esercizi sui limiti di funzioni

7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni

1/24

Esercizio 35

(File scaricato da http://www.extrabyte.info)

Calcolare:

limx+

3

x 1 3

2x

***

SoluzioneRisulta:

limx+

3

x 1 3

2x

= La forma indeterminata puo essere rimossa determinando un fattore razionalizzante. Ingenerale, se

f(x) = N

p (x) N

q(x),

il fattore razionalizzante e:

r (x) =Nk=1

(1)k+1 N

p (x)Nk q(x)k1

Per f(x) = 3

x 1 32x

r (x) =3

k=1

(+1)k+1N

(x 1)3k (2x)k1

=3

(x 1)2

+3

2x (x 1) +3

4x2Da cio segue:

limx+

3

x 1 3

2x

= limx+

3

x 1 32x 3(x 1)2 + 32x (x 1) + 34x23

(x 1)2 + 3

2x (x 1) + 3

4x2

= limx+

x + 1

3(x 1)2 + 32x (x

1) + 3

4x2

= limx+

3x 1 + 1x

3

1 1

x

2+ 3

2 1x2

+ 3

4

= (+) (1 + 0+)

1 + 3

2 + 3

4

= (+)=

1


2/24

Esercizio 37

Calcolarelim

x

x +

4

x4 + 1

***

Abbiamo:

limx

x +

4

x4 + 1

= +, (1)cioe il limite si presenta nella forma indeterminata . In questo caso lindeterminazionesi rimuove moltiplicando e dividendo per un fattore razionalizzante r (x), che in generale siscrive:

r (x) =Nk=1

(1)k+1 N

p (x)Nk q(x)k1, per f(x) = N

p (x) N

q(x) (2)

Per poter applicare la (2), scriviamo nella (1) x = 4

x4 (prendiamo la radice con il segno poiche nel calcolo del limite e x ). Quindi:

f(x) = x +4

x4 + 1 =4

x4 + 1 4

x4 (3)

Con la f(x) scritta come in (3) possiamo applicare la (2) per ottenere r (x):

r (x) =4

(x4 + 1)3 +

4

x4 (x4 + 1)2 + 4

x8 (x4 + 1) +

4

x12 (4)

Abbiamo:

limx f(x) = limxf(x) r (x)

r (x) (5)

Sviluppiamo f(x) r (x):

f(x) r (x) =

4

x4 + 1 4

x4

4

(x4 + 1)3 +

4

x4 (x4 + 1)2 + 4

x8 (x4 + 1) +

4

x12

=4

(x4 + 1)4 4

x16

Quindi:

limx

f(x) = limx

4

(x4 + 1)4 4

x16

r (x)(6)

= limx

x4 + 1 x4r (x)

= limx

1

r (x)

2


3/24

Ma

limx

r (x) = +,per cui:

limx

f(x) = limx

1

r (x)=

1

+

= 0+ (7)

Esercizio 43

Determinare lordine dei seguenti infinitesimi (per x 0):1. f(x) = 10

4xx+1

2. f(x) = n

x + n

x (per x 0+)3. f(x) = n

x2 n

x3 (per x 0+)

4. f(x) = sin x

tan x

***

Soluzione

1. Assumiamo in tutti gli esercizi, la funzione u (x) = x come infinitesimo di riferimento.

limx0

f(x)

u (x)= 104 lim

x0x1

x + 1 R {0} = 1

Quindi f(x) e un infinitesimo di ordine = 1.

2. f(x) = nx + nxlimx0+

n

x + n

x

x= lim

x0+n

x + n

x

xn

= limx0+

n

x1n +

n

x1n2 R {0} = 1n2

Quindi f(x) e un infinitesimo di ordine = 1n2

.

Alternativamente:

limx0+

n

x + n

x

x= lim

x0+

x + x1/n

1/nx

(8)

Ma nella (8) x e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x1/n, per cui

limx0+

x + x1/n

1/nx

= limx0+

x1/n2

x R {0} = 1

n2(9)

Inoltre gli infinitesimi n

x + n

x e n2

x sono equivalenti, giacche il limite (9) vale 1:

n

x + n

x n2x (10)

3


4/24

3. f(x) =n

x2 n

x3

limx0+

n

x2 n

x3

x= lim

x0+

n

x2n n

x3n R {0} = 2

n

Quindi f(x) e un infinitesimo di ordine = 2n

.

