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Corso di Analisi Matematica
Limiti di funzioni
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Universita di Bari
ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39
1 Definizione di limite
2 Il calcolo dei limiti
3 Limiti notevoli
ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 39
Limiti di funzioni
L’operazione di limite si puo estendere dalle successioni alle funzioni.
Serve a studiare il comportamento di una funzione quando la variabile
indipendente si avvicina ad un valore fissato oppure diventa molto
grande o molto piccola.
Consideriamo, come caso tipico, un intervallo I, un punto c ∈ I e una
funzione f a valori reali definita in I o al piu in I \ {c}.I puo essere
I limitato o illimitato;I chiuso o aperto.
c puo essereI interno ad I oppure uno dei suoi estremi (eventualmente +∞ o −∞).
ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 39
Definizione di limite
Definizione
Sia f come sopra. Si dice che il limite per x tendente a c di f(x) e l e si
scrive
limx→c
f(x) = l
se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c} e tale che limn→+∞
xn = c
si ha
limn→+∞
f(xn) = l.
Se l = 0 f si dice infinitesima per x→ c.
Se l = ±∞ f si dice infinita per x→ c.
Se esiste limx→c f(x) = l, esso e unico.
ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 39
Nella scrittura
limx→c
f(x) = l
puo accadere che
l ∈ R (limite finito);
l = ±∞ (limite infinito);
c ∈ R (limite al finito);
c = ±∞ (limite all’infinito);
Allora abbiamo da esaminare quattro situazioni:
1 limite finito all’infinito;
2 limite infinito all’infinito;
3 limite infinito al finito;
4 limite finito al finito.
ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 39
Limite finito all’infinito
Esempio:
limx→−∞
ex = 0.
Interpretazione geometrica:
Definizione
Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R)
per x→ +∞ se
limx→+∞
f(x) = l.
Si dice che f ha un asintoto orizzontale di equazione y = l (l ∈ R)
per x→ −∞ se
limx→−∞
f(x) = l.
ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 39
Limite infinito all’infinito
Esempio:
limx→+∞
log1/2 x = −∞.
In questo caso puo accadere che esista una retta obliqua a cui il grafico di
f si avvicina quando x diventa sempre piu grande (o piu piccolo).
ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 39
Asintoto obliquo
Definizione
Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx+ q
(m 6= 0, q ∈ R) per x→ +∞ se
limx→+∞
(f(x)− (mx+ q)) = 0.
Si dice che f ha un asintoto obliquo di equazione y = mx+ q
(m 6= 0, q ∈ R) per x→ −∞ se
limx→−∞
(f(x)− (mx+ q)) = 0.
ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 39
Un criterio operativo per calcolare l’asintoto obliquo.
Proposizione
La funzione f(x) ammette asintoto obliquo per x→ +∞ se e solo se
1 esiste finito
limx→+∞
f(x)
x= m 6= 0,
2 esiste finito
limx→+∞
(f(x)−mx) = q.
In tal caso l’asintoto e y = mx+ q.
Analogo criterio vale per x→ −∞.
ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 39
Limite infinito al finito
Esempio:
limx→0
1
x2= +∞.
Talvolta il comportamento di una funzione e diverso se x si avvicina a
c ∈ R da destra (x > c) invece che da sinistra (x < c).
Esempio: f(x) = 1x .
Per descrivere questo tipo di situazione si introducono i concetti di limite
destro e limite sinistro.
ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 39
Limite destro
Definizione
Siano c ∈ R, l ∈ R∗, f : I \ {c} → R.
Si dice che il limite destro di f(x) per x tendente a c e l e si scrive
limx→c+
f(x) = l
se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c}, xn > c definitivamente
e tale che limn→+∞
xn = c si ha
limn→+∞
f(xn) = l.
ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 39
Limite sinistro
Definizione
Siano c ∈ R, l ∈ R∗, f : I \ {c} → R.
