일반물리학1 - skkusuper.skku.edu/lectures/undergrad_gp_chap9_18_1(2006).pdf · 2012-12-30 ·...
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일반물리학1
<성적평가방법>
중간(40%), 기말(40%), 출석(10%), 과제(10%)
•결석1회당 0.1점 감점 (3회 지각 = 1회 결석)
•과제 1회 미제출시 1점 감점
학점분포: A(30%이하), B(35%이하), C(35%이상)
•학점 A,B,C 비율은 수업분위기 및 반평균 성적이 반영됨
• 담당교수: 강원남
• 전 공: 물리학 (초전도체 및 박막)
• 연 구 실: 31152 (자연과학관 A동)
• 전 화: 290-5904 (019-669-8209)
• 홈페이지: http://super.skku.edu/ (물리학 공식집)
• 교재: 대학물리학(10판), Young & Freedman 원저
• 강 의 실: 23217 (1공학관)
11. 평형과 탄성12. 중력 (만유인력)13. 주기 운동14. 유체 역학(생략)15. 온도와 열16. 물질의 열적 성질17. 열역학 제1법칙18. 열역학 제2법칙
<즐거운 기말고사>
강의 계획
1. 단위, 물리량, 벡터2. 직선운동 (1차원 운동)3. 2, 3차원 운동4. Newton의 운동법칙5. Newton 법칙의 응용6. 일과 운동에너지7. 위치에너지와 에너지 보존8. 운동량과 충격량
<신나는 중간고사>9. 강체의 회전10. 회전 동력학
자기부상 현상 1
자기부상 현상 2
제1장 단위, 물리량, 벡터
1-4 표준과 단위•시간(s) : 세슘(Cs) 원자의 진동주기•길이(m): 빛의 속도(c)가 기준
1m = c x 1/299,792.458s •질량(Kg): 이리듐-백금(Ir-Pt) 합금
1-1 서론 (생략)1-2 물리학의 본질 (생략)1-3 이상적인 모형점질량, 강체, 무한 평면진공에서의 운동,
1-5 단위의 일관성과 변환 (생략)1-6 불확정성과 유효숫자 (생략)1-7 어림셈의 큭기와 정도 (생략)
1-8 벡터(vector)의 덧셈과 뺄셈•벡터량: 크기와 방향이 있는 물리량•스칼라량: 크기만 있는 물리량•물리량: 길이(x,y,z), 시간(t), 속도(v), 가속도(a), 힘(F), 에너지(E), 운동량(p), 일률(W), 온도(T), 압력(P), 부피(V), 등<벡터의 표시>
<벡터의 덧셈>C = A + B = B + A
<벡터(vector)의 뺄셈>C = A – B = A + (-B)
1-9 벡터의 성분
Ax = Acosθ, Ay = Asinθ
22yx AAAA +==
r:크기
x
y
x
y
AA
AA
arctan,tan == θθ
1-10 단위 벡터
: 길이가 1이고 방향은 x축인 벡터: 길이가 1이고 방향이 y축인 벡터: 길이가 1이고 방향이 z축인 벡터
kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=
r
ijk
kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=
r
jBAiBAR yyxx ˆ)(ˆ)( +++=r
jAiAAAA yxyx ˆˆ +=+=rrr
BARrrr
+=:벡터합
1-9 벡터의 곱셈<스칼라곱, scalar (dot) product>
상대벡터에 투영된 값
<단위벡터의 스칼라곱>
]0[1cos)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ oQ =⇐==⋅=⋅=⋅ φφkkjjii
]90[0cos)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ oQ =⇐==⋅=⋅=⋅ φφikkjji
zzyyxx
zzyyxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
BABABA
kkBAjjBAiiBA
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
kBjBiBkAjAiABA
++=
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅=
++⋅++=⋅
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(rr
zzyyxx BABABABA ++=⋅∴rr
φcosABBA =⋅rr
>⋅< 계산의차원에서 BArr
3
<벡터곱, vector (corss) product>
<단위벡터의 벡터곱>
]0[0sin)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ oQ =⇐==×=×=× φφkkjjii
kijik
jkikj
ijkji
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
×−==×
×−==×
×−==×
kBABAjBABAiBABA
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
kBjBiBkAjAiABA
xyyxzxxzyzzy
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
−+−+−=
×+×+×+
×+×+×+
×+×+×=
++×++=×rr
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=×∴
rr
법칙오른손방향은 ⇒=× ,ˆsin nABBA φrr
>×< 계산의차원에서 BArr
3
<행렬식을 이용한 벡터곱의 계산>
kBABAjBABAiBABABBBAAAkji
BA xyyxzxxzyzzy
zyx
zyxˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆˆˆ
−+−+−==×rr
+-
kjiB
kiAˆˆ2ˆ
ˆ3ˆ2
+−=
+=r
r
kji
kjikji
BA
kjiB
kjiA
ˆ6ˆ4ˆ7
)24(ˆ)26(ˆ)61(ˆ
122312
ˆˆˆ
ˆˆ2ˆ2
ˆ3ˆˆ2
++−=
++−+−−=−=×
++=
+−=
rv
r
r[예제1] [예제2]
제2장 직선(1차원)운동
2-2 변위(Δx) 와 평균속도(vav)
dtdx
txv
t=
ΔΔ
=→Δ
lim0
순간속도
2-3 순간속도(v)
12
12ttxx
txvav −
−=
ΔΔ
= 평균속도
Ex.) ∆t = t2 – t1=4 – 1 (s) ∆x = x2 – x1=280 – 10 (m)
dtdx
txv
t=
ΔΔ
=→Δ
lim0
순간속도<x-t 그래프에서 속도 구하기>
2-4 평균가속도와 순간가속도
2
20
lim
dtxd
dtdx
dtd
dtdv
tva
t
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=ΔΔ
=→Δ
순간가속도
12
12ttvv
tvaav −
−=
ΔΔ
= 평균가속도
2-4 등가속도 운동 (자유낙하)
)112(21)(
21
)(~2
~:
)92(0
,;0
)82(0
,;,;0
000
02
00
0
0
00
2001
−−−+=++=
⇐=
+=
−−−−
=−−
=
=⇒=
−−−−−+=∴
=−
=−−
=
=⇒=
atvvatvv
vv
vvv
txx
txxv
xttxt
atvv
atvv
tvva
vxttvxt
av
av
av
av
성립등가속도운동에서만
산술평균속도
평균속도
평균가속도
)132(2
)(2
222)(2
21
)82(
)122(21
20
2
20
20
20
22000
200
00
0
200
0
−−−−−−−−=Δ
−=−
+−+−=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
−=−
−−−−++=
vvxa
vvxxa
vvvvvvvxxa
avva
avvvxx
avvt
attvxx
대입하면를에서
atvtxx
21
)112()92(
00 +=
−−=− 이므로
2
2
<적분을 이용한 풀이>등가속도=a, t1=0; x0, v0 → t2=t; x, v
dtatdtvdx
atvdtdx
xB
atvvatvv
atdtaadtdv
adtdv
adtdv
vA
ttv
v
)(
)1()(..
