espacios vectoriales euclideos
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ESPACIOS ESPACIOS VECTORIALESVECTORIALES
EUCLÍDEOSEUCLÍDEOSEUCLÍDEOSEUCLÍDEOS
Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.
Producto escalarProducto escalarSea E un espacio vectorial.
Un producto escalar es una aplicación de que a cada par de vectores le asocia un número realque representamos por y que cumple las siguientespropiedades:
( ),x y� ��
x y⋅� ��
E E en× ℝ
propiedades:
{ }
( ) ( ) ( )
1. 0 0
2. ,
3. , , ,
x E x x
x y E x y y x
x y z E x y z x z y zλ α λ α λ α
∀ ∈ − ⋅ >
∀ ∈ ⋅ = ⋅
∀ ∈ ∀ ∈ + ⋅ = ⋅ + ⋅
� � � �
� � � � � �
� � � � � � � � � �
ℝ
Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial en elque hay definido un producto escalar.
Módulo de un vectorMódulo de un vector
= + ⋅� � �
Se define el módulo o longitud de un vector de unespacio vectorial euclídeo y se denota por a:
x�
x�
x x x= + ⋅� � �
Si se dice que el vector es unitario . 1x =�
1. 0 0x x= ⇔ =� � �
Propiedades del móduloPropiedades del módulo
Demostración
0 0 0 0x x x x x x= ⇒+ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =� � � � � � �
� � � � �0 0 0x x x x= ⇒ ⋅ = ⇒ =
� � � � �
2. y x E x xλ λ λ∀ ∈ ∀ ∈ =� � �
ℝ
Demostración
( ) ( ) ( )2x x x x x x x xλ λ λ λ λ λ= ⋅ = ⋅ = ⋅ =� � � � � � � �
{ }3. 0x
x E son unitariosx
∀ ∈ − ±�
� ��
Propiedades del móduloPropiedades del módulo
Demostración
( )2
1 11
x x xx x x
x x x xx
± = ± ⋅ ± = ⋅ = =
� � �� � �
� � � ��
4. ,x y E x y x y∀ ∈ ⋅ ≤� �� � �� � ��
Propiedades del móduloPropiedades del módulo
Demostración
0Si y la igualdad es cierta=�� �
Desigualdad de Schwarz
0x y
Si y construimos el vector v x y⋅≠ = −� ��
�� � � � ��
�� 20x y
Si y construimos el vector v x yy
⋅≠ = −�� � � � ��
��
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
2 2 2 4 20 2x y x y x yx y x y
v v x y x y x y xy y y y y
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ≤ ⋅ = − − = − + = −
� �� � �� � ��� �� � ��� � � �� � �� � �� �
�� �� �� �� ��
( ) ( ) ( )2 2
22 2 2 2
2 20x y x y
x x x y x y x y x yy y
⋅ ⋅≤ − ⇒ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⇒ ⋅ ≤
� �� � ��� � � �� � �� � �� � ��
�� ��
5. ,x y E x y x y∀ ∈ + ≤ +� �� � �� � ��
Propiedades del móduloPropiedades del módulo
Desigualdad Triangular
( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2
2 2x y x y x y x x y y x x y y x y+ = + + = + ⋅ + ≤ + + = +� �� � �� � �� � � �� �� � � �� �� � ��
Demostración
De donde
( )( ) ( ) ( )2 2x y x y x y x x y y x x y y x y+ = + + = + ⋅ + ≤ + + = +
( )22
x y x y x y x y+ ≤ + ⇒ + ≤ +� �� � �� � �� � ��
6. ,x y E x y x y∀ ∈ − ≥ −� �� � �� � ��
Propiedades del móduloPropiedades del módulo
Demostración
x x y y x y y x y x y
y x y x y x x y x y x x y x y x y
= + − ≤ − + ⇒ − ≤ −
= + − ≤ − + ⇒ − ≤ − = − ⇒ − − ≤ −
� � �� �� � �� �� � �� � ��
�� � �� � �� � � �� � �� � � �� � �� � ��
Luegox y x y x y x y x y− − ≤ − ≤ − ⇒ − ≤ −� �� � �� � �� � �� � ��
, 1 1x y
x y E x y x y x y x y x yx y
⋅∀ ∈ ⋅ ≤ ⇒− ≤ ⋅ ≤ ⇒− ≤ <� ��
� �� � �� � �� � �� � �� � ��� ��
Ángulo de dos vectoresÁngulo de dos vectores
Definición
Según la desigualdad de Schwarz:
�( )cos ,x y
x yx y
⋅=� ��
� ��
� ��
Se llama ángulo que forman dos vectores a aquel cuyo coseno vale:
OrtogonalidadOrtogonalidad
Definición
Sea V un espacio vectorial euclídeo
Se dice que dos vectores son ortogonales si,x y V∈� ��
0x y x y⊥ ⇔ ⋅ =� �� � ��
Se dice que dos vectores son ortogonales sisu producto escalar es nulo.
,x y V∈
1. 0 0x V x∀ ∈ ⋅ =� � �
Propiedades de la ortogonalidadPropiedades de la ortogonalidad
Demostración
{ } �22. , 0 ,Si x y V y x y x y π∈ − ⊥ ⇒ =
� �� � � �� � ��
Demostración
En efecto, si
�( ) �( ) �2
0cos , cos , 0 ,x y x y x y
x yπ= ⇒ = ⇒ =
� �� � �� � ��
� ��
0x y x y⊥ ⇒ ⋅ =� �� � ��
Luego:
Propiedades de la ortogonalidadPropiedades de la ortogonalidad
Demostración
0x y x y⊥ ⇒ ⋅ =� �� � ��
2 2 2
3. ,x y V son x y x y x y∈ ⊥ ⇔ + = +� �� � �� � �� � ��
De igual forma:
2 2 2 2 2 22Como x y x x y y x y x y+ = + ⋅ + ⇒ + = +
� �� � � �� �� � �� � ��
2 2 2
2 0 0Si x y x y x y x y x y+ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⊥� �� � �� � �� � �� � ��
Subespacios Subespacios ortogonalesortogonales
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea S unsubespacio vectorial de V
x V∈�Definición
0y S x y∀ ∈ ⋅ =�� � ��
x S⊥�
Lo representamos por:
Se dice que un vector es ortogonal a Ssi:
x V∈�
Subespacios Subespacios ortogonalesortogonales
se verifica que 0x S y y L x y∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =� �� � ��
Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si:
Definición
se verifica que 0x S y y L x y∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =� �� � ��
S L⊥Lo representamos por:
Subespacios Subespacios ortogonalesortogonales
Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si ysolo sí los vectores de una base de S son ortogonalesa los de una base de L
Proposición 1
Demostración
Si se verifica que 0S L x S y y L x y⊥ ⇒∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =� � � �
Demostración
Sea una base de S yuna base de L{ }1
2, ,
S nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� ��� ���
{ }12, ,
L nv vB v ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� �� ���
Luego 0 ,i ju v i j⋅ = ∀�� ��
. .c n
⇒
ya que ,i ju S y v L i j∈ ∈ ∀�� ��
Subespacios Subespacios ortogonalesortogonales
Si . .c s
⇐1
n
i ii
x S x x u=
∈ ⇒ =∑� � ��
Si 1
n
j jj
y L y y v=
∈ ⇒ =∑� � ��
( )1 1 1 1
Luego 0n n n n
i i j j i j i ji j i j
x y x u y v x y u v= = = =
⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑∑� � �� �� �� ��
Ya que 0 ,i ju v i j⋅ = ∀�� ��
por tanto S L⊥
Base ortogonalBase ortogonal
Definición
Sea una base de un espaciovectorial euclídeo V
{ }12, ,
nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� ��� ���
Se dice que B es una base ortogonal si sus vectores
0i ju u i j⋅ = ∀ ≠�� ���
Se dice que B es una base ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos:
Base ortonormalBase ortonormal
Definición
Sea una base de un espaciovectorial euclídeo V
{ }12, ,
nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� ��� ���
Se dice que B es una base ortonormal si sus vectores
0
1
i j
i
u u i j
u i
⋅ = ∀ ≠ = ∀
�� ���
��
Se dice que B es una base ortonormal si sus vectores son ortogonales dos a dos y unitarios:
Teorema
Si es un conjunto finito de vectores
ortogonales dos a dos, no nulos de V, entonces es libre.
{ }12, ,
nu uH u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� ��� ���
( )n n n�� � ��� �� ��� ��
Demostración
( )1 1 1
0 0 0n n n
i i j i i i j ii i i
Sea u u u u uλ λ λ= = =
= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒∑ ∑ ∑�� � ��� �� ��� ��
( ) 20 0 0j j j j j j ju u ya que u u uλ λ⋅ = ⇒ = ⋅ = ≠
��� ��� ��� ��� ���
y se verifica j∀
Producto escalar y módulo de un vectorProducto escalar y módulo de un vectorreferido a una base ortonormalreferido a una base ortonormal
Sea una base ortonormal de V{ }12, ,
nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� ��� ���
1
n
i ii
x V x x u=
∈ ⇒ =∑� � ��
1
n
j jj
y V y y u=
∈ ⇒ =∑� � ���
( )1 1 1 1 1 1
Luego n n n n n n
i i j j i j i j i ji j i j i j
x y x u y u x y u u x y= = = = = =
⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑∑ ∑∑� � �� ��� �� ���
1i=
1 1 2 2matricialmente
t
n nx y x y x y x y x y⋅ = = + +⋅⋅⋅⋅⋅+� � � �
2 2 2 2
1 2 3Y
nx x x x x x x=+ ⋅ =+ + + +⋅⋅⋅⋅+� � �
Método de ortonormalizaciónMétodo de ortonormalizaciónde Gramde Gram --SchmidtSchmidt
Método para obtener una base ortonormal de V a partir
de una base cualquiera { }12, ,
ne eB e ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
� �� ��
Primero obtenemos una base ortogonal { }*1, ,u uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=�� ��� ���
Primero obtenemos una base ortogonal { }12, ,
nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
1 1
2 2 1 1
3 3 1 1 2 2
11 1 2 2 1
nn n n
u e
u e u
u e u u
u e u u u
α
λ λ
β β β −−
= = + = + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
��� ��
��� �� ���
��� �� ��� ���
��� �� ��� ��� �
Método de ortonormalizaciónMétodo de ortonormalizaciónde Gramde Gram --SchmidtSchmidt
Y hallamos los escalares haciendo 0i ju u i j⋅ = ∀ ≠�� ���
Por tanto:
( ) 1 2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 11 20 0
u eu e u u e u uu u α α α
⋅= ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⇒ = −⋅
�� ����� ��� �� �� �� �� �� �� ��
�� ��( )1 2 1 1 1 2 1 1 1 1
1 1
1 2
u u
u u α α α
⋅⋅ �� ��
1 3
3 1 1 1 1
1 1
1 1 3 2 1 20 0
u eu u
u u
u u e u uu β ββ ⇒⋅
⋅ = ⇒ + ⋅ = = −⋅
⋅ + ⋅
�� ����� �� ��� �� �� �� ��� ���
�� ��
2 3
3 1 2 1 2
2 2
2 2 3 2 2 20 0
u eu u
u u
u u e u uu β ββ ⇒⋅
⋅ = ⇒ + ⋅ = = −⋅
⋅ + ⋅
�� ����� �� ��� �� �� �� ��� ���
�� ��
Método de ortonormalizaciónMétodo de ortonormalizaciónde Gramde Gram --SchmidtSchmidt
Siguiendo este proceso obtendríamos:
1 2
1
1 1
2 2
u eu
u u
u e⋅
= −⋅
�� ����� �� ��
�� ��1 1u e=��� ��
u e u e⋅ ⋅
� � �� ��� �� � ��
1 3 2 3
1 2
1 1 2 2
3 3
u e u eu u
u u u u
u e⋅ ⋅
= − −
⋅ ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
�� �� � ��
� � �� ��
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
n n n n
n
n n
n n
u e u e u eu u u
u u u u u u
u e −
−
− −
⋅ ⋅ ⋅= − −
⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
� � �� � ��� ��� �� � �� ���
� � �� �� ��� ���
Método de ortonormalizaciónMétodo de ortonormalizaciónde Gramde Gram --SchmidtSchmidt
Hemos obtenido la base ortogonal:
{ }*1
2, ,
nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
�� ��� ���
Para obtener la base ortonormal, dividimos cada vectorPara obtener la base ortonormal, dividimos cada vectorpor su módulo
1 2
1 2 3
, , nu uu
u u u
B ⊥
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
��� ����
� � �
Suplemento ortogonalSuplemento ortogonalSea V un espacio vectorial euclídeo. Sea L unsubespacio vectorial de V.
�{ }� � �
Definimos el conjunto:
L x V⊥ = ∈�{ }0x u u L⋅ = ∀ ∈
� � �
Veamos que dicho conjunto es un subespaciovectorial de V , denominado suplemento ortogonalde L.
Suplemento ortogonalSuplemento ortogonalProposión 1Proposión 1
1. , veamos que x y L x y L⊥ ⊥∈ + ∈� �� � ��
Demostración
es un subespacio vectorialL⊥
1. , veamos que x y L x y L⊥ ⊥∈ + ∈� �� � ��
( ) 0 0 0x y u x u y u u L x y L⊥+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = ∀ ∈ ⇒ + ∈� �� � � � �� � � � ��
2. veamos que x L x Lλ λ⊥ ⊥∈ ∈ ∈� �
ℝ
( ) ( ) 0 0x u x u u L x Lλ λ λ λ ⊥⋅ = ⋅ = ∀ ∈ ⇒ ∈� � � � � �
Suplemento ortogonalSuplemento ortogonal
Proposión 2Proposión 2
{ }0L L⊥∩ =�
0 0x L x V
Si x L L x x xx L
⊥
⊥
∈ ⇒ ∈∈ ∩ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ =∈
� �� � � � �
�
Demostración
Suplemento ortogonalSuplemento ortogonal
Proposión 3Proposión 3
Por cumplir estas tres proposiciones es suplemento
L L V⊥+ =
L⊥Por cumplir estas tres proposiciones es suplementoortogonal de
Este suplemento de es único.
LL
L
Proyección ortogonalProyección ortogonal
Por ser y subespacios suplementarios de VL⊥L
,x V se tiene x u v con u L v L⊥∀ ∈ = + ∈ ∈� � � � � �
u L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L∈� �
v L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L⊥∈� �
Proyección de un vector sobre otroProyección de un vector sobre otroEl vector proyección de un vectorsobre un vector es:
u V∈�
y V∈�
x V∈�
x yu x
x x
⋅=⋅
� �� �
� �
Sea L x y V y x v con v Lλ ⊥=< > ∈ ⇒ = + ∈� � � � � �
x x⋅
Demostración
( )0 0Si v L v x v x y x xλ⊥∈ ⇒ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒
� � � � � � � �
0y x x y
y x x x u xx x x x
λ λ⋅ ⋅
⋅ − ⋅ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⋅
� � � �� � � � � �
� � � �
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