ecuatii diferentiale de ordin superiormath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms i_slides_ecuatii... ·...
Post on 12-Jan-2020
23 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii diferentiale de ordin superior
1 Forma generala si problema Cauchy
2 Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior
3 Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Forma generala si problema Cauchy
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul n este
F (t , x , x ′, x ′′ . . . x (n)) = 0 (1.1)
unde t este variabila independenta, x = x(t) este functia
necunoscuta, iar x (k)(t) =d (k)xdt(k)
este derivata sa de ordin
k , k ∈ {1,2, . . . ,n}. F este o functie reala data, definita pe undomeniu din Rn+2.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
In anumite situatii (date de teorema functiilor implicite) ecuatia(1.1) se poate scrie sub forma
x (n) = f (t , x , x ′, . . . , x (n−1)) (1.2)
unde f : D → R, D ⊂ Rn+1 este o functie continua.
Definitia 1.1
Numim solutie a ecuatiei (1.2) pe un interval [ a,b ] ⊆ R ofunctie x = x(t) derivabila de n ori pe [ a,b ] si care verificaidentic (1.2) pe [ a,b ], adica
x (n)(t) = f (t , x(t), x ′(t), . . . , x (n−1)(t)), ∀ t ∈ [ a,b ].
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Problema Cauchy
pentru ecuatia (1.2) consta ın determinarea acelei solutiix = x(t) care satisface conditiile initiale
x(t0) = x0x ′(t0) = x0,1x ′′(t0) = x0,2. . . . . .
x (n−1)(t0) = x0,n−1,
(1.3)
unde (t0, x0, x0,1, . . . , x0,n−1) ∈ D.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Torema de existenta si unicitate
Teorema 1.1
∆ = {(t , x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn+1; |t−t0| ≤ a, |x1−x0| ≤ b, . . . , |xn−x0,n−1| ≤ b}
f : ∆→ R functie continua pe ∆. Daca exista L > 0 astfel ıncat
|f (t , x1, x2, . . . , xn)−f (t , y1, y2, . . . , yn)| ≤ L max{|xi−yi |; 1 ≤ i ≤ n}
pentru toti (t , x1, x2, . . . , xn), (t , y1, y2, . . . , yn) ∈ ∆, atunciproblema Cauchy (1.2), (1.3) admite o solutie unica x = x(t)
definita pe intervalul [ t0 − δ, t0 + δ ] unde δ = min{a, bM} si
M = sup{|f (t , x1, x2, . . . , xn)|; (t , x1, x2, . . . , xn) ∈ ∆}. �
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Forma generala a ecuatiei liniare de ordinul n
x (n) + a1(t)x (n−1) + . . .+ an−1(t)x ′ + an(t)x = f (t) (2.1)
unde ai , i = 1, . . . ,n si f sunt functii date continue pe intervalul[ a,b ].Daca f (t) = 0, ∀t ∈ [ a,b ] atunci ecuatia se numeste omogenasi este de forma
x (n) + a1(t)x (n−1) + . . .+ an−1(t)x ′ + an(t)x = 0. (2.2)
In caz contrar ecuatia se numeste neomogena.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Teorema 2.1
Multimea solutiilor ecuatiei diferentiale liniare de ordin nomogena este subspatiu liniar ın Cn[ a,b ].
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Sa notam S spatiul liniar al solutiilor ecuatiei omogene (2.2).Elementele x1, x2, . . . , xp ∈ S se numesc(i) liniar dependente daca exista constanteleC1,C2, . . . ,Cp ∈ R nu toate nule astfel ıncat
C1x1 + C2x2 + . . .+ Cpxp = 0.
(ii) liniar independente daca nu sunt liniar dependente, adicadin
C1x1+C2x2+. . .+Cpxp = 0 rezulta C1 = C2 = . . . = Cp = 0.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Teorema 2.2
Multimea solutiilor ecuatiei diferentiale liniare de ordin nomogena este spatiu liniar de dimensiune n.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Definitia 2.1
Se numeste sistem fundamental de solutii ale ecuatieidiferentiale liniare si omogene (2.2) oricare n solutii liniarindependente, adica oricare n solutii ce formeaza baza ınspatiul S.
Daca x1, x2, . . . , xn ∈ S este un sistem fundamental de solutiipentru ecuatia omogena, atunci orice alta solutie se scrie ca ocombinatie liniara a acestora si atunci solutia generala aecuatiei diferentiale liniare si omogene (2.2) este
x = C1x1 + C2x2 + . . .+ Cnxn, C1,C2, . . . ,Cn ∈ R. (2.3)
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Definitia 2.2
Fie x1, x2, . . . , xn n solutii oarecare ale ecuatiei liniare siomogene (2.2). Determinantul
W [x1, x2, . . . , xn](t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣x1(t) x2(t) . . . xn(t)x ′1(t) x ′2(t) . . . x ′n(t). . . . . . . . . . . .
x (n−1)1 (t) x (n−1)
2 (t) . . . x (n−1)n (t)
∣∣∣∣∣∣∣∣(2.4)
se numeste wronskianul functiilor x1, x2, . . . , xn ın punctul t,sau determinantul lui Wronski.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Teorema lui Liouville
Teorema 2.3
(Liouville) Fie x1, x2, . . . , xn ∈ S solutii oarecare ale ecuatieiliniare si omogene (2.2). Atunci pentru orice t0 ∈ [ a,b ] are loc
W (t) = W (t0)e−
∫ t
t0a1(τ)dτ
, ∀ t ∈ [ a,b ]. (2.5)
Daca wronskianul se anuleaza ıntr-un punct t0 ∈ [ a,b ], atunciW este identic nul pe [ a,b ].
