departmen ika itb jurusan fisika-unej benda...

DEPARTMEN IKA ITBJurusan Fisika-Unej

BENDA TEGAR

FI-1101© 2004 Dr. Linus Pasasa MS Bab 6-1Kuliah Fisika Dasar –Dr Edy Supriyanto

DEPARTMEN IKA ITB

Bahan CakupanBahan CakupanJurusan Fisika-Unej

Gerak Rotasi

Bahan CakupanBahan Cakupan

Gerak Rotasi

Vektor Momentum Sudut

Si t P tik lSistem Partikel

Momen Inersia

Dalil Sumbu Sejajar

Dinamika Benda Tegar

Menggelinding

Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-2

g

Statika Benda TegarKuliah Fisika Dasar –Dr Edy Supriyanto

DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.

Dalam proses rotasi pergeseran sudut:Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:

12 θθθ −=Δ

Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)

°° 357360d1

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-3

°== 3,572

rad 1π

DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

θθθ Δ− 12kecepatan sudut rata-rata:tθ

ttθθ

ΔΔ

=−

=12

12ω

kecepatan sudut sesaat:dθθωω =Δ== limlimdtttt

ωωΔ→Δ→Δ 00

limlimSatuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)radian per detik (rad/s)

Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-4

DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Arah kecepatan sudut:Arah kecepatan sudut:Aturan tangan kanan

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-5

DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Δ− ωωω 12Percepatan sudut rata-rata:ttt Δ

Δ=

−=

ωωωα12

12

Percepatan sudut sesaat:dtd

tt

ωωα =ΔΔ

=Δ 0lim

dttt Δ→Δ 0

Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s2)radian per detik (rad/s2)

Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-6

DEPARTMEN IKA ITB Persamaan Kinematika RotasiPersamaan Kinematika Rotasi

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-7

DEPARTMEN IKA ITB Perumusan Gerak RotasiPerumusan Gerak Rotasi

Kecepatan tangensial:

{ {kecepatankecepatan

ωrv = ( )rad/sdalamωtangensialkecepatan

linearkecepatan

Percepatan tangensial:

{ {percepatanpercepatan

αra = ( )2rad/s dalam α

p g

tangensialpercepatan

linearpercepatan

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-8

DEPARTMEN IKA ITB Perumusan Gerak RotasiPerumusan Gerak Rotasi

Percepatan sentripetal (dng arah radial kePercepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):

rrvar

22

ω==r

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-9

DEPARTMEN IKA ITB Torsi – Momen gaya

Torsi didefenisikan sebagai hasil kali bbesarnya gaya dengan panjangnya lenganlengan

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-10

DEPARTMEN IKA ITB Torsi – Momen gaya

Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-11

DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut

Momentum sudut L dari sebuah benda yangMomentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:

)vrm(prLrrrrr

×× )vrm(prL ×=×=

il φsinl mvr

rp rmv

φ

⊥ ⊥

=

= =

r p r mv⊥ ⊥= =

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-12

••Satuan SI adalah Kg.mSatuan SI adalah Kg.m22/s./s.

DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut

P b h t d t t h d ktPerubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

d dL ( )ddt

ddt

L r p= ×

d d dr p⎛ ⎞ ⎛ ⎞( )ddt

ddt

ddt

r p r p r p× = ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )= ×

=

v vm0

d dL

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-13

Jadi ddt

ddt

L r p= × l ingat F pE X T

dd t

=

DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut

P b h t d t t h d ktPerubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

dLddt

ddt

L r p= × EXTFdtd

×= rL

Akhirnya kita peroleh:τ EXT

ddt

= Ldt

Analog dengan !! F pEXT

ddt

=

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-14

EXT dt

DEPARTMEN IKA ITB

Hukum Kekekalan Momentum SudutSudut

dL dimana danτ EXTddt

=L τEXT EXT= ×r FL r p= ×

dLτEXT

ddt

= =L 0Jika torsi resultan = nol, maka Jika torsi resultan = nol, maka

Hukum kekekalan momentum sudutHukum kekekalan momentum sudut

21 ωω 21 II =

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-15

21 21

DEPARTMEN IKA ITB Hukum Kekekalan MomentumHukum Kekekalan Momentum

Linearo Jika ΣF = 0, maka p konstan.

RotasiJik Σ 0 k L k to Jika Στ = 0, maka L konstan.

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-16

DEPARTMEN IKA ITB

Momentum Sudut:D f i i & P

p = mvDefenisi & Penurunan

Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

d Momentum kekal jika

B i d G k R t i?

F pEXT

ddt

= FEXT = 0Bagaimana dng Gerak Rotasi?

τ= ×r FUntuk Rotasi Analog gaya FF adalah Torsi

L r p= ×

τ= ×r FUntuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi

Analog momentum pp adalah

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-17

pmomentum sudut

DEPARTMEN IKA ITB Sistem Partikel

Untuk sistem partikel benda tegar setiap partikelUntuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:

1 2 3

n

n iL l l l l l= + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∑r r r r rr

1i=

,

n ni

net i netdL dldt dt

τ τ= = =∑ ∑rr

r r,

1 1i idt dt= =∑ ∑

Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-18

Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh torsi gaya luar saja.torsi gaya luar saja.

DEPARTMEN IKA ITB Sistem Partikel

Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasiPerhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut

k̂vrmmi

iiii

iiiii

i ∑=∑ ×=×∑= vrprLpartikel:

vv1

(krn ri dan vi tegak lurus)

i

j

rr1rr2

m2

m1

Arah LL sejajar sumbu z

Gunakan vi = ω ri , diperoleh i rr1

rr3

rr2 m1

m3

ωvv2

vv3

i i , p

rkrmL

i

2ii

ˆ∑= ω

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-19

ωrrI=L Analog dng p = mv !!

DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut

DEFINISIDEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebuttersebut.

Demikan juga dengan torsi (Hk II NewtonωrrI=L

Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):

ωω rrrr

r IdIIdLd )(

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-20

ατ Idt

Idtdt

====)(

DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut

L Iω=

Vektor Momentum Sudut

Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan ω kekal

L Iω=hasil perkalian antara I dan ω kekal

2i iI m r= ∑

L I L IDr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-21

L Iω= L Iω=

DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegarMomen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai

222∑I ...222

211

2 ++== ∑ rmrmrmIi

ii

I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnyaterhadap sumbu putarnya

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-22

DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

∫z

dmrIrmI ii

i ∫∑ =⇒= 22

∫ ∫== dVρrdmrI 22dmy

z

x

y

dldrdrdV ⋅⋅= θDimana Elemen Volume

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-23

dldrdrdV ⋅⋅= θ

DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia

dldrdrdV ⋅⋅= θ

dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, p ,dl : perubahan ketebalan.

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-24

DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

( )∫ ( )dldrdrrI ⋅⋅= ∫ θρ2

As msi rapat massa ρ konstanAsumsi rapat massa ρ konstan

Kita dapat membaginya dalam 3 i t l bb3 integral sbb:

( ) ( ) ( )∫∫∫LRdldrdrrI

22 πθρ

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-25

( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅⋅= dldrdrrI000

θρ

DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia

R⎤⎡ 4

Hasilnya adalah [ ] [ ]lrI L⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= θρ π

4 020

0

LRI ⋅⋅=

⎦⎣

πρ 24

0

Massa dari lempengan LI πρ 24

LRM ⋅⋅⋅= 2πρtersebut

LRM πρ

21MRI =M I i b d

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-26

2MRI =Momen Inersia benda

DEPARTMEN IKA ITB Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui) momenyang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar2MhII 2MhII cm +=

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-27

DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia:Momen Inersia:

ℓ ℓ21 mlI =

21mlI =12mlI = 3

mlI

2mRI =

R

2

21 mRI =

R

2

ab)(

121 22 bamI +=

2

52mRI =

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-28

DEPARTMEN IKA ITB Dinamika Benda Tegar

Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:

21

22

112 2 ωωωωθτθ ω

IIdIdW −=== ∫ ∫ 12221 1θ ω∫ ∫

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-29

DEPARTMEN IKA ITB Energi Kinetik Rotasig

Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

( ) ( ) 222

21

21 ωω ∑∑ == iiii rmrmK

2221 ωIK =

∑= 2iirmI

2Dimana I adalah momen inersia,

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-30

DEPARTMEN IKA ITB Energi Kinetik RotasiEnergi Kinetik Rotasi

Linear Rotasi

11 2

21 ωIK =2

21MvK =

Massa MomenMassa

Kecepatan Linear

Momen Inersia

Kecepatan

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-31

Linear Kecepatan Sudut

DEPARTMEN IKA ITB Prinsip Kerja-Energi

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:

21

22

2

1

2

12

1

2

1

ωωωωθτθ

θ

ω

ωIIdIdW −=== ∫ ∫ 221 1

21 ωIKrotasi =KW Δ= dimana 2rotasirotasiKW Δ dimana

Bila ,maka sehingga0=τr 0=W

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-32

Bila ,maka sehingga0τ 0W0=Δ rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi

DEPARTMEN IKA ITB Menggelinding

Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-33

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi

s Rθ B b k d l j s Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dt

dv Rθ ω⇒ = =comv Rdt

ω⇒ = =

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-34

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-35

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi

The kinetic energy of rolling

2 212 P P comK I I I MRω= = +

2 2 21 12 2

2 21 1

comK I MR

K I M K K

ω ω= +

2 21 12 2com com r tK I Mv K Kω= + = +

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-36

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Menggelinding Di Bidang MiringGerak Menggelinding Di Bidang Miring

Gunakan:Gunakan: torsi = torsi = II ααNr

sing PR F Iθ α× =

RR xsfrsingF θ coma Rα= −

Maka:Maka:

θ θP 2 sin P comMR g I aθ = −

2θ θ

gFr cosgF θ

2P comI I MR= +

singa θ= −

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-37

21 /comcom

aI MR

=+

DEPARTMEN IKA ITB Menggelinding

Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasidan energi kinetik rotasi.

22 11 ωImvK + 0022

ωImvK +=

V0

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-38

ω

DEPARTMEN IKA ITB

Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak RotasiTotal Dengan Gerak Rotasi

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-39

DEPARTMEN IKA ITB Kesetimbangan Benda Tegar

Suatu benda tegar dikatakan setimbang

g g

Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama d ldengan nol.Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nolgaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:

ΣFx = 0 dan ΣFy = 0Στ = 0

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-40

DEPARTMEN IKA ITB

Hubungan Besaran Gerak Linear - RotasiGerak Linear Rotasi

Linear Rotasix (m) θ (rad)( ) ( )

v (m/s) ω (rad/s)a (m/s2) α (rad/s2)

m (kg) I (kg·m2)m (kg) I (kg m )F (N) τ (N·m)

(N ) L (N )Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-41

p (N·s) L (N·m·s)

DEPARTMEN IKA ITB

Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi

linear angular

Gerak Linear Rotasi

linear angular

perpindahan

kecepatanxΔ θΔdtdxv / dtd /θω =kecepatan

percepatandtdxv /= dtd /θω =dtdva /= dtd /ωα =

m ∑ 2massa

gaya

m ∑= 2iirmI

Fr

IFFrrrr

×=τHk. Newton’s

energi kinetikατ I=maF =

2)2/1( mvK = 2)2/1( ωIK =

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-42

Kerja ∫= FdxW ∫= θτdW