Alternativamente:

limx0+

n

x2

n

x3

x= lim

x0+ x2/n

x3/n

x(11)

Ma x3/n e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x2/n, per cui

limx0+

x2/n x3/nx

= limx0+

x2/n

x R {0} = 2

n

Inoltre gli infinitesimi n

x2 n

x3 e n

x2 sono equivalenti, giacche il limite vale 1:

n

x2 n

x3 n

x2 (12)

4. f(x) = sin x tan x

limx0

sin x tan xx

= limx0

sin x (cos x 1)x cos x

= limx0

sin x

x 1

cos x cos x 1

x1

R {0} 1 = 2 = 3

Esercizio 107

Calcolare il limite:

limx1

1 + cos (x)

x2 2x + 1SoluzioneAbbiamo:

limx1

1 + cos (x)

x2 2x + 1 = limx11 + cos (x)

(x 1)2 =0

0

H= limx1

sin x2 (x 1)

= 2

limx1

sin x

x 1=

0

0H=

2

xlimx1

cos x

=2

2

4


5/24

Esercizio 108

Calcolare il seguente limite:

limx0

(cos x)1

x2

***

SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata 1:

limx0

(cos x)1

x2 = 1

Calcoliamo il logaritmo del limite:

ln

limx0

(cos x)1

x2

= lim

x0ln (cos x)

1

x2

= limx0 ln (cos x)

1

x2

x2

=0

0

Abbiamo quindi ricondotto la forma indeterminata 1 alla forma indeterminata 00

. Possiamopercio applicare la regola di De LHospital:

limx0

ln (cos x)1

x2

x2H= lim

x0

1cosx

( sin x)2x

= 12

limx0

tan x

x= 1

2

Percio:

ln

limx0

(cos x)1

x2

= 1

2

Si conclude che:

limx0

(cos x)1

x2 =1

e

Esercizio 110


limx0

x2 arctan x2arcsin x x

***

5


6/24

SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata 0

0:

limx0

x2 arctan x2arcsin x x =

0

0

Possiamo percio applicare la regola di De LHospital:

limx0

x2 arctan x2arcsin x x

H= lim

x02x 2x

1+x4

11x2 1

= 2 limx0

1 x2

1 + x4 x (1 + x

4) x1 1 x2

= 2 limx0

x4

1 x21 + x4

= 0

Esercizio 111


limx0

1

sin2 x 1

x2

***

SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata :

limx0 1

sin2 x 1

x2

= Possiamo percio applicare la regola di De LHospital:

limx0

1

sin2 x 1

x2

H= lim

x02x sin2x

2x sin2 x + x2 sin2x=

0

0

H= 2 lim

x02 2cos2x

2sin2 x + 4x sin2x + 2x2 cos2x

= limx0

4 1cos2x(2x2)

sinxx

2 + 2

sin2x2x

+ 2

sin2x2x

+ cos 2x

=4 1

2

1 + 2 + 2 + 1=

1

3

6


7/24

Esercizio 115

Studiare il comportamento della funzione:

f(x) =

1 + tan x + tan2 x

1 e2x , (13)in un intorno del punto x =

2.

***

SoluzioneDeterminiamo il limite sinistro e destro in tale punto.

limx

2

+f(x) = 0

= limx

2

+

1 e2x(1 + tan x + tan2 x)

1/2

H= limx

2

+2e

2x

12

(1 + tan x + tan2 x)3/2 1

cos2 x+ 2tanx

cos2 x

= 4 lim

x2

+

e2x cos3 x (1 + tan x + tan2 x)3/2

cos x + 2 sin x

= 4

limx

2

+

e2x

cos x + 2 sin x

lim

x2

+cos3 x

1 + tan x + tan2 x

3/2

Calcoliamo a parte i due limiti:

limx

2

+e

2x

cos x + 2 sin x = 12 (14)

limx

2

+cos3 x

1 + tan x + tan2 x

3/2(15)