Si dice che il limite sinistro di f(x) per x tendente a c e l e si scrive
limx→c−
f(x) = l
se per ogni successione {xn} tale che xn ∈ I \ {c}, xn < c definitivamente
e tale che limn→+∞
xn = c si ha
limn→+∞
f(xn) = l.
ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 39
Relazione tra limite, limite destro, limite sinistro
Teorema
Sono equivalenti:
esiste
limx→c
f(x) = l;
esistono
limx→c−
f(x) = l = limx→c+
f(x).
ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 39
Asintoti verticali
Interpretazione geometrica del limite infinito al finito:
Definizione
Si dice che f ha un asintoto verticale di equazione x = c se
limx→c+
f(x) = −∞ o limx→c+
f(x) = +∞
oppure se
limx→c−
f(x) = −∞ o limx→c−
f(x) = +∞.
ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 39
Limite finito al finito
Esempi:
1 Si ha
limx→0
senx = 0.
Si noti che sen 0 = 0.
2 Sia
f(x) =
{1 se x 6= 0,
0 se x = 0.
Si ha
limx→0
f(x) = 1.
Si noti che f(0) 6= 1.
ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 39
Funzioni continue
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f e continua in c
se esiste
limx→c
f(x) = f(c).
Si dice che f e continua in I se e continua in ciascun punto di I. Una
funzione non continua in un un punto c si dice discontinua in c.
ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 39
Discontinuita
Definizione
Sia f : I → R, I ⊂ R intervallo. Sia c ∈ I. Si dice che f ha una
discontinuita a salto in c se esistono
limx→c−
f(x) = l1 ∈ R limx→c+
f(x) = l2 ∈ R l1 6= l2.
In tal caso il salto di f in c e dato da l2 − l1.
Si dice che f e continua da destra in c se esiste
limx→c+
f(x) = f(c).
Si dice che f e continua da sinistra in c se esiste
limx→c−
f(x) = f(c).
ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 39
Non esistenza del limite
Il limite di una funzione puo anche non esistere.
Non esiste
limx→+∞
senx.
ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 39
Definizione topologica di limite
Una definizione (equivalente) di limite di funzione, indipendente dal
concetto di successione.
Definizione
Un intorno di x0 ∈ R e un intervallo aperto che contiene x0, spesso
del tipo (x0 − δ, x0 + δ), con δ > 0 (centrato quindi in x0).
Un intorno di +∞ e ogni intervallo del tipo (a,+∞), a ∈ R;
Un intorno di −∞ e ogni intervallo del tipo (−∞, b), b ∈ R.
ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 39
Definizione topologica di limite
Definizione
Si dice che una funzione f(x) verifica una certa proprieta definitivamente
per x→ c se esiste un intorno U di c tale che la proprieta vale per ogni
x ∈ U , x 6= c.
Definizione
Sia c ∈ R∗ e sia f definita almeno definitivamente per x→ c. Sia l ∈ R∗.Si dice che il limite di f(x) per x che tende ad c e l e si scrive
limx→c
f(x) = l oppure f(x)→ l per x→ c
se per ogni intorno Ul di l, esiste un intorno Vc di c, tale che
f(x) ∈ Ul ∀x ∈ Vc, x 6= c.
ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 39
Teoremi sui limiti di funzioni
Derivano immediatamente dai corrispondenti teoremi sulle successioni.
Teorema (del confronto)
Se
1 per x→ c, f(x)→ l e g(x)→ l
2 definitivamente per x→ c f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)allora anche h(x)→ l per x→ c.
Corollario
Se per x→ c g(x)→ 0 e |h(x)| ≤ g(x) definitivamente per x→ c
allora anche h(x)→ 0 per x→ c .
Se per x→ c f(x)→ 0 e g(x) e limitata definitivamente per x→ c
allora f(x)g(x)→ 0 per x→ c .
ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 39
Teorema (permanenza del segno)
Se per x→ c f(x)→ l > 0 allora f(x) > 0 definitivamente per
x→ c.
Se per x→ c f(x)→ l e f(x) ≥ 0 definitivamente per x→ c allora
l ≥ 0.
Teorema (permanenza del segno per funzioni continue)
Se f e continua in c e f(c) > 0 allora f(x) > 0 definitivamente per x→ c.
ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 39
Algebra dei limiti, caso dei limiti finiti
Teorema
Se
limx→c
f(x) = l1 ∈ R limx→c
g(x) = l2 ∈ R.
Allora
per ogni K ∈ R, limx→c
Kf(x) = Kl1;
limx→c
(f(x) + g(x)) = l1 + l2;
limx→c
(f(x) · g(x)) = l1 · l2;
se l2 6= 0 e g(x) 6= 0 definitivamente per x→ c,
limx→c
f(x)
g(x)=l1l2;
ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 39
Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞Valgono le stesse regole viste per le successioni.
a+∞ = +∞a−∞ = −∞+∞+∞ = +∞−∞−∞ = −∞
a · ∞ =∞, (a 6= 0)a
0=∞, (a 6= 0)
a
∞= 0
Il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni.
Forme di indecisione:
+∞−∞ 0 · ∞ ∞∞
0
0.
ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 39
Algebra delle funzioni continue
Teorema
La somma, la differenza, il prodotto e il rapporto di funzioni continue
sono funzioni continue (se ben definite) in ogni punto del loro
dominio.
Le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio.
ICD (Bari) Analisi Matematica 25 / 39
Limiti delle funzioni elementari
Funzioni potenza
limx→x0
xα = xα0 ∀α ∈ R, x0 ∈ (0,+∞)
limx→0+
xα =
{0 se α > 0
+∞ se α < 0
limx→+∞
xα =
{+∞ se α > 0
0 se α < 0
ICD (Bari) Analisi Matematica 26 / 39
Limiti delle funzioni elementari
Funzione esponenziale.
limx→x0
ax = ax0 ∀x0 ∈ R, a ∈ (0,+∞)
limx→−∞
ax =
{+∞ se 0 < a < 1
0 se a > 1
limx→+∞
ax =
{0 se 0 < a < 1
+∞ se a > 1.
ICD (Bari) Analisi Matematica 27 / 39
Limiti delle funzioni elementari
Funzione logaritmo.
limx→x0
loga x = loga x0 ∀x0 ∈ (0,+∞), a ∈ (0,+∞), a 6= 1
limx→0
loga x =
{+∞ se 0 < a < 1
−∞ se a > 1
limx→+∞
loga x =
{−∞ se 0 < a < 1
+∞ se a > 1
ICD (Bari) Analisi Matematica 28 / 39
Limiti delle funzioni elementari
Funzioni trigonometriche.
limx→x0
senx = senx0 ∀x0 ∈ R
limx→x0
cosx = cosx0 ∀x0 ∈ R
limx→x0
tg x = tg x0 ∀x0 ∈ R, x0 6=π
2+ kπ, k ∈ Z
Si puo provare che non esiste il limite all’infinito di ogni funzione
periodica (non costante). Quindi, in particolare non esistono
limx→±∞
senx limx→±∞
cosx limx→±∞
tg x.
Inoltre
limx→−π
2+tg x = −∞ lim
x→π2−tg x = +∞.
Dalla periodicita si ricavano gli altri valori.
ICD (Bari) Analisi Matematica 29 / 39
Limiti delle funzioni elementari
Funzioni trigonometriche inverse.
limx→x0
arcsenx = arcsenx0 ∀x0 ∈ [−1, 1]
limx→x0
arccosx = arccosx0 ∀x0 ∈ [−1, 1]
limx→x0
arctg x = arctg x0 ∀x0 ∈ R
limx→−∞
arctg x = −π2
limx→+∞
arctg x =π
2
ICD (Bari) Analisi Matematica 30 / 39
Cambio di variabile nel limite
Teorema
Siano x0, t0, l ∈ R∗, siano f e g due funzioni tali per cui e ben definita la
funzione composta f ◦ g almeno definitivamente per x→ x0 e inoltre
risulti che
esiste limx→x0
g(x) = t0;
esiste limt→t0
f(t) = l;
g(x) 6= t0 definitivamente per x→ x0.