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Teorema 2.4
Fie x1, x2, . . . , xn solutii ale ecuatiei liniare omogene (2.2).Atunci x1, x2, . . . , xn formeaza sistem fundamental de solutiidaca si numai daca
W (t) 6= 0
pentru orice t ∈ [ a,b ] (echivalent pentru un t0 ∈ [ a,b ]).
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Teorema 2.5
Daca x este o solutie particulara a ecua tiei neomogene (2.1) si{x1, x2, . . . , xn} este un sistem fundamental de solutii aleecuatiei omogene asociate (2.2) atunci solutia generala aecuatiei neomogene (2.1) este
x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + . . .+ Cnxn(t) + x(t), t ∈ [ a,b ] (2.6)
unde C1,C2, . . . ,Cn sunt constante reale arbitrare.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Metoda variatiei constantelor
pentru determinarea unei solutii particulare a ecuatieineomogene (2.1)
x(t) = K1(t)x1(t) + K2(t)x2(t) + . . .+ Kn(t)xn(t) (2.7)
unde {x1, x2, . . . , xn} este un sistem fundamental de solutii aleecuatiei omogene asociate (2.2), iar K1,K2, . . . ,Kn sunt functiinecunoscute ce urmeaza a fi determinate. Deoarece functiileK1,K2, . . . ,Kn sunt supuse la o singura conditie, ca functia x saverifice ecuatia (2.1), vom introduce n − 1 relatii ıntreK ′1,K
′2, . . . ,K
′n, astfel alese ca ın calculul derivatelor
x ′, x ′′, . . . , x (n−1) care se face cu ajutorul membrului al doileadin (2.7), sa nu figureze derivatele functiilor K1,K2, . . . ,Kn.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Aceste ecuatii suntK ′1x1 + K ′2x2 + . . .+ K ′nxn = 0K ′1x ′1 + K ′2x ′2 + . . .+ K ′nx ′n = 0. . . . . . . . . . . . . . .
K ′1x (n−2)1 + K ′2x (n−2)
2 + . . .+ K ′nx (n−2)n = 0.
(2.8)
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Determinantul acestui sistem este chiar wronski-anulW [x1, x2, . . . , xn] 6= 0 deci sistemul admite solutie unica. Prinrezolvarea algebrica a acestuia se gasesc functiileK ′1,K
′2, . . . ,K
′n. Apoi, prin integrari, se determina functiile
K1,K2, . . . ,Kn si se scrie solutia particulara x folosind formula(2.7).
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
i. ecuatia omogena
x (n) + a1x (n−1) + . . .+ an−1x ′ + anx = 0 (3.1)
ii. ecuatia neomogena
x (n) + a1x (n−1) + . . .+ an−1x ′ + anx = f (t) (3.2)
unde ai ∈ R, i = 1, . . . ,n iar f este functie continua pe intervalul[ a,b ].
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Metoda de integrare a ecuatiei omogene (3.1) a fost data primadata de L. Euler si se bazeaza pe urma toarea identitate
L(eλt ) = eλtP(λ) (3.3)
unde L este operatorul diferential
L(x) = x (n) + a1x (n−1) + . . .+ an−1x ′ + anx ,
definit pe multimea functiilor de clasa C n(R), iar P estepolinomul caracteristic
P(λ) = λn + a1λn−1 + . . .+ an−1λ+ an. (3.4)
Solutiile ecuatiei caracteristice P(λ) = 0 adica
λn + a1λn−1 + . . .+ an−1λ+ an = 0 (3.5)
se numesc radacini caracteristice.Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Daca λ1, . . . , λn ∈ R distincte sunt radacinile caracteristiceatunci functiile
eλ1t , eλ2t , . . . , eλnt
sunt liniar independente.In aceasta situatie forma generala a solutiei ecuatiei omogeneeste
x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t + . . .+ Cneλnt . (3.6)
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Teorema 3.1
Fie λ1, λ2, . . . , λp radacinile ecuatiei caracteristice (3.5), demultiplicitati k1, k2, . . . , kp, k1 + k2 + . . .+ kp = n. Atunciurmatorul sistem de functii este sistem fundamental de solutiipentru ecuatia omogena (3.1)
eλ1t , teλ1t , t2eλ1t , . . . , tk1−1eλ1t
eλ2t , teλ2t , t2eλ2t , . . . , tk2−1eλ2t
. . . , . . . , . . . , . . . , . . .
eλp t , teλp t , t2eλp t , . . . , tkp−1eλp t ,
(3.7)
iar solutia generala a ecuatiei omogene este combinatie liniara,cu coeficienti reali, a functiilor din tabloul (3.7).
