devetgodi[no osnovno obrazovanie · 2018. 8. 31. · prirodni broevi 23 9. instrumenti za pribirawe...
Post on 27-Jan-2021
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
DEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIEDEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIE
Skopje, 2011Skopje, 2011
JJOVO STEFANOVSKIOVO STEFANOVSKINAUM CELAKOSKINAUM CELAKOSKI
-
Drag u~eniku!
Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata.So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na u~ili{te, doma, pa duri i vo tvoite
igri.So ovaa kniga }e nau~i{ novi interesni sodr`ini od broevite. ]e stekne{ novi soz-
nanija od geometrijata. Vo temata Merewe }e gi izu~i{ mernite edinici za pove}eveli~ini i operaciite so niv.
Knigava e podelena na ~etiri tematski celini. Tematskite celini zapo~nuvaat sonivnata sodr`ina, a nastavnite edinici vo niv se numerirani.
Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnos-ti, obvrski i drugi sugestii, i toa:
Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e pozna-to. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa}e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata.
So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi(porcii) koi se odnesuvaat na novi poimi.
So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata izada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvo-jot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoatreba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{i razbere{. Najbitnoto e oboeno so `olta boja.
Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa,zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da gokoristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri.
Ovoj del sodr`i pra{awa i zada~i so koi mo`e{ da seproveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za damo`e{ da go primenuva{ i da go koristi{ vo sekojdnevniot`ivot.
Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i.So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bideod golema polza.
Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovojdel. So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei.
Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otka`uvaj se,obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo.
]e n¢ raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~enuspeh.
Od avtorite
Potseti se!
Problemi
Zada~i
Treba da znae{
1.
2.
3. ...
...,A B
Proveri se?
-
3
1. Mno`estvo. Na~ini na zapi{uvawe 4
2. Broj na mno`estvo. Kone~ni mno`estva 7
3. Ekvivalentni mno`estva. Ednakvi mno`estva. Podmno`estvo 9
4. Presek, unija i razlika na mno`estva 12
5. Podreden par. Dekartov proizvod 15
6. Niza od prirodnite broevi 177. Dekaden broen sistem 208. ^itawe i zaokru`uvawe na
prirodni broevi 239. Instrumenti za pribirawe
podatoci 2610. Sobirawe 2711. Odzemawe 2912. Zavisnost na zbirot i
razlikata od promenata na komponentite 31
13. Mno`ewe 3414. Delewe 37
15. Zavisnost na proizvodot i koli~nikot od promenata na komponentite 40
16. Broen izraz. Ravenki 4317. Aritmeti~ka sredina 4718. Delivost na prirodni broevi.
Delivost na zbir i razlika 4819. Priznaci za delivost so
2 i so 5 5120. Priznaci za delivost so
3 i so 9 5321. Priznak za delivost so 4 5522. Prosti i slo`eni broevi.
Pretstavuvawe slo`en broj kako proizvod od prosti mno`iteli 57
23. Zaedni~ki delitel. Najgolem zaedni~ki delitel 60
24. Zaedni~ki sodr`atel. Najmal zaedni~ki sodr`atel 63
25. Slikoven dijagram.Stolbest dijagram 66
26. U~e{e za prirodni broevi.Proveri go svoeto znaewe 68
TEMA 1. PRIRODNI BROEVI
-
MMNO@ESTVO. NA^INI NA ZAPI[UVAWE4
Potseti se!
Na crte`ot se pretstaveni mno`es -tvoto A i mno`estvoto V so Venovidijagrami.
A V
Elementite na mno`estvoto A secvetovi.
[to se elementite na mno`estvoto V?
a
bv
g
Iska`i usno edno mno`estvo A i zapi{i gi negovite elementi.
Na crte`ot e pretstaveno mno`estvoto S so Venov dijagram.
Iska`i dva objekta {to ne se elementi na tvoeto mno`estvo A.
Koi broevi se elementi na mno`estvoto S?
Neka so D e ozna~eno mno`estvotood site denovi vo sedmicata.
Kolku elementi ima mno`estvoto D?
Dali mesecot april e element namno`estvoto D?
Zapi{i gi site elementi na mno-`estvoto D.
Da zapomnam! Edno mno`estvo e opredeleno ako se znae koi sesite negovi elementi.
1
543
7 26 S
Mno`estvoto S mo`e da se zapi{e na tabelaren na~in(so redewe na elementite), taka {to }e se zapi{at me|uzagradi site negovi elementi, odvoeni so zapirki, t.e. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
1
2
3
1
Zapi{i go mno`estvoto P so Venov dijagram.Zapi{i go mno`estvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najmaliot.
Zapi{i go mno`estvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najgolemiot.
Elementi na edno mno`estvo R se broevite: 10, 6, 2, 8 i 4.4
A
B
-
5
6
7
8
5
Zapi{i go na tabelaren na~in mno`estvoto A od bukvi {to se upotrebeni vozborot masa.
Zapi{i go mno`estvoto A na tabelaren na~in.
Pri zapi{uvaweto na mno`estvo na tabelaren na~in, redosledot na elementite ne e biten.
Ako bukvata x se upotrebi kako zamena za imiwata na ~leno -vite od semejstvoto Acevski, mno`estvoto A mo`e da se zapi{e:
A={x | x e ~len na semejstvoto Acevski}.Vaka zapi{ano mno`estvoto A velime deka e pretstaveno na opisen na~in.
Zapi{i go mno`estvoto Y od site samoglaski vo makedonskata azbuka.
so Venov dijagram; na tabelaren na~in.
Mno`estvoto S={x | x e cifra od brojot 2638} zapi{i go:
Zapi{i go mno`estvoto R na tabelaren na~in.
So koj od slednite zapisi mno`estvoto R e pretstaveno na opisen na~in?
a) {x | x >19}.b) {x | x e neparen broj od vtorata desetka}.v) {x | x e priroden broj od vtorata desetka}.
Na crte`ot e dadeno mno`estvoto R so Venov dijagram.
1115
1917
13 R
Da zapomnam! Mno`estvoto {m, a, s, a}pra vilno se zapi{uva {m, a, s}. Istiteelementi vo mno ̀ estvoto se zapi{uvaatsamo edna{.
Semejstvoto Acevski go so~inuvaat: tatkoto Petar, majkataBiljana, sinot Dragan i }erkata Ana.
Neka so A e ozna~eno mno`estvoto od site ~lenovi na semej -
stvoto Acevski.
9 Razgledaj go mno`estvoto M zapi{ano so Venoviot dijagram.Elementi na mno`estvoto M se bukvite od zborot klupa.
ka
pu
lM
„Bukvata k e element na mno`estvoto Mili k mu pripa|a na M“„Bukvata a e element na mno`estvoto Mili a mu pripa|a na M“„Bukvata e ne e element na mno`estvoto Mili e ne mu pripa|a na M“
k ∈ M
a ∈ M
e ∉ M
Velime: Zapi{uvame:
V
-
10
11
6
Na crte`ot e pretstavena edna otse~ka a i to~kite: A, B, C,N, L, K i S.
Treba da znae{
So koristewe na znacite ∈ ili ∉ zapi{i to~ni tvrdewa za bukvite i, s, l,u, p i mno`estvoto M.
Zapi{i to~ni tvrdewa za to~kite ozna~eni na crte`ot iza otse~kata a so koristewe na znacite ∈ ili ∉.Nacrtaj prava p i ozna~i to~ki R, P, S i L takvi {to: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;
S
A
a
L
S
V
K
N
Da navede{ primeri namno`estva;
da pretstavi{ dadeno mno -`estvo so Venov dijagram,na opisen i na tabelarenna~in;
pravilno da gi koristi{znacite ∈ i ∉.
Koga edno mno`estvo e opredeleno?
Zapi{i go mno`estvoto K ~ii elementi se broe-vite: 1, 3, 5, 7 i 9:
Koj broj od prvata desetka e element, a koj ne eelement na mno ̀ estvoto K? Zapi{i go toa so koris-tewe na zna cite ∈ ili ∉.
so Venov dijagram; na tabelaren na~in;
na opisen na~in.
Zada~i
e
pb
A V
Na crte`ot se dadeni mno`estvataA i V.
1.
ka
u
Koi bukvi se elementi na mno`es -tvoto A?
Od bukvite {to se elementi na mno`estvoto V sostavi zbor (ime nadrvo).
Zapi{i go mno`estvoto A na tabelaren na~in, a mno`estvoto V na opisen na~in.
So koristewe na znacite ∈ ili ∉zapi{i koja od bukvite: e, u, b, k e ele-ment na mno ̀ estvoto V.
Nacrtaj edna otse~ka i ozna~i ja so a.
Ozna~i to~ki M, N, C, D i Y taka {to:M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.
2.
So Venov dijagram zapi{i mno`estvaA i V takvi {to:1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B,5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ Bi 9 ∈ B.
3
Proveri se!
-
Potseti se!
7BBROJ NA MNO@ESTVO. KONE^NI MNO@ESTVA
Mno`estvoto A e dadeno so Venovdijagram.
Od koi elementi e sostaveno mno -`estvoto A?Izbroj gi elementite na A.
Kolku elementi ima mno`estvoto A?
Razgledaj gi mno`estvata A, V i Si odgovori na pra{awata.
21
Od koi elementi e sostaveno sekoeod mno`estvata?
Kolku elementi ima sekoe od mno -
`estvata A, V i S?
a cd
b
A
Voo~iv! Mno`estvoto A ima 3elementi, V ima 7 elementi imno`estvoto S ima 99 ele-menti.
Brojot na elementite na dadeno mno`estvo A se vika broj na A i se ozna~uva so δA.
Zapomni!
Voo~i i zapomni!
Kolku elementi ima mno`estvoto devoj~iwa vo tvojata paralelka?
Kolku vkupno u~enici ima mno`estvoto mom~iwa vo tvojata paralelka?
Kolkav e brojot na site u~enici vo tvojata paralelka?
Na sekoe od ovie mno`estva mu go odredi brojot na negovite elementi.
Site ovie mno`estva se kone~ni mno`estva.
2
Najvisokata planina vo Republika Makedonija eKorab. Vrvot na Korab e visok 2 764 metri.
Kolku elementi ima mno`estvoto planini voRepublika Makedonija {to se povisoki od 3 000metri?
3
4A = {juni, juli, januari}C = {x | x e mesec vo godinata ~ie ime zapo~nuva so bukvata l}.
Odredi go brojot na mno`estvata A, V i S.
Maj
V
A
B
A = {a, b, c};B = {x | x e den vo sedmica};C = {x | x e priroden broj pomal od 100}.
-
5
8Voo~uva{ deka mno`estvoto planini od zada~ata 3 i mno`estvoto S odzada~ata 4 nemaat nitu eden element.
Mno`estvoto {to nema nitu eden element se vika prazno mno`estvo i seozna~uva so znakot ∅. I praznoto mno`estvo se smeta za kone~no mno`estvo.
M = {x | x e planina vo R. Makedonija povisoka od 3 000 metri} = ∅.δ∅ = 0.
Navedi eden primer za prazno mno`estvo.
[to e broj na mno`estvo;
da navede{ primeri zakone~no i za praznomno`estvo.
Zapi{i primer za:
kone~no mno`estvo S takvo {to δS = 3;
mno`estvo Y takvo {to δY = 0.
`iteli na Prilep;
yvezdi na neboto;
zrnca `ito vo edna vre}a;
broevi {to mo`e da se zapi{at so cifrata 1?
Zada~i
Odredi go brojot na elementite namno`estvoto:
L = {2, 4, 6, 8, 10}S = {x | x e u~enik vo V oddeleniepovisok od 5 metri}K = ∅
1. Odredi go brojot na elementite na sekoeod mno`estvata A i V {to se dadeni soVenovi dijagrami.
2.
Odredi go brojot na elementite na sekoeod mno`estvata A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x e priroden broj i 8 ≤ x < 25}.
3.
Tvoi druga ri koi bile na go di {enodmor na pla netata Mars.
Problem
Dali e kone~no mno`estvoto:
Treba da znae{ Proveri se!
1A V2 5
7436
-
Potseti se!
9
Odredi go brojot na elementitena mno`estvoto:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {10, 20, 30, 40, 50}.
[to zabele`uva{?
EKVIVALENTNI MNO@ESTVA. EDNAKVI MNO@ESTVA. PODMNO@ESTVO
Y
T
Odredi go brojot na elementite namno`estvata Y i T.
Koj od znacite treba da se zapi{e
vo kruk~eto na zapisot δT δY?
Zapi{i go mno`estvoto A = {x | x e bukva od zborot DEBAR} i mno`estvoto B = {x | x e neparen broj od prvata desetka} na tabelaren na~in.
