es una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una...
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Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
dVkA
dt
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
3 244
3
dr
dVkA
dt
k rdt
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
3 2
32 2 2
44
3
4 44 3 4
3
3
dr k r
dt
dr drkr r kr
d
dVkA
d
t dtdr
kdt
t
drk
dt
drk
dtdrdt k dt
dt
Sea una función real definida en un intervalo
cerrado , . Sea , definida en todo , por
Entonces es continua en , , diferentiable en
, y
para toda en , .
x
a
f
a b F a b
F x f t dt
F a b
a b
dF xf x
dxx a b
Sean y funciones reales definidas en un
intervalo cerrado , , tales que para todo
, se cumple que
entoncesb
a
f F
a b
x a b
dF xf x
dx
f t dt F b F a
drk
dt
1
drk
dtdrdt k dt
dtr t kt c
1 dr
k r t kt cdt
1 0
1 0
0
0 y 0
y
r t c r t r
c r
r t r kt
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
0r t r kt
5 1 0 1 5 2 0ts
1
1
2
3rtm m r 0 2 mm. k 0.1 mms.
0r t r kt
dr kdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
Sea el número de individuos en una población
al tiempo .
es un número entero, pero para valores grandes
de la podemos considerar como continua.
Describir la evolución temporal de la población,
ha
N t
t
N t
N t
ciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
Describir la evolución temporal de una población,
haciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
dN tN t
dt
dN tN t
dt
¡¡¡No podemos!!!
dN tdt N t dt
dt
dN tN t
dt
1
1
2
1 1
1 ln
t c t
dN t dN tdt dt
dt dtN t N t
dN t dt N t t cN t
N t e c e
2 tdN tN t N t c e
dt
2 0
0
0 y 0
t
N t c N t N
N t N e
5 1 0 1 5 2 0t s1 0 0 0
1 5 0 0
2 0 0 0
2 5 0 0
N t N 0 1000 individuos. 0.05 s 1 .
0tN t N e
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0t a ñ o s
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
N t N 0 100 individuos. 0.1 años 1 .
0tN t N e
Describir la evolución temporal de la población,
haciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
0tN t N e
0dN t
N tdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
ElsgoltzEcuaciones diferenciales y calculo variacionalMIR 1969
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2
2, , , 0
, ,
.
d y dyF y xdx dx
dyy x
dx
El primer miembro de la ecuación
es la derivada de una expresión diferencial
de primer orden
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , , 0
, ,..., , ,
En este caso escribimos
y
n n
n n
n n
n n
d d y d y dyy x
dx dx dx dx
d y d y dyy x c
dx dx dx
2
2
2
2
2
2
, , , 0
, , ,
, , ,
F y
d y dyF y xdx dx
d y dyF k k ky x
dx dx
d y dyk F y x
dx dx
es homogenea en y sus derivadas
es decir,
2
22
exp
exp
exp
y zdx
dyz zdx
dx
d y dzz zdx
dx dx
Haciendo
tenemos
y
F y es homogenea en y sus derivadas
2
2, , , 0
exp , , ´ 0
, , ´ 0
d y dyF y xdx dx
zdx F x z z
F x z z
F y es homogenea en y sus derivadas
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
2
2 0d xmdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2 0d xmdt
0
0
dx dvv mdt dt
dvdt
El cambio de variable genera
una reducción de orden.
Pasamos de una de segundo orden
a una de primer orden.
2
2 0d xdt
0 0dx dv dvv mdt dt dt
1
0 0dv dv dtdt dt
v t c
0dvdt
1 1
1 2
dx dxc dt c dtdt dt
x t c t c
2
2
1
0
0
d xmdt
dx dvv m v t cdt dt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
0 2
2 0
0 1
0 y ( 0)
y
x t x x t c
c x
x t x c t
2
1 22 0 d xm x t c t cdt
1 0
1 0
0 0
0 y ( 0)
y
dx t c v t vdt
c v
x t x v t
2
12 0 y (0) 0 d xm x x t c tdt
0 0x t x v t
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
0 02 0 d x x t x v tdt
2
2
0 0 0
0
1) 0
2) 0 0
3)
d xdt
x t x v x
dx v t vdt
0 0x t x v t
2 4 6 8 1 0t s2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
xtm m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
0 0 0 x t x v t v t v
2 4 6 8 1 0t s
5
1 0
1 5
2 0
vtms m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
0 0 0 0x t x v t v t v a t
2 4 6 8 1 0t s
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
atms2 m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
d xmdt
La incógnita o función desconocida
depende de una sóla variable.
