ ( )b
a
f x dx ในกรณ a หรอ b ขณะท f เปน
ฟงกชนทมความตอเนองบนชวงทจะหาปรพนธ เชน
2
1
1dx
x
0 x
e dx
2
1
1
dx
x เปนตน
บทนยามท 1.1.1 ให a เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , )a
ถา
lim ( )t
t
a
f x dx
มคา เราจะกลาววา ( )
a
f x dx
ลเขา และ
lim( ) ( )t
t
a a
f x dx f x dx
ถา
lim ( )t
t
a
f x dx
ไมมคา เราจะกลาววา ( )
a
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.1.1 จงพจารณาวา 2
5
1
dx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
1( )f x
x จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [5, )
เราพบวา
2
lim lim lim 55
1 1 1 1 1
5 5 t t t
x tt
xdx
x tx
สรปวา 2
5
1
dx
x
ลเขา และ 2
5
1 1
5 dx
x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
2
ตวอยางท 1.1.2 จงพจารณาวา
2
1
1dx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 1( )
1f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [2, )
เราพบวา
lim lim
2 2
1 1 ( 1)
1 1t t
t x t
x
dx d xx x
lim2
n | 1|
t
x t
xx
lim n | 1| n1
t
t
lim n | 1|
t
t
สรปวา
2
1
1dx
x
ลออก
บทนยามท 1.1.2 ให b เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , ]b
ถา
lim ( )t
b
t
f x dx
มคา เราจะกลาววา ( )b
f x dx
ลเขา และ
lim( ) ( )t
b b
t
f x dx f x dx
ถา
lim ( )t
b
t
f x dx
ไมมคา เราจะกลาววา ( )b
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.1.3 จงพจารณาวา 0 x
e dx
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให ( ) xf x e จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0]
เราพบวา
0 0 0lim lim lim
1t t t
xx x tx t
t
e dx e e e
สรปวา 0 x
e dx
ลเขา และ
0 1
xe dx
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
3
ตวอยางท 1.1.4 จงพจารณาวา 2
3
4
xdx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
( )4
xf x
x จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 3]
เราพบวา
2
2
3 3lim lim ( 4)
4
t t
x
t x t
xdx d x
x
23
lim 4
t
x
x tx
2lim 13 4
t
t
สรปวา 2
3
4
xdx
x
ลออก
บทนยามท 1.1.3 ให c เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )
ถา ( )c
f x dx
และ ( )
c
f x dx
ลเขา เราจะกลาววา ( )f x dx
ลเขา
และ ( ) ( ) ( )c
c
f x dx f x dx f x dx
ถา ( )c
f x dx
หรอ ( )
c
f x dx
ลออก เราจะกลาววา ( )f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.1.5 จงพจารณาวา 2
1
1
dx
x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
1( )
1f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )
พจารณา 2
0 1
1
dx
x และ
20
1
1
dxx
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
4
เราพบวา
2
00
lim lim1
arctan1
t t
x
x tt
dx xx
lim arctan0 arctant
t
02
2
และ
2
lim lim0
0
1 arctan
1
t t
tx t
xdx x
x
lim arctan arctan0t
t
02
2
ดงนน 2
0 1
1
dx
x และ
20
1
1
dxx
ลเขา
สรปวา 2
1
1
dx
x ลเขา และ
2
1
2 21
dx
x
ตวอยางท 1.1.6 จงพจารณาวา 2
4
xdx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
( )4
xf x
x จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )
พจารณา 2
3
4
xdx
x
และ 2
3 4
xdx
x
จากตวอยางท 1.1.4 เราพบวา 2
3
4
xdx
x
ลออก
สรปวา 2
4
xdx
x
ลออก
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
5
แบบฝกหดท 1.1
1. จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปนลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
1.1
3
1
5dx
x
1.2
34
1
( 2)dx
x
1.3
2
93
1dx
x
1.4
20 1
xdx
x
1.5
0
sin x dx
1.6
1
n xdx
x
1.7 32
0
xx e dx
1.8
5
1
( n )e
dxx x
1.9
2 1
1dx
x
1.10
5
2
3 1
( 1)
dx
x
1.11 2
1 1
(2 3)dx
x
1.12
2
0
1
xdx
x
1.13 3
5 1
6dx
x
1.14
0 2xe dx
1.15 2
cos
x x dx 1.16
0 xxe dx
1.17 2
25
xdx
x
1.18
2 2
( 1)
xdx
x
1.19
2
29
xdx
x
1.20
1
x xdx
e e
2. จงแสดงวา
1
1 1
1 p
dxpx
เมอ 1p และลออก เมอ 1p
3. จงหาคา k ทท าให
0 3
k xe dx
4. จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยระหวางเสนโคง | | xy e กบแกน X เมอ ( , )x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
6
1.2 ปรพนธไมตรงแบบชนดทสอง (Improper Integral of the Second Kind)
ในหวขอน เราจะพจารณาการหาปรพนธ ( )b
a
f x dx ในกรณ a และ b เปนจ านวนจรง ขณะท
สมาชกในชวง [ , ]a b ซงท าให f ไมมความตอเนองบนชวง [ , ]a b มจ านวนจ ากด เชน 3
2
1
1
( 1)dx
x
2
2
0 4
xdx
x
23
1
1
( n )
e
e
dx
x x
เปนตน
บทนยามท 1.2.1 ให a และ b เปนจ านวนจรงซง a b และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , ]a b แตไมมความตอเนองท a
ถา
lim ( )t a
b
t
f x dx มคา เราจะกลาววา ( )
b
a
f x dx ลเขา และ
lim( ) ( )t a
b b
a t
f x dx f x dx
ถา
lim ( )t a
b
t
f x dx ไมมคา เราจะกลาววา ( )
b
a
f x dx ลออก
ตวอยางท 1.2.1 จงพจารณาวา
1
0
1dx
x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 1( )f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง (0, 1] แตไมมความตอเนองท 0
เราพบวา
0 0
1 1lim lim
1 2
t t
x
t x t
dx d xx
0
1lim
2
t
x
x tx
0
lim 2 2t
t
2
สรปวา
1
0
1dx
x ลเขา และ
1
0
1 2dx
x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
7
ตวอยางท 1.2.2 จงพจารณาวา 3
2
1
1
( 1)dx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 3
1( )
( 1)f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 1, 2] แตไมมความตอเนองท 1
เราพบวา
3 31 1
2 2lim lim
1 1 ( 1)
( 1) ( 1)t t
x
t x t
dx d xx x
21
2
lim
1
2( 1)
t
x
x tx
2
1lim
18
1 1
2( 1)t t
สรปวา 3
2
1
1
( 1)dx
x
ลออก
บทนยามท 1.2.2 ให a และ b เปนจ านวนจรงซง a b และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , )a b แตไมมความตอเนองท b
ถา
lim ( )t b
t
a
f x dx มคา เราจะกลาววา ( )
b
a
f x dx ลเขา และ
lim( ) ( )t b
b t
a a
f x dx f x dx
ถา
lim ( )t b
t
a
f x dx ไมมคา เราจะกลาววา ( )
b
a
f x dx ลออก
ตวอยางท 1.2.3 จงพจารณาวา 2
2
0 4
xdx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
( )
4
xf x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [0, 2) แตไมมความตอเนองท 2
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
8
เราพบวา
2
22 2lim lim
0 0
( 1) 4
4
t t
t x t
x
xdx d x
x
2
2
lim
0 4
t
x t
xx
2
2lim 4 ( 2)
tt
2
สรปวา 2
2
0 4
xdx
x
ลเขา และ 2
2
0
2
4
xdx
x
ตวอยางท 1.2.4 จงพจารณาวา
0 1
e
dxx
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 1( )f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ , 0)e แตไมมความตอเนองท 0
เราพบวา
0 0 0lim lim lim
1 n | | n | | n | |
t t t
t x t
x ee
dx x t ex
สรปวา
0 1
e
dxx
ลออก
บทนยามท 1.2.3 ให { , , }a b c เปนเซตของจ านวนจรงซง a c b และ f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )a b แตไมมความตอเนองท a และ b
ถา ( )c
a
f x dx และ ( )b
c
f x dx ลเขา เราจะกลาววา ( )b
a
f x dx ลเขา
และ ( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
ถา ( )c
a
f x dx หรอ ( )b
c
f x dx ลออก เราจะกลาววา ( )b
a
f x dx ลออก
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
9
ตวอยางท 1.2.5 จงพจารณาวา 2
2
2 4
xdx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
( )
4
xf x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 2, 2) แตไมมความตอเนองท 2 และ 2
พจารณา 2
0
2 4
xdx
x
และ 2
2
0 4
xdx
x
เราพบวา
2
22 2
0 0lim lim ( 1) 4
4
t t
x
t x t
xdx d x
x
2
2
0lim 4
t
x
x tx
2
2lim 2 4
tt
2
ดงนน 2
0
2 4
xdx
x
ลเขา และ 2
0
2
2
4
xdx
x
จากตวอยางท 1.2.3 เราพบวา 2
2
0 4
xdx
x
ลเขา และ 2
2
0
2
4
xdx
x
สรปวา 2
2
2 4
xdx
x
ลเขา และ 2
2
2
2 2 0
4
xdx
x
ตวอยางท 1.2.6 จงพจารณาวา
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
1( )
( 2)( 3)f x
x x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 3, 2) แตไมมความตอเนองท 3 และ 2
พจารณา
2.5
3
1
( 2)( 3)dx
x x
และ
2
2.5
1
( 2)( 3)dx
x x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
10
เราพบวา
3 3
2.5 2.5lim lim
1 11
( 2)( 3) 2 3t tt t
dx dxx x x x
3
2.5lim n | 2 | n | 3|
t
xx tx x
3
lim 0 ln | 2 | ln | 3|
t
t t
ดงนน
2.5
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
สรปวา
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
บทนยามท 1.2.4 ให n เปนจ านวนนบ และให
0 1 1{ , , ... , }
nc c c
เปนเซตของจ านวนจรงซง
0 1 1
...n
c c c
และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 0 1 1
( , ) { , ... , }nnc c c c
แตไมมความตอเนองททกสมาชกในเซต 1
{ , ... , }nc c
ถา 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลเขา ทก i เราจะกลาววา 1
0
( )nc
c
f x dx
ลเขา
และ 1 1
00
( ) ( )n i
i
n
i
c c
c c
f x dx f x dx
ถา ม i ทท าให 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลออก เราจะกลาววา 1
0
( )nc
c
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.2.7 จงพจารณาวา
23
1
1
( n )
e
e
dx
x x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
23
1( )
( n )
f x
x x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง 1
[ , 1) (1, ] ee
แตไมมความตอเนองท 1
พจารณา
23
1
1
1
( n )e
dx
x x
และ
23
1
1
( n )
edx
x x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
11
เราพบวา
1 1
323
lim lim
1 1
1 3 n
( n )t t
t x t
xee
dx d x
x x
1
31
lim
3 nt e
x t
xx
3 3
1lim
1 3 n 3 nt e
t
3
และ
1 1
323
lim lim1
3 n
( n )t t
e x e
t x t
dx d x
x x
1
3
lim
3 nt
x e
x tx
3 3
1lim 3 n 3 n
te t
3
ดงนน
23
1
1
1
( n )e
dx
x x
และ
23
1
1
( n )
edx
x x
ลเขา
สรปวา
23
1
1
( n )
e
e
dx
x x
ลเขา และ
23
1
1 3 3 6
( n )
e
e
dx
x x
ตวอยางท 1.2.8 จงพจารณาวา
2
5
1
( 2)( 3)dx
x x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
1( )
( 2)( 3)f x
x x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ 5, 3) ( 3, 2) แตไมมความตอเนองท 3 และ 2
พจารณา
3
5
1
( 2)( 3)dx
x x
และ
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
จากตวอยางท 1.2.6 เราพบวา
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
สรปวา
2
5
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
12
แบบฝกหดท 1.2
1. จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปนลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
1.1 2
4
1
1
( 1)dx
x
1.2
3
7
1
1
1dx
x
1.3 2
5
3 9
x
dx
x
1.4
1
1
n
edx
x x
1.5 5
0.5
1
1
2 1dx
x
1.6
2
2
0
2 1
2
xdx
x x
1.7 22
0
sec x dx
1.8
2
sin
1 cos
xdx
x
1.9 2
5
5 25
xdx
x
1.10
2
1
1
( 2)( 1)dx
x x
1.11 2
3
5
1
2 15
xdx
x x
1.12
1
1
1
1 | |dx
x
1.13 2
3
3
6
1
( 2)
dx
x
1.14
2
1
1
n 3x
dx
1.15
2
3
2 2
xdx
x
1.16 2 3
4
1 ( 1)
xdx
x
1.17 2
3
0
1
5 6dx
x x
1.18
2
32
3
1
2 5
( 5 6)
xdx
x x
1.19
4
2
1
( 2)( 1)( 3)( 4)dx
x x x x
1.20
3
3
4
1
dx
x x
2. จงแสดงวา
1
0
1 1
1 p
dxpx
เมอ 1p และลออก เมอ 1p
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
13
1.3 ปรพนธไมตรงแบบชนดทสาม (Improper Integral of the Third Kind)
ในหวขอน เราจะพจารณาการหาปรพนธ ( )b
a
f x dx ในกรณ a หรอ b ขณะทสมาชก
ในชวงของการหาปรพนธซงท าให f ไมมความตอเนองบนชวงนน มจ านวนจ ากด การหาปรพนธไมตรงแบบชนดทสามจะผสมผสานแนวความคดระหวางการหาปรพนธไมตรงแบบชนดทหนงและชนดทสอง เชน
0 1dx
x
3
1
( 2)( 3)dx
x x
2
1
dx
x
เปนตน
การพจารณาปรพนธไมตรงแบบชนดทสามอาศยการแบงชวงทจะหาปรพนธออกเปนชวงยอยๆ ซงท าใหปรพนธบนแตละชวงยอยนนเปนปรพนธไมตรงแบบชนดทหนงหรอชนดทสองอยางใดอยางหนง การลเขาหรอการลออกของปรพนธไมตรงแบบชนดนจะขนอยกบการลเขาหรอการลออกของปรพนธบนแตละชวงยอย
บทนยามท 1.3.1 ให a และ c เปนจ านวนจรงซง a c และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , )a แตไมมความตอเนองท a
ถา ( )c
a
f x dx และ ( )
c
f x dx
ลเขา เราจะกลาววา ( )
a
f x dx
ลเขา
และ ( ) ( ) ( )c
a a c
f x dx f x dx f x dx
ถา ( )c
a
f x dx หรอ ( )
c
f x dx
ลออก เราจะกลาววา ( )
a
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.3.1 จงพจารณาวา
2
1
0
xedx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
2
1
( )xe
f xx
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง (0, ) แตไมมความตอเนองท 0
พจารณา
2
1
1
0
xedx
x
และ
2
1
1
xedx
x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
14
เราพบวา
2
0 0
11
1 1lim lim
1
t t
x xx
t x t
edx e d
xx
0
11
lim t
xx
x t
d e
0
11
lim
t
x
x
x t
e
0
1
lim1
t
tee
1 e
และ
2
11
lim lim
1 1
1
t t
xt x tx
x
edx e d
xx
1
lim
1
t
x tx
x
d e
1
lim
1
t
x t
x
x
e
1
lim1
t
tee
1 1
e
ดงนน
2
1
1
0
xedx
x
และ
2
1
1
xedx
x
ลเขา
สรปวา
2
1
0
xedx
x
ลเขา และ
2
1
0
1 1 1 1
xedx
e ex
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
15
ตวอยางท 1.3.2 จงพจารณาวา 2
0
1
dx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
1( )f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง (0, ) แตไมมความตอเนองท 0
พจารณา 2
5
0
1
dx
x และ
25
1
dx
x
เราพบวา
20 0 0
55lim lim lim
1 1 1 1
5 t t t
x
x tt
dxx tx
ดงนน 2
5
0
1
dx
x ลออก
สรปวา 2
0
1
dx
x
ลออก
บทนยามท 1.3.2 ให b และ c เปนจ านวนจรงซง c b และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง
( , )b แตไมมความตอเนองท b
ถา ( )c
f x dx
และ ( )
b
c
f x dx ลเขา เราจะกลาววา ( )b
f x dx
ลเขา
และ ( ) ( ) ( )b c b
c
f x dx f x dx f x dx
ถา ( )c
f x dx
หรอ ( )
b
c
f x dx ลออก เราจะกลาววา ( )b
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.3.3 จงพจารณาวา
3
2
3
0
xe
dx
x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 3
2
3
( )
xe
f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) แตไมมความตอเนองท 0
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
16
พจารณา
3
2
3
1
xe
dx
x
และ
3
2
3
0
1
xe
dx
x
เราพบวา
3
33
2
3
1 1lim lim 3
t t
xx x
t x t
edx e d x
x
31lim (3 )
t
xx
x t
d e
3 1
lim
3
t
xx
x t
e
3
lim3
3
t
tee
3
e
และ
3
33
2
0 03
lim lim
1 1
3
t t
xt x t x
x
edx e d x
x
3
0lim
1
(3 )
t
x tx
x
d e
3
0
lim
1
3
t
x tx
x
e
3
0lim
3 3
t
tee
3 3
e
ดงนน
3
2
3
1
xe
dx
x
และ
3
2
3
0
1
xe
dx
x ลเขา
สรปวา 3
2
3
0
xe
dx
x ลเขา และ
3
2
3
0
3 3 3 3
xe
dxe e
x
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
17
ตวอยางท 1.3.4 จงพจารณาวา
0 1dx
x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 1( )f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) แตไมมความตอเนองท 0
พจารณา 1e
dxx
และ
0 1
e
dxx
จากตวอยางท 1.2.4 เราพบวา
0 1
e
dxx
ลออก
สรปวา
0 1dx
x ลออก
บทนยามท 1.3.3 ให n เปนจ านวนนบ และให
0 1{ , , ... , }nc c c เปนเซตของจ านวนจรงซง
0 1
... nc c c และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 0 1
( , ) { , ... , }nc c c แตไมม
ความตอเนองททกสมาชกในเซต 1
{ , ... , }nc c
ถา 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลเขา ทก i และ ( )
nc
f x dx
ลเขา เราจะกลาววา
0
( )
c
f x dx
ลเขา
และ 1
0
1
0
( ) ( ) ( )i
i n
n
i
c
c c c
f x dx f x dx f x dx
ถา ( )
nc
f x dx
ลออก หรอ ม i ทท าให 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลออก เราจะกลาววา
0
( )
c