Odredi gi δA i δV, a potoa sporedi gi.
Zapi{i mno`estvo S {to ima broj na elementi ednakov na δA, odnosno δV.
Mno`estvata {to imaat ednakov broj elementi sevikaat istobrojni ili ekvivalentni mno`estva.
31
2
Ako mno`estvata A i V se ekvivalentni,zapi{uvame: A ~ V.
3
Zapi{i go tabelarno mno`estvoto A ~ii elementi se bukvite na zborotme~ka i mno`estvoto V ~ii elementi se bukvite na zborot kam~e.
Mno`estvata A i V imaat ist broj elementi: δA = δV.
Isto taka, mno`estvoto A e sostaveno od istite elementi, kako i mno`estvoto V.
4
Voo~i!
A
[TO SE BUNI[,
MNO@ESTVATA SE
EKVIVALENTNI!
B
Odredi go brojot na sekoe od mno`estvata:B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} i G = {M, A, T, E, I, K}.
Zapi{i gi ekvivalentnite mno`estva so znakot “~”Zapi{i mno`estvo {to }e bide ekvivalentno so mno`estvoto G.
-
10Dve mno`estva A i V se ednakvi ako se sostaveni od isti elementi.
Zapi{uvame: A = V
Dali se ednakvi mno`estvataA = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}?
Koi od slednive mno`estva se ednakvi me|u sebe: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?
Razgledaj go crte`ot! Elementi na mno`estvotoM se rozi, a na mno`estvoto S se crveni rozi.
Dali sekoj element na mno`estvoto S e ele-ment na mno`es tvoto M?
Za dve mno`estva A i V {to ne seednakvi, pi{uvame: A ≠ V.
5
no: {s, t, o, l} = {l, o, s, t}
6
7S
V M
Za mno`estvoto S velime deka e podmno`estvo na mno`estvoto M, ako sekoj ele-ment na mno`estvoto S e element na mno`estvoto M. Zapi{uvame: S ⊆ M.
Ako mno`estvoto S e podmno`estvo na mno`estvoto M i M ima elementi {to ne mupripa|aat na mno`estvoto S, toga{ S se vika vistinsko podmno`estvo na M.Zapi{uvame S ⊂ M.
Mno`estvoto Y e dadeno so Venov dijagram.Dali mno`estvoto R e podmno`estvo na mno-`estvoto Y? Obrazlo`i go svojot odgovor!Dali mno`estvoto K e vistinsko podmno`e-stvo na mno`estvoto Y? Obrazlo`i! Koe od slednite tvrdewa e to~no: P ⊂ S; S ⊆ S i S ⊂ S?
13
4
2
6
Y
R
K 5
7
8
Sekoe mno`estvo e podmno`estvo samo na sebe. A ⊆ A.
Primer: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, zatoa {to sekoj element od prvoto mno`estvo e elementna vtoroto mno`estvo.
Praznoto mno`estvo e podmno`estvo na sekoe mno`estvo. ∅ ⊆ A.
Voo~i!
-
11
Da navede{ primeri za ednakvi, odnosnoekvivalentni mno`estva;
da razlikuva{ ekvivalentni mno`estvaod ednakvi mno`estva;
da znae{ {to e podmno`estvo i {to evistinsko podmno`estvo;
da odredi{ podmno`estvo od dadenomno`estvo.
Dadeno e mno`estvoto P = {5, 10, 15, 20}.
Zapi{i mno`estvo K ekvivalentno so mno`estvoto R.
Zapi{i mno`estvo L ednakvo so mno`e-stvoto R.
Zapi{i dve podmno`estva na mno`e-stvoto R.
Treba da znae{ Proveri se!
Zada~i
Na crte`ot gi voo~uva{ mno`estva-ta D i N.
1. Neka U e mno`estvoto u~enici vo tvo -eto u~ili{te, R e mno`estvoto u~enicivo {esto oddelenie, K e mno`estvotou~e nici od tvojata u~ilnica, a elemen-tot y si ti, u~eniku.
So Venov dijagram pretstavi gi mno-`estvata U, P, K i elementot y.
2.
3.
7 9 5 1
N
D
3 28 6
4 10
Zapi{i go mno`estvoto D natabela ren na~in.
Zapi{i go mno`estvoto N na opisenna~in.
Dali mno`estvata D i N se ekviva-lentni? Zo{to?
[to e to~no za D i N: D ⊆ N ili N ⊆ D? Zo{to?
Ako y ∈ K i K ⊆ R, toga{ y ∈ R. Dali eto~no? Zo{to?
4. Zapi{i gi site podmno`estva namno`estvoto A = {a, b, c}.
DosetkaI ova e matemaika!
Vo edna prodavnica za metalni proizvodi, me|u kupuva~ot i proda-va~ot se vodel sledniot razgovor:"Kolku pari e eden?#, pra{al kupuva~ot."Deset denari#, odgovoril prodava~ot."Za kolku pari mo`am da kupam dvanaeset?#, pra{al kupuva~ot."Dvaeset denari#, odgovoril prodava~ot."Dobro, dajte mi toga{ trista i dvanaeset#, ka`al kupuva~ot."Toa }e ve ~ini, gospodine, trieset denari.# [to kupil kupuva~ot?
-
B
12
Na crte`ot se dadeni mno`estvata A, V i D.
Zapi{i gi mno`estvata A, V i D na tabela-ren na~in.
3 A VD
1 3
5 7
9
2 6
4 10
8
Presek na dve mno ̀ estva A i V e mno`estvoto S obrazuvano od elementite {to sezaedni~ki za A i V.Zapi{uvame: C = A ∩ V i ~itame: „S e ednakvo na A presek V“.
x ∈ A ∩ V, zna~i: x ∈ A i x ∈ V.
Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}.
Opredeli gi mno`estvata: A ∩ B, A ∩ C i B ∩ A.Dali mno`estvata A ∩ B i B ∩ A se ekvivalentni? Dali se razli~ni?
Pretstavi gi mno`estvata A, V i S so Venov dijagram, taka {to da mo`e da se odredat elementite na nivnite preseci.
1
2
Pretstavi gi mno`estvata A i V soVenov dijagram.
Dadeni se mno`estvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.
Mno`estvoto zaedni~ki elementi naA i V ozna~i go so S.
Mno`estvoto S pretstavi go natabelaren na~in.
A
PRESEK, UNIJA I RAZLIKA NA MNO@ESTVA4Potseti se!
Spored crte`ot A e mno`estvocrveni figuri, V e mno`estvotriagolnici, a S e mno`estvocrveni triagolnici.
Zo{to mno`estvoto S e presekna mno`estvata A i V?
A S V
Voo~i go re{enieto. C = {3, 4, 5}.
1
2
63
4
5
A BC
Mno`estvoto S epresek na mno -`estvata A i V.
Mno`estvoto D e unija namno`estvata A i V.
-
13Unija na mno`estvata A i V e mno`estvoto D obrazuvano od site elementina tie mno`estva.Zapi{uvame: D = A ∪ V i ~itame: „D e ednakvo na A unija V”.
x ∈ A ∪ V, zna~i: x ∈ A ili x ∈ V.
A, V i C.C ∪ B, C ∪ A i B ∪ A.A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A i A ∩ C.
Na crte`ot se dadeni mno`estvata A, V i Cso Venov dijagram.Zapi{i gi na tabelaren na~in mno`estvata:
4A
CV
1 2
9
3
12 13
11 14
VOdredi gi mno`estvata A ∩ V i V ∩ A.
Dali mno`estvata A ∩ V i V ∩ A se razli~ni?
Odredi gi mno`estvata A ∪ V i V ∪ A.
Dali mno`estvata A ∪ V i V ∪ A se ednakvi?
Dadeni se mno`estvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i V = {2, 4, 6, 8}.5
Odredi A ∪ B, a potoa (A ∪ B) ∪ C.Odredi B ∪ C, a potoa A ∪ (B ∪ C).Dali (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)?Proveri dali va`i: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Poka`i deka za presekot, odnosno za unijata, na mno`estvata B i S od zada~ata 4va`i komutativnoto svojstvo.
Proveri go komutativnoto svojstvo za nivnata unija.
Neka A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} i C = {1, 3, 5, 9}.7
6
Voo~uva{ deka: A ∩ V = V ∩ A i A ∪ B = B ∪ A
Voo~i!
Presekot na dve mno`estva ima komutativno svojstvo.
Unijata na dve mno`estva ima komutativno svojstvo.
Unijata na tri mno`estva imaasocijativno svojstvo.
Presekot na tri mno`estva ima asocijativno svojstvo.
Izberi tri mno`estva A, V i S i poka`i deka (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S).
Ako se znae deka x ∈ A ∪ B, dali x ∈ B?
Problem
�
G
Zapi{i gi na tabelaren na~in mno`estvata A i V.
Zapi{i go na tabelaren na~in mno`estvoto S ~ii elementi se onie ele-menti od mno`estvoto A {to ne se elementi na mno`estvoto V.
Razgledaj go crte`ot. So Venov dijagram se pret-staveni mno`estvata A i V.
8 A B1
273
8
95
6
-
14
Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} i C = {3, 5, 7, 9, 11}.9
Zapi{i gi na tabelaren na~in mno`estvata: A \ B, B \ A, B \ C i A \ (B \ C).Dali A \ B = B \ A?Proveri dali e to~no: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C?
Neka M = {x | x e priroden broj i x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} i P = {x | x e priroden broj odprvata desetka}. Odredi:
10
M ∩ Y. Y ∪ R. P \ M. M ∪ (R \ Y).
Razlikata na mno`estvata nema ni komutativnoni asocijativno svojstvo.
Treba da znae{!
Da odredi{ presek na dve mno`estva;
da odredi{ razlika na dve mno`estva;
da odredi{ unija na dve mno`estva;
deka presekot, odnosno unijata, imakomutativno i asocijativno svojstvo.
Dadeni se mno`estvata A = {a, b, f, g},B = {b, c, e, f, 1, 2} i C = {b, c, e, 1}.Zapi{i gi mno`estvata:
A ∩ B. B \ C. A ∪ B ∪ C.
Zada~i
Na crte`ot se dadeni mno`estvaso Venovi dijagrami pod a, b i v.
1.
Koi operacii se pretstaveni soobo enite delovi?
a) b) v)
Dadeni se mno`estvata A = {m, n, p, k} i M = {s, p, t, k, r}
2.
Odredi δA i δM.Zapi{i gi na tabelaren na~in A ∪ M, M ∩ A i M \ A.Odredi: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) i δ(M \ A).
Neka R e mno`estvoto parni broevi, a Y emno`estvoto neparni broevi od pr vatadesetka.
3.
[to pretstavuva:a) unijata na R i Y; v) razlikata na R i Y;b) presekot na R i Y; g) razlikata na Y i R?Obrazlo`i go svojot odgovor za sekoj od slu~aite pod a, b, v i g.
NA {TO LI E EDNAK
VA
RAZLIKATA ME|U NI
V?
Mno`estvoto S od elementite {to mu pripa|aat na mno`estvoto A, a ne mu pripa|aatna mno`estvoto V se vika razlika na mno`estvoto A so mno`estvoto V. Zapi{uvame: S = A \ V i ~itame: „S e ednakvo na A minus V”.
x ∈ A \ B zna~i: x ∈ A i x ∉ B.
Mno`estvoto S = {1, 2, 5, 6} dobieno na vakov na~in e razlikana mno`estvoto A i mno`estvoto V, odnosno S = A \ V.
Proveri se!
-
Potseti se!
15PODREDEN PAR. DEKARTOV PROIZVOD51
Dadeni se mno`estvata {2, 3} i {3, 2}.Tie se dvoelementni, t.e. se sostave-ni od par elementi.
No, vo nekoi slu~ai, redosledot naelementite vo parot ima bitno zna -~ewe: par rakavici, par ~evli i dr.
Dali {2, 3} = {3, 2}? Zo{to?
Na crte`ot e pretstavena kino sala.Tretiot stol vo vtoriot red i vto-riot stol vo tretiot red se prazni.
Redot i stolot pret-stavuvaat eden par.
Neka prviot broj odparot go ozna~uva redot (2), a vtoriotbroj go ozna~uva sto-lot (3). Toa go zapi-{uvame so (2, 3) i ve-lime deka e podreden par.
Tie ozna~uvaat razli~nimesta vo salata.
Parot (a, b) vo koj to~no se znae koj elemente prv, a koj element e vtor se vika podredenpar. Vo podredeniot par (a, b), a e prva kom-ponenta, dodeka b e vtora komponenta.