)1(
)(..
0
0
0
0
000
+=
+=
−−−−−−−+=∴=−
===
=
=
∫∫∫
식에서
계산의거리
계산속도
)2(2121
200
200
0000
−−−−++=
+=−
+= ∫∫∫
attvxx
attvxx
tdtadtvdxttx
x
)3(2
)(2
222)(2
21
)1(
)()(..
20
2
20
20
20
22000
200
00
0
0
−−−−−−−=Δ
−=−
+−+−=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
−=
vvxa
vvxxa
vvvvvvvxxa
avva
avvvxx
avvt
vxC
대입하면를에서
관계식의속도와거리
2-6 자유낙하 (g = 9.8m/s2, 일정)
t=0; v=0, v=?t=t; x=0, x=?
)/(8.9)/(8.9
)1()(
22
0
smttsmv
gtvgtvv
v
−=−=
−=−−−−−−−−=
속도
)/(9.4)/)(8.9(21
)2(21
)(
2222
200
smttsmx
attvxx
x
−=−=
−−−−−+=
거리
제3장 2, 3차원에서 운동
3-2 위치벡터(r) 와 속도벡터(v)
kzjyixr ˆˆˆ ++=r 위치벡터
kzzjyyixxrrr
kzjyixrkzjyixr
rrr
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆˆˆ,ˆˆˆ
12121212
22221111
12
−+−+−=−=Δ
++=++=
−=Δ
rrr
rr
rrr
변위벡터
xy(2차원) 평면인 경우
속도 벡터(v)
222
0
,,
ˆˆˆ
ˆˆˆ
lim
zyx
zyx
zyx
t
vvvvvdtdzv
dtdyv
dtdxv
kdtdzj
dtdyi
dtdx
kvjvivdtrd
trv
++==
===
++=
++=
=ΔΔ
=→Δ
r
rrr 속도
x
y
yx
vv
vvv
=
+=
αtan
,22
가속도 벡터(a)
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
120
,,
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
,lim
zyx
zz
yy
xx
zyx
zyx
t
aaaaa
dtzd
dtdva
dtyd
dtdv
adt
xddt
dva
kdt
zdjdt
ydidt
xd
kdt
dvjdt
dvi
dtdv
kajaia
vvvdtvd
tva
++==
======
++=
++=
++=
−=Δ=ΔΔ
=→Δ
r
rrrrr
r
가속도
(a)속력만 변하는 경우(b)속력은 일정하고 방향만 변하는 경
우 (등속 원운동)
*가속도의 방향은 Δv 의 방향과 같다.
가속도의 성분
3-4 포물체 운동
, ,
이면
이고
위치및속도성분
위치및속도성분
속도초기
가속도
αα sin,cos0;0
21
)()(
)()(
ˆˆ,0ˆ)ˆ(
ˆˆ
2
ooyoox
oo
oy
oyy
y
oxo
oxx
x
oyoxo
yx
yx
vvvvyxt
gttvy
gtvv
yvy
tvxxvv
xvx
jvivv
gaajgjg
jaiaa
=====
−=
−=
−
+==−
+=
==⇐−=−=
+=
r
r
x
y
oy
ox
o
o
vv
gtvvvv
gttvy
tvx
=
−==
−=
=
α
αα
α
α
tan
sincos
21)sin(
)cos(
2 (2) -----
(1)-----
0/0)(
)cos(2,tan
)cos(2)(tan
cos21
cos)sin(
)2()1(
21)sin(
)cos(
2
2
22
2
2
===−=−=
==
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=
ycbxorxcxbxcxbxy
vgcb
xv
gx
vxg
vxvy
t
gttvy
tvx
o
o
ooo
o
o
.
(2) ----
(1)----------
에서
함수포물선인
소거하면를에서식과
αα
αα
ααα
α
α
x
y
b/c0
oo
oo
o
o
o
gvgv
gvR
R
gv
gv
cbR
R
45,902
)2)(sin/()cossin2)(/(
cossin)/(2
)
cossin)/(2
)cos(2cossin
)
22
2max
max
2
2
==
==
=
=
==
αα
ααα
αα
αα
ααα
( B)
( A)
위해서갖기최대값을
최대사거리
사정거리
<실제 상황>•공기의 저항을 고려해야 함.