= 0

= limx

2

+cos3 x

12

sin2x + 1

cos2 x

3/2

= limx2

+

cos3 x

|cos3 x| 12 sin2x + 13/2

= limx

2

+(1)

1

2sin2x + 1

3/2= 1

Per cui:

7


8/24

limx

2

+f(x) = 2 (16)

Passiamo al limite per x 2:

limx

2

f(x) = 0

Eseguiamo il cambio di variabile: y = tan x

limx

2

f(x) = limy+

1 + y + y2

1 e2arctanx (17)

= limy+

1 e2arctanx(1 + y + y2)1/2

=0

0

H= lim

y+

21+y2

e2 arctanx

12

(1 + y + y2)3/2 (1 + 2y)

= 4 limy+ e2 arctanx limy+ (1 + y + y2)3/2

(1 + y2) (1 + 2y)

= 4 1 12

,

cioe:

limx

2

f(x) = 2 (18)

Si conclude che x = 2

e un punto di discontinuita di prima specie della funzione f(x).

2

x

2

2

y

8


9/24

Esercizio 116

Verificare linapplicabilita della regola di De LHospital nel calcolo del limite:

limx0

x2 sin 1x

sin x

***


0:

limx0

x2 sin 1x

sin x=

0

0

Se applichiamo la regola di De LHospital:

limx0

x2 sin 1x

sin xH= lim

x02x sin 1

x cos 1

x

cos x,

ci ritroviamo con il cacolo del limite:

limx0

cos1

x,

che ovviamente non esiste, per cui in tal caso la regola e inapplicabile. Tuttavia, il limiteesiste. Infatti:

limx0

x2 sin 1x

sin x= lim

x0

x

sin x x sin 1

x

= 1 0 = 0,

poiche e limx0 x sin 1x = 0.

Esercizio 117

Verificare linapplicabilita della regola di De LHospital nel calcolo del limite:

lim|x|+

x sin xx + sin x

***

Soluzione

Osserviamo che lim|x|+ sin x, ne tantomeno e possibile applicare la regola di De LHospital,in quanto produrrebbe funzioni trigonometriche a numeratore e denominatore e come talinon regolari allinfinito.Tuttavia, il limite esiste. Infatti:

lim|x|+

x sin xx + sin x

= lim|x|+

1 sinxx

1 + sinxx

=1 01 + 0

= 1,

poiche e lim|x|+ sinxx = 0.

9


10/24

Esercizio 118


limx0

3x + tan x

sin x + tan2 x,

senza applicare la regola di De LHospital.

***

Soluzione

limx0

3x + tan x

sin x + tan2 x=

0

0= lim

|x|+3 + tanx

xsinxx

+ tan xx

x=

3 + 1

1 + 1 0 = 4,

Esercizio 119


limx

2

2sin x (1 sin x)3cos2 x

,

senza applicare la regola di De LHospital.

***

Soluzione

limx

2

2sin x (1 sin x)3cos

2

x

=0

0

= limx

2

2sin x

3 limx

2

1 sin xcos

2

x

=2

3

limx

2

1 sin xcos

2

x

,

limx

2

1 sin xcos2 x

= limx

2

1 sin x(1 sin x) (1 + sin x) =

1

2

Quindi:

limx

2

2sin x (1 sin x)3cos2 x

=1

3

Esercizio 120


limx1

ln (1 + 4 arctan x)sin(1 x) ,

***

10


11/24


0:

limx1

ln (1 + 4 arctan x)sin(1 x) =

0

0

Applicando la regola di De LHospital:

limx1

ln (1 + 4 arctan x)sin (1 x)

H= lim

x1

11+4arctanx (4) 11+x2

cos(1 x)= 4

limx1

1

1 + 4 arctan x limx1

1

(1 + x2)cos(1 x)= 4 1 1

2= 2

Esercizio 121

Determinare le singolarita della funzione:

f(x) =e1/x 1e1/x + 1

, (19)

***

SoluzioneLa funzione e definita in X = R {0}.Determiniamo il limite sinistro e destro in x0 = 0:

limx0+

f(x) = limx0+

e+ 1e+ + 1

= = limx0+

1 e1/x1 + e1/x

=1 e1 + e+

=1 01 + 0

= 1 (20)

limx0

f(x) = limx0+

e 1e + 1

=0 10 + 1

= 1

Si conclude che x0 e un punto di discontinuita di prima specie della funzione f(x).

Esercizio 130

Studiare il comportamento per x 0 della funzione:f(x) = sin

1

x(21)

***

11


12/24

x 0

x 0

1

2

1

2

x

1

y

SoluzioneLa funzione e definita in X = R {0}, ed e manifestamente dispari: f 1

x

= f 1

x

.

Inoltre e limitata su tutto R:sin 1

x

1.Gli zeri sono:

f(x) = 0 1x

= k x = 1

,1

2,

1

3, ...,

1

k, con k Z

Inoltre:

f(x) = 1 1x

=

2+ 2k x = 2

,

15

,1

9, ...,

2 + 4k

, con k Z

f(x) = 0 1x

=3

2 + 2k x = 2

3,

2

7,

2

11, ...,

2

3 + 4k, con k Z

Osserviamo che i punti xk =1k

, xk =2

+4k, xk =

23+4k

si addensano intorno a x = 0 (alcrescere indefinito di k), per cui in ogni intorno di x = 0, la funzione assume i valori 0,1, 1.Pertanto non puo essere verificata la definizione di limite, che in questo caso e:

> 0, > 0 | 0 < |x| < = |f(x) l| < (22)In altri termini, l tale che lo scarto |f(x) l| puo essere reso arbitrariamente piccolo. Siconclude che la funzione (21) non e regolare in x = 0. Per quanto riguarda il diagrammacartesiano, osserviamo che in ogni intorno di x = 0, la funzione compie infinite oscillazioni,per cui non e possibile completare il grafico intorno a x = 0, come mostrato in fig.1 .Osserviamo infine che allinfinito la funzione e infinitesima, avendosi:

12


13/24

1

1

12

12

2

2

x

1

1

y

Figure 1: Grafico di f(x) = sin 1x

limx+

sin1

x= lim

t0+sin t = 0+

limx

sin1

x= lim

t0sin t = 0

Esercizio 131

Studiare il comportamento per x 0 della funzione:

f(x) = x sin1

x(23)

***

SoluzioneLa funzione e definita in X = R {0}, ed e manifestamente pari: f 1

x

= f

1x

. Inoltre :

x X,x sin 1x

|x| (24)Dalla (24) applicando la definizione di limite:

limx0

x sin 1x

= 0, (25)

per cui la funzione e convergente in x = 0. Sempre per la (24) si ha che il diagrammacartesiano e contenuto nella regione del piano xy:

R = {(x, y) R | < x < +, x < y < x}Il diagramma cartesiano interseca infinite volte le rette y = x e y = x. Infatti:

13


14/24

f(x) = x xk = 2 (1 + 4k)

, k Z

f(x) = x xk = 2 (3 + 4k)

, k Z

Gli zeri sono:

f(x) = 0 1x

= k x = 1

,1

2,

1

3, ...,

1

k, con k Z

Come nel caso di sin 1x

anche qui la funzione compie infinite oscillazioni intorno al puntox = 0, con la differenza che le oscillazioni si smorzano per x 0.Il diagramma e riportato in fig.2 .

yxyx

2

2

2

3

2

3

1

x

y

Figure 2: Diagramma cartesiano di f(x) = x sin 1x

Osserviamo infine che allinfinito la funzione converge a 1, avendosi:

limx+

x sin1

x= lim

t0+sin t

t= 1

limx

x sin1

x= lim

t0sin t

t= 1

Esercizio 132Calcolare il limite:

limx0

ex 1 + ln (1 x)tan x x (26)

***

14


15/24

SoluzioneIl rapporto si presenta nella forma indeterminata 0

0:

limx0

ex 1 + ln (1 x)tan x x =

0

0,

per cui possiamo applicare la regola di De LHospital:

limx0

ex 1 + ln (1 x)tan x x

H= limx0

ex

+1

1x1

cos2 x 1 (27)

= limx0

cot2 x

1 x ex (1 x) 1

1 cos2 x

= 0 (28)