2 Neka mno`estvoto A = {s, p, q}, a mno`estvoto B = {1, 2}.
Zapi{i gi site podredeni paro-vi ~ija prva komponenta e elementna V, a vtorata komponentae element na A.
Da zapomnam! Podredeniot par (a, b) e ednakov na podredeniotpar (c, d) ako a = c i b = d i sezapi{uva (a, b) = (c, d).
Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na A, a vtoratakomponenta e element na V.
Dali podredenite parovi (2, 3) i (3, 2) ozna~uvaat isto mesto vo salata?
Dali podredeniot par (s, 1) e ednakov so (1, s)?
Neka A = {1, 2} i B = {a, b, c}. Formiraj go mno`estvoto ~ii elementi se sitepodredeni parovi na koi prvata komponenta e od mno`estvoto A, a vtoratakomponenta e od mno`estvoto V.
3
Mno`estvoto na koe elementi mu se site podredeni parovi ~ija prva komponenta eelement od mno`estvoto A, a vtorata komponenta od mno`estvoto V se vikaDekartov proizvod na mno`estvata A i V. Se ozna~uva so A h V. Se ~ita A po V.
A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.
Dadeno e mno`estvoto S = {1, 2, 3} i Dekartoviot proizvod S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}.4Zapi{i go mno`estvoto R na tabelaren na~in.
A
B
-
16
A h A e Dekartov proizvod na mno`estvoto A. Dekartoviot proizvod A h A se vikaDekartov kvadrat i se ozna~uva so A2. Se ~ita: „A na kvadrat.”
Dadeno e mno`estvoto A = {a, b}. Odredi go Dekartoviot proizvod A x A.5
Odredi go Dekartoviot kvadrat na mno`estvoto M = {5, p}.6
Voo~i i zapomni
Treba da znae{!
Da razlikuva{ dvoelementno mno`e-stvo od podreden par;
da gi odredi{ site podredeni paroviza dve dadeni mno`estva;
{to e Dekartov proizvod;
da odredi{ prva i vtora komponentana podreden par;
{to e Dekartov kvadrat.
Dadeni se mno`estvata A = {a, b}, B = {5, 55}i C = {m, n}.
Zapi{i gi site podredeni parovi ~ijaprva komponenta e element na mno`e -stvoto A, a vtorata komponenta e ele-ment na mno`estvoto S.
Zapi{i go mno`estvoto A h V na tabela -ren na~in.
Zapi{i go mno`estvoto V2.
Zada~i
Zapi{i gi podredenite parovi na koiprvata komponenta e od mno`estvotoA = {2, 5}, a vtorata komponenta odmno`estvoto V = {a, b, c}.
1.
Koj broj treba da stoi na mestoto od� za podredenite parovi da bidatednakvi:a) (5, �) = (5, 2);b) (�, 6) = (8, 6);v) (�, 3) = (7, �)?
2.
Dadeno e mno`estvoto Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}.
4.
Odredi go mno`estvoto Y.
Odredi go mno`estvoto R.
Odredi go Dekartoviot kvadrat na
mno`estvoto Y.
A e mno`estvo imiwa:A = {Jovan, Biljana, Dragan}.V e mno`estvo glagoli:V = {pee, spie, u~i}.Odredi go Dekartoviot proizvod A h V.
3.Podredenite parovi }e mibidat prosti re~enici. Naprimer: Jovan pee.
Proveri se!
-
Potseti se!
17
B
NIZA OD PRIRODNITE BROEVI6
Kolku klupi ima vo tvojata u~il -nica?
Odredi go brojot na mom~iwata vo tvojata paralelka.
Pro~itaj gi broevite:23, 1005, 207, 987 000.
So koi cifri e zapi{an brojot 813 265?
Kolku cifri se koristat za zapi-{uvawe na broevite? Koi se tie? Za sekoj od tie broevi velime deka e priro-
den broj.
So cifri zapi{i gi broevite:
sto pedeset i {est;
devetstotini i eden;
eden milion.
1
Broevite: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... se vikaatprirodni broevi, a taka naredeni eden po drug ja obrazuvaat nizata na prirodnitebroevi.
Mno`estvoto prirodni broevi se ozna~uva so N; N = {1, 2, 3, 4, ...}.Brojot 0 ne go smetame za priroden broj. Zatoa 0 ∉ N.Mno`estvoto od site prirodni broevi i brojot 0 se ozna~uva so N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Na crte`ot voo~uva{ ulica i dva reda ku}iozna~eni so broevi.
So koi broevi se ozna~eni ku}ite od ednatastrana na ulicata?
So koi broevi se ozna~eni ku}ite od drugata strana na ulicata?
2
Broevite: 1, 3, 5, 7, ... se neparni broevi, a 2, 4, 6,8, 10 ... se parni broevi.
Koi od broevite: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 se parni, a koi se neparni?3
A
Prirodni broevi!
1 2 3 4 5 ...
V Kako }e opredeli{ brojna prava? Raboti spored barawata i sledi go crte`ot.
Nacrtaj prava a.Na pravata a ozna~i dve to~ki O i A.Na to~kata O pridru`i £ go bro jot 0, a na to~kata Abrojot 1.
4
0 1
O A
20 1
SO A
a
a
a
-
18
Brojot 5 e prethodnik, a brojot 7 e sledbenik na brojot 6.
Koj e prethodnik, a koj e sledbenik na brojot 100?
Kako se dobiva prethodnikot, a kako sledbenikot na eden broj?
6
Zapi{i eden mnogu golem priroden broj.
Dodaj go brojot 1 na brojot {to si go zapi{al.
Dali ima pogolem broj od brojot {to go dobi?
Mno`estvoto na parni broevi. Mno`estvoto na neparni broevi.
Brojot na `itelite vo R. Makedonija. Brojot na zrnca pesok na edna pla`a.
7
Koe od slednite mno`estva e beskone~no?8
Sekoj broj od nizata na prirodnite broevi, osven 1, se dobiva koga na negoviotprethodnik }e mu se dodade brojot 1.
2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...
Na koj bilo brojmo`am da mudodadam 1 i }edobijam pogolembroj.
Otse~kata OA ja zemame za edini~na otse~ka, t.e. OA = 1.
Na polupravata OA, od to~kata A, prenesi ja edini~nata otse~ka OA. Kraj-nata to~ka ozna~i ja so S i pridru`i ñ go brojot 2.
Kako }e odredi{ to~ka {to odgovara na brojot 3?
Voo~i drug primer za beskone~no mno`estvo.
Mno`estvoto od prirodni broevi ~ija cifra na edinici e 1, t.e. {1, 11, 21, 31, ...}.�
Na ovoj na~in e opredelena prava na koja mo`e da se pretstavuvaat prirodnite broevi.Taa prava se vika brojna prava.
Voo~i i zapomni!
Sekoj priroden broj ima sledbenik.
Prirodnite broevi se podredeni po golemina: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...
Ne postoi najgolem priroden broj.
Ima beskone~no mnogu prirodni broevi.
Mno`estvoto N od prirodnite broevi e beskone~no mno`estvo.
0 1 2 3 4 6
Razgledaj go crte`ot:5Koj broj e za 1 pomal od brojot 6?
Koj broj e za 1 pogolem od brojot 6?
-
19
Dadeni se cifrite: 7, 4 i 0.
Navedi primer za beskone~no mno`estvo.
Formiraj gi site tricifreni prirodni broevi so koristewe na dadenite cifri.
Podredi gi broevite {to gi formira po~nuvaj}i od najgolemiot broj.
Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najgolemiot broj {to go formira.
Zada~i
Na crte`ot ima kniga so skinatistranici.
1. Koi broevi na brojnata prava treba dase zapi{at na praznite mesta?
2.
Nacrtaj brojna prava i na nea pretstavigi parnite broevi od 0 do 20.
3.
Mno`estvoto S = {x | x e neparen priro-den broj}, zapi{i go na tabelaren na~in.
4.
Zapi{i go so zborovi brojot ozna~enso strelkata.
Koj element e najmal vo mno`estvoto Y?
Dali mno`estvoto Y ima najgolem ele-ment?
Kolku elementi ima mno`estvoto Y?
Zapi{i gi brevite na straniciteod knigata {to se skinati.
So koi cifri se zapi{ani broe-vite na tie stranici?
Zapi{i go mno`estvoto A od par-nite broevi na stranicite {tonedostasuvaat vo knigata.
0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Treba da znae{!
Da razlikuva{ {to e cifra, a {to broj;
da odredi{ sledbenik i prethodnik nadaden priroden broj;
da pretstavuva{ prirodni broevi na brojnaprava;
da navede{ primeri za beskone~no mno`estvo.
Zapi{i gi podredeni prirodnite broevi na tretata desetka vo pettatastotka.
9
JAS SUMPRETHODNIK!
JAS SUMSLEDBENIK!
Proveri se!
-
Potseti se!
20 DEKADEN BROEN SISTEM
Kolku desetki ima brojot 100?
Kolku iljadi ima brojot 3 865?
Kolku edinici ima brojot 128 563?
Zapi{i go so cifri brojot pret-staven na pozicionata smetalka.
Zapi{i go mno`estvoto S od sitecifri so koi se zapi{uvaat pri-rodnite broevi.
7
1
SI DI EI S D E
00 11 22 33 44 5566 77 88 99
Odredi go δS.
Site pri rodni broevi gi zapi {u vame sodesette cifri: 0, 1, ..., 9.Broe vite gi zapi{uvame vo dekadenbroen sistem.
Ima desetcifri.
Na koja pozicija e zapi{anacifrata 2?
Pozicionata vrednost nacifrata 4 vo brojot 7 143 528 e~etirieset iljadi. Koja e pozi-cionata vrednost na cifrata 3,a koja na cifrata 8?
Vo klasata milioni na pozicijata edinicimilioni e zapi{ana cifrata 7. Koja enejzinata poziciona vrednost?
Vo zapisot na broevite, sekoja cifra poka`uva broj na edinici ili broj na desetkiili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata (mestoto) na koe e zapi{ana.
Se potsetiv! 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.
Razgledaj ja tabelata vo koja e za pi{an brojot 7 143 528. Sekoja ci fra na brojot ezapi{ana na odre dena pozicija (mesto). Sekoja grupa od tri cifri, odej}i oddesnonalevo, e zapi{ana vo odredena klasa.
2
A
KLASAMILIONI
KLASAILJADI
KLASAEDINICI
SM DM EM SI DI EI S D E
7 1 4 3 5 2 8
-
Cifra KlasaPozicija na
koja e zapi{anacifrata
Pozicionavrednost na
cifrata
3 Iljadi DI 30 000
4 Iljadi EI 4 000
5 Edinici S 500
0 Edinici D 0
9 Edinici E 9
21
Broevite 1, 10, 100, 1 000 itn. se vikaat dekadni edinici.
Sostavi tabela za brojot 2 628 i vo nea zapi{i gi podatocite za sekoja cifra.
Zapi{i gi site dekadni edinici do 10 000 000.
Kako se vika brojot zapi{an pod a), a kako se vika brojot pod b)?
Koja e pozicionata vrednost na cifrite: 5; 8; 2 vo brojot 50 800 200 000?
Razgledaj ja tabelata so podatoci za brojot 34 509.3
Voo~i! Za kolku pati se zgolemuva vrednosta na cifrata 3 po~nuvaj}i od pozicijatana edinicite?
4
34 509
20Jas vredampove}e
Nie smeisti
EI S D E
3 3 3 3⋅10⋅100
⋅1 000
2
Zapi{i go brojot koj{to ja sodr`i cifrata 1, a po nea se dopi{ani:
a) 3 nuli; b) 6 nuli; v) 9 nuli; g) 12 nuli; d) 18 nuli.5
Zapi{i go so cifri brojot †Pedeset milijardi osumstotini milioni i dveste iljadi”.6
B
Brojot, zapi{an:
1 000 000 000, se vika milijarda;
1 000 000 000 000, se vika bilion;
1 000 000 000 000 000 000, se vika trilion.
Zapomni!
���
Znam za a) i b).Kako li se vikaatdrugite broevi?!
-
22
Razgledaj go crte`ot!
Pro~itaj go brojot pretstaven na pozicionatasmetalka i zapi{i go so cifri.
Koja cifra ja zapi{a na pozicijata desetkiiljadi i koja e nejzinata poziciona vrednost? EM SI DI EI S D E
Proveri se!
Zada~i
Daden e brojot 5 203 478. Za sekojaod cifrite 5; 2; 7; 0 odredi:
a) vo koja klasa se nao|a;
b) koja e nejzinata pozicija;
v) koja e nejzinata poziciona vrednost.