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.3.5 จงพจารณาวา
2
1
| |
1
xe
dxx
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
2
1
| |
( )
xe
f xx
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [ 1, 0) (0, ) แตไมมความตอเนองท 0
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
18
พจารณา
2
1
| |0
1
xe
dxx
และ
2
1
| |
0
xe
dxx
เราพบวา
2 2
0 0
1 1
| |
lim lim
1 1
t t
x xt te edx dx
x x
0
1
lim
1
1 ( )t
x tx
x
e dx
0
1
lim
1
( )t
x tx
x
d e
0
1
lim
1
t
x t
x
x
e
0
1
lim1
t
tee
1 e
และ
2 2
1 1
| |
0 0
x xe edx dx
x x
จากตวอยางท 1.3.1 เราพบวา
2
1
0
xedx
x
ลเขา และ
2
1
0
1
xedx
x
ดงนน
2
1
| |0
1
xe
dxx
และ
2
1
| |
0
xe
dxx
ลเขา
สรปวา
2
1
| |
1
xe
dxx
ลเขา และ
2
1
| |
1
1 1
xe
dxex
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
19
ตวอยางท 1.3.6 จงพจารณาวา
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
1( )
( 2)( 3)f x
x x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( 3, 2) ( 2, ) แตไมมความตอเนองท 3 และ 2
พจารณา
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
และ
2
1
( 2)( 3)dx
x x
จากตวอยางท 1.2.6 เราพบวา
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
สรปวา
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
บทนยามท 1.3.4 ให n เปนจ านวนนบ และให
1 2 1{ , , ... , }
nc c c
เปนเซตของจ านวนจรงซง
1 2 1
...n
c c c
และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 1 1
( , ) { , ... , }nnc c c
แตไมมความตอเนองททกสมาชกในเซต 1
{ , ... , }nc c
ถา 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลเขา ทก i และ 1
( )c
f x dx
ลเขา เราจะกลาววา
1
( )nc
f x dx
ลเขา
และ 1 1 1
1
( ) ( ) ( )n i
i
n
i
c c c
c
f x dx f x dx f x dx
ถา 1
( )c
f x dx
ลออก หรอ ม i ทท าให
1
( )i
i
c
c
f x dx
ลออก เราจะกลาววา 1
( )nc
f x dx
ลออก
ตวอยางท 1.3.7 จงพจารณาวา
3
2
3
1
xe
dx
x ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 3
2
3
( )
xe
f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) (0, 1] แตไมมความตอเนองท 0
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
20
พจารณา
3
2
3
0
xe
dx
x และ
3
2
3
1
0
xe
dx
x
จากตวอยางท 1.3.3 เราพบวา 3
2
3
0
xe
dx
x ลเขา และ
3
2
3
0 3
xe
dx
x
นอกจากน เราพบวา
3
33
2
0 03
1 1lim lim 3
t t
xx x
t x t
edx e d x
x
3
0
1lim (3 )
t
xx
x t
d e
3
0
1
lim
3
t
xx
x t
e
3
0lim 3 3
t
te e
3 3 e
ดงนน
3
2
3
1
0
xe
dx
x
ลเขา และ
3
2
3
1
0
3 3
xe
dx e
x
สรปวา 3
2
3
1
xe
dx
x ลเขา และ
3
2
3
1 3 (3 3) 3
xe
dx e e
x
ตวอยางท 1.3.8 จงพจารณาวา
4 1
( 2)( 3)dx
x x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให
1( )
( 2)( 3)f x
x x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 3) ( 3, 2) ( 2, 4] แตไมมความตอเนองท 3 และ 2
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
21
พจารณา
3 1
( 2)( 3)dx
x x
และ
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
