第二章矩阵运算及其应用 -...
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第二章 矩阵运算及其应用
2.1 矩阵的加减乘法
2.2 矩阵的逆
2.3 矩阵的分块
2.4 初等矩阵
2.5 应用实例
2.6 习题
2.1 矩阵的加减乘法
2.1.1 矩阵的加法
定义2.1 设有两个同型的 矩阵
， ，矩阵A与矩阵B的和记作 ，
规定为：
nm× ( )ij m na
×=A
( )ij m nb
×=B A +B
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a ba b a b a b
a b a b a b
+ + +⎡ ⎤⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
A+B
L
L
M M M
L
若 ，把 记作 ，称为
A的负矩阵。显然有：
由此可定义矩阵的减法为：
( )ij m na
×=A ( )
nmija×
− −A( ) =A+ -A O
( )A-B = A+ -B
2.1.2 矩阵的数乘
定义2.2 数 与矩阵 的乘积，简
称数乘，记作 或 ，规定为
λ ( )ij m na
×=A
λA λA
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
λ λ λλ λ λ
λ λ
λ λ λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A A
L
L
M M M
L
矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，
矩阵的线性运算满足下列运算规律（A、B、C是同型矩阵， 、 是数）
（1）加法交换律
（2）加法结合律
（3）（4）
λ μA+B=B+A( ) ( )A+B +C = A+ B+C
A+O = A( )A+ -A =O
（5）
（6）
（7）
（8）数乘分配律
( )λ μ λ μ+ = +A A A
( )λ λ λ= +A+B A B
1⋅A = A
( ) ( ) ( )λμ λ μ μ λ= =A A A
2.1.3 矩阵的乘法
定义2.3 设A是矩阵，B是矩阵，那么矩阵A和矩阵B的乘积是一个矩阵C，其中
记作 C=AB
sjisjiji
s
kkjikij babababac +++== ∑
=
L22111
njmi ,,2,1;,,2,1 LL ==
由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二
个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等
时，两个矩阵才能相乘。
乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第
行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘
积之和，即：
( )ji,
ij
定义2.4 对于变量 ，若它们都能由
变量线性表示，即有：
（2-1）
则称此关系式为变量 到变量
的线性变换。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=+++=
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxayxaxaxay
L
LL
L
L
2211
22221212
12121111
myyy L,, 21
nxxx L,, 21
nxxx ,,, 21 L myyy ,,, 21 L
可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入
向量X：1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
n
n
m m m mn n
y a a a xy a a a x
y a a a x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Y = AX
L
L
M M M M M
L
例2.4 式（2-2）给出变量 到变量
的线性变换；式（2-3）给出变量 到变
量 的线性变换。请写出变量 到变
量 的线性变换。
（2-2）
（2-3）
321 ,, xxx 21, yy
21 , tt
321 ,, xxx 21 , tt
21, yy
⎩⎨⎧
++=++=
3232221212
3132121111
xaxaxayxaxaxay
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
2321313
2221212
2121111
tbtbxtbtbxtbtbx
解：方法一，代换法。
将式（2-3）代入式（2-2），得：
（2-4）
方法二，矩阵运算法。
根据矩阵乘法的定义，可以把式（2-2）和式（2-3）分别写为式（2-5）和式（2-6）的矩阵等式：
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
+++++=+++++=
232232222122113123212211212
232132212121113113211211111
tbababatbababaytbababatbababay
（2-5）
（2-6）
把式（2-6）代入式（2-5）中，得：
111 12 131
221 22 232
3
xa a ay
xa a ay
x
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
1 11 121
2 21 222
3 31 32
x b bt
x b bt
x b b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 131
21 22 232
a a aya a ay⎡ ⎤⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 121
21 222
31 32
b bt
b bt
b b
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
（2-7）
式（2-7）和式（2-4）等价。
通过这个例子，可以看出矩阵乘法在线性变
换中的运用。