1.
Koj broj }e dobie{ ako na edentrilion ja izbri{e{ sekoja vtoranula?
4.
Kako se ~ita brojot 5, a kakocifrata 5?
5.
Kako se vika brojot {to ima milionmilioni?
6.
Sostavi tabela od klasi i poziciivo koja }e gi zapi{e{ cifrite nabrojot 7 405 906.
2.
Zapi{i go so cifri brojot †osumbilioni trista i dve milijardi{eeset milioni ~etiristotiniiljadi i petstotini”.
3.
Treba da znae{!
Da odredi{ klasi na pove}ecifren broj;
da ja odredi{ pozicionata vrednost na sekoja cifra vo daden broj;
deka cifrite se znaci za zapi{uvawe na broevite.
Problem
Sedumcifren broj po~nuva so cifrata 7. Kako i da girazmesti{ cifrite na toj broj, brojot ne se menuva.Koj e toj broj?
-
23
Potseti se!
^̂ITAWE I ZAOKRU@UVAWE NA PRIRODNI BROEVI
Zapi{i go so zborovi brojot: 16;23; 45; 125; 50; 200.
Zapi{i go so zborovi brojot
a) 157; b) 216; v) 350.
Vo koi od zapi{anite broevi goupotrebi svrznikot “i”?
81A
Na eden ko{arkarski natprevar reporterot ka`al deka natprevarot go sle-dat okolu 2 000 gleda~i.
3
Zapi{i gi so zborovi broevite:
200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.
2
Broevite 32, 35 i 37 sepretstaveni na brojnaprava.
4
B
Sporedi go tvoeto zapi{uvawe so dade-noto.a) Sto pedeset i sedum.b) Dveste i {esnaeset.v) Trista i pedeset.
Dali reporterot go ka`al to~niotbroj na gleda~i?
Koi se sosedni desetki za pretstavenite broevite?
Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite desetki.
Do koja sosedna desetka e poblisku sekoj od broevite?
Voo~i go ~itaweto na broevi i upotrebata na svrznikot †i”.
Svrznikot †i” ne se koristi ako brojot eod eden zbor (imeto na klasata ne sesmeta).
15 - petnaeset;
700 - sedumstotini;
50 000 - pedeset iljadi.
Vo sekoja klasa: edinici, iljadi, mil-ioni, ... svrznikot †i” se koristi me|uposlednite dva zbora, t.e. dva broja(imeto na klasata ne se smeta).
302 413 - trista i dve iljadi ~etiris-totini i trinaeset.
5 020 340 - pet milioni dvaeset iljadi trista i ~etirieset
Svrznikot †i” se koristi i me|u klasi,ako poslednite dva zbora (broja)pripa|aat na razli~ni klasi.
300 200 - trista iljadi i dveste.
8 302 100 - osum milioni trista i dve iljadi i sto.
�
�
��
��
���
Reporterot ka`al pri -bli`en broj na gleda~i.
30 32 35 37 40
-
24 Sogledaj gi odgovorite
Za dadenite broevi brojot 30 e pomalata sosedna desetka, a 40 e pogolemata sose dnadesetka.
32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. Brojot 32 e poblisku do 30.
37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. Brojot 37 e poblisku do 40.
35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40.
Brojot 32 e pribli`no ednakov na brojot 30. Zapi{uvame 32 ≈ 30.
Velime deka
Brojot 37 e pribli`no ednakov na brojot 40. Zapi{uvame 37 ≈ 40.
Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40. Po dogovor zapi{uvame 35 ≈ 40.
Ova zapi{uvawe se vika zaokru`uvawe na broj na desetki.
Zaokru`i gi na desetki broevite: 148, 243, 2 671, 3 585 i 74 598.5
Broevite: 3 435 i 3 468 se pretstaveni na brojna prava.6
Zaokru`i gi na stotki broevite: 1 372, 2 145, 1 653 i 4 898.7
Zaokru`i gi na iljadi broevite: a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.
8
���3 400 3 435 3 4683 500
Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite stotki.
Koga pri zaokru`uvaweto na eden broj na stotki cifrata na pozicijata stotki ostanu-va ista, a koga se zgolemuva za 1?
Do koja sosedna stotka e poblisku sekoj od broevite?
Zaokru`i go sekoj od broevite na stotki.
Sogleda deka 3 435 e poblisku do 3 400, a 3 468 do 3 500.
Broevite zaokru`eni na stotki se: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500.
Cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista ako cifrata na pozicijatadesetki e broj pomal od 5, a se zgolemuva za 1 ako cifrata na pozicijatadesetki e 5 ili broj pogolem od 5.
-
25Sogledaj go re{enieto a)
21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000.
Sogleda deka pri zaokru`uvawe na nekoj broj do odredena pozicija (desetki, stotki,iljadi, ...) postapuva{ na sledniot na~in:
Cifrata na taa pozicija ostanuva ista ako po nea e nekoja od cifrite: 0, 1, 2, 3 ili4, a taa se zgolemuva za 1 ako po nea e nekoja od cifrite 5, 6, 7, 8 ili 9.
Zaokru`i go brojot 35 738 na:a) desetki; b) stotki; v) iljadi; g) desetki iljadi.
9
��
Site cifri desno od taa pozicija se zamenuvaat so nuli.�
Treba da znae{!
Pravilno da ~ita{ prirodni broevi,pomali ili pogolemi od milion;
da zaokru`uva{ prirodni broevi na:desetki, stotki i iljadi.
Pro~itaj go brojot: 5 200; 45 678 350.
Zaokru`i go na desetki; stotki; iljadi,brojot: a) 34 752; b) 224 750.
Proveri se!
Zada~i
Zapi{i go so bukvi brojot: 2 345; 250;6 400 310.
1.
Zapi{i go so cifri brojot: †Tristamilioni dveste i pet iljadi i osum-stotini”.
2.
Koj od znacite treba dastoi vo kruk~eto za da bide to~no?
3.
Dali brojot 24 632 e poblizu
a) do 24 700 ili do 24 600;
b) do 24 000 ili do 25 000?
4.
Zaokru`i go brojot 25 375 na: desetki; stotki; iljadi.
5.
Zaokru`i go brojot 15 409 632 nailjadi.
6.
7.
12 245 12 250; 12 245 12 240;
12 245 12 200; 12 245 12 300.
Dali postoi najgolem priroden broj?
Koj e najmaliot priroden broj?
Zapi{i ja cenata na avtomobilot so zborovi.
1 216 358 den.
Obidi se da re{i{!
Ne bi imalo smisla da go ka`e{ kakoza okru`en broj, brojot na tvojot telefon.
Obidi se da najde{ dva primera kade nebi imalo smisla da gi zaokru`i{ broe-vite.
-
26
Partizan(gimnastika)
Spartak(karate)
Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)
Dru{tvo (aktivnost)
R A B O T AS O P O D A T O C I
Angela i @aki sprovele istra`uvawe za vonnastavnite aktivnosti na u~eniciteod svojata paralelka. Tie gi pra{ale u~enicite vo koe dru{tvo ~lenuva sekoj odniv. Podatocite prvo gi zapi{ale so crti~ki, a potoa gi sredile i formiraletabela.
1
Ilija sprovel istra`uvawe za bojata na velosipedite {to naj~esto se sre}ava vonegovoto selo. Pribiral podatoci taka {to gi nabquduval decata so velosipedivo u~ili{niot dvor i popolnuval lista so crti~ki.
2
Marija pribirala podatoci za omilenoto godi{no vreme na nejzinite sou~enici. Voo~i ja listata: P - prolet; L - leto; E - esen; Z - zima.
3
Broj
Partizan(gimnastika)
Spartak(karate)
Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)
Dru{tvo (aktivnost) Broj
9
13
15
3
Tabela so crti~ki Tabela na frekvencii
Vo tabelata se dadeni broj napodatoci. Taa se vika tabelana frekvencii.
Kolku vkupno u~enici odgovo-rile na postavenoto pra{awe?
Formiraj nova tabela na frek -vencii taka {to podatocite }egi podredi{ spored golemina-ta na brojot (po~nuvaj}i od naj-golemiot broj).
Formiraj tabela na frekfencii.
Podredi gi podatocite po~nuvaj}i od najmaliot.
Kolku vkupno velosipedi zabele`al Ilija?
Koja boja na velosipedi e najzastapena?@olta
Crna
Crvena
Sina
Zelena
Boja Broj
Nabquduvaweto na Ilija e eden od na~inite na koj mo`e da sepriberat podatoci. Podatoci mo`at da se priberat na razli~nina~ini: pra{uvawe po telefon, ispra}awe pra{alnik popo{ta, koristewe knigi, spisanija i dr.
Pretstavi gi podatocite vo tabela na frekvencii i podredi gi po~nuvaj}i odnajomilenoto godi{no vreme.
P P L Z Z E P L E Z Z P L E Z Z P P LL L E Z P E E Z Z P P P L E P P Z L E
INSTRUMENTI ZA PRIBIRAWE PODATOCI9Pribiraweto na podatoci se vr{i na pove}e na~ini: so anketirawe, nabquduvawe,merewe, broewe, od literatura i dr.
Instrumenti (sredstva) za pribirawe podatoci se: pra{alnik, anketen list, objavenipregledi i drugi statisti~ki podatoci.
-
Potseti se!
27
B
A
Promena na mestata na sobiro-cite ili komutativno svojst-vo na sobiraweto.
a + b = b + a
Ako se promeni mestoto na sobirocite zbirot ostanu-va nepromenet.
52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86
sobiroci zbir sobiroci zbir
Grupirawe na sobirocite iliasocijativno svojstvo nasobiraweto.
a + (b + c) = (a + b) + cZatoa, zagradite mo`e da seizostavat: a + b + c.
Nulata pri sobiraweto.a + 0 = 0 + a = a
Presmetaj:
14+ 35
353+ 168
47+ 803
68 + 37 + 3 + 916 =
98 796+ 14 534
Mare i Mile `iveat voKo~ani. Na odmor oti{levo Struga, no eden den sezadr`ale kaj baba im voBitola.
1
Odredi go zbirot na broevite 52 i 34.2
Struga
90 km
190 km
Bitola
Ko~ani
Kolku kilometri pominale Mare i Mile od doma do baba im?
Kolku kilometri pominale od Ko~ani do Struga?
Potseti se i voo~i gi svojstvata na sobiraweto vo mno`estvoto N0.
Trite sobiroci mo`at da se grupiraat na dva na~ina.Zbirot ostanuva nepromenet.
(71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) =
185 + 16 = 201 71 + 130 = 201
Koga eden od sobirocite e nula, toga{ zbirot e edna-kov na drugiot sobirok.
583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583
SOBIRAWE10
Presmetaj:
17 + 36 + 13 + 44 =
3
12 + 81 + 9 + 38 + 27 =
161 + 234 + 439 =
Primer
Koga se koristat svojstvata, sobirawetoe polesno!
27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89
-
Vo tabelata se dadenipodatocite za brojotna u~enici vo VI odde-lenie vo edno u~ili{te.
Odredi go vkupniot broj na u~enici vo VI oddelenie vou~ili{teto.
Odredi go brojot na u~enicite vo VIa i VIb, a potoa spo redigi.
28
Paralelka Mom~iwa Devoj~iwa
VIa 17 14VIb 14 17VIv 9 22
Zada~i
Presmetaj:1.
Vo eden vesnik pi{uva:„Na otvoraweto na festivalotprisustvuvale 1 300 posetiteli.Naredniot den pretstavata jagledale 726 posetiteli”.
2.
171
Grupiraj gi sobirocite i odredi gozbirot:
3.
64 + 33 + 36 + 48 + 57 =
Napravi procenka na zbirot od bro -evite 7 328 i 6 435, zaokru`u vaj}i gina: iljadi; stotki; desetki.Za kolku se razlikuvaat pribli` ni -te rezultati od to~niot zbir nabroevite?
4.
Kolku posetiteli go posetilefestivalot vo dvata dena?
+ 16
27+ 72
39+ 93 + 39
44 + 27 + 51 + 33 + 19 =
1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =
V
Grupiraj gi sobirocite na drug na~in i odredi go zbirot.4
45 + (45 + 56) =
Odredi go zbirot na broevite 74, 33, 26, 48 i 57.
Odredi go zbirot na broevite 140, 310, 750, 360 i 290.
Na zbirot od broevite 124 i 139 dodaj go zbirot na broevite 261, 55 i 276.
Odredi go prethodnikot na sekoj od broevite 372, 126 i 319 i presmetaj gozbirot od prethodnicite.