= limx0

1

1 x limx0ex (1 x) 1

tan2 x(29)

Calcoliamo a parte il secondo limite:

limx0

ex (1 x) 1tan

2

x

=0

0

H= lim

x0

ex (1 x) ex

2tan x 1

cos2 x

= 12

limx0

xex

tan xcos2 x

= 1

2

Dallequazione precedente si ricava:

limx0


1

2

Esercizio 133

Calcolare il limite:limx0

ex 1 + ln (1 x)tan x x (30)

***

SoluzioneIl rapporto si presenta nella forma indeterminata 0

0:

limx0


0

0,


limx0

ex 1 + ln (1 x)tan x x

H= lim

x0ex + 1

1x1

cos2 x 1 (31)

= limx0

cot2 x

1 x ex (1 x) 1

1 cos2 x

= 0 (32)

= limx0

1

1 x limx0ex (1 x) 1

tan2 x(33)

15


16/24

Calcoliamo a parte il secondo limite:

limx0

ex (1 x) 1tan2 x

=0

0H= lim

x0ex (1 x) ex2tan x 1

cos2 x

= 12

limx0

xex

tan xcos2 x

= 1

2

Dallequazione precedente si ricava:

limx0


1

2

Esercizio 133


limx+

ln (1 + 2ex)1 + x2

(34)

***

SoluzioneIl rapporto si presenta nella forma indeterminata :

limx+

ln (1 + 2ex)1 + x2

= ,


limx+

ln (1 + 2ex)1 + x2

H= lim

x+2e

x

1+2ex

x1+x2

= 2 limx+

1 + 1

x2

ex + 2= 2 1 1

2= 1 (35)

Esercizio 134

Calcolare il limite:lim

x0+

arcsin x

ln x (36)

***

SoluzioneIl prodotto si presenta nella forma indeterminata 0 :

limx0+

arcsin x ln x = 0

16


17/24

Per applicare la regola di De LHospital dobbiamo ricondurre la forma indeterminata 0 a una delle due forme 0

0, . Ad esempio:

limx0+

arcsin x ln x = limx0+

ln x

(arcsin x)1=

H= lim

x0+

1x

(arcsin x)2 11x2

(37)

= limx0+

1 x2 arcsin x

x arcsin x

(38)

= 1 0 1 = 0 (39)

Esercizio 135

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limx0

1x cot x

***

SoluzioneLa differenza si presenta nella forma indeterminata :

limx0

1

x cot x

=

Tale forma indeterminata puo essere rimossa applicando la regola di De LHospital, dopo

aver ricondotto la forma alla00 :

limx0

1

x cot x

= lim

x0

1

x cos x

sin x

= (40)

= limx0

sin x x cos xx sin x

=0

0H= lim

x0x sin x

sin x + x cos x

= limx

0

sin xsinx

x

+ cos x

=0

1 + 1= 0

Esercizio 136


limx

2

ln |tan x|ln | 2x|

17


18/24

***


limx

2

ln |tan x|ln | 2x| =

,


limx

2

ln |tan x|ln | 2x|

= limx

2

lntan x

ln ( 2x)H= lim

x2

1tanx

1cos2 x

22x

= limx2

2x

sin2x =0

0

Eseguiamo il cambio di variabile t = 2x = sin2x = sin (t + ) = sin t

limx

2

2x sin2x

= limt0

t

sin t= 1

Si conclude che:

limx

2

ln |tan x|ln

|

2x

|

= 1

Esercizio 137


limx0

1

x2 cot2 x

***

SoluzioneLa differenza si presenta nella forma indeterminata

:

limx0

1

x2 cot2 x

= ,

Per poter applicare la regola di De LHospital, riconduciamo la forma alla forma 00

:

18


19/24

limx0

1

x2 cot2 x

= limx0

1 x2 cot2 xx2

=0

0

H= lim

x0

2x cot2 x + 2x2 cot x 1sin2 x

2x= lim

x0x cos x sin x cos x

sin3 x

=

limx0

cos x limx0

x 12

sin2x

sin3 x

= limx0

x 12

sin2x

sin3 xH= lim

x01 cos2x

3sin2 x cos x

= limx0

41cos2x(2x)2

3 sin2 xx2

cos x =

2

3

Si conclude che:

limx0

1

x2 cot2 x

=

2

3

Esercizio 139


limx0 1

1 cos x 2

x2

***


limx0

1

1 cos x 2

x2

= ,

Per poter applicare la regola di De LHospital, riconduciamo la forma alla forma 00