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 321 1
21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 322 2
a b a b a b a b a b a by ta b a b a b a b a b a by t
+ + + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
有了矩阵乘法的定义后，可以把一般的线性
方程组（1-3）写为矩阵形式：
（2-8）
若用A表示系数矩阵，X表示未知量构成的向
量，b表示常数项所构成的向量，
则式（2-8）可以化简为： AX=b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
a a a x ba a a x b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M M M
L
例2.5 已知 ， ，
求 AB，BA解：根据矩阵乘法定义，有：
1 2 13 4 02 5 6
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A10 2010 305 8
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
B
AB =1 2 13 4 02 5 6
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
10 2010 305 8
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 10 2 ( 10) ( 1) ( 5) 1 20 2 30 ( 1) 83 10 4 ( 10) 0 ( 5) 3 20 4 30 0 8
( 2) 10 5 ( 10) 6 ( 5) ( 2) 20 5 30 6 8
× + × − + − × − × + × + − ×⎡ ⎤⎢ ⎥= × + × − + × − × + × + ×⎢ ⎥⎢ ⎥− × + × − + × − − × + × + ×⎣ ⎦
由于矩阵有2列，矩阵有3行，所以B不能左
乘A。由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出：
（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况
下
（2）不能由 ，推出 或
5 7210 180100 158
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
≠AB BA
AB =O A =O B =O
（3）不能由 ， ，推出
在一般情况下有：
矩阵乘法满足下列运算规律：
（1）（2）
AC = AB ≠A O B = C
≠≠
2 2 2
2 2
(A + B) A + 2AB +B
(A + B)(A - B) A - B
( ) ( )AB C = A BC
( )A B +C = AB + AC( )A+B C = AC+BC
（3） ， 为数
（4）
（5） ， ，其中 为正
整数， 必须为方阵。
( ) ( ) ( )λ λ λ= =AB A B A B λ
m n n m m n m n× × ×= =A I I A A
k l k l+=A A A ( )lk k l=A A lk ,A
2.1.4 矩阵的转置
定义2.5 设是 一个 矩阵，将矩
阵 中的行换成同序数的列得到的一个
矩阵，称为矩阵 的转置矩阵，记作 ，
或 。
例如， ， 则
( )ija=A nm×
A mn×A TA
′A
1 5 32 9 4⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A1 25 93 4
T
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A
矩阵转置满足以下运算规律
（1）
（2）
（3）
（4）
( )TT =A A
( )T T T= +A +B A B
( )T Tλ λ=A A
( )T T T=AB B A
在此只证明（4）证明：设 , ,记， ，据矩阵乘法定义及矩阵
转置定义知：
而 的第 行就是 的第 列，为：
， 的第 列就是 的第 行，为：
，因而有
( )ij m sa
×=A ( )ij s n
b×
=B ( )ij m nc
×=AB =C
( )T Tij n m
d×
= =B A D
∑=
=s
kkjikij bac
1TB j B j
sjjj bbb L,, 21
TA i A i isii aaa L,, 21
即得 ，亦即 。
定义2.6 如果n阶方阵 满足 ，则称为
对称矩阵。如果n阶方阵 满足 ，则称
为反对称矩阵。
显然反对称阵的主对角线上元素都是零。
issjijijji abababd +++= L2211
sjisjiji bababa +++= L2211
ijc= ( )njmi ,,2,1;,,2,1 LL ==
TC = D ( )T T TAB = B ATA = AA
A −TA = A
2.2 矩阵的逆
2.2.1 逆矩阵的定义
定义2.7 设 为n阶方阵，若存在n阶方阵
，使得 ，其中 为n阶单位矩
阵，则称 为可逆矩阵或 是可逆的，并称
为 的逆矩阵。
如果 的逆矩阵为 ，记 ，显然，则
的逆矩阵为 ，记 ，我们也称矩阵
和矩阵 互逆。
A BnAB = BA = I nI
A AAB
AA
A
BB
B -1A = B-1B = A
例2.7 设 , ,
,分析矩阵 和矩阵 、矩阵
和矩阵 的关系。
解：
1 21 3⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A3 21 1
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
B3
69
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
1/31/6
1/9
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
D A B C
D1 21 3⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
AB1 21 3⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
1 00 1⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=BA3 2 1 21 1 1 3
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 00 1⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
所以，矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。
矩阵 和矩阵 也互为逆矩阵。
B3
69
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
CD1/ 3
1/ 61/ 9
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11
1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11
1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C D
A
1 / 3 31 / 6 6
1 / 9 9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
DC =
2.2.2 逆矩阵的性质
性质1 如果矩阵 可逆，则 的逆矩阵唯一
性质2 若 和 为同阶方阵，且满足
则 ，即矩阵 和矩阵 互逆。
性质3 若 可逆，则 也可逆，且
性质4 若 可逆，数 ，则 可逆，
且
性质5 若 、 均为 阶可逆方阵，则 也可
逆，且
A AB AB = I
BA = I A BA -1A ( )-1-1A = A
A 0≠λ λA
( ) 1 1λλ
− = -1A A
A B n AB( )-1 -1 -1AB = B A
A
性质6 若 可逆，则 也可逆，且
例2.8 设方阵 满足 ，试证
可逆，并求 。
解：根据已知条件，可以得到：
则有：
所以矩阵 可逆，且 。
A TA ( ) ( )1 1 TT − −=A AA 2A + 2A - 5I = O A
-1A( )A A+2I = 5I
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠A+ 2IA = I5
A 25
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
-1 A + IA =
2.3 矩阵的分块在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常
采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩
阵运算。
用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩
阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元
素的矩阵，称为分块矩阵。
比如将4×3矩阵 分为
, , ,
它们可分别表示为：
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12
21 22
A AA A
[ ]1 2 3A A A⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12
21 22
31 32
A AA AA A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 13
21 22 23
A A AA A A
分块矩阵的运算与普通矩阵类似，
1．加法运算
设 ，都是 矩阵，且将 ， 按完全相同
的方法分块：
A AB Bnm×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 r s
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
B B BB B B
B
B B B
L
L
L L L
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 11 12 12 1s 1s
21 21 22 22 2s 2s
r1 r1 r2 r2 rs rs
A +B A +B A +BA +B A +B A +B
A+B
A +B A +B A +B
L
L
L L L
L
2．数乘运算
设 ,有：
3．乘法运算
设 为 矩阵， 为 矩阵，将它们分别分
块成
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
λ λ λλ λ λ
λ
λ λ λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
A lm× B nl ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
B B BB B B
B
B B B
L
L
L L L
L
其中 的列数分别等于
的行数 ，即 可以左乘
。
则有：
其中
i1 i2 i tA ,A , ,AL 1j 2j t jB ,B , ,BL
( ;,2,1 ri L= )sj ,,2,1 L=i kA
k jB ( )1,2, ; 1,2, , ; 1,2, ,i r j s k t= = =L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
C C CC C C
AB
C C C
L
L
L L L
L
1
t
k== ∑i j i1 1j i2 2j i t t j ik k jC = A B + A B + + A B A BL
4．转置运算
设 有：
注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内
的元素位置转置，而且要要把子块本身的位
置转置。
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 1s
21 22 2s
r1 r2 rs
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L 2
T T T
T T TT
T T T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 21 s1
12 22 s2
1r r sr
A A AA A A
A
A A A
L
L
L L L
L
5．分块对角矩阵
如果将方阵 分块后，有以下形式：
其中主对角线上的子块 均是方
阵，而其余子块全是零矩阵，则称 为分块
对角矩阵，记为 。
A⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
r
AA
A
AO
iA ( )ri ,,2,1 L=
A( ),diag= 1 2 rA A ,A , AL
设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵
则有
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
r
2
1
A
AA
AO
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
r
2
1
B
BB
BO
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
rr
22
11
BA
BABA
ABO
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kr
k2
k1
k
A
AA
AO
对于上面的分块矩阵 ，若对角线上的所有
子块 都可逆，则有：
例2.9 利用分块矩阵的概念，把下列线性方程
组写成向量等式。
A
1 2 rA ,A , ,AL
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
1
1
1
1
r
2
1
A
AA
AO
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++−−=++−−=+−
344324222622
4321
4321
421
xxxxxxxxxxx
解：线性方程组的矩阵表示为：
把系数矩阵按列分成4块：
与常数矩阵 分别用向量 和向量
来表示，则有：
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
322
441342126022
4
3
2
1
xxxx
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
446
,420
,112
,322
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
322
1 2 3 4α ,α ,α ,α b
进而得到向量等式：
( )
1
2
3
4
xxxx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3 4α ,α ,α ,α b
1 2 3 4x x x x+ + +1 2 3 4α α α α = b
2.4 初等矩阵
定义2.8 单位矩阵 经过一次初等变换所得到
的矩阵称为初等矩阵或初等方阵。
前面介绍了三种初等变换，每一种初等变
换，都有一个相对应的初等矩阵
（1）交换单位矩阵 的 , 两行（或 , 两列），得到的初等矩阵记为 ，即：
I
I i j ji( ),i jE
（2-12）( )
1
10 1
1,
11 0
1
1
i
i j
j
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
E
O
L
M O M
L
O
行
行
（2）用一个非零数 乘单位矩阵 的第 行
（或第 列），得到的初等矩阵记为 ，
即：
（2-13）
k I ii ( )( )i kE
( )( )
1
1
1
1
i k k i
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
E
O
O
行
（3）将单位矩阵 第 行的 倍加到第 行上
（或将单位矩阵第 列的 倍加到第 列上）
得到的初等矩阵记为 ，即：
（2-14）
I j
j
k
ki
i( )( ),i j kE
( )( )
1
1,
1
1
k ii j k
j
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E
O
L
O M
O
行
行
例2.10 设
求：E1*A，E2*A，E3*A。
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A 0 1 0 1 0 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E1
1 0 0 0 4 0 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E21 0 00 1 04 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
E3
解：
11 12 13 21 22 23
21 22 23 11 12 13
31 32 33 31 32 33
0 1 0 a a a a a a 1 0 0 a a a a a a 0 0 1 a a a a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A1 = E1* A
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
1 0 0 a a a a a a 0 4 0 a a a 4a 4a 4a 0 0 1 a a a a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A2 = E2* A
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 11 32 12 33 13
1 0 0 a a a a a a 0 1 0 a a a a a a 4 0 1 a a a a +4a a +4a a +4a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A3=E3*A
定理2.1 设 是一个 矩阵，对 施行一
次初等行变换，其结果等于在 的左边乘以
相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变
换，其结果等于在 的右边乘以相应的 阶初
等矩阵。
A
A
A
AA
