finanČnÍ matematika

FINANČNÍ MATEMATIKAFINANČNÍ MATEMATIKA

VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.SPRÁVNÍ, o.p.s.

Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTYHODNOTY

• 1.1. Typy a druhy úročení, budoucí hodnota Typy a druhy úročení, budoucí hodnota investiceinvestice

Úrok Úrok - odměna za získání úvěru- odměna za získání úvěru

(cena za službu peněz)(cena za službu peněz)

Roční úroková sazbaRoční úroková sazba (míra)(r) – úrok v % (míra)(r) – úrok v %

z hodnoty kapitálu za časové obdobíz hodnoty kapitálu za časové období

Připisování úroků:Připisování úroků:

p.a.p.a. – roční – roční p.sp.s. – půlroční. – půlroční

p.q. p.q. – čtvrtletní – čtvrtletní p.m.p.m. – měsíční – měsíční

p.d.p.d. – denní – denní

Doba splatnostiDoba splatnosti (n) (n) doba, po kterou je peněžní částka doba, po kterou je peněžní částka

zapůjčenazapůjčena Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Typy úročeníTypy úročení

• jednoduchéjednoduché:: vyplacené úroky se vyplacené úroky se nepřičítají k původnímu kapitálu a dále se nepřičítají k původnímu kapitálu a dále se neúročíneúročí

• složenésložené:: úroky se přičítají a dále úročí úroky se přičítají a dále úročí

• spojitéspojité:: počet úročení roste do nekonečna počet úročení roste do nekonečna

• JednoduchéJednoduché

FV = PV · ( 1 + r · n )

• SloženéSložené nm

r (i)r (i) – úroková sazba – úroková sazba n (t)n (t) – doba platnosti – doba platnosti

mm – frekvence připisování úroků – frekvence připisování úroků

FVFV – future value – future value

PVPV – prezent value – prezent value

Závislost úroku na době splatnosti kapitáluZávislost úroku na době splatnosti kapitálu

2 3 4 5

Počáteční kapitál

r = 20%

r = 10%

KapitálÚrok

• Př:Př: Vypočítejte konečnou hodnotu Vypočítejte konečnou hodnotu vkladu 100 000 Kč uloženou na dobu vkladu 100 000 Kč uloženou na dobu 5 let s úrokovou sazbou 5% ( 10%, 5 let s úrokovou sazbou 5% ( 10%, 20%) při jednoduchém úročení. 20%) při jednoduchém úročení.

• Př:Př: Jakou částku obdrží pan Neveselý Jakou částku obdrží pan Neveselý ze svého šestiměsíčního ze svého šestiměsíčního termínovaného vkladu 200.000 Kč termínovaného vkladu 200.000 Kč úročeného 5 % p.a.? Daň z úroků je úročeného 5 % p.a.? Daň z úroků je 15 %.15 %.

• Př:Př: Jaká je cena peněz půjčených v zastavárně, Jaká je cena peněz půjčených v zastavárně, účtuje-li si zastavárna 2 % za týden? účtuje-li si zastavárna 2 % za týden?

Počítejte: Počítejte: a) jednoduché úročení a) jednoduché úročení b) složené úročení b) složené úročení

• Př:Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1.000 Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1.000 Kč po 5 – 10 - 15 –20 letech, bude-li průměrné Kč po 5 – 10 - 15 –20 letech, bude-li průměrné zhodnocení 3 % - 8 % - 13 %.zhodnocení 3 % - 8 % - 13 %.

Zhodnocení

3 % 8 % 13 %

10 let

15 let

20 let

2. Přepočet ročních úrokových 2. Přepočet ročních úrokových sazeb při různé periodě sazeb při různé periodě připisování úroků.připisování úroků.• Př:Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad

1 000 Kč po 5, 10, 15 20 letech, bude-li 1 000 Kč po 5, 10, 15 20 letech, bude-li průměrné zhodnocení 3%. Porovnejte průměrné zhodnocení 3%. Porovnejte jednoduché a složené úrokování. jednoduché a složené úrokování. Graf.Graf.

• Př:Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5 letech, bude-li průměrné 1 000 Kč po 5 letech, bude-li průměrné zhodnocení 5% a úroky budou připisovány zhodnocení 5% a úroky budou připisovány p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Graf.Graf.

• Používané kódy:Používané kódy:• ACT - ACT - započítává se skutečný počet dní započítává se skutečný počet dní

smluvního vztahu. Obvykle se nepočítá 1. smluvního vztahu. Obvykle se nepočítá 1. denden

• 30E –30E – celé měsíce se započítávají bez celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dní jako 30 dnů ohledu na skutečný počet dní jako 30 dnů

• 30A –30A – liší se od 30E maximálně o jeden liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na konec smluvního vztahu připadne na poslední den v měsíci a současně začátek poslední den v měsíci a současně začátek není poslední den v měsícinení poslední den v měsíci

Délka roku je 365 nebo 360 dníDélka roku je 365 nebo 360 dní

• ACT/365 – anglická metodaACT/365 – anglická metoda

• ACT/360 – francouzská, či ACT/360 – francouzská, či mezinárodnímezinárodní

• 30E/360 – německá, či obchodní 30E/360 – německá, či obchodní

• Př:Př: Rozhodněte, která varianta Rozhodněte, která varianta termínovaného účtu je výhodnějšítermínovaného účtu je výhodnější

a) 12% roční úroková sazba s p.d.a) 12% roční úroková sazba s p.d.

b) 12,5% roční úroková sazba s p.s.b) 12,5% roční úroková sazba s p.s.

Efektivní úroková sazbaEfektivní úroková sazba ( r ( ree ) )

• roční úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejnou roční úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba při častějším budoucí hodnotu jako roční úroková sazba při častějším připisování úroků.připisování úroků.

• Snaha o dosažení stejného finančního efektu při úročení Snaha o dosažení stejného finančního efektu při úročení p.a. ( nominální úr. sazba při ročním úrokovacím období je p.a. ( nominální úr. sazba při ročním úrokovacím období je vyšší než při úrokovacím období kratším než rok)vyšší než při úrokovacím období kratším než rok)

• Umožňuje porovnat různé úrokové sazby srovnávané za Umožňuje porovnat různé úrokové sazby srovnávané za stejné časové období, avšak s různou četností připisování stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků.úroků. m

• Spojité připisování úrokůSpojité připisování úroků

FV = PV * ( e FV = PV * ( e r*n r*n ) )

• Př:Př: Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém úročení a sazbě 5,5%?úročení a sazbě 5,5%?

Př:Př: Najděte r , která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li Najděte r , která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li úroky připisovány a) p.s. b) p.q. c) p.m.úroky připisovány a) p.s. b) p.q. c) p.m.

3.DISKONT A RŮZNÉ DRUHY DISKONTOVÁNÍ3.DISKONT A RŮZNÉ DRUHY DISKONTOVÁNÍ

(D)(D) • Je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky Je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky

(předlhůtní úročení)(předlhůtní úročení)• rozdíl mezi FV a PVrozdíl mezi FV a PV

• D = FV*d*nD = FV*d*n d = diskontní míra (%)d = diskontní míra (%)

• Používá se nejčastěji pro eskont směnek, část náhrady předemPoužívá se nejčastěji pro eskont směnek, část náhrady předem

• Krátkodobé cenné papíry s jmenovitou hodnotou jako Krátkodobé cenné papíry s jmenovitou hodnotou jako hodnotou budoucí.hodnotou budoucí.

• státní pokladní poukázky (zisk je rozdíl mezi kupní a nominální státní pokladní poukázky (zisk je rozdíl mezi kupní a nominální hodnotou)hodnotou)

• krátkodobá splatnostkrátkodobá splatnost

Diskontování:Diskontování: Výpočet současné Výpočet současné hodnoty z hodnoty budoucíhodnoty z hodnoty budoucí

• PřPř Osoba A vystavila osobě B směnku na Osoba A vystavila osobě B směnku na částku 10.000 Kč s dobou splatnosti 1 rok, s částku 10.000 Kč s dobou splatnosti 1 rok, s diskontní mírou 8% . Kolik osoba A ve diskontní mírou 8% . Kolik osoba A ve skutečnosti obdrží?skutečnosti obdrží?

• PřPř Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku o nominální jemuž banka eskontuje směnku o nominální hodnotě 10.000 Kč 35 dní před dobou hodnotě 10.000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a. splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a.

Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a diskontní sazbou.diskontní sazbou.

současná hodnota PV = FV *(1 - d*n)

budoucí hodnotadn

současná hodnota

budoucí hodnota FV = PV * (1 + r*n)

• PřPř Porovnejte diskontní sazbu a polhůtní úrokovou sazbu. Porovnejte diskontní sazbu a polhůtní úrokovou sazbu. Eskontována směnka splatná za půl roku o nominální hodnotě Eskontována směnka splatná za půl roku o nominální hodnotě

100 000 Kč s roční diskontní sazbou 12%.100 000 Kč s roční diskontní sazbou 12%. Jednoduché úročení s roční úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl Jednoduché úročení s roční úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl

roku se musí splatit 100 000 Kč.roku se musí splatit 100 000 Kč.

Shodné výnosy:Shodné výnosy:

• Diskontní faktorDiskontní faktor (v) udává současnou hodnotu jednotkového (v) udává současnou hodnotu jednotkového vkladu, který je splatný za 1 rok při úrokové sazbě r.vkladu, který je splatný za 1 rok při úrokové sazbě r.

Složené:Složené: v = (1 + r) -1v = (1 + r) -1 Jednoduché:Jednoduché: v = (1 + r n) -v = (1 + r n) -11

SpojitéSpojité:: v = ev = e-r-r PV = FV * v nPV = FV * v n

Smíšené úročení: Smíšené úročení: Doba úročení není v celých letech, Doba úročení není v celých letech, nn00 je počet celých let, je počet celých let, ll je zbytek doby úročení lomený počtem je zbytek doby úročení lomený počtem příslušných jednotek za rok.příslušných jednotek za rok.

• FV = Pv * ( 1 + r )FV = Pv * ( 1 + r )nn00 * ( 1 + * ( 1 + l * r )* r )

• PřPř Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli obnos 100 000 Kč při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou obnos 100 000 Kč při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále úročeny.úročeny.

• PřPř V oznámení o aukci 91 denních SPP s nominální hodnotou V oznámení o aukci 91 denních SPP s nominální hodnotou 1 mil. Kč je jako max. akceptovatelná (roční) úroková míra 1 mil. Kč je jako max. akceptovatelná (roční) úroková míra uvedeno 5,65%. Jaká cena SPP odpovídala této úrokové uvedeno 5,65%. Jaká cena SPP odpovídala této úrokové míře? Jakou (roční) míru zisku realizoval investor, který SPP míře? Jakou (roční) míru zisku realizoval investor, který SPP koupil za tuto cenu a prodal ji za 58 dní (tj. 33 dny před koupil za tuto cenu a prodal ji za 58 dní (tj. 33 dny před splatností) za cenu 996 300 Kč?splatností) za cenu 996 300 Kč?

PřPř Směnka na $20 000 je splatná za dva roky a 5 Směnka na $20 000 je splatná za dva roky a 5 měsíců. Jaký je její základ při spojitém úrokování měsíců. Jaký je její základ při spojitém úrokování s roční nominální úrokovou mírou 15%?s roční nominální úrokovou mírou 15%?

4. Budoucí hodnota anuity, anuita4. Budoucí hodnota anuity, anuita

Budoucí hodnota anuityBudoucí hodnota anuity

•pravidelné vklady jistiny (stejné částky) během celého období pravidelné vklady jistiny (stejné částky) během celého období spořeníspoření

•úroky z úrokůúroky z úroků

•spoření na vkladní knížku, