departmen ika itb jurusan fisika-unej benda...
TRANSCRIPT
DEPARTMEN IKA ITBJurusan Fisika-Unej
BENDA TEGAR
FI-1101© 2004 Dr. Linus Pasasa MS Bab 6-1Kuliah Fisika Dasar –Dr Edy Supriyanto
DEPARTMEN IKA ITB
Bahan CakupanBahan CakupanJurusan Fisika-Unej
Gerak Rotasi
Bahan CakupanBahan Cakupan
Gerak Rotasi
Vektor Momentum Sudut
Si t P tik lSistem Partikel
Momen Inersia
Dalil Sumbu Sejajar
Dinamika Benda Tegar
Menggelinding
Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-2
g
Statika Benda TegarKuliah Fisika Dasar –Dr Edy Supriyanto
DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
Dalam proses rotasi pergeseran sudut:Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:
12 θθθ −=Δ
Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)
°° 357360d1
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-3
°== 3,572
rad 1π
DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
θθθ Δ− 12kecepatan sudut rata-rata:tθ
ttθθ
ΔΔ
=−
=12
12ω
kecepatan sudut sesaat:dθθωω =Δ== limlimdtttt
ωωΔ→Δ→Δ 00
limlimSatuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)radian per detik (rad/s)
Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-4
DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Arah kecepatan sudut:Arah kecepatan sudut:Aturan tangan kanan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-5
DEPARTMEN IKA ITB Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Δ− ωωω 12Percepatan sudut rata-rata:ttt Δ
Δ=
−=
ωωωα12
12
Percepatan sudut sesaat:dtd
tt
ωωα =ΔΔ
=Δ 0lim
dttt Δ→Δ 0
Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s2)radian per detik (rad/s2)
Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-6
DEPARTMEN IKA ITB Persamaan Kinematika RotasiPersamaan Kinematika Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-7
DEPARTMEN IKA ITB Perumusan Gerak RotasiPerumusan Gerak Rotasi
Kecepatan tangensial:
{ {kecepatankecepatan
ωrv = ( )rad/sdalamωtangensialkecepatan
linearkecepatan
Percepatan tangensial:
{ {percepatanpercepatan
αra = ( )2rad/s dalam α
p g
tangensialpercepatan
linearpercepatan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-8
DEPARTMEN IKA ITB Perumusan Gerak RotasiPerumusan Gerak Rotasi
Percepatan sentripetal (dng arah radial kePercepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):
rrvar
22
ω==r
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-9
DEPARTMEN IKA ITB Torsi – Momen gaya
Torsi didefenisikan sebagai hasil kali bbesarnya gaya dengan panjangnya lenganlengan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-10
DEPARTMEN IKA ITB Torsi – Momen gaya
Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-11
DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut
Momentum sudut L dari sebuah benda yangMomentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:
)vrm(prLrrrrr
×× )vrm(prL ×=×=
il φsinl mvr
rp rmv
φ
⊥ ⊥
=
= =
r p r mv⊥ ⊥= =
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-12
••Satuan SI adalah Kg.mSatuan SI adalah Kg.m22/s./s.
DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut
P b h t d t t h d ktPerubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:
d dL ( )ddt
ddt
L r p= ×
d d dr p⎛ ⎞ ⎛ ⎞( )ddt
ddt
ddt
r p r p r p× = ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( )= ×
=
v vm0
d dL
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-13
Jadi ddt
ddt
L r p= × l ingat F pE X T
dd t
=
DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut
P b h t d t t h d ktPerubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:
dLddt
ddt
L r p= × EXTFdtd
×= rL
Akhirnya kita peroleh:τ EXT
ddt
= Ldt
Analog dengan !! F pEXT
ddt
=
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-14
EXT dt
DEPARTMEN IKA ITB
Hukum Kekekalan Momentum SudutSudut
dL dimana danτ EXTddt
=L τEXT EXT= ×r FL r p= ×
dLτEXT
ddt
= =L 0Jika torsi resultan = nol, maka Jika torsi resultan = nol, maka
Hukum kekekalan momentum sudutHukum kekekalan momentum sudut
21 ωω 21 II =
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-15
21 21
DEPARTMEN IKA ITB Hukum Kekekalan MomentumHukum Kekekalan Momentum
Linearo Jika ΣF = 0, maka p konstan.
