2.6矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换与矩阵的标准形

初等矩阵定义 2.16: 对单位矩阵 E 施行一次初等变换后得到的方阵称为初等矩阵

（ 1 ）互换单位矩阵 E中两行（列）的位置后可得1

1

0 1

1

1

1 0

1

1

ijF

j

记为

i行

行

（ 2 ）以一个非零数乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( 列 ) 后可得

1

1

( )

1

1

iF kk

记为

1

1

( )1

1

ij

ik

F k

j

记为

行

行

1

2

m

a

aA

a

1 1

1

1

0 1

1

1

1 0

1

1

i j

ij

j i

m m

a a

a a

F A

a a

a a

1 1

1

1

( )

1

1

i ii

m m

a a

a kaF k A k

a a

111

1

( )

1

1

i ji

ij

j j

m m

aa

a kaak

F k A

a a

a a

用矩阵的初等变换求逆矩阵

例 1：求

的逆矩阵。

1 4 3

1 2 0

2 2 3

A

2 1

3 12

1 4 3 1 0 0

1 2 0 0 1 0

2 2 3 0 0 1

1 4 3 1 0 0

0 2 3 1 1 0

0 6 3 2 0 1

R RR R

A E

1 2

3 2

1 3

2 3

23

1

21

2

1 0 3 1 2 0

0 2 3 1 1 0

0 0 6 1 3 1

1 1 11 0 0

2 2 21 1 1

0 2 02 2 2

0 0 6 1 3 1

R RR R

R R

R R

2

3

1

21

6

1 1 11 0 0

2 2 21 1 1

0 1 04 4 41 1 1

0 0 16 2 6

R

R

因此：

1

1 1 1

2 2 21 1 1

4 4 41 1 1

6 2 6

A

用矩阵的初等变换解矩阵方程

例 2：解方程：

解：

可用初等变换解。

1 2 1 3 5

4 0 1 6 1

1 3 2 8 5

X

1 2 1

4 0 1 1 0

1 3 2

2 1

3 1

2 3

1 2

3 2

4

2 3

25

1 2 1 3 5 1 2 1 3 5

4 0 1 6 1 0 8 5 18 19

1 3 2 8 5 0 5 3 11 10

1 2 1 3 5

0 1 1 3 8

0 5 3 11 10

1 0 1 3 11

0 1 1 3 8

0 0 2 4 30

R RR R

R R

R RR R

因此方程解是：

3

1 3

2 3

1

2

1 0 1 3 11

0 1 1 3 8

0 0 1 2 15

1 0 0 1 4

0 1 0 1 7

0 0 1 2 15

R

R R

R R

1 4

1 7

2 15

X