( 1 207 + 101) + 269 =
5
Napravi procenka na zbirot od broevite so zaokru`uvawe na stotki:a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.
Za kolku se razlikuva pribli`niot rezultat od to~niot zbir na broevite?
6
Problem!
Brojot 2 e zapi{an sedum pati.
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
Koj e najmaliot zbir {to mo`e da sedobie od sedum dvojki i dva znaka plus?
Da odredi{ zbirna dva ili pove}ebroevi;da gi primeni{svojstvata na sobi -ra weto vo ednos-tavni primeri;da go proceni{rezultatot odsobira weto.
Treba da znae{!Proveri se!
-
Potseti se!
29
Presmetaj:
Koj broj treba da stoivo kvadrat~eto za dabide to~no?
475- 232
1 852- 800
2 685- 518
9 840- 189
47 - = 19
28 + = 47
+ 19 = 47
ODZEMAWE11
A Letnite olimpiski igri vo 2000 godina bea voSidnej - Avstralija.Olimpiskiot komitet pobaral da bidat rezervi-rani 4 830 vleznici za sve ~e noto otvorawe, noslobodni bile 3 892 sedi{ta.
Kolku lu|e ostanale bez vleznica?
1
4 830 - 3 892 =
Namalenik Namalitel Razlika
B
Olimpijada 1992
Ekipa Poeni
Italija 15 760
Amerika 15 649
Polska 16 018
Kolku poeni pove}e osvoila polskata ekipa oditalijanskata ekipa?
Koja e razlikata me|u najgolemiot i najmaliot broj poeni?
Za da mo`eme da ja presmetame razlikata a - b na broevite a i b vo mno`estvoto N0treba da bide a > b ili a = b.
Koristi gi podatocite vo tabelata za da odgovori{ na pra{awata.2
Kolku vkupno leb proizveduva furnata zaedna sedmica?
Spored podatocite vo tabelata presmetaj kolku vkupno neprodaden leb ostanalo.
Vo edna furna se pe~at po 5 000 leba sekoj den.Vo tabelata se dadeni podatocite za prodade-niot leb vo edna sedmica.
3 Den Br. leboviPonedelnik 1 260
Vtornik 4 205
Sreda 4 728
^etvrtok 3 916
Petok 4 010
Sabota 4 857
Nedela 1 376
-
30
Vozot trgnal od Bitola za Skopje so489 patnici. Vo Prilep od vozot sleg -le 120 patnici, a se ka~ile 70 patni-ci. Vo Veles slegle 42 patnici, a seka~ile 98. So kolku patnici vozot stignal voSkopje?
Zada~i
Kon brojot 836 dodaj ja razlikatana broevite 299 i 173.
Razlikata na najgolemiot ~etiri-cifren broj i najmaliot trici frenbroj zgolemi ja za 1 216.
1.
2. Asan imal 1 350 denari. Za da kupipatiki mu trebale 3 120 denari. Asangi zaokru`il parite na stotki.
Pomogni mu na Asan za da odrediu{te kolku stotki mu nedostasuvaat.
Presmetaj to~no kolku pari mu nedo -stasuvaat na Asan.
4.
Vesna ima 2 725 denari. Maja ima 120denari pove}e od Vesna. Ana ima 385denari pomalku od Vesna i Majazaedno.
Kolku denari ima Maja?
Kolku denari ima Ana?
3.
(26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ;
(439 - 195) + (270 - 36) = .
Presmetaj:
Proceni ja razlikata na broevite 2 376 i 1 289 zaokru`uvaj}i gi na stotki.
Proceni ja razlikata na broevite 457 i 165 zaokru`uvaj}i gi na desetki;stotki. Sporedi gi procenkite so to~nata vrednost na razlikata.
4
Da odredi{ razlika na dva broja;
da presmeta{ vrednost na broenizraz so operaciite sobirawe iodzemawe so ili bez zagradi;
da ja proceni{ razlikata priodzemaweto.
Treba da znae{!Proveri se!
Obidi se!
Ako zamisli{ koi bilo tri prirodni broja, dalisekoga{ me|u niv }e ima dva ~ij{to zbir e paren broj?
-
31ZAVISNOST NA ZBIROT I RAZLIKATA OD PROMENATA NA KOMPONENTITE
12
Potseti se!
Dadeni se zbirot 320 + 150 = 470i razlikata 250 - 120 = 130.
Koj broj treba da stoi vo kvadrat -~eto za da bide to~no.(320 + 30) + 150 = 470 + ;(320 - 30) + 150 = 470 - ;(320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?
A Utroto na †Denot na drvoto# sedoneseni 2 600 zimzeleni sadni-ci i 3 100 listopadni sadnici.
a) Kolku sadnici od dvata vidase doneseni toa utro?
b) Napladne se doneseni u{te400 zimzeleni sadnici. Za kolku}e se zgolemi brojot na sadnicitedoneseni toa utro?
1
Poznato e deka a + b = 200. Neka edniot od sobirocite se zgolemi za 300. Presmetaj go zbirot a + (b + 300).
2
Kako }e se promeni zbirot 340 + 620 = 960
a) ako edniot sobirok se namali za 60;
b) ako edniot sobirok se namali za 60, a drugiot se zgolemi za 60?
3
Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.a) 2 600 + 3 100 = 5 700; utroto se doneseni 5 700 sadnici.b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Brojot na sadnicitedoneseni utroto se zgolemil za 400.
a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 == 900 = 960 - 60;
b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; zbirot ne se promeni.
a) Zbirot se namali za tolku za kolku{to se namali edniot od sobirocite.
Sogleda deka
Voo~i op{to za zbirot a + b = c
Ako edniot sobirok se zgolemi za odreden broj, a drugiotostane ist, toga{ i zbirot }e se zgolemi za istiot toj broj. (a + m) + b = c + m
Ako edniot sobirok se namali za odreden broj, a drugiotostane ist, toga{ i zbirot }e se namali za istiot toj broj. (a - m) + b = c - m
Zbirot nema da se promeni ako edniot sobirok se namaliza odreden broj, a drugiot se zgolemi za istiot toj broj. (a - m) + (b + m) = c
�
�
�
-
32 B Dadena e razlikata 750 - 430 = 320. Presmetaj i sogledaj kako semenuva razlikata ako namalenikot
a) se zgolemi za 50; b) se namali za 50.
4
Dadena e razlikata 2 480 - 560 = 1 920. Kako }e se promeni razlikata, ako namali -telot: a) go namali{ za 30; b) go zgolemi{ za 30?
5
Presmetaj ja razlikata 6 354 - 2 314. Kako }e se promeni razlikata ako i namale -nikot i namalitelot
a) se zgolemat za 120; b) se namalat za 120?
6
Kako }e se promeni razlikata, ako namalenikot se zgolemi za 10, a namalitelot senamali za 10?
7
Sekako sogleda:a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 == 370 = 320 + 50.
Razlikata: a) }e se zgolemi za 30; b) }e se namali za 30.
b) Razlikata }e se namali za 50.
a) Razlikata se zgolemi za 50, t.e.isto kolku {to be{e zgolemennamalenikot.
Voo~i deka razlikata ostanuva ista.
Voo~i op{to za razlikata a - b = d
Ako namalenikot se zgolemi (odnosno se namali) zaodreden broj, a namalitelot ostane ist, toga{ i razlikata}e se zgolemi (odnosno }e se namali) za istiot toj broj.
(a + m) - b = d + m(a - m) - b = d - m
Ako namalitelot se zgolemi za odreden broj, a namale -nikot ostane ist, toga{ razlikata }e se namali za toj broj.Ako namalitelot se namali za odreden broj, a namale nikotostane ist, toga{ razlikata }e se zgolemi za istiot toj broj.
a - (b + m) = d - ma - (b - m) = d + m
Razlikata nema da se promeni ako namalenikot i nama -litelot se zgolemat ili se namalat za eden ist broj.
(a + m) - (b + m) = d(a - m) - (b - m) = d
�
�
�
Kako se menuva zbirot na dva broja,ako edniot sobirok:
Treba da znae{!
se zgolemi za daden broj;
se namali za daden broj;
se zgolemi za daden broj, a drugiotsobirok se namali za toj broj?
Kako se menuva razlikata na dva broja:
ako namalenikot se zgolemi odnosnose namali za daden broj;
ako namalitelot se namali, odnosnose zgolemi za daden broj;
ako i namalenikot i namalitelot sezgolemat, odnosno se namalat, zaistiot toj broj.
-
33
Zbirot na dva broja iznesuva 3 540. Kolku }e iznesuva zbirot ako edniot od sobiro -cite se namali za 140?
Razlikata na dva broja iznesuva 270. Kolku }e iznesuva razlikataa) ako namalenikot se namali za 27? b) ako namalitelot se zgolemi za 27?
Presmetaj 460 - 120.Odredi go x vo ravenkata: (460 + x) - (120 + 58) = 340.
Proveri se!
Zada~i
Kako }e se promeni zbirot ako edenod sobirocite se zgolemi za 234?
1.
Ako namalitelot se zgolemi za 25,{to treba da se napravi so nama -lenikot za da ne se promeni raz-likata?
4.
Ako a - b = 100, presmetaj:a) (a - 20) - (b - 20);b) (a + 30) - (b + 30);v) (a - 10) - (b + 10);g) (a + 5) - (b - 5);
5.
Edno utro Milica dobila izvesnasuma pari od tatko £ i izvesna sumapari od majka £. Od parite od majka£ taa potro{ila 100 denari.Ve~erta, tatko £ i dal u{te 200denari i taa utvrdila deka ima 700denari. Kolku denari vkupno utroto£ dale tatko £ i majka £?
6.
Ako 1 230 + 670 = 1 900, toga{ kolkue (1 230 - 350) + 670?
2.
Dadena e razlikata6 543 - 2 732 = 3 811.
Za koja vrednost na x e to~no raven-stvoto
6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.
3.
Problem
Razmisli i obidi se da presmeta{ usno. Kolkava erazlikata me|u zbirot na prvite sto parni i zbirot naprvite sto neparni broevi?
-
Potseti se!
34
Komutativno svojstvo namno`eweto.
a ⋅⋅ b = b ⋅ a
Ako se promenat mestata na mno`itelite proizvodotostanuva nepromenet.
4 ⋅ 6 = 24 ili 6 ⋅ 4 = 24
mno`iteli proizvod mno`iteli proizvod
Asocijativno svojstvo namno`eweto.
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)Zatoa, zagradite mo`e da seizostavat: a⋅ b⋅ c.
Mno`ewe so brojot 1
a ⋅ 1 = a
Trite mno`iteli mo`at da se grupiraat na dvana~ina. Proizvodot ostanuva nepromenet.
(2 ⋅ 5) ⋅ 3 ili 2 ⋅ (5 ⋅ 3)
10 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15
30 = 30
Ako edniot od mno`itelite e eden, toga{ proizvodote ednakov na drugiot mno`itel.
468 ⋅ 1 = 468
Mno`ewe so brojot 0
0 ⋅ a = 0
Ako eden od mno`itelite e nula, toga{ proizvodot eednakov na nula.
0 ⋅ 235 = 0
A Eden avtomobil tro -{i 7 litri benzin zaizminati 100 kilo-metri pat.
Presmetaj:
35 ⋅ 5 = 480 ⋅ 3 =
1 260 ⋅ 38 = 4 004 ⋅ 20 =
145 ⋅ 23 = (3 ⋅ 5) ⋅ 200 = Kolku litri benzin }e potro{i avto-mobilot za 400 kilometri pat?
1
Dragan patuval 5 dena so svojot velosiped i sekoj denpominuval po 9 kilometri.Zoran patuval 6 dena so svojot velosiped i sekoj denpominuval po 8 kilometri.
2
Kolku kilometri pove}e pominal Zoran od Dragan?
Potseti se i voo~i gi svojstvata na mno`eweto vo mno`estvoto N0.
MNO@EWE13
�
�
-
35
Primer
Koga se koristat svojstvata, mno`ewetoe polesno!
Presmetaj:
2 ⋅ (50 ⋅ 9) =
3
Presmetaj:4
(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700
(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =
50 ⋅ (4 ⋅ 8) =
40 + (130 ⋅ 10) =
(280 + 32) ⋅ 8 =
96 − 2 ⋅ (30 − 18) =
Presmetaj:5
40 ⋅ (25 + 5) = i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =
Kakvi se vrednostite na brojnite izrazi?
Proveri dali e to~no?
(68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5
Kako se formiraat izrazite {to gisporeduva{?
To~kite odatpred crti~kite
No, prvo vozagradite!
Voo~i deka: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c);a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.
Proceni go proizvodot 324 ⋅ 48, zaokru`uvaj}i gi mno`itelite na desetki. Za kolku se razlikuva dobienata pribli`na vrednost od to~nata?
6
320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; procenkata e za 448 pove}e od to~nata vrednost.
So ovie ravenstva e iska`ano:
distributivnoto svojstvo na mno`eweto vo odnos na sobiraweto.
distributivnoto svojstvo na mno`eweto vo odnos na odzemaweto.��
BKolku kilometri pominal Jovan?
Jovan pe{a~el 4 sedmici, po 4 dena sedmi~no, po 4 kilometri na den.7
Sogledaj!
Proizvodot 4 ⋅ 4 ⋅ 4 kratko se zapi{uva 43, a se ~ita: ~etiri na treti. Zapisot 43 se vika stepen so osnova 4 i stepenov pokazatel 3.
-
36
Mno`ewe Kratok zapis Vrednost
4 ⋅ 4 ⋅ 4 43 643 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
6 ⋅ 6
8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8
[to poka`uva osnovata na stepenot?
[to poka`uva stepenoviot poka zatel?
Zapi{i go 108 vo vid na mno`ewe.
Odredi ja vrednosta na 14.
Po dogovor: 51 = 5; a1 = a.
43
�STEPEN
�OSNOVA�STEPENOVPOKAZATELDa zapomnam: Proizvodot na
ednakvi mno`iteli kratkozapi{an se vika stepen.
Kratko zapi{i go mno`eweto i proizvodot.
Da odredi{ proizvod na dva ilipove}e broevi;
da gi primenuva{ svojstvata namno`eweto;
da go proceni{ proizvodot odmno`eweto na dva boja;
da odredi{ vrednost na stepen.
Treba da znae{!
Ilija i Jovan kupile po 8 paketi, vo koiimalo po 8 bonbonieri so po 8 bonboni vosekoja bonboniera.
Kolku paketi kupile Ilija i Jovanzaedno?
Po kolku bonbonieri imal sekoj od niv?
Kolku bonboni imal Jovan?
Zapi{i go brojot na bonboni na Ilija vo vid na stepen.
Presmetaj:1.
Vo eden zbir, brojot 245 se javuvakako sobirok 48 pati. Presmetaj gotoj zbir.
2.
Radiusot na Zemjata iznesuva 6 370kilometri. Rastojanieto od Zemjatado Mese~inata e pogolemo okolu 60pati od radiusot. Odredi go rastojanieto od Zemjatado Mese~inata.
3.
Proceni go proizvodot 127 ⋅ 268zaokru`uvaj}i na:a) stotki; b) desetki.Odredi ja razlikata na to~niot iprocenetiot proizvod.
4.
186 ⋅ 35 =
(427 ⋅ 5) ⋅ 24 =
(1 376 - 376) ⋅ 100 =
50 ⋅ (60 + 80) =
496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 =
73 =
42 + 4 + 34 - 25 =
Proveri se!
Zada~i
Koi cifri treba dagi zapi{e{ na mesta-ta od ∗, za mno`e we -to da bide to~no pre -smetano?
439 ⋅ ∗7
3∗73
+ ∗756
2∗633
5.
-
Potseti se!
A
37
14 : 7 =
20 : 10 =
22 : 2 =
88 : 22 =
396 : 3 =
1 200 : 60 =
Presmetaj: U~enicite sobrale 1 300 de-nari za da kupat topki. Sekojatopka bila po 325 denari.
1
Vkupno 84 u~enici se prijavile za u~ili{niotturnir vo odbojka. Za treneri na ekipite seprijavile 6 nastavnici.
2
Kolku topki kupile?
Ako sekoja ekipa e sostavena od 12 u~enici, dali brojot na nastavnici za trenerie dovolen?
1 300 : 325 =
delenik delitel koli~nik
Delewe so brojot 1a : 1 = a
Ako delitel e brojot 1, toga{ koli~nikot e ednakov nadelenikot.
23 765 : 1 = 23 765
Delewe na broj sam so sebe.a : a = 1, a ≠ 0
Delewe na brojot 0.0 : a = 0, a ≠ 0
Ako delenikot e ednakov na delitelot, toga{ koli~nikote 1.
762 : 762 = 1
Ako delenik e brojot 0, toga{ koli~nikot e ednakov nabrojot 0.
0 : 16 = 0
2 : 0 nema smisla!Brojot 0 ne mo`e da bide delitel.
Izvr{i proverka na dobienite rezultati.
DELEWE14
Presmetaj:
(28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 =
(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 =
108 : 18 + 3 485 : 85 =
3
Odredi go delenikot, ako delitelot e72, a koli~nikot e 102.
So koj broj treba da se podeli brojot 18 712 za da se dobie brojot 1?
76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =
anSekoga{ sumprv jas
To~kite odatpred crti~kite
Potseti se i voo~i gi svojstvata na deleweto vo mno`estvoto N0.
-
B
18
54
: 3 : 6
108
Treba da znae{!
Da odredi{ koli~nik na dvabroja;
da go pretstavi{ delenikotso pomo{ na koli~nikot,delitelot i ostatokot.
Presmetaj go koli~nikot:
1 584 : 9 = 17 472 : 84 =
Presmetaj 1 510 : 125 =Delenikot pretstavi go so pomo{ na koli~ nikot,delitelot i ostatokot.
38
Po kolku marki dobil sekoj? Kolku marki ostanale nepodeleni?
Ako a = 77 i b = 5, odredi go koli~nikot a : b i ostatokot r.Zapi{i go brojot a vo forma a = b ⋅ q + r.
16 : 3; 50 : 15; 125 : 11.
Voo~i deka 71 = 23 ⋅ 3 + 2.
Ivan, Bojana i Beti sobiraat po{tenski marki. Tie imale 71 markai sakale da si gi podelat podednakvo.
4
Odredi gi koli~nikot q i ostatokot r pri deleweto a : b i zapi{i go brojot a voforma a = b ⋅ q + r.
6
5
Vo deleweto 71 : 3 brojot 23 ekoli~nik, a brojot 2 e ostatok.
Ako vo deleweto a : b, brojot q ekoli~nik, a r e ostatok, toga{:
a = q ⋅ b + r
Razmisli i odgovori!
Pri deleweto vo koe delitelot e brojot 8, ostatokot mo`e da bide: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Zo{to ostatokot ne mo`e da bide brojot 8?
Zada~i
Podeli so prviot broj, a potoa dobi-eniot rezultat podeli go so vtoriotbroj.
1.42
84
: 7 : 2
98
Proveri se!
-
Edno jato lastovici pripreselbata preletalookolu 10 000 kilometri.Najgolemata brzina {to ja dostig-nalo jatoto bila 40 kilometri na~as.Kolku najmalku ~asovi letalojatoto?
39Koj broj treba da se zapi{e vo kva -drat ~eto za da bide to~no deleweto?2.
Zapi{i izraz i presmetaj ja negovatavrednost.
Odredi go zbirot na brojot 85 iproizvodot na broevite 4 i 15.
Na koli~nikot od broevite 210 i 30dodaj go brojot 700.
Koj broj e razlikata me|u proizvo -dot na broevite 120 i 6 i nivniotkoli ~ nik?
3.
Vo kvadrat~eto odredi broj za dabide to~no ravenstvoto:
a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + ;
b) 2 100 = 261 ⋅ + 12.
4.
Eden pol`av so najgolemata negovabrzina pominal 12 metri za 4 ~asa.Kolku centimetri pominal pol ̀ a -vot za 1 minuta?
5.
72 63 9
9 600 50
4 169 13
: 9 :
:
:
: 19
: 19
Se se}avam:: 5
⋅ 5
4 10
:
2= 10 : 2
Koi cifri treba da gi zapi{e{ namestata od ∗, za deleweto da bideto~no presmetano.
6.
Dvajca u~enici delele eden ist broj:prviot so 16, a vtoriot so 19. Prviotdobil koli~nik 22 i ostatok 9.Kolkav koli~nik dobil drugiotu~enik?
7.
Zbirot na dva broja e 660. Ako napogolemiot broj mu se izbri{e ednanula oddesno, toga{ tie se ednakvi.Koi se tie broevi?
8.
1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗
∗∗∗- ∗∗∗
0
-
40 ZZAVISNOST NA PROIZVODOT I KOLI^NIKOT ODPROMENATA NA KOMPONENTITE
15Potseti se!
Spored koe svojstvo e to~no raven-stvoto:a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10;b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)?
Dadeno e: 80 ⋅ 5 = 400. Zapi{i broj vokvadrat~eto za da bide to~no raven-stvoto.a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ;
v) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) = ; g) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 = .
DELENIK DELITEL KOLI^NIK
KOMPONENTI
96 : 24 = 4
Deleweto a : b ima smisla za b ≠ 0.
A Presmetaj go proizvodot 15 ⋅ 6.Potoa, zgolemi go prviot mno -`itel:a) 2 pati; b) 3 pati; v) 7 patii proveri kolku pati se zgo -lemil proizvodot.[to voo~uva{?
1
Neka a ⋅ b = 50. Presmetaj: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 10).2
Presmetaj go proizvodot 40 ⋅ 9. Potoa, prviot mno`itel namali go: a) 2 pati; b) 4 pati; v) 5 pati
i sporedi go dobieniot proizvod so dadeniot. [to zabele`uva{?
3
Ako a ⋅ b = 120, presmetaj kolku iznesuva: a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).4
Dadeno e 15 ⋅ 16 = 240. Presmetaj gi proizvodite: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5),
a potoa sporedi gi so dadeniot proizvod.
5
Sporedi go tvoeto re{enie so slednoto.15 ⋅ 6 = 90;
a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2.
Sogleda deka dadeniot proizvod sezgolemilb) 3 pati; v) 7 pati.
Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.40 ⋅ 9 = 360;
a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.
Proizvodot e namalen: b) 4 pati; v) 5 pati.
Voo~i deka edniot mno`itel e zgolemen 2 pati, odnosno 5 pati, a drugiot mno`itel enamalen 2 pati, odnosno 5 pati. Proizvodot ne se promenil.
Dadeniot proizvode zgolemen 2 pati.
Edniot mno`itel e nama -len 2 pati i dadeniot pro -izvod e namalen 2 pati.
� � �
-
41
B Poznato ti e deka 72 : 12 = 6.Presmetaj:a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 ⋅ 3) = ; 72 : (12 : 3) = ;
v) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) = .
6
Poznato ti e deka a : b = 30.Presmetaj:a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3); v) (a : 5) : (b : 5).
7
Delenikot e zgolemen 2 pati,odnosno namalen 2 pati i ko -li~nikot e zgolemen 2 pati,odnosno e namalen 2 pati.
Op{to za proizvodot a ⋅ b = p
Ako edniot mno`itel se zgolemi odreden broj pati, a dru-giot mno`itel ostane ist, toga{ i proizvodot }e se zgolemiisto tolku pati.
(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m
Ako edniot od mno`itelite se namali odreden broj pati, adrugiot ostane ist, toga{ i proizvodot }e se namali istotolku pati.
(a : m) ⋅ b = p : m
Proizvodot ne se menuva koga edniot mno`itel se namaliodreden broj pati, a drugiot mno`itel se zgolemi isto tolkupati.
(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p
�
�
�
Op{to za koli~nikot a : b = q
Ako delenikot se zgolemi (odnosno se namali) odredenbroj pati, a delitelot ostane ist, toga{ koli~nikot }e sezgolemi (odnosno }e se namali) isto tolku pati.
(a ⋅ m) : b = q ⋅ m(a : m) : b = q : m
Ako delitelot se zgolemi (odnosno se namali) odredenbroj pati, a delenikot ostane ist, toga{ koli~nikot }e senamali (odnosno }e se zgolemi) isto tolku pati.
a : (b ⋅ m) = q : ma : (b : m) = q ⋅ m
Koli~nikot ne se menuva ako i delenikot i delitelotistovremeno se zgolemat (odnosno se namalat) ist broj pati.
(a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q(a : m) : (b : m) = q
�
�
�
Voo~i kolku pati e zgolemen, odnosno namalen: delenikot vo a); delitelot vo b);delenikot i delitelot vo v).
Sporedi gi dobienite koli~nici sodadeniot. [to zabele`uva{?
Sporedi go tvoeto re{enie so slednovo.a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2;(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.
Sogleda vo b) deka delitelot e zgolemen (namalen) 3 pati, a koli~nikot e namalen(zgolemen) 3 pati. Koli~nikot vo v) ne se promeni.
-
42 Treba da znae{!
Kako se menuva proizvodot na dva brojavo zavisnost od promenata namno`itelite;
kako se menuva koli~nikot na dva brojavo zavisnost od pro menata na deleni -kot, odnosno na delitelot.
Odredi gi nepoznatite broevi p i m, ako:a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9;b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.
Znae{ deka 600 : 30 = 20. Presmetaj:a) (600 ⋅ 7) : 30; b) 600 : (30 ⋅ 4);v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).
Proveri se!
Zada~i
Daden e proizvodot a ⋅ b = 60. Presmetaj:a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7);v) (a : 4) ⋅ b; g) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).
1. Vo fabrikata za ~okolada, dve ekipipakuvale ~okoladi od po 100 g voednakvi kutii.Vtorata ekipa spakuvala vkupno 1 680~okoladi, a toa e 3 pati pomalkukutii otkolku prvata ekipa. Kolku ~okoladi spakuvala prvataekipa?
4.
Presmetaj go koli~nikot 7 680 : 240,no prethodno svedi go na delewe soednocifren delitel, koristej}i gosvojstvoto za nepromenlivost nakoli~nikot.
5.
Daden e koli~nikot a : b = 90.Presmetaj:a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6);v) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) g) (a : 12) : (b : 12).
2.
Dadeno e a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Presmetaj:a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); v) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).
3.
Zanimliv problem!
Edna `ena donela na pazar ko{nica so jajca. Naprviot kupuva~ mu prodala polovinata od jajcata ipolovina jajce, na vtoriot polovina od ostatokot ipolovina jajce, na tretiot polovina od ostatokot ipolovina jajce, na ~etvrtiot polovina od ostatokot ipolovina jajce. Koga pettiot kupuva~ kupil polovinaod ostatokot i polovina jajce, se konstatiralo dekasite kupuva~i kupile celi jajca i `enata gi prodalasite jajca. Kolku jajca donela `enata na pazar?
-
43BROEN IZRAZ. RAVENKI16Potseti se!
Presmetaj:
a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3;
b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23.
Zbirot na dva broja e 200, aedniot sobirok e 120. Kolkue drugiot sobirok?
Sostavi izraz od podatocite i soodvet-nite operacii.
Po koj redosled }e gi izvr{uva{ operaciite?
120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 == 270 - 190 = 80.
Izrazot {to go sostavi se vika broen izraz.
Rezultatot po izvr{uvaweto na site operacii vonego se vika vrednost na brojniot izraz.
Presmetaj go dobieniot izraz.Proizvodot na dva broja e128, a edniot mno`itel e 64.Kolku e drugiot mno`itel?
A Darko imal 120 denari. Majka mu mudala 300 denari da si gi podelat pod-ednakvo so sestra mu. Vo kni`arnicatakupil 4 tetratki po 35 denari i {estarza 50 denari. Kolku denari mu ostanalena Darko?
1
Odredi ja vrednosta na brojniot izraz:
a) 85 + 15 -30; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; v) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.2
⋅ x
: 64
12864x
+ x
− 120
200120x
120 + x = 200x = 200 - 120x = 80
64 ⋅ x = 128x = 128 : 64x = 2
Sporedi go tvoetore{enie so dadenoto
Izrazi se slednive zapisi: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25).
Ne se izrazi: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).
Sobiraweto i odzemaweto se vikaat operacii od prv red, a mno`eweto i delewetose operacii od vtor red.
Voo~i i zapomni
Prvo }e gi izvr{am operaciite mno`ewe i delewe, potoa sobirawe iodzemawe; no, pred s¢ - vo zagradite.
-
44
Operaciite od ist red se izvr{uvaat po redosledot kako {to se zapi{ani vo broj -niot izraz.
Op{to za redosledot na izvr{uvawe na operaciite
Voo~i ja postapkata i postapi po barawata.
��
Prvo se izvr{uvaat operaciite od vtor red, a potoa operaciite od prv red.�Ako vo brojniot izraz ima zagradi, toga{ prednost ima izvr{uvaweto na operaciitevo zagradite.
�
Presmetaj ja vrednosta na brojniot izraz:
a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; v) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.3
Re{i ja ravenkata
a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.5
B Rifat zamislil takov priroden broj, koj{to sobran so najgolemiot tricifrenbroj go dava brojot 1 234. Koj e toj broj?
4
Prvo, baraniot broj ozna~i go so nekoja bukva, na primerso bukvata x.
Na brojot x dodaj mu go najgolemiot tricifren broj - toa e 999; taka }e go dobie{zbirot x + 999.
Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235.
Spored uslovite na zada~ata, zbirot x + 999 e ednakov na 1 234, pa x + 999 = 1 234.
Kako }e go odredi{ nepoznatiot sobirok od ova ravenstvo?
Sobirokot x }e go odredam ako od zbirot 1 234 go odzemam drugiotsobirok 999.
+ 999 = 1 234
Ravenstvoto x + 999 = 1 234 so koe go odredi nepoznatiot broj x se vika ravenka.
Nepoznatiot broj x se vika nepoznata.
Odreduvaweto na nepoznatiot broj se vika re{avawe na ravenkata.
x
-
45Dadena e ravenkata: a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6
Re{i ja ravenkata: a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37.7
Vo edna vinarska vizba vo kutii treba da spakuvaat 1 392 {i{iwa, a vo sekojakutija treba da ima po 16 {i{iwa. Kolku kutii bile potrebni?
8
Odgovori na pra{awata i re{i ja dadenata ravenka.
a) � [to e nepoznatiot broj x, a {to se poznatite broevi 1 270 i 2 380?� Kako se odreduva nepoznatiot namalenik pri dadeni namaleitel i razlika?
b) Kako }e go odredi{ nepoznatiot namalitel x vo ravenkata pri dadeniot nama -lenik 8 226 i dadenata razlika 1 149?
Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznat: sobirok, namalenik ili namalitel
Ako go ozna~i{ so k brojot na potrebnite kutii, toga{ vo niv }e ima 16 ⋅ k {i{iwa, pa16 ⋅ k = 1 392.
Brojot 1 392 e proizvod na mno`itelite 16 i k.Kako }e go odredi{ mno`itelot k?
Namalenikot x }e go odredam taka {to na razlikata 2 380 }e go dodadamnamalitelot 1 270.
Namalitelot x }e go odredam taka {to od namalenikot 8 226 }e ja odze-mam razlikata 1 149.
Mno`itelot k }e go odredam ako proizvodot 1 392 go podelam somno`itelot 16.
Nepoznat sobirok, pri poznat zbir i drugiot sobirok, seodreduva taka {to od zbirot se odzema poznatiot sobirok.
x + b = c; x = c - b(b i c se poznati broevi)
Nepoznat namalenik, pri poznati namalitel i razlika, sedobiva koga na razlikata £ se dodade namalitelot.
x - b = d; x = d + b(b i d se poznati broevi)
Nepoznat namalitel, pri poznati namalenik i razlika sedobiva taka {to od namalenikot se odzema razlikata
a - x = d; x = a - d(a i d se poznati broevi)
�
�
�
k = 1 392 : 16; k = 87. [i{iwata bile spakuvani vo 87 kutii.
Re{i ja ravenkata: a) 17 ⋅ y = 595; b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.9
-
46
Potoa obrazlo`i go zaklu~okot deka x = 47 ⋅ 25.Koj broj e re{enieto? Proveri go svoeto tvrdewe.
Kako mo`e{ "da ja pro~ita{# ravenkata x : 25 = 47,
t.e. {to se poznatite broevi 25 i 47, a {to e nepoznatata x?
10
"Pro~itaj# ja ravenkata 1 120 : x = 35 i obrazlo`i go zaklu~okot x = 1 120 : 35.11
Re{i ja ravenkata
a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; v) 1 080 : x = 24; g) 50 : (x + 2) = 10.12
Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznatiot: mno`itel, delenik ili delitel.
Nepoznatiot mno`itel, pri poznat proizvod i drugiotmno`itel, se odreduva taka {to proizvodot }e se podeli sopoznatiot mno`itel.
a ⋅ x = p; x = p : a(a i p se poznati)
Nepoznatiot delenik, pri poznat delitel i koli~nik, seodreduva taka {to koli~nikot }e se pomno`i so delitelot.
x : b = q; x = q ⋅ b(b i q se poznati)
Nepoznatiot delitel, pri poznat delenik i koli~nik seodreduva taka {to delenikot }e se podeli so koli~nikot.
a : x = q; x = a : q(a i q se poznati broevi)
�
�
�
Treba da znae{!
Da odreduva{ vrednost na daden broenizraz;
koi operacii vo broen izraz imaatprednost pri nivnoto izvr{uvawe;
da re{ava{ ravenki spored svojstvatana aritmeti~kite operacii.
Odredi ja vrednosta na brojniot izraz:17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).
Re{i gi ravenkite:a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63;v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15;d) (x + 2) ⋅ 35 = 105.
Proveri se!
Zada~i
Odredi ja vrednosta na brojniotizraz:a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16);b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13).
1.
Vo edna firma napolnile 1 360 gajbijabolka, od koi 420 od vidot deli{es,635 ajdaret, a ostanatite gajbi od vi -dot tetovsko jabolko. Kolku gajbitetovsko jabolko bile?
3.
Ana ima 11 godini. Pred 3 godini majka£ imala 4 pati pove}e godini od Ana.Kolku godini ima sega majka £ na Ana?
4.
Jana i Jovan imaat po ist broj orevi.Se znae deka zaedno bi imale 140orevi koga Jana bi imala 2 pati pove -}e, a Jovan 5 pati pove}e. Po kolkuorevi imaat Jana i Jovan?
5.
Re{i ja ravenkata:a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;v) 17 ⋅ x = 289; g) x : 30 = 40;d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.
2.
-
47
Ponedelnik 12
Den Broj na kaseti
R A B O T AS O P O D A T O C I
Sa{o e sopstvenik na videoklub i izdava videokaseti. Podatocite za izdadenitekaseti gi zapi{uval vo tabela.
1
Vtornik 9
Sreda 15
^etvrtok 6
Petok 23
Koj den Sa{o izdal najmnogu kaseti?
Kolku kaseti pove}e bile izdadeni vo petok otkolku vo vtornik?
Kolku vkupno kaseti bile izdadeni?
Sa{o go interesiralo kolku kaseti iz -daval prose~no na den, a za toa e po -trebno da ja presmeta aritmeti~katasredina na broevite od tabelata.
12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65
65 : 5 = 13
Voo~i!
Vkupno izdadenikaseti
Prose~no izdadeni kasetisekoj den
Broj na denovi
Vo tekot na pette rabotnidenovi vo sedmicata Sa{oizdaval pro se~no po 13 videokaseti dnevno.
Brojot 13 e aritmeti~ka sredi-na za broevite 12, 9, 15, 6 i 23.
Pretstavi gi podatocite vo tabela.
Kolku poeni prose~no osvoil Ace na testovite po matematika?
Presmetaj ja aritmeti~kata sredina na broevite: 2
Na testovite po matematika Agim gi postignal sledive rezultati: na testot 1osvoil 89 poeni, na testot 2 osvoil 91 poen, na testot 3 osvoil 100 poeni i natestot 4 osvoil 80 poeni.
3
24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.
ARITMETI^KA SREDINA17
Da zapomnam: Aritmeti~ka sredina na dva ili pove}e broevi ekoli~ nikot od zbirot na tie broevi i brojot na sobirocite.
-
48
3 3 ⋅ 6
3
9
1 ⋅ 18
2 9 2 ⋅ 9
1 18 1 ⋅ 18
Broj na Broj na u~enici Vkupnoredovi vo sekoj red u~enici
Potseti se!A
Presmetaj:
Vo koi od delewataostatokot e 0?
24 : 6 =
139 : 2 =
265 : 5 =
2 785 : 8 =
Osumnaeset u~enici od VI oddelenie sepodgotvuvaat za patroniot praznik. Tie sa -kaat da nastapat taka {to }e se podredu-vaat vo redovi so ednakov broj u~enici.
1
Na kolku razli~ni na~ini mo`e da se podredatu~enicite?
Dopolni ja tabelata so podatocite za podreduvawena u~enicite.
Se veli: 18 e deliv so broevite 1, 2, 3, 6, 9i 18. Tie broevi se vikaat deliteli na bro-jot 18. Se zapi{uva: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Na kolku na~ini mo`e da se dobie brojot 18 kakoproizvod na dva broja?
So koi broevi mo`e da se podeli brojot 18 taka {toostatok pri deleweto da bide brojot 0 (bez ostatok)?
Da zapomnam: Brojot 18 se deliso broevite 1, 2, 3, 6, 9 i 18bez ostatok.