•공이 출발하는 위치가 y=0 이아니라 y ≈ 1m 이므로 최대사거리가 되는 α > 45o 이다.
vo = 50m/s, α = 53.1°일 때, 야구공의 포물선 운동
낙하운동 테니스공의 운동
화산분출
3-5. 원주상의 운동
ΔOP1P2와 Δop1p2 는 닮은꼴(SAS)
2
222
1
201
21
01
100
1
1
412
)2
)lim(lim
limlim
TR
RTR
Rva
TT
Rv
vvRva
tsv
Rv
ts
Rv
ts
Rv
tv
a
sRvv
Rs
vv
rad
rad
tt
tt
ππ
π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
==
==
ΔΔ
==ΔΔ
=
ΔΔ
=ΔΔ
=
Δ=Δ⇒Δ
=Δ
→Δ→Δ
→Δ→Δ
( ,
),(
이므로주기또한
구심가속도
Q
r
rr
원심력과 구심력
):ˆ
)ˆ(4)ˆ( 2
22
단위벡터반경방향 (
r
rT
RrRvarad −=−=
πr원심력
3-6. 상대속도
BAPBPA
BAPBPA
BAPBPA
vvvdt
dxdt
dxdt
dxxxx
+=
+=
+=
2, 3차원에서 상대속도
22BAPBPAPABAPBPA
BAPBPA
BAPBPA
vvvvvvvdtrd
dtrd
dtrd
rrr
+==+=
+=
+=
rrrr
rrr
rrr
,
P
A
B vBA
vPB
1차 숙제 (1~3장)
1장: (1-18) ~ (1-22)2장: 2-2, 2-3, 2-4, 2-8, 2-10, 2-11, 2-173장: 3-2, 3-3, 3-5, 3-9, 3-13
제4장 Newton의 법칙
1. 관성 (慣性 ) 의 법칙“자연은 관성(운동 버릇)을 유지하려고 한다.”
2. 힘의 법칙 (F = ma)“질량(m)이란 무엇인가?”
3. 작용과 반작용의 법칙“작용이 있으면 반작용이 있다.”
제4장 뉴턴의 법칙
4-2 힘과 상호작용
222
111
22221111
1321
321
,,
ˆˆˆ,ˆˆˆ
ˆˆˆ
)
zyx
n
iizz
n
iiyy
n
iixx
zyxzyx
zyx
i
n
iin
RRRR
FRFRFR
kFjFiFFkFjFiFF
kRjRiRR
FFFFFFR
forcenet
,F, F, F
++=
===
++=++=
++=
==⋅⋅⋅⋅+++=
⋅⋅⋅
><
∑∑∑
∑∑
===
=
(
rr
r
rrrrrrr
rrr
알짜힘
경우작용하는
등이힘여러가지
중첩힘의Fn ᆞ ᆞ ᆞ ᆞ
4-3 뉴턴의 제1법칙 (관성(慣性 )의 법칙)
0,0,0
0321
321
===
==⋅⋅⋅⋅+++=
><
∑∑∑∑
iziyix
in
FFF
FFFFFR
,F, F, F
rrr
rrrrrr
rrr
상태영인알짜힘이경우
작용하는등이힘
상태평형
“알짜힘이 없으면 물체는 일정한 속도로 움직인다”.속도가 일정하면 정지(v=0)상태와 동일하다.
<관성 기준계>속도가 일정한(혹은 영인)기준(좌표)계
4-4 뉴턴의 제2법칙 (힘의 법칙)
0,0(
321 ≠==⋅⋅⋅⋅+++= ∑∑ iin FFFFFFRrrrrrrr
) 상태운동와정지상태평형상태
)ˆ(
0
iaa
Fi
+=
>∑r
r
)ˆ(
0
iaa
Fi
−=
<∑r
r
0=∑ iFr
maFFFFFF in =≠=⋅⋅⋅+++ ∑∑rrrrrr
,0321 힘의 단위:1N(뉴턴) = 1Kg·(m/s2)
<뉴턴의 제2법칙>알짜힘이 작용하면 물체는 가속된다.힘과 가속도의 방향은 같다.
zzyyxx
zyx
zyx
maFmaFmaF
kmajmaimaam
kFjFiFF
∑∑∑
∑∑∑∑
===∴
++=
++=
,,
ˆˆˆ
ˆˆˆr
r
) 2
법칙제뉴턴의
이면
(
0321
amF
FFFFFR inrr
rrrrrr
=
≠=⋅⋅⋅+++=
∑∑
4-5 질량과 무게
질량: 힘에 대한 저항의 척도 (a = F/m)물체의 관성적 성질 (가속을 방해한다.)
무게(힘): 질량(m)에 중력이 작용하는 힘
질량 60Kg은 무게가 60x9.8 = 588(N)
)ˆ( jmggmw −== rr
<위치에 따른 g의 변화>
22 ,
.1
rMGg
rMmGmgF ===
이므로
영향의한반경에지구
)(2(
.2
각속도는원심력
영향의한지구자전에
)
ωωmrF =
0
2()(
)ˆ(),ˆ()ˆ(,ˆ
==−=
=−=−
=−==
−==
+++=
∑∑
∑
yny
xx
n
nn
n
mawFFy-
mafFFxwF
jwwjFFiffiFF
wFfFF
:
) :3
성분
법칙제뉴턴의성분
법칙제뉴턴의
rr
rr
rrrrr
4-6 뉴턴 법칙의 이용한 문제풀이 요령4-6 뉴턴의 제3법칙(작용과 반작용의 법칙)
수직항력
마찰력
02(
)()ˆ(),ˆ(
ˆ
==−=−
=−==
=
++=∑
yn
xx
n
nn
xx
nx
mawFy-maFx
wFjwwjFF
iFF
FwFF
:) :
3
성분
법칙제뉴턴의성분
법칙제뉴턴의
rr
rrrr
힘미는이면
정지이면
힘당기는이면
:02)32)2
:02)1
<>=
><
x
x
Fstst
Fst
톱날의 위치는 아래와 같이 주어진다.
톱날에 작용하는 힘을 시간의 함수로구하여라.
문제풀이 방법1. 힘 구하기 (물체에 작용하는 모든 힘을 구한다.)
F1(외력), F2(중력), F3(마찰력), F4(저항력), ….
2. 방정식 세우기 (뉴턴의 법칙을 적용하여 방정식을 세운다.)
3. 힘 벡터 구하기 (각 힘에 대한 성분을 계산하여 벡터로 나타낸다.)
4. 성분별로 분해 (방정식을 각 성분별(x, y, z)로 분해하여 정리한다.)∑Fx = max, ∑Fy = may, ∑Fz = maz
5. 해답 구하기 (방정식을 풀어서 미지수를 구한다.)
제5장 뉴턴 법칙의 응용
5-2 제1법칙의 응용 (평형상태)
∑ == 0: aamF rrr 평형상태에서는
⋅⋅⋅⋅=++= 21 ,ˆˆˆ FkFjFiFF zyxrr
예제 5-2. 2차원 평형
쇠사슬의 장력 T1, T2, T3 구하기엔진무게(w) = 2000N
A⊙
B⊙
B⊙A⊙
)(20000)ˆ(-)ˆ(
1
1
NwTjwjTF
A
==∴
=+=
><
∑
r지점에서
wTTwy
TTTTx
jTiT
jTiTT
iTTjwT
TTTFB
oo
320
23:
210
21:
)ˆ(23)ˆ(
21
)ˆ(60sin)ˆ(60cos
)ˆ(),ˆ(
0
33
3232
33
333
221
321
=⇒=+−−
=⇒=+−−
+=
+=
−=−=
=++=
><
∑
성분
성분
지점에서
r
rr
rrrr
)(20003
121
)(40003
13
2)(2000
32
3
1
NTT
NwT
NT
==
==
=><정답
w
5-3 제2법칙의 응용 (동력학) ∑∑ ∑ === yyxx maFmaFamF ,:rr
예제 5-2. 2차원 평형 스노우보드의 가속도와 속도 구하기
tgv
dtgdv
dtgdv
gdtdv
ga
maF
mamgFjmgF
jmgimgw
FwF
tv
x
yy
xx
n
n
)sin(
0;)sin(
)sin(
sin
sin
0
sin3)ˆ(cos
)ˆ(cos)ˆ(sin
00
α
α
α
α
α
α
α
αα
=
==
=
=
><
=∴
==
==
⇐=
−=
+=
∫∫
∑∑
∑
초기속도
구하기속도
법칙
r
r
rrr
ⓜ
x
y
Fn
wsinαwcosα
w=mg
α
• 마찰력을 무시하는 경우1. 스노우보드(스키, 썰매)의 가속도와 속
도는 사람의 체중에 무관하다.2. 가속도는 일정하다.3. 속도는 시간이 감에 따라 증가한다.
5-4 마찰력
운동마찰력 ⊙
nFr
마찰력은 표면 분자들의 상호작용에 의해 발생한다.
)(: forcefrictionalkineticFf
k
nkk
운동마찰계수μμ=
• 마찰력은 수직항력에 비례.
• 마찰력의 방향은 항상 운동방향에 반대.
정지마찰력
마찰력직전의움직이기물체가
최대정지마찰력
정지마찰계수
⇐=
≤
nss
s
nss
Ff
forcefrictionalstaticFf
μ
μμ
max)(
)(:
유체저항과 종단속력
<유체의 저항력>f = kv (저속인 경우), f = Dv2 (고속인 경우)k와 D는 물체의 모양, 크기, 유체의 밀도에 의존
smmsN
smKgv
mmrmsNkKg.mEx
kmgv
kvmg
makvmg
t
-
t
/2.3/1055.1
)/8.9)(105(
)1.0(/1055.1,1050)
0
)
)(
8
210
89
=⋅×
×=
=⋅×=×=
=
=−=
=−+=
><
−
−
−
∑
?
0,a vvelocity terminal:(v
F) (
t
t
y
종단속도는의가랑비
인
영이므로가속도는에서
종단속력
예저속운동의자유낙하빗방울의
유체내에서 운동 (속도, 가속도, 거리 구하기)
tmk
t
t
t
vt
tv
t
t
evv
tmk
vvv
tmkvv
dtmk
vvdv
vvdtdv
km
vk
mgdtdv
km
k
kvmgdtdvm
kvmgma
)/(
0
00
1
)(ln
)ln(
)(
,
−=−
−=−
=−−
=−
−=
−=
−=
−=><
∫∫
나누면로양변을
구하기속도
tvvat
==∞→
,0
,일때
[ ]
[ ]
[ ][ ][ ]tmk
t
t tmkt
y
tmkt
tmk
tmk
tmkt
tmkt
ekmtvy
dtevdy
evdtdyv
gea
ek
mgmk
evmk
dtdva
a
evv
)/(
0)/(
0
)/(
)/(
)/(
)/(
)/(
1
1
1
)(
)(
1
−
−
−
−
−
−
−
−+=
−=
−==
><=
=
−−==
><
−=
∫∫
낙하거리
가속도
5-6* 자연계의 기본힘
1. 만유인력(질량)
2. 전자기력(전자)
3. 핵력(핵자: 양성자, 중성자): 강한 상호작용
4. 약력(소립자, 반중성미자): 약한 상호작용
2)(r
MmGFg −=r
2)(rQqkFq ±=
r
M mr
Q qr
지구(중력) DNA(전자기력) 태양(핵력)
제6장 일과 운동에너지
6-2 일 (힘의 크기가 일정한 경우)
<1차원에서 일의 정의>
W = Fs (F와 s 가 평행한 경우)
)cos 사잇각의와는
정의일의일반적인
s F (
φφFssFW
=⋅=
><rr
W > 0 W < 0
<일의 부호>
22 )/(1)/(1
1)(1
smKgmsmKg
mNJouleJ
==
⋅=><단위
6-3 일과 운동에너지 φcosFssFW =⋅= rr
W = Fs > 0 W = FscosΦ > 0 W = Fscos(180°) = -Fs < 0
sr sr sr sr
W = Fs = 0
F
<운동에너지의 정의>
x1v1
x2v2
Δs = x2 – x1 x