nm×
mn
定理2.2 设 为 阶方阵，那么下面各命题
等价：
（1） 是可逆矩阵；
（2）线性方程组 只有零解；
（3） 可以经过有限次初等行变换化为单位
矩阵 ；
（4） 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
A
A
A
A
n
Ax =O
nI
例2.11 设
判断 、 是否可逆，如果可逆，请求之。
解：
1 3 23 6 5
1 1 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A3 6 22 4 11 2 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
B
A B
[ ]IAM1 3 -2 1 0 0-3 -6 5 0 1 01 1 -1 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
13
12 3
rr
rr
−
+1 3 2 1 0 00 3 1 3 1 00 2 1 1 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
22
321
rr
r
↔
− 1 3 2 1 0 00 1 0.5 0.5 0 0.50 3 1 3 1 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
23
21
3
3
rr
rr
−
−1 0 0.5 0.5 0 1.50 1 0.5 0.5 0 0.50 0 0.5 1.5 1 1.5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
则矩阵 可逆，且其逆为：
32r 1 0 0.5 0.5 0 1.50 1 0.5 0.5 0 0.50 0 1 3 2 3
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
32
31
5.0
5.0
rr
rr
+
+ 1 0 0 1 1 30 1 0 2 1 10 0 1 3 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 32 1 13 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-1AA
[ ]B IM3 6 2 1 0 02 4 1 0 1 01 2 1 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
31 rr ↔ 1 2 1 0 0 12 4 1 0 1 03 6 2 1 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
显然矩阵 通过初等行变换不能化为单位矩
阵，则矩阵 不可逆。 是降秩的。它通过初
等行变换，可以化出一个零行，则其秩为2。故当A不可逆时，(2-15)式应改为：
其中是 秩为r的n×n方阵，r<n。即它有r个非零行和n-r个零行。
13
12
3
2
rr
rr
−
− 1 2 1 0 0 10 0 1 0 1 20 0 1 1 0 3
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( ) 2
23
1 r
rr
−
− 1 2 1 0 0 10 0 1 0 1 20 0 0 1 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
BB B
=s 2 1 rE E E A U0L
rU0
2.5 应用实例
2.5.1 成本核算问题
例2.12 某厂生产三种产品，每件产品的成本
及每季度生产件数如表2.6及表2.7所示。试提
供该厂每季度的总成本分类表。表2.6 每件产品分类成本
成本(元) 产品A 产品B 产品C 原材料 0.10 0.30 0.15劳动 0.30 0.40 0.25
企业管理费 0.10 0.20 0.15
表2.7 每季度产品分类件数
解：用矩阵来描述此问题，设产品分类成本
矩阵为 ，季度产量矩阵为 ,则有：
产品 夏 秋 冬 春
A 4000 4500 4500 4000B 2000 2800 2400 2200C 5800 6200 6000 6000
M P0.10 0.30 0.150.30 0.40 0.25 ,0.10 0.20 0.15
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M4000 4500 4500 40002000 2800 2400 22005800 6200 6000 6000
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
P
令 ，则 的第一行第一列元素为：(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870
不难看出，它表示了夏季消耗的原材料总成
本。
在Matlab环境下，键入：>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,
6200,6000,6000];
>>Q=M*PQ = 1870 2220 2070 1960
3450 4020 3810 35801670 1940 1830 1740
Q = M P QQ
为了进一步计算矩阵Q的每一行和每一列的
和，可以继续键入：>>Q*ones(4,1)ans = 8120
148607180
>>ones(1,3)*Qans = 6990 8180 7710 7280
并可以继续算出全年的总成本：>>ans*ones(4,1)
ans =30160
根据以上计算结果，可以完成每季度总成本
分类表，如表2.8所示。
表2.8 每季度总成本分类表
成本（元） 夏 秋 冬 春 全年
原材料 1870 2220 2070 1960 8120劳动 3450 4020 3810 3580 14860
企业管理费 1670 1940 1830 1740 7180总成本（元） 6990 8180 7710 7280 30160
2.5.2 特殊矩阵的生成
例2.13 在Matlab环境下生成矩阵X：
矩阵X有相同的10行，每一行都是公差为1的等差数列。
解：令
则 ，就实现了矩阵赋值。
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
=×