x t
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
d xmdt
La mayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d xmdt
2
2
La función desconocida,
en este caso,
y sus derivadas, en este caso,
aparecen a la potencia 1.
x t
d xdt
lineal
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d xmdt
lineal
1
2
1 2
En el caso de ecuaciones homogeneas:
Una combinación lineal de soluciones
es también una solución.
Si es una solución y
es una solución,
es también una solución.
x t
x t
x t x t
2
2 0 una ecuación lineald xmdt
1 2
1 2
Si es una solución y es una solución,
es también una solución.
x t x t
x t x t
1 2
1 2
2 221 2
2 2 2
2
2
2
2
0 0 0
0
u t x t x t
dx dxdudt dt dt
d x d xd udt dt dt
d udt
d udt
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogénea
d xmdt
El segundo miembro de la
ecuación es igual a cero.
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogénea
con coeficientes constantes.
d xmdt
El coeficiente es , que
en este caso es constante
m
2
2 0d xmdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
0 0x t x v t
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
0 0x t x v t
1 2 3 4 5t s
2 0
2 0
4 0
6 0
8 0
xtm m 1 K g. v 0 10 ms.
0 0x t x v t
0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0t s
2 5
2 0
1 5
1 0
5
xtm m 1 K g. x 0 15 m.
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2 0d xdt
0
0
dx dvv mdt dt
dvdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
2
2
d x F amdt
dxvdt
dv adt
El cambio de variable genera
una reducción de orden.
Pasamos de una de segundo orden
a una de primer orden.
2
2
d x adt
dx dvv adt dt
1
dv dva dt adtdt dt
v t at c
dv adt
1
1
21 2
12
dx at cdtdx dt at c dtdt
x t at c t c
2
2
1
d x adt
dx dvv a v t at cdt dt
2 0
2 0
21 0
0 y 0
y
12
x t c x t x
c x
x t at c t x
2
21 22
1 2
d x a x t at c t cdt
1 0
1 0
20 0
0 y 0
y
12
v t c v t v
c v
x t at v t x
2
21 0 12
1 2
d x dxa x t at c t x at cdtdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
20 0
12
x t x v t at
2
20 02
1 2
d x a x t x v t atdt
2
0 2
0 0 0
0 00
1) ,
12) 0 0 (0)2
3) 0 0t
dx d xv at adt dt
x t x v a x
dx v t v a vdt
1 2 3 4 5ts
2 0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0xtm F 10 N . m 1 K g. x 0 5 m. v 0 7 ms.
20 0
12
x t x v t at
20 0 0
1 2
x t x v t at v t v at
0 1 2 3 4 5ts
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0vtm s F 10 N . m 1 Kg. x 0 5 m. v 0 7 ms.
20 0 0
1 2
x t x v t at v t v at a t a
2 4 6 8 1 0ts
5
1 0
1 5
2 0
a tm s 2 F 10 N . m 1 K g. x 0 5 m . v 0 7 ms.
2
2
d x adt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
d x adt
La incógnita o función desconocida
depende de una sóla variable.
x t
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
d x adt
La mayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d x adt
2
2
La función desconocida,
en este caso,
y sus derivadas, en este caso,
aparecen a la potencia 1.
x t
d xdt
lineal
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal NO homogénea
d x adt
El segundo miembro de
la ecuación NO es igual a
cero.
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
d x adt
El coeficiente es 1 que
es constante
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
20 0
12
x t x v t at
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
xtm F 10 N . m 1 K g. v 0 7 ms.
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
1 0 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
xtm F 10 N . m 1 K g. x 0 15 m.
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
1 0 0
5 0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
xtm m 1 K g. x 0 5 m. v 0 10
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2
d x adt
dxvdt
dv adt
Un cuerpo cae, bajo la única acción de
la gravedad, desde el infinito hasta la
superficie de la tierra. ¿Cuál es la
velocidad con que llega a la superficie
de la tierra?.
i) La altura se mide desde el centro de la tierra y el
radio de la misma es de 6400 km aproximadamente.
ii) Despreciar los efectos de la atmósfera.
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el centro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
2
2 2
2
La ecuación diferencial que soluciona este problema
se deriva de la segunda ley de Newton y de la ley de
la gravitación universal. En efecto, tenemos
reduciendo y poniendo obtenemos
d r Mmm Gdt r
k GM
d r
2 2
que es una ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden no lineal.
kdt r
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2
d r Mm d r km Gdt r dt r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Como la variable independiente, , no aparece,
podemos reducir el orden de la ecuación en 1
mediante la sustitución
t
drvdt
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2.
d r Mm d r k drm G vdt r dt r dt
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
2
2
2
Haciendo eso tenemos
y la ecuación queda
que ya es de primer orden
y de variables separables.
d r d dr dv dv dr dvvdt dt dt dr dt drdt
dv kvdr r
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2 2.
d r Mm d r k dr dv km G v vdt r dt r dt dr r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
2
21
1
La integramos
y obtenemos
12de donde
12
drvdv kr
kv cr
v k cr
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
12 2 2 2 2
1. 2
d r Mm d r k dr dv km G v v v k cdt r dt r dt dr r r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
1
1
Debemos hacer ahora que se
cumplan las condiciones iniciales
0 2
de donde
0
y por tanto la velocidad es
12
v r k c
c
v kr
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
12 2 2 2 2
1. 2
d r Mm d r k dr dv km G v v v k c vdt r dt r dt dr r r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos 1
2kr
11.2 km/sv
11 2 2 24
Sustituyendo los valores
2 6.67259×10 Nm / kg 5.9742×10 kg26400000m
GMvR
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2
2 2
d r kdt r
2
2
2
y la ecuación queda
que ya es de primer orden y de variables separables.
drvdt
d r d dr dv dv dr dvvdt dt dt dr dt drdt
dv kvdr r
Hallar la ecuación de movimiento
de un cuerpo que cae sin velocidad
inicial en la atmósfera, considerando
la resistencia del aire proporcional
al cuadrado de la velocidad.
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
22
2
0 0 0 0.
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dt
La ecuación de movimiento es:
y las condiciones iniciales son:
y
22
2
d y dym mg kdt dt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial NO lineal
• Es una ecuación diferencial NO lineal NO
homogénea
• Es una ecuación diferencial NO lineal NO
homogénea con coeficientes constantes
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
22
2
0 0 0 0.
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dt
La ecuación de movimiento es:
y las condiciones iniciales son:
y
Noten que la ecuación es diferencial ordinaria de segundo orden NO LINEAL
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
0 0 0 0.
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dt
y las condiciones iniciales son: y
2
Como no aparece podemos poner
y la ecuacion queda
que ya es de primer orden.
La condición inicial es 0 0.
y t
dyv t
dt
dvm mg kvdt
v t
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
0 0 0 0.
0 0.
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
22
2
1dv m dv
m mg kvdt mg kv dt
m dvdt dt
mg kv dt
2
2
2
2
tanh 1 tanh
1 tanh 1 1
tanh
1
dvI
v
v dv d
dI d
I v
arctanh
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
2 2
0 0 0 0.
0 0.
1
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
m dv dvdt dt I v
mg kv dt v
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
arctanh
1
m kv t c
gk mg
arctanh
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
12
0 0 0 0.
0 0.
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
m dv m kdt dt v t c
mg kv dt gk mg
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
arctanh
1tanhmg gk
v t ck m
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
12
0 0 0 0.