Allora esiste anche
limx→x0
f(g(x)) = limt→t0
f(t) = l.
La terza ipotesi non e necessaria se f e continua in t0 o (ovviamente) se
t0 = ±∞.
ICD (Bari) Analisi Matematica 31 / 39
Continuita della funzione composta
Teorema
Siano g una funzione definita almeno in un intorno di x0 e f una funzione
definita almeno in un intorno di t0 = g(x0). Se
g e continua in x0;
f e continua in t0,
allora anche la funzione composta f ◦ g e definita almeno in un intorno di
x0 ed e continua in x0.
ICD (Bari) Analisi Matematica 32 / 39
Limiti di polinomi
Dato un polinomio di grado n,
Pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a0
si puo scrivere
Pn(x) = anxn
(1 +
an−1anx
+an−2anx2
+ · · ·+ a0anxn
)da cui
limx→±∞
Pn(x) = limx→±∞
anxn.
ICD (Bari) Analisi Matematica 33 / 39
Limiti di rapporti tra polinomi
Dati due polinomi
Pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a0
Qm(x) = bmxm + bm−1x
m−1 + · · ·+ b0
(con an, bm 6= 0) il limite del loro rapporto e dato da
limx→±∞
Pn(x)
Qm(x)=
limx→±∞
anxn
bmxm=
0 se n < m;
an/bm se n = m;
+∞ o −∞ se n > m.
Nel terzo caso, il segno e determinato dal segno del rapporto an/bm,
dal tipo di limite e dal fatto che n−m sia pari o dispari.
ICD (Bari) Analisi Matematica 34 / 39
Limiti notevoli
Si ha
limx→0
senx
x= 1.
Si deduce che
limx→0
1− cosx
x2=
1
2
limx→0
tg x
x= 1
limx→0
arcsenx
x= 1
limx→0
arctg x
x= 1.
ICD (Bari) Analisi Matematica 35 / 39
Prolungamento per continuita di una funzione
Sia
f(x) =
{senxx se x 6= 0,
1 se x = 0.
La funzione f risulta continua in x = 0.
Se una funzione f non e definita in x0 ma esiste finito
limx→x0
f(x) = l
f puo essere prolungata per continuita in x0, ponendo f(x0) = l.
ICD (Bari) Analisi Matematica 36 / 39
Limiti notevoli
Si prova che
limx→±∞
(1 +
1
x
)x= e.
Si deduce che
limx→0
ex − 1
x= 1
limx→0
log(1 + x)
x= 1
limx→0
(1 + x)α − 1
x= α per ogni α ∈ R.
Piu in generale si ha
limx→0
ax − 1
x= log a = 1/ loga e
limx→0
loga(1 + x)
x= loga e = 1/ log a.
ICD (Bari) Analisi Matematica 37 / 39
Gerarchia degli infiniti
Teorema
Si considerino le funzioni
(loga x)α xβ bx
con α, β > 0, a, b > 1. Per x→ +∞ ognuna e un infinito di ordine
inferiore rispetto alla funzione alla propria destra.
Esplicitamente:
limx→+∞
(loga x)α
xβ= 0 lim
x→+∞
xβ
bx= 0.
ICD (Bari) Analisi Matematica 38 / 39
Gerarchia degli infiniti
Inoltre, ponendo 1/x = y, nel primo limite si ha
limy→0+
yβ(− loga y)α = 0.
Per α = 1
limy→0+
yβ loga y = 0.
ICD (Bari) Analisi Matematica 39 / 39
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