1090910
10909101090910
2110
LL
LLLLLLL
LL
LL
X
1T2 vvX =
10
[ 10, 9, ,9,10], [1,1, ,1,1]= − − =1 2v vL L14243
键入MATLAB语句：>> v1= -10:10; v2=ones(1,10)>> X=v2'*v1
例2.14 在Matlab环境下生成范德蒙矩阵。
解：这里用了Matlab的符号运算功能。键
入：>>syms x1 x2 x3 x4 real % 令x1 x2 x3 x4为实数符号变量
>>x=[x1,x2,x3,x4]; y=0:3;>>A= x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y
>>V=A.^B % 两个方阵的元素群求幂
程序的运行结果为：
Matlab内置的范德蒙矩阵生成函数vander.m是不能用符号表示的，只能产生数值矩阵。
x1, x1, x1, x1 0 1 2 3 1 x1 x1^2 x1^3 x2, x2, x2, x2 0 1 2 3 1 x2 x
A= , B= , V= x3, x3, x3, x3 0 1 2 3 x4, x4, x4, x4 0 1 2 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2^2 x2^3 1 x3 x3^2 x3^3 1 x4 x4^2 x4^3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2.5.3 逆矩阵的求解
例2.15 设 试求其逆阵
解：当矩阵的阶数较高时，利用Matlab辅助
计算就尤显重要。用Matlab来求矩阵的逆，
其方法很多。首先在Matlab环境下键入：
>>A=[3,0,3,-6;5, -1,1, -5; -3,1,4, -9;1, -3,4, -4];
3 0 3 65 1 1 53 1 4 91 3 4 4
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
A
方法1, A^-1,
方法2, inv(A),
方法3, A\eye(4),
方法4, U=rref([A,eye(4)]); U(:,5:8)
运行结果都为：ans = 0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404
0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.25250.5859 -0.4747 -0.1717 0.10100.2424 -0.2424 -0.1515 0.0303
例2.16 求矩阵 的逆。
解：矩阵求逆命令inv也可以用符号变量。在
Matlab环境下，键入：>>syms a b c d, A=[a,b;c,d], V=inv(A)
结果为：V = [ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)]
[ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)]
a bc d⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A
2.5.4 图及其矩阵表述
例如，图2.1为1，2，3，4四个城市之间的空
运航线的有向图。
图2.1 航线图
它可以用下列航路矩阵表示： 0 0 1 11 0 0 00 1 0 01 0 1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A1
2.5.5 网络的矩阵分割和连接
在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为
局部电路，每一个电路都用一个网络“黑盒子”来表示。“黑盒子”的输入为u1，i1，输出为
u2，i2，其输入输出关系用矩阵A来表示（如
图2.2所示）：
图2.2 单个子网络模型
2 1
2 1
u uA
i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
以图2.3为例，把两个电阻组成的分压电路分
成两个串接的子网络。第一个子网络包含电
阻R1，第二个子网络包含电阻R2，列出第一
个子网络的电路方程为：
图2.3 两个子网络串联模型
2 1 2 1 1 1,i i u u i R= = −
写成矩阵方程为：
同样可列出第二个子网络的电路方程，
写成矩阵方程为：
2 1 1 11
2 1 1
10 1
u R u uA
i i i−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 2 2 2 3 2/ ,i i u R u u= − =
3 2 22
3 2 2 2
1 01/ 1
u u uA
i R i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
从上分别得到两个子网络的传输矩阵
整个电路的传输矩阵为两者的乘积
11 2
2
1 1 0,
0 1 1/ 1R
A AR
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 11 2
2 2 1 2
1 1 0 10 1 1/ 1 1/ 1 /
R RA A A
R R R R− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2.5.6 弹性梁的柔度矩阵
设简支梁如图2.4所示，在梁的三个位置分别
施加力f1，f2和f3后，在该处产生的综合变形
（通常称为挠度）为图示的y1，y2和y3。
图2.4 简支梁在三个点的力和变形（挠度）
根据虎克定律，在材料未失去弹性的范围内，
三个力与它引起的三个变形都呈线性关系，可
以写成矩阵形式：
用向量和矩阵符号表示为：y=DfD中的各元素为挠度元素，这些元素的值越大
表明这个梁愈柔软，所以矩阵D被称作柔度矩
阵。
柔度矩阵D的逆就是刚度矩阵K。
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
y d d d fy d d d fy d d d f
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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