RotasiJik Σ 0 k L k to Jika Στ = 0, maka L konstan.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-16
DEPARTMEN IKA ITB
Momentum Sudut:D f i i & P
p = mvDefenisi & Penurunan
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
d Momentum kekal jika
B i d G k R t i?
F pEXT
ddt
= FEXT = 0Bagaimana dng Gerak Rotasi?
τ= ×r FUntuk Rotasi Analog gaya FF adalah Torsi
L r p= ×
τ= ×r FUntuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi
Analog momentum pp adalah
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-17
pmomentum sudut
DEPARTMEN IKA ITB Sistem Partikel
Untuk sistem partikel benda tegar setiap partikelUntuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:
1 2 3
n
n iL l l l l l= + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∑r r r r rr
1i=
,
n ni
net i netdL dldt dt
τ τ= = =∑ ∑rr
r r,
1 1i idt dt= =∑ ∑
Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-18
Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh torsi gaya luar saja.torsi gaya luar saja.
DEPARTMEN IKA ITB Sistem Partikel
Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasiPerhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut
k̂vrmmi
iiii
iiiii
i ∑=∑ ×=×∑= vrprLpartikel:
vv1
(krn ri dan vi tegak lurus)
i
j
rr1rr2
m2
m1
Arah LL sejajar sumbu z
Gunakan vi = ω ri , diperoleh i rr1
rr3
rr2 m1
m3
ωvv2
vv3
i i , p
rkrmL
i
2ii
ˆ∑= ω
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-19
ωrrI=L Analog dng p = mv !!
DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut
DEFINISIDEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebuttersebut.
Demikan juga dengan torsi (Hk II NewtonωrrI=L
Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):
ωω rrrr
r IdIIdLd )(
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-20
ατ Idt
Idtdt
====)(
DEPARTMEN IKA ITB Vektor Momentum Sudut
L Iω=
Vektor Momentum Sudut
Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan ω kekal
L Iω=hasil perkalian antara I dan ω kekal
2i iI m r= ∑
L I L IDr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-21
L Iω= L Iω=
DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegarMomen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai
222∑I ...222
211
2 ++== ∑ rmrmrmIi
ii
I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnyaterhadap sumbu putarnya
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-22
DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
∫z
dmrIrmI ii
i ∫∑ =⇒= 22
∫ ∫== dVρrdmrI 22dmy
z
x
y
dldrdrdV ⋅⋅= θDimana Elemen Volume
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-23
dldrdrdV ⋅⋅= θ
DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia
dldrdrdV ⋅⋅= θ
dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, p ,dl : perubahan ketebalan.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-24
DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral
( )∫ ( )dldrdrrI ⋅⋅= ∫ θρ2
As msi rapat massa ρ konstanAsumsi rapat massa ρ konstan
Kita dapat membaginya dalam 3 i t l bb3 integral sbb:
( ) ( ) ( )∫∫∫LRdldrdrrI
22 πθρ
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-25
( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅⋅= dldrdrrI000
θρ
DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia
R⎤⎡ 4
Hasilnya adalah [ ] [ ]lrI L⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= θρ π
4 020
0
LRI ⋅⋅=
⎦⎣
πρ 24
0
Massa dari lempengan LI πρ 24
LRM ⋅⋅⋅= 2πρtersebut
LRM πρ
21MRI =M I i b d
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-26
2MRI =Momen Inersia benda
DEPARTMEN IKA ITB Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui) momenyang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar2MhII 2MhII cm +=
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-27
DEPARTMEN IKA ITB Momen Inersia:Momen Inersia:
ℓ ℓ21 mlI =
21mlI =12mlI = 3
mlI
2mRI =
R
2
21 mRI =
R
2
ab)(
121 22 bamI +=
2
52mRI =
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-28
DEPARTMEN IKA ITB Dinamika Benda Tegar
Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:
21
22
112 2 ωωωωθτθ ω
IIdIdW −=== ∫ ∫ 12221 1θ ω∫ ∫
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-29
DEPARTMEN IKA ITB Energi Kinetik Rotasig
Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah
( ) ( ) 222
21
21 ωω ∑∑ == iiii rmrmK
2221 ωIK =
∑= 2iirmI
2Dimana I adalah momen inersia,
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-30
DEPARTMEN IKA ITB Energi Kinetik RotasiEnergi Kinetik Rotasi
Linear Rotasi
11 2
21 ωIK =2
21MvK =
Massa MomenMassa
Kecepatan Linear
Momen Inersia
Kecepatan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-31
Linear Kecepatan Sudut
DEPARTMEN IKA ITB Prinsip Kerja-Energi
Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:
21
22
2
1
2
12
1
2
1
ωωωωθτθ
θ
ω
ωIIdIdW −=== ∫ ∫ 221 1
21 ωIKrotasi =KW Δ= dimana 2rotasirotasiKW Δ dimana
Bila ,maka sehingga0=τr 0=W
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-32
Bila ,maka sehingga0τ 0W0=Δ rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
DEPARTMEN IKA ITB Menggelinding
Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-33
DEPARTMEN IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi
s Rθ B b k d l j s Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dt
dv Rθ ω⇒ = =comv Rdt
ω⇒ = =
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-34
DEPARTMEN IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-35
DEPARTMEN IKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan Gerak Menggelinding: rotasi dan translasitranslasitranslasitranslasi
The kinetic energy of rolling
2 212 P P comK I I I MRω= = +
2 2 21 12 2
2 21 1
comK I MR
K I M K K
ω ω= +
2 21 12 2com com r tK I Mv K Kω= + = +
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-36
DEPARTMEN IKA ITB
Gerak Menggelinding Di Bidang MiringGerak Menggelinding Di Bidang Miring
Gunakan:Gunakan: torsi = torsi = II ααNr
sing PR F Iθ α× =
RR xsfrsingF θ coma Rα= −
Maka:Maka:
θ θP 2 sin P comMR g I aθ = −
2θ θ
gFr cosgF θ
2P comI I MR= +
singa θ= −
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-37
21 /comcom
aI MR
=+
DEPARTMEN IKA ITB Menggelinding
Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasidan energi kinetik rotasi.
22 11 ωImvK + 0022
ωImvK +=
V0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-38
ω
DEPARTMEN IKA ITB
Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak RotasiTotal Dengan Gerak Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-39
DEPARTMEN IKA ITB Kesetimbangan Benda Tegar
Suatu benda tegar dikatakan setimbang
g g
Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama d ldengan nol.Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nolgaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:
ΣFx = 0 dan ΣFy = 0Στ = 0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-40
DEPARTMEN IKA ITB
Hubungan Besaran Gerak Linear - RotasiGerak Linear Rotasi
Linear Rotasix (m) θ (rad)( ) ( )
v (m/s) ω (rad/s)a (m/s2) α (rad/s2)
m (kg) I (kg·m2)m (kg) I (kg m )F (N) τ (N·m)
(N ) L (N )Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-41
p (N·s) L (N·m·s)
DEPARTMEN IKA ITB
Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi
linear angular
Gerak Linear Rotasi
linear angular
perpindahan
kecepatanxΔ θΔdtdxv / dtd /θω =kecepatan
percepatandtdxv /= dtd /θω =dtdva /= dtd /ωα =
m ∑ 2massa
gaya
m ∑= 2iirmI
Fr
IFFrrrr
×=τHk. Newton’s
energi kinetikατ I=maF =
2)2/1( mvK = 2)2/1( ωIK =
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I Bab 6-42
Kerja ∫= FdxW ∫= θτdW