So delewe proveri dali:2
Brojot 4 e delitel na brojot 8 (4 ⋅ 2 = 8 ili 8 : 4 = 2 i ostatok 0).4
brojot 6 e delitel na brojot 24;
brojot 31 e deliv so brojot 5;
brojot 42 e deliv so brojot 6.
Zapi{i 5 broevi {to se delivi so brojot 4.
Odredi go mno`estvoto D14 na site deliteli nabrojot 14.
3
Voo~i deka za da gi odredi{ site deliteli na brojot 14 treba postapno da deli{ so1, 2, 3, ..., 7.
JAS SUM
DELITEL!
DELIVOST NA PRIRODNI BROEVI.DELIVOST NA ZBIR I RAZLIKA
18
-
49
B
Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ili a e deliv so b, ako osta-tokot pri deleweto na a so b e 0.
10 : 5 = 2 10 = 5 ⋅ 2
Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ako a = b ⋅ k za nekoj prirodenbroj k. Zapi{uvame: b | a. ^itame: b e delitel na a.
Prirodniot broj a e sodr`atel na prirodniot broj b, ako b e delitel na a.35 e sodr`atel na 5, bidej}i 5 | 35
Sekoj priroden broj e deliv so 1 i sam so sebe.10 : 1 = 10 i 10 : 10 = 1a : 1 = a i a : a = 1
DELITEL NA 10
Proveri dali se delivi so brojot 7: 28, 42 i 28 + 42; 14, 18 i 14 + 18.
Proveri dali se delivi so brojot 3: 9, 24 i 24 - 9; 15, 22 i 22 - 15.
Proveri dali se delivi so brojot 4: 12, 15 i 12 ⋅ 15; 10, 15 i 15 ⋅ 10.
Mno`estvoto od site sodr`ateli na brojot 4 go ozna~uvame so S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.
5
Delivost na zbirm | a i m | b
m | (a + b)
Delivost na razlikam | a i m | b
m | (a - b)
Delivost na proizvodm | a ili m | b
m | (a ⋅ b)
Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv sobro jot m, toga{ zbirot (a + b) e deliv so brojot m.
5 | 15 i 5 | 35 5 | (15 + 35)
Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv sobrojot m, toga{ razlikata (a - b) e deliva so brojot m.
3 | 21 i 3 | 9 3 | (21 - 9)
Ako brojot m e delitel ba rem na eden od broevite a ilib, toga{ m e delitel na proizvo dot (a ⋅ b).
2 | 8 i 2 | 15 2 | (8 ⋅ 15)
Voo~iv vo zada~ata!
Zbirot e deliv so brojot 7 ako dvata sobiroka se delivi so 7.
Razlikata e deliva so brojot 3 ako namalenikot i namalitelot sedelivi 3.
Proizvodot e deliv so brojot 4 ako eden od mno`itelite e deliv so 4.
Site broevi {to se delivi so brojot 4 se vikaat sodr`ateli na brojot 4.
�
�
�
�
�
�
�
Zapi{uvame: 5 | 10. ^itame: 5 e delitel na 10.
Op{to
-
50 Od broevite: 15, 18, 25 i 28 odredi dva broja taka {to:zbirot e deliv so 5; razlikata e deliva so 3;
proizvodot e deliv so 7, a ne e deliv so 5.
Voo~i deka nieden od sobirocite, odnosno i namalenikot i namalitelot ne se deliviso 5, a zbirot, odnosno razlikata se delivi so 5.
6
Proveri dali zbirot 12 + 8, odnosno razlikata 24 - 9, se delivi so 5.7
Koga eden priroden broj e deliv sodrug priroden broj;
da odredi{ deliteli i sodr`atelina daden priroden broj;
so primer da ja poka`e{ delivostana zbir, razlika i proizvod naprirodni broevi.
Treba da znae{!
Dadeni se broevite: 5, 8, 30 i 56.
Koj od tie broevi e deliv so 6?
Zapi{i gi site deliteli na brojot 30.
Zapi{i tri sodr`ateli na 5.
Dali brojot 5 e delitel na 58?
Proveri bez da presmetuva{ dali e to~no:
4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30);5 | (30 - 5); 5 | (30 ⋅ 6).
Zada~i
Koi od broevite 1, 2, 3, 5 ili 7 sedeliteli na brojot 70?
Odredi gi site deliteli na brojot64.
Proveri dali 4 | 12; 3 | 36; 10 | 1 000.Zapi{i 7 sodr`ateli na brojot 3. Kolku sodr`ateli ima brojot 3?
1.
Zapi{i po eden primer za da japoka`e{ delivosta na:
zbir na 4 prirodni broevi so broj;
razlika na 2 prirodni broevi sobroj;
proizvod na 3 prirodni broevi sobroj.
2.
Bez da go presmeta{ zbirot, odnosnorazlikata, odredi dali e deliv so 5.
a) 40 + 25; b) 27 + 20;
v) 50 - 15; g) 35 - 29.
3.
Bez da gi presmetuva{ proizvodite,utvrdi koj od niv e deliv so 3, a kojso 7.
a) 9 ⋅ 5; b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;
v) 5 ⋅ 12; g) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.
4.
Neka A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}.Zapi{i go tabelarno mno`estvotoB = {x | x ∈ A i 4 | x}.
5.
Proveri se!
-
51
Voo~i ja postapkata
132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, bidej}i 2 | 130 i 2 | 2.254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, bidej}i 2 | 250 i 2 | 4.365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, bidej}i 2 | 360 i 2 | 5.
Zapomni!
Eden broj e deliv so 2, ako cifrata na edinicite na tojbroj e 0, 2, 4, 6 ili 8.
Koi od broevite: 132,254 i 365 se deliviso 2?
2
Koj od broevite: 530, 738, 1 336, 1 112 i 2 243 e deliv so 2?3
Mo`am da voo~am! Dali eden broj e deliv so 2 ili ne e, zavisi od cif-rata na edinicite na toj broj.
A
Proveri dali broevite: 10, 70 i 270 sedelivi so 2.
Za da utvrdi{ dali eden broj edeliv so drug broj, dovolno e dago odredi{ nivniot koli~nik.
Delivosta mo`e da se utvrdi ibez da se vr{i deleweto. Toa gopravime so pomo{ na kriteriumiili takanare~eni priznaci zadelivost.
1
Voo~i ja postapkata
10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10.70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70.290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.
Mo`am da voo~am!
Brojot {to zavr{uva nanula, mo`e da se zapi{e ka -ko proiz vod vo koj eden mno -`i tel e 10. Toj proizvod edeliv so 2.
Sekoj broj na koj cifratana edinici e 0 e deliv so 2.
PRIZNACI ZA DELIVOST SO 2 I SO 519Potseti se!
Eden priroden broj e deliv so drugpri roden broj ako ostatokot prideleweto e 0.
Odredi koj od broevite: 37, 64 i 310e deliv so 2.
Koj od broevite: 65, 800 i 273 edeliv so 5?
�
���
��
Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 2.
-
52
Mo`am da voo~am! Brojot~ija cifra na edinici e5 e deliv so 5.
B Voo~i ja postapkata10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 bidej}i 5 | 2 i 5 | 5.70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 bidej}i 5 | 10 i 5 | 7.360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 bidej}i 5 | 10 i 5 | 36.
Mo`am da voo~am!
Brojot ~ija cifra na edinici e nula mo`e da se zapi{e kako pro izvodvo koj eden od mno`itelite e 10.
Toj priroden broj e deliv so 5.
Sekoj priroden broj na koj cifrata na edinicite e 0 e deliv so 5.
Proveri dalibro e vite: 10,70 i 360 sedelivi so 5.
4
Voo~i ja postapkata
65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, bidej}i 5 | 60 i 5 | 5.105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, bidej}i 5 | 100 i 5 | 5.263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, bidej}i 5 | 260 i 5 | 3.
Koi od broevite: 65,105 i 263 se deliviso 5?
5
�
���
��
Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 5.
Zapomni!
Eden broj e deliv so 5, ako cifratana edinicite na toj broj e 0 ili 5.
Koj od broevite: 180, 243, 525, 420 i 1 275 e deliv so 5?6
Da proveri{ dali nekoj priroden broj edeliv so 2, odnosno so 5, bez da goizvr{i{ deleweto;
da go primeni{ priznakot za delivostso 2, odnosno so 5, vo zada~i.
Treba da znae{!
Koj od broevite: 13, 24, 15, 57, 155, 850 i1 000 e
deliv so 2; deliv so 5;
deliv so 2 i so 5?
Proveri se!
Zada~i
Bez da go izvr{i{ deleweto proverija delivosta so 2 na broevite: 28, 70,96, 797, 2 001 i 25 000.
1.
Iska`i go priznakot za delivost so 5.2.
Koi od broevite: 102, 275, 400, 876 i995 se delivi so 5?
3.
Ana imala pove}e od 60, a pomalku od70 bonboni. Taa gi podelila bonbo ni tena 5 svoi drugarki podednakvo.
Kolku bonboni imala Ana?
4.
-
53
BOdredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite.
Utvrdi na koi od broevite zbirot na cifrite e deliv so 9?
Mo`am da voo~am! Koga eden broje deliv so 3 i zbirot na negovitecifri e deliv so 3.
Mo`am da voo~am! Koga edenbroj e deliv so 9 i zbirot nanegovite cifri e deliv so 9.
Zapomni!
Eden broj e deliv so 3, akozbirot od cifrite so koi toj ezapi{an e broj deliv so 3.
Zapomni!
Eden broj e deliv so 9, akozbirot od cifrite so koi toj ezapi{an e broj deliv so 9.
Koj od broevite: 111, 292, 1 112 i 1 236 e deliv so 3?3
Koi od bro e vite: 78, 117, 348, 486 i 1 567 se delivi so brojot 9?4
so 3; so 9; so 3 i so 9.
Bez da deli{ opredeli koj od broevite: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 i 7 235 e deliv:5
Zapi{i tri broja ~ij zbir na cifrite edeliv so 3.
2
Proveri dali broevite {to gi zapi {ase delivi so 3.
PRIZNACI ZA DELIVOST SO 3 I SO 920Potseti se!
Odredi koi od broevite: 9, 66, 171i 231 se delivi so 3.
Koi od broevite: 18, 999, 1 062 i 11 000 se delivi so 9?
A Koi od broevite: 72, 84, 297 i373 se delivi so brojot 3?
1
Odredi go zbirot na cifrite nasekoj od broevite.
Utvrdi kaj koi od broevite zbi -rot na nivnite cifri e delivso 3.
Utvrdi koi broevi se delivi so3 i kaj koi broevi zbirot na ci -frite e deliv so 3. [to zaklu -~uva{?
Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 3.
Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 9.
-
54 Mo`am da voo~am! Broevite: 459, 774 i 6 327se delivi so 3 i so 9.
Zapomni!
Sekoj broj {to e deliv so9 e deliv i so 3.
Ako saka{ da znae{ pove}e!
Obidi se da zaklu~i{!
Zo{to eden broj e deliv so 9 koga zbirot na negovite cifri e deliv so 9?
Voo~i na sledniov primer: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);
Izrazot 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 e deliv so 9 spored praviloto za delivost na proizvod i zbir.
Od vrednosta na izrazot 4 + 8 + 6 zavisi dali brojot 486 e deliv so 9.
4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, bidej}i 9 | 18.Na sli~en na~in poka`i ja delivosta na brojot 123 so 3.
Milica vlegla vo prodavnica da kupi eden sladoled i tri ~okoladi. Znaela dekasladoledot ~ini 60 denari. Prodava~ot i rekol deka treba da plati 220 denari. Taarekla deka smetkata ne e to~na. Prodava~ot povtorno presmetal i se izvinil. KakoMilica znaela deka smetkata ne e to~na, a ne ja znaela cenata na ~okoladata?
Koj priroden broj e deliv so 3;
da odredi{ dali daden broj e deliv so 9;
sekoj priroden broj {to e deliv so 9 e deliv so 3.
Treba da znae{!
Koi od broevite: 75, 94, 258 i 347 sedelivi so 3?
Koja cifra treba da stoi na mestoto na ∗vo 5 6∗3 za da se dobie broj deliv so 9?
Zapi{i eden broj {to e deliv so 3 i so 9.Zada~i
Koi od broevite 348, 512, 1 245 i 6 123 se delivi so 3?
1.
Koi od broevite 4 279, 9 126 i 540 sedelivi so 9?
2.
Koja cifra treba da se zapi{e namestoto ozna~eno so ∗, za dobieniotbroj da bide deliv so 3?
1 3∗7; 6 53∗; 3 ∗25; 24 ∗62.
3.
Zameni ja yvezdi~kata so cifra, takadobieniot b
top related