) -(
) (
정리에너지일
정의운동에너지의
에서
운동에서등가속도
12
2
21
22
21
22
21
22
21
22
21
21
21
2
2
2
KKW
mvK
mvmvFsW
svvmmaF
svva
vvas
−=
≡
−==
−==
−=
−=
mNm)m/sKg
sm(Kg)J
⋅=⋅⋅=
=
><
1(1
)/(112
2
단위
22
21
22 2
1)(21 mvvvmFs =−=
= 운동에너지공의한일큐가
6-4 변하는 힘에 의한 일과 에너지
힘이 일정한 경우W = Fs (면적 구하기)
FsxxFdx FW
Fdx W
x
x
x
x
=−==
><
=
><
∫
∫
)( 122
1
2
1
경우일정한힘이
경우변하는힘이
21
22
21
2
0
20
00
21
21
,
)(21
21
21
0
:
2
1kxkxkxdx W
xx
kXX
kXxkxdxk
kxdxFdx W
X
kxF
x
x
XX
XX
−==
⇒
=
===
==
=
><
∫
∫
∫∫
경우인변위가일반적으로
면적삼각형의
늘렸다면만큼에서
길이를가하여힘을용수철에
힘변하는일한용수철이
) (
law) s(Hook'
직선운동에서 일-에너지 정리
x1v1
x2v2
Δs = x2 – x1 x
" ") -(
) (
같다에너지는
일과경우에도변하는힘이
정리에너지일
정의운동에너지의
12
21
22
2
21
21
21
21 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
KKW
mvK
vmvm
vmvdvmdxdxdvvm
adxmmadxFdxW
dxdvvv
dxdv
dtdx
dxdv
dtdva
v
v
v
v
x
x
x
x
x
x
x
x
−=
≡
−=
===
===
====
∫∫
∫∫∫
곡선운동에서 일-에너지 정리
∫
∫∫⋅=
==
⋅=
==
2
1
2
1
2
1)()cos(
)()cos(
||
||
P
P
P
P
P
P
ldF
dlFdlFW
ldF
dlFdlFdW
) (
일대한곡선경로에rr
rr
φ
φ
예제 6-7 그네 타기
그네를 천천히(평형상태) 밀어 각도가Θo가 되도록 밀었을 때, 한 일은?
θ
θθ
θθθ
θ
Rdds
wFwT
wTFTFTFF
ds F
dsFldFW
y
x
=
=∴=
=−==
=−=
=⋅=
∑
∑
∫∫
tancos/
,0cos,0sin
,0sin,0
)1
)cos(
평형상태이므로
구하기와
에서rr
."
같다것과올린들어상방향으로수직
때일
"
,90
)cos1()1(cos
cos)(sin
))()(costan(
00
0
FsmgswRW
wRwR
wRdwR
RdwW
oo
oo
oo
o
====
−=−−=
−==
=
∫
∫
θ
θθ
θθθ
θθθ
θθ
θ
6-5 일률 (Power)
" "1.
)
(
전기에너지사용한시간동안
단위임에너지아니라단위가일률의
단위사용량의전기참고
단위일률의
일률순간
평균일단위시간당
일률평균
MJJ
ssJkWh
kWWpowerhorsehp
sJwattW
dtdW
tWP
tWP
t
av
6.3106.3
)3600)(/1000(1(
43746)(1
/1)(1
lim
6
0
=×=
=•
≈=
=><
=ΔΔ
=
><
>ΔΔ
=
><
→Δ
)( ), ), ), ,
) )
W/tPFxWmaFm/sasmv
tx
vFPtsF
tsFP
tsF
tsFP
tt
av
=====
><
⋅=∴
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
⋅=ΔΔ⋅
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΔΔ
⋅=ΔΔ⋅
=
><
→Δ→Δ
일률일힘
가속도속도
시간거리정리단위
속도일률과
((()/(
,(,(
limlim
2
00rr
rrrr
rrrr
∆
제7장 위치에너지와 에너지보존
7-2 중력 위치에너지
)ˆ)((),ˆ(
,0)(,
21
2121
2121
jyysjmgwF
yysyymgsFWyyyy
g
−−=−==
−=>−=⋅=
>⇒><
rrrQ
rrr
일한중력이경우내리는물체를
UUUUUWmgyU
jyysjmgwF
yysyymgsFWyyyy
g
g
Δ−=−−=−=≡
−=−==
−=<−−=⋅=
<⇒><
)()
)ˆ)((),ˆ(
,0)(,
1221
12
1212
2121
정의중력위치에너지의
일한중력이경우올리는물체를
(
rrrQ
rrr
Wg = -∆U > 0 (내리는 경우, 중력과 변위방향이 동일)Wg = -∆U > 0 (올리는 경우, 중력과 변위방향이 반대)
y1v1
y2v2
m
0
상수
상수일정
보존법칙역학적에너지
정리에너지일
경우이동하는지점으로에서
UK E
)(
) (
- 2 1
=+=
=+=+
+=+−=−−=−
⇐Δ−=Δ=
2221
21
2211
211212
21
21
)(
mgymvmgymv
UKUKUUUUKK
UKWg
B. 역학적에너지 보존법칙(다른 힘이 존재하는 경우)
"
) 2 1
보존법칙에너지
때작용할힘이다른이외의중력
이므로
경우이동하는지점으로에서받으며힘을다른
"21
21
(,
2221
21
2211
1221
1212
mgymvWmgymv
UKWUKKKUUW
UUWKKWW
other
other
other
ggother
+=++
+=++−=−+
−−=−=+
A. 역학적에너지 보존법칙(중력만 존재하는 경우)
1
2
C. 곡선경로에서 중력 위치에너지
""
)ˆˆ(ˆ)(
0)ˆ(ˆ),ˆ(
2121
21
같다수직경로에서와
일은한중력이곡선경로에서
의존한다변위에만연직방향
경우이동하는
지점으로에서따라곡선경로를
) (
2 1
UUmgymgyW
ymgW
jyixjmgswW
yyyjyixsjmggmw
swW
g
g
g
g
−=−=
Δ=
Δ−Δ⋅−=Δ⋅=
>−=Δ−Δ+Δ=Δ−==
Δ⋅=
rr
rrr
rr
1
2
주의: 교과서에서는 ∆y = y2 – y1 로 정했음
예제 7-4 포사체 운동의 최대 높이
." 4-3"
:
)(
같다결과와의예제
최대높이
정점이므로
gvh
ghv
v
vvvv
ghvvvv
o
o
y
oyxx
yxyx
2)sin(
2)sin(
0
sin,
2
20
20
2
0121
22
22
21
21
α
α
α
=
=
=
==
++=+
mghvvmvvm
mghmgyUmgyU
vvmKvvmK
UKUK
yxyx
yxyx
++=++
====
+=+=
+=+
)(210)(
21
,0
)(21),(
21
22
22
21
21
2211
22
222
21
211
2211
2 1
적용하면
보존법칙을에너지지점에서지점과
00
)(21
)(21
21
21)(
21
)(
12
12
22
21
1221
2
2122
21
21
22
21
2
1
2
1
2
1
>⇒<<⇒>
−=
Δ−=−−=−=
≡
−=−=−−=
−=−==
>⇒<
∫∫∫
el
el
el
el
xx
xx
xxel
WxxWxx
xxkW
UUUUUW
kxU
UUkxkxxxk
xdxkdxkxFdxW
xx
) ( ) (
) (
경우압축하는
경우팽창하는
에서
위치에너지탄성
일한용수철이
경우늘이는로용수철을
7-3 탄성 위치에너지
부호는 힘과 변위의 방향에 의해 결정된다.
φcosFssFW =⋅= rr용수철의 힘은 항상 평형(원)점 방향.중력은 항상 지구 중심 방향.
<중력과 탄성력이 있는 경우>222111
22
22
21
21
22
22
21
21
2211
211212
21
,,.
21
21
21
21
.
21
21
21
21
.
)(
elgotherelg
other
el
UUKWUUKC
kxmvWkxmv
B
kxmvkxmv
A
UKUKUUUUKK
UKWxx
++=+++
+=++
+=+
+=+−=−−=−
Δ−=Δ=>⇒<
경우있는다른힘이탄성력중력
경우있는힘이다른
경우있는탄성력만이
정리에너지일
일한늘이는데로용수철을
) -(
에너지 보존법칙
<비보존력에서 에너지 보존법칙>비보존력은 마찰력, 저항력 등에 의해
내부(열)에너지로 변환된다.
7-4 보존력과 비보존력 1
2
<보존력의 성질>1. 일은 위치에너지 함수의 초기값과
나중값으로 나타낼 수 있다.2. 일은 가역적이다.3. 일은 경로에 무관하다.4. 출발점과 도착점이 동일한 경우 전
체 일은 0이다.
22int11
2211
int
UKUUKUKWUK
UW
other
other
+=Δ−++=++><
Δ−=
에서
법칙보존에너지
7-5 힘과 위치에너지 (보존력)
zzUy
yUx
xU
zyxU
xzyxUF
UkzUj
yUi
xU
kFjFiFzyxF
zUF
yUF
xUF
dxdU
xUxF
UxxFUW
x
zyx
zyx
x
2,6,4
32
),,(
)ˆˆˆ(
ˆˆˆ),,(
,,
3
lim)(
)(1
222
0
=∂∂
=∂∂
=∂∂
++=
∂∂
=
><
∇−=∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
++=
∂∂
−=∂∂
−=∂∂
−=
><
−=ΔΔ
−=
Δ−=ΔΔ−=><
→Δ
)
.
z y
경우인예
미분한다생각하고
상수로는와경우인
편미분
차원
에서
차원
r
r힘은 위치에너지를
미분하여 구할 수 있다
7-6 에너지 도표
1. x=±A에서 U는 최대값, U=E, v=0 회기점(되돌이 점)
2. x=0에서 U=0, K=EK와 v 최대값F=0, 가장 안정된 상태
숙제 (5월 2일(화)까지 제출)5-1, 4, 5, 8, 11, 18 6-1, 3, 7, 10, 11, 12, 177-4, 5, 14, 16, 19
dxdUF −=
제8장 운동량과 충격량
8-2 운동량과 충격량
12
12
12 )(
,,
ˆˆˆ
),(
)(
ttpp
tpF
dtpdF
ttFtFJ
mvPmvPmvP
kPjPiPp
vmppdtd
dtvmd
dtvdmamF
zzyyxx
zyx
−−
=ΔΔ
=
=
−=Δ=
><
===
++=
≡=
===
><
∑
∑
∑∑
∑
rrrr
rr
rrr
r
rrr
rrrr
경우일정한힘이이므로
힘일정한
충격량
정의운동량의
법칙에서제뉴턴의
운동량
,
) (
2
." ") (
같다변화량과운동량이충격량은
정리충격량운동량−=−=
−−−
=−= ∑
pΔppJ
ttttppttFJ
rrrr
rrrr
12
1212
1212 )()(
∑ Δ= tFJrr
충격량
)(
)(
)(
ˆˆˆ
1212
1212
1212
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
zzzztt zz
yyyytt yy
xxxxtt xx
zzx
pp
tt
tt
vvmppdtFJ
vvmppdtFJ
vvmppdtFJ
kJjJiJJ
pppddtdtpdJ
dtFJ
−=−==
−=−==
−=−==
++=
−===
=
><
∫ ∑
∫ ∑
∫ ∑
∫∫
∫ ∑
r
rrrrr
rr) (
정의일반적충격량의
충격량의한힘에변하는
골프공
테니스공
딱딱한 골프공과 물렁한 테니스공에 같은 충격량을 가했을 경우, 골프공에 가한 최대 힘이 더 크다.
8-3 운동량 보존법칙
2211
0)(
BBAABBAA vmvmvmvm
p
pdtdamF
+=+=
=
===∑
운동량충돌후운동량충돌전
하다상수일정
경우인합이알짜힘의
.)(
0
r
rrr
<운동량 보존법칙>• 어떤 계에 가해진 외력의 합이 0이면계의 총 운동량은 보존된다.
• 뉴턴의 제3법칙(작용-반작용)의 결과이다.
충돌전
충돌후
8-4 비탄성 충돌 (완전 비탄성)•자동차, 고무찰흙, 등의 충돌• 운동량은 보존, 운동에너지는 비보존
21
21
2
1
2
2
1
222
211
21
2112
21
1
211
21
)(21
)()(
21
)(21
,21
)()2
)(,)(
)(0)0)1
)(
AA
ABA
A
ABA
ABA
BA
AA
AABA
A
BAAA
BB
BABBAA
vm
vmm
m
KK
vmm
mmm
vmmK
vmK
KK
vvvmm
mv
vmmvmmv
vmmvmvm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
+=
=
⇒
<+
=
+=+=
+=+
(
변화량운동에너지의
속도충돌후경우인정지가
."
감소한다항상운동에너지는
경우비탄성충돌인완전"
,1)( 12
1
2 KKmm
mKK
BA
A <<+
=
8-4 탄성 충돌
• 당구공 등의 충돌• 운동량과 운동에너지가 보존
"
있다수얻을방정식을개의두
보존법칙운동에너지
보존법칙운동량
"
21
21
21
21 2
22
221
21
2211
2211
2211
BBAABBAA
BABA
BBAABBAA
BABA
vmvmvmvm
KKKK
vmvmvmvmPPPP
+=+
+=+
+=++=+rrrr
충돌전
충돌후
1차원 탄성 충돌 (vB1 = 0 인 경우, 충돌 후 속도 구하기, p와 K가 보존)
(4) --
(3) -- (1)(2) ----------
(1) - --------
))((
)()2(
)(
21
21
21
21
21
21
21
21212
2
22
21
22
212
22
22
21
22
22
21
22
22
21
21
221
2211
AAAAABB
AAABB
AAABB
BBAAAA
BBAAAA
BBAABBAA
BBAAAA
BBAABBAA
vvvvmvm
vvmvm
vvmvmvmvmvm
vmvmvm
vmvmvmvm
vmvmvmvmvmvmvm
+−=
−=
−=+=
+=
+=+
+=+=+
식에서
식에서
보존법칙운동에너지
보존법칙에서운동량
m mm m
= 0
)7(2)(
)5)6(
)6(
)()()()(
)3()5()5(
)3/()4(
11
112
12
12
2121
212
(
ABA
A
BA
BABAA
ABA
BAAB
ABA
BAA
BAABAA
AAAAAB
AAB
vmm
mmm
mmmmv
vmmmmvv
vmmmmv
mmvmmvvvmvvm
vvv
+=
+−++
=
+−
+=
−−−−−−−−−−−+−
=
−=+−=+
−−−−−−−−−−−−−+=
대입하면에을
대입하면에를
해주면을
충돌후
A. 탁구공(mA) ≪ 볼링공(mB)인 경우[mA/mB ≪ 1]
0)/()/(
)/(2
)7(2
1)/(1)/(
)/()/()/()/(
)6(
12
12
112
12
12
≈+
==
+=
−≈+−
=
+−
=
−−−−+−
=
ABBBA
BAB
ABA
AB
AABA
BAA
ABBBA
BBBAA
ABA
BAA
vmmmm
mmv
vmm
mv
vvmmmmv
vmmmmmmmmv
vmmmmv
에서
에서
-----
mA mBvA1
vA2
B. 볼링공(mA) ≫ 탁구공(mB) 인 경우[mB/mA ≪ 1]
mAmB
vA1 vA2
vB2 = 2vA1
탁구공은 오던 속도로 튕겨나간다.
볼링공은 움직이지 않는다.
112
12
112
12
12
2)/()/(
)/(2
)7(2
)/(1)/(1
)/()/()/()/(
)6(
AAABAA
AAB
ABA
AB
AAAB
ABA
AABAA
ABAAA
ABA
BAA
vvmmmm
mmv
vmm
mv
vvmmmmv
vmmmmmmmmv
vmmmmv
≈+
==
+=
≈+−
==
+−
=
−−−−+−
=
에서
에서
-----
볼링공의 속도는 변하지 않는다.
탁구공은 볼링공의 2배 속도로 운동한다.
C. 두개의 당구공(mA = mB)인 경우[mB = mA = m]
112
12
12
12
2
)7(2
0
)6(
AAB
ABA
AB
AA
ABA
BAA
vvmm
mv
vmm
mv
vmmmmv
vmmmmv
≈+
==
+=
≈+−
=
−−−−+−
=
에서
에서
-----
하얀(A)공은 충돌 후 정지한다.
빨간(B)공은 하얀공의 속도로 운동한다.
A B
vA1
vB2=vA1
vB1=0
2차원 탄성 충돌 (충돌 후 당구공의 진행각도 구하기): 2차원적 풀이
βαβα
βαβα
βαβα
βαβα
coscos2)sin1()sin1(
coscos2coscos
21
21
21
21
][sinsin0
sinsin0
coscoscoscos
][
22
222
222
22
222
222
21
22
22
21
22
22
21
21
22
22
221
2211
BA
BA
BA
BAA
AAA
AABA
BA
BA
BAA
BABA
vvvv
vvvvv
vvv
mvmvmvmv
vvmvmv
yvvv
mvmvmvmvx
+−+−=
++=
+=
+=+
−=−=
−+=
+=+−
(1)(3) ------------------
(2) - ----------
:(1) - --------
:
제곱하면양변을식의
보존법칙운동에너지
성분
성분
보존법칙운동량
vA1B
A
A
B
α
β
vA2
vB2
vB1=0x
y
oBA
BABA
BABAA
BABA
BA
BA
BABAA
vvvvvv
vvvvv
vvvv
vv
vvvvvvv
90,0)cos(
0)sinsincos(cos2coscos2sinsin2)sinsin(
sinsin2)sinsin(
sinsin
coscos2)sinsin(
22
2222
222
22
22
21
222
22
222
222
22
222
222
22
22
21
=+=+
=−∴+−
−−+=
+−
=+
++−+=
βαβα
βαβαβαβα
βα
βαβα
βα
βαβα
,
여기서
2차원 탄성 충돌 (충돌 후 당구공의 진행각도 구하기): 3차원적 풀이
)2(2222
22)(
221
21
21
21
21
][
,,
][
22
22
21
22
22
21
21
21
21
21
221
22
22
21
21
221
2211
2211
2211
−−−−−−−−−−+=
+=+
===
+=+
+=+=+====
BAA
BABA
AAAA
AABA
BAA
BABA
BBBB
AAAA
pppm
pm
pm
pm
p
mp
mmv
mvmmv
mvmvmvmv
ppppppp
mvpmvpmvpmvp
보존법칙운동에너지
보존법칙운동량
(1) -------------
rrr
rrrr
rr
rr
pA1
B
A
A
B
θ
pA2
pB2
pB2=0x
y
oBABA
BABAA
BABBAAA
BABAAA
ppppppppp
ppppppp
pppppp
90
0cos))(()()(2
)(2)()(
()()()1(
2222
222
22
221
22222221
222211
=∴
==⋅⋅++=
⋅+⋅+⋅=
+⋅+=⋅
θ
θ
),
rr
rr
rrrrrr
rrrrrr제곱하면양변을식의
8-6 질량중심의 운동
) (
mass) of center
총질량계의
여기서
구하기질량중심
ii
ii
i
ii
i
iicm
n
ii
n
iii
i
ii
i
ii
i
iicm
i
ii
i
iicm
i
ii
i
iicm
cmcmcmcm
mmmmMM
rmm
rmmmm
rmrmrmr
m
xm
mxm
mzm
mmmzmzmzmz
mym
mmmymymymy
mxm
mmmxmxmxmx
kzjyixr
+⋅⋅⋅++==
==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
=
=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
++=
∑
∑∑∑
∑
∑
∑∑
∑∑∑∑∑∑
=
=
21
21
2211
1
1
21
2211
21
2211
21
2211
ˆˆˆ]([
vvvvvv
r
mi
m1
cm
xi
yircm
y
x
) (
운동량총
속도질량중심의
ni
iiicm
ii
i
ii
i
iicm
i
izi
i
izizzzcm
i
iyi
i
iyiyyycm
i
ixi
i
ixixxxcm
zcmycmxcmcm
ppppP
PpvmvmvmvM
Mvm
mvm
mmmvmvmvmv
mvm
mmmvmvmvmv
mvm
mmmvmvmvm
v
mvm
mmmvmvmvmv
kvjvivv
rrrrr
rrrrrr
rrrrrr
r
+⋅⋅⋅++==
==+⋅⋅⋅++=
==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
=+⋅⋅⋅++
+⋅⋅⋅++=
=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
=
++=
∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
21
2211
21
2211
21
2211,
21
2211,
21
2211,
,,,ˆˆˆ
][
dtpdF
dtpd
dtvMd
dtvdMaM
aMFamamamaM
kajaiaa
ext
cmcmcm
cmext
iicm
zcmycmxcmcm
rv
rrrr
rv
rrrr
r
=
===
=
+⋅⋅⋅++=
++=
)(.
)1
ˆˆˆ][
2211
,,,
작용질량중심에외력은모든
집중질량중심에질량은모든
질량중심힘과
2).
mi
cm
xi
yircm
y
x
vcmFext
8-7 로켓 추진 (질량이 변하는 운동)
dmvmdvdmdvdmdvdmvmdv
dmvvdmdmdvvdmmdvmvmvvvdmdvvdmmmv
dttPtp
vvdmdmvpdvvdmmp
dtt
vvv
ex
ex
ex
ex
exfuelfuel
rocket
exfuel
or
<<−−=
+−+++=−−++=
+=
−−==++=
+
−=
Q
)())(()()(
))(())((
의해보존법칙에운동량
운동량에서시각
상대속도대한로켓에분사연료의
SKKUSKKU
t t + dt
."
) (
:
) (
커야한다이
위해서는얻기속도를최대로켓이
초기질량초기속도속도
가속도
추진력로켓
mm
mmvmvv
vvdvm
dmvdv
mvdtdm
mv
dtdva
Fdtdmv
dtdvm
dmvmdv
exmmex
v mm m
dmex
mm m
dmex
ex
ex
ex
ex
/"
lnln
,0)2
)1
0
0
0
00
0
00
=−=
−=−=
−=
=
−==
=−=
−=
∫ ∫∫
dm< 0
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