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Daca λ = α± jβ (j2 = −1) sunt radacini caracteristice complexconjugate de multiplicitate k fiecare, atunci ın tabloul sistemuluifundamental de solutii vom considera functiile
eαt cosβt , eαt sinβtteαt cosβt , teαt sinβtt2eαt cosβt , t2eαt sinβt. . . , . . .
tk−1eαt cosβt , tk−1eαt sinβt .
(3.8)
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Pentru determinarea solutiei generale a ecuatiei neomogene(3.2).Daca x este o solutie particulara a ecua tiei neomogene (3.2) si{x1, x2, . . . , xn} este un sistem fundamental de solutii aleecuatiei omogene asociate (3.1) atunci solutia generala aecuatiei neomogene (3.2) este
x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + . . .+ Cnxn(t) + x(t), t ∈ [ a,b ] (3.9)
unde C1,C2, . . . ,Cn sunt constante reale arbitrare.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Pentru determinarea solutiei particulare x putem folosi unadintre urmatoerele metode:[I] metoda variatiei constantelor cand se cauta x de forma
x(t) = K1(t)x1(t) + K2(t)x2(t) + . . .+ Kn(t)xn(t) (3.10)
unde functiile K1,K2, . . . ,Kn sunt functii necunoscute ale carorderivate sunt solutii pentru sistemul variatiei constantelor
K ′1x1 + K ′2x2 + . . .+ K ′nxn = 0K ′1x ′1 + K ′2x ′2 + . . .+ K ′nx ′n = 0. . . . . . . . . . . . . . .
K ′1x (n−2)1 + K ′2x (n−2)
2 + . . .+ K ′nx (n−2)n = 0
K ′1x (n−1)1 + K ′2x (n−1)
2 + . . .+ K ′nx (n−1)n = f (t).
(3.11)
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
[II] metoda coeficientilor nedeterminati, cand solutiaparticulara x se alege dupa forma termenului liber f (t) ınurmatoarele situatii:1. daca f (t) = P(t), P este un polinom de gradul m, atunci sealege x de forma
x(t) = t` ·Q(t) (3.12)
unde Q este un polinom cu coeficienti nedeterminatigrad (Q) = grad (P) iar ` este ordinul de multiplicitate alradacinii λ = 0 ın ecuatia caracteristica. Daca λ = 0 nu esteradacina caracteristica se ia ` = 0.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
2. daca f (t) = eatP(t), P este un polinom de gradul m, atuncise alege x de forma
x(t) = t` · eat ·Q(t) (3.13)
unde Q este un polinom cu coeficienti nedeterminatigrad (Q) = grad (P) iar ` este ordinul de multiplicitate alradacinii λ = a ın ecuatia caracteristica. Daca λ = a nu esteradacina caracteristica se ia ` = 0.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
3. daca f (t) = P1(t) cos(bt) + P2(t) sin(bt), atunci se alege xde forma
x(t) = t` · [Q1(t) cos(bt) + Q2(t) sin(bt)] (3.14)
unde ` este ordinul de multiplicitate al radacinii λ = ±jb ınecuatia caracteristica, iar
grad (Q1) = grad (Q2) = max{grad (P1), grad (P2)}.
Daca λ = ±ib nu este radacina caracteristica se ia ` = 0.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
4. daca f (t) = eat [P1(t) cos(bt) + P2(t) sin(bt)], atunci sealege x de forma
x(t) = t` · eat · [Q1(t) cos(bt) + Q2(t) sin(bt)] (3.15)
unde ` este ordinul de multiplicitate al radacinii λ = a± jb ınecuatia caracteristica, iar
grad (Q1) = grad (Q2) = max{grad (P1), grad (P2)}.
Daca λ = a± ib nu este radacina caracteristica se ia ` = 0.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Exemplul 3.1Sa se determine solutiile generale ale ecuatiilor:1. x ′′ + x = t2 + t ,2. x ′′′ − 3x ′′ = 18t + 12,3. x ′′ − x = tet
4. x ′′ − 7x ′ + 6x = 37 sin t ,5. x ′′ + 4x = t sin 2t6. x ′′ + 2x ′ + 2x = te−t + e−t cos t .
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Ecuatii Euler - Cauchy
Sunt ecuatiile de forma
tnx (n) + a1tn−1x (n−1) + . . .+ an−1tx ′ + anx = 0 (3.16)
unde ai ∈ R, i = 1,n.Daca t > 0 facem schimbarea de variabila independenta
t = es (3.17)
Daca t < 0 notam t = −es.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Au loc imediat formulele de derivare
x ′ =dxds· ds
dt=
dxds· 1
es =dxds· 1
t⇒ tx ′ = x
x ′′ =d2xds2 ·
1t2 −
dxds· 1
t2 ⇒ t2x ′′ = x − x .
Procedeul continua. Prin ınlocuire ın ecuatie se obtine oecuatie cu coeficienti constanti.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior
Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti
Exemplul 3.2Sa determinam solutia ecuatiei
t3x ′′′ + 2t2x ′′ + 2x = 0.
Ecuatii diferentiale de ordin superior
top related