0 0.
tanh
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
m dv m k mg gkdt dt v t c v
mg kv dt gk mg k
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
arctanh 1t cm
1 10 0 tanh 0 0
tanh
mg gkv t v c c
k m
mg gkv t
k m
y
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
2
0 0 0 0.
0 0.
tanh
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
m dv mg gkdt dt v t
mg kv dt k m
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
tanh
tanh
dy mg gkt
dt k m
mg gky t dt
k m
sinhtanh( )
cosh
1 1 cosh
cosh
1 (cosh )
cosh
1ln cosh
axax dx dx
ax
d axdx
a ax dx
d ax
a ax
ax ca
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
2
0 0 0 0.
0 0.
tanh tanh
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
m dv mg gk mg gkdt dt v t y t
mg kv dt k m k m
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
dt
2ln coshmg m gk
y t ck gk m
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae sin velocidad inicial en la
atmósfera, considerando la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
2
2
0 0 0 0.
0 0.
tanh ln cosh
d y dym mg kdt dt
dyy t t
dtdy dv
v t m mg kv v tdt dt
m dv mg gk m gkdt dt v t y t
mg kv dt k m k m
y las condiciones iniciales son: y
Como , la ecuacion queda con
2c
2 2 2
0 0
ln cosh 0 ln 1 0
y t
m my c c c
k k
dm
Hallar la ecuación de movimiento de un cuerpo que cae
sin velocidad inicial en la atmósfera, considerando la
resistencia del aire proporcional al cuadrado de la
velocidad.
La ecuación de movimiento es:
22
2
0 0 0 0.
ln cosh
y dymg k
dt dt
dyy t t
dt
m gky t t
k m
y las condiciones iniciales son: y
La solución es:
10
9.8
1
m
g
k
ln coshm gk
y t tk m
tanh
mg gkv t
k m
Hallar una curva que pase por el origen
de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a
la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX,
sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el
eje OX y la ordenada de este punto.
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
f
dfm x f
dx
( ) ( )( )y f f x
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
f
dfm x f
dx
( ) ( )( )y f f x
0 0
( )( ) ( )( )
( )
ff f x x
f
0x
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
2( ) ( ) ( ){ [ ]}
( ) 2 2 ( )T
f f fA
f f
f
dfm x f
dx
( ) ( )( )y f f x
0
( )
( )
fx
f
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
f
0
f x dx
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
2
0
( )( )
2 ( )
fk f x dx
f
2
0
( )( )
2 ( )
fk f x dx
f
2
2 02
f ff k f k
f
,
2
0
( )( )
2 ( )
fk f x dx
f
2
2 02
f ff k f k
f
,
2( ) ( ) 2( 1) ) 0(f f k f
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2( ) ( ) 2( 1) ( ) 00f f k f k ,
dp dp df dpp f f p
d df d df
22( 1 00)dp
f pdf
k p k ,
22( 1 00)dp
f pdf
k p k ,
2 11 1
2 11
2( 1)
2( 1)
ln 2( 1) ln ln ln k
k
dp dfk
p f
dp dfk
p f
p k f c c f
p c f
2
2 11
( ) ( ) 2( 1) ( ) 00k
f f k f k
p c fp f
,
2 11
2 11
2 11
2 1 1
1 2
2 1
1 2
2 1 1
1
2 1 2
k
k
k
k
k
dfc f
d
f df c d
f df c d
fc c
k
fc c k
k
2 1
1 2
2 13 4
1
2 13 4
2 1
k
k
k
fc c
k
f c c
f c c
2 1
1 2
10
2 1 2
kfc c k k
k
y
1
2 14 40 0
10
2 11
2
kf c c
k
k
siempre que
o sea
2 1
1 2
1
2 13 4
10
2 1 2
k
k
fc c k k
k
f c c
y
41 24
1,
21
0 0k
f c
k
c
Si
2 1
1 2
1
2 13 4
10
2 1 2
k
k
fc c k k
k
f c c
y
2 1 1
2kCx y k
2 1
1 2
1
2 15
1
2 1 2
k
k
fc c k
k
f c
Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el área
del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la
ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio
mixtilíneo formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto.