และ
4
2
1
( 2)( 3)dx
x x
จากตวอยางท 1.2.6 เราพบวา
2
3
1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
สรปวา
4 1
( 2)( 3)dx
x x
ลออก
บทนยามท 1.3.5 ให n เปนจ านวนนบ และให
1{ , ... , }nc c เปนเซตของจ านวนจรงซง
1
... nc c และให f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนเซต 1
( , ) { , ... , }nc c แตไมมความ
ตอเนองททกสมาชกในเซต 1
{ , ... , }nc c และให เปนเซตของจ านวนนบทนอยกวา n
ถา 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลเขา ทก i และ 1
( )c
f x dx
ลเขา และ ( )
nc
f x dx
ลเขา
เราจะกลาววา ( )f x dx
ลเขา
และ
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
i
i ni
c c
c c
f x dx f x dx f x dx f x dx
ถา 1
( )c
f x dx
ลออก หรอ ( )
nc
f x dx
ลออก หรอ ม i ทท าให 1
( )i
i
c
c
f x dx
ลออก
เราจะกลาววา ( )f x dx
ลออก
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
22
ตวอยางท 1.3.9 ให
2
;
1
;
0
( )
0
x
xe x
f xe
xx
จงพจารณาวา ( )f x dx
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า เราพบวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) (0, ) แตไมมความตอเนองท 0
พจารณา
0( )f x dx
และ
0
( )f x dx
นนคอ พจารณา 0 x
e dx
และ
2
1
0
xedx
x
จากตวอยางท 1.1.3 เราพบวา 0 x
e dx
ลเขา และ
0 1
xe dx
จากตวอยางท 1.3.1 เราพบวา
2
1
0
xedx
x
ลเขา และ
2
1
0
1
xedx
x
สรปวา ( )f x dx
ลเขา และ ( ) 1 1 2f x dx
ตวอยางท 1.3.10 จงพจารณาวา 2
1
dx
x
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
วธท า ให 2
1( )f x
x
จะไดวา f เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง ( , 0) (0, ) แตไมมความตอเนองท 0
พจารณา 2
0 1
dx
x และ
20
1
dx
x
จากตวอยางท 1.3.2 เราพบวา 2
0
1
dx
x
ลออก
สรปวา 2
1
dx
x
ลออก
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
23
แบบฝกหดท 1.3
1. จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปนลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
1.1
0
xe
dxx
1.2 3
1
1
1dx
x
1.3
1.5 1
3 2dx
x
1.4
4 2
3 3
0 1
dx
x x
1.5
1
1
| | 1 | |
dx
x x 1.6
1
1
( 1)dx
x x
1.7 5 1
3 3
1 1
dx
x x
1.8
2 1
( 4)( 5)dx
x x
1.9
1
( 2)( 1)dx
x x
1.10
1
x
x
edx
e
2. ให 3
4
3
;
1
;
0
( )
0
x
xe x
f xe
x
x
จงพจารณาวา ( )f x dx
ลเขาหรอลออก ถาลเขา จงหาคาปรพนธ
3. จงแสดงวา
0
1
pdx
x ลออก ทกจ านวนจรง p
MA286 บทท 1 ปรพนธไมตรงแบบ อ.ดร.บญญต สรอยแสง
24
เฉลยแบบฝกหดท 1.1
1. 1.1 ลออก 1.2 18
1.3 9
1.4 ลออก 1.5 ลออก 1.6 ลออก
1.7 1
3 1.8 1
4 1.9 ลออก
1.10 1
12 1.11 1
2 1.12 ลออก
1.13 ลออก 1.14 1
2 1.15 ลออก
1.16 1 1.17 ลออก 1.18 0
1.19 ลออก 1.20 2
3. 1
3
4. 2
เฉลยแบบฝกหดท 1.2
1. 1.1 ลออก 1.2 6 1.3 4 1.4 ลออก 1.5 5
8 1.6 ลออก
1.7 ลออก 1.8 2 1.9 0 1.10 ลออก 1.11 ลออก 1.12 4 1.13 9 1.14 ลออก 1.15 7 1.16 ลออก 1.17 ลออก 1.18
33 2 1.19 ลออก 1.20 ลออก
เฉลยแบบฝกหดท 1.3
1. 1.1 2 1.2 ลออก 1.3 ลออก
1.4 32
1.5 32
1.6 ลออก
1.7 3
8
1.8 ลออก 1.9 ลออก
1.10 ลออก
2. 4
top related