:

19


20/24

limx0

1

1 cos x 2

x2

= limx0

x2 2 + 2 cos xx2 (1 cos x) =

0

0

H= 2 lim

x

0

x sin x2x

2x cos x + x2 sin x=

0

0H= 2 lim

x01 cos x

2 2cos x + 4x sin x + x2 cos x= 2 lim

x0

1cosxx2

21cosxx2

+ 4 sinxx

+ cos x

= 2 12

2 12

+ 4 1 + 1 =1

6

Si conclude che:

limx0

1

1 cos x 2

x2 = 1

6

Esercizio 140

Calcolare il limite:limx0

|x|sinx

***

SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata 00:

limx0 |x|sinx = 00,

Scriviamo:

limx0

|x|sinx = limx0

eln|x|sinx

= elimx0 ln|x|sinx

Quindi calcoliamo a parte il limite:

limx0

ln |x|sinx = limx0

sin x ln |x|Distinguiamo i casi: x 0+, x 0:

limx0+

ln |x|sinx = limx0+

sin x ln x = 0

= limx0+

ln x1

sinx

H= lim

x0+

sin2 x

x

1

cos x

= 0

20


21/24

Quindi:

limx0+

|x|sinx = e0 = 1 (41)

Per x 0:

limx0

ln|x|sinx = lim

x0sin x ln (

x) = 0

= lim

x0+ln (x)

1sinx

H= lim

x0+

sin2 x

x

1

cos x

= 0+

Quindi:

limx0

|x

|sinx = e0

+

= 1+ (42)

Dalle (41)-(42) segue:

limx0

|x|sinx = 1

Esercizio 141


limx+

eex

ex

***

SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata :

limx+

eex

ex= ,

Eseguiamo il cambio di variabile y = ex, per cui:

limx+

eex

ex

= limy+

ey

y

= +

Alternativamente:

limx+

eex

ex= lim

x+

eex1 = e+ = +

21


22/24

Esercizio 142


limx+

ln

1 + 1x

2 arctan x

***

SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata 0

0:

limx+

ln

1 + 1x

2 arctan x =

0

0,

Applichiamo la regola di De LHospital:

limx+

ln

1 + 1x

2 arctan x

H= lim

x+

11+x

1x2

2

1+x2

= 12

limx+

1 + x2

x (1 + x2)= 1

2

Esercizio 143


limx0

sin(ax) axsin(bx) bx

***


0:

limx0

sin(ax) axsin(bx) bx =

0

0,


limx0

sin(ax) axsin(bx) bx

H= lim

x0a cos(ax) ab cos(bx) b

= 00

H= limx0 a

2

sin(ax)b2 sin(bx)

= a3

b3limx0

sin(ax)

axsin(bx)bx

= a3

b3

Quindi:

limx0

sin(ax) axsin(bx) bx =

a3

b3

22


23/24

Esercizio 144


limx0

x ln (1 + x)

1 cos x***


:

limx0

x ln (1 + x)

1 cos x =0

0,

Dividiamo numeratore e denominatore per x2

limx0

x ln (1 + x)

1 cos x = limx0ln(1+x)

x1cosx

x2

Calcoliamo separamente i due limiti:

limx0

ln (1 + x)

x

H= lim

x01

1 + x= 1

limx0

1 cos xx2

=1

2,

donde:

limx0

x ln (1 + x)

1 cos x = 2

Esercizio 145

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limx1

4 arctan x

1 x2

***

Soluzione

Qui abbiamo la forma indeterminata 00 :

limx1

4 arctan x

1 x2 =0

0,


23


24/24

limx1

4 arctan x

1 x2H= lim

x1

11+x2

x1x2

= limx1

1 x2

x 1

1 + x2

= 0

Quindi:

limx1

4 arctan x

1 x2 = 0

24

esercizi sui limiti di funzioni

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