2 1 1
2kCx y k
2
2 11
( ) ( ) 2( 1) ( ) 00k
f f k f k
p c fp f
,
1 2 2 1
1
12 1
21 1
1
1
1 2
3
lnc c c c
c
dfc f c f
d
dfc d
f
dfc d
f
f c c
f e e e
f c e
03
3
0
0 0
0
f c e
f
c
1 .5 1 .0 0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0
0 .0
0 .5
1 .0
1 .5
2 1 1
2kCx y k 23
12
C k x y ,
x Triángulo Curva Razón0.25 0.13 0.08 0.670.50 0.35 0.24 0.670.75 0.65 0.43 0.671.00 1.00 0.67 0.671.25 1.40 0.93 0.671.50 1.84 1.22 0.671.75 2.32 1.54 0.672.00 2.83 1.89 0.672.25 3.38 2.25 0.672.50 3.95 2.64 0.672.75 4.56 3.04 0.673.00 5.20 3.46 0.673.25 5.86 3.91 0.673.50 6.55 4.37 0.673.75 7.26 4.84 0.674.00 8.00 5.33 0.674.25 8.76 5.84 0.674.50 9.55 6.36 0.674.75 10.35 6.90 0.675.00 11.18 7.45 0.67
2 1 1
2kCx y k
31
2C k ,
Resuelve la ecuación de
Schrödinger estacionaria
para la partícula libre.
2
2
2r V r r E r
m
22
22
d xV x x E x
m dx
22
2
22
2
20
2
d xV x x E x
m dxV x
d xE x
m dx
22
20
2
d xE x
m dx
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
2
2 2
20
d x mEx
dx
22
22
2
Únicamente por comodidad definimos
2
y escribimos la ecuación como
0
mEk
d xk x
dx
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y dp dp dy dpp
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
La segunda derivada queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2
22
0d x
k xdx
2
2
2 0
dp
dx
dp dp dpd dp
dx d dx ddxdp
p k xd
2
21
21
2 2 2 21
2 2 21
0
1 1 12 2 2
dpp k xd
dpp d k d cd
pdp k d c
p k c
p c k
2 0dp
p k xd
2 2 21
2 2 21
2 2 21
2 2 21
1 1
1
1
dp c k
dxddxc k
ddx dx
dxc k
d dxc k
2 2 21
dp p c k
dx
2 2 21
1 d dxc k
2 2 21
1 1
1
21
1
2 2 21
1
1
sin cos
1 1cos1 sin
arcsin
1 1 arcsin
dc k
c cd da
k kc
da dk k kc
kc
kdk cc k
2 2 21
1 d dxc k
21
12
1 arcsin
sin
k x ck c
ck x c
k
12sin
ck x c
k
1 12 2
3 4
1 5 6 2 7 8
sin cos sin cos
sin cos
cos sin , cos sin
c ckx kc kc kx
k kc c
kx kxk k
x c kx c kx x c kx c kx
sin sin cos sin cos
cos cos cos sin sin
A B A B B A
A B A B A B
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
2
2, , , 0
, ,
.
d y dyF y xdx dx
dyy x
dx
El primer miembro de la ecuación
es la derivada de una expresión diferencial
de primer orden
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , , 0
, ,..., , ,
En este caso escribimos
y
n n
n n
n n
n n
d d y d y dyy x
dx dx dx dx
d y d y dyy x c
dx dx dx
2
2
2
2
2
2
, , , 0
, , ,
, , ,
F y
d y dyF y xdx dx
d y dyF k k ky x
dx dx
d y dyk F y x
dx dx
es homogenea en y sus derivadas
es decir,
2
22
exp
exp
exp
y zdx
dyz zdx
dx
d y dzz zdx
dx dx
Haciendo
tenemos
y
F y es homogenea en y sus derivadas
2
2, , , 0
exp , , ´ 0
, , ´ 0
d y dyF y xdx dx
zdx F x z z
F x z z
F y es homogenea en y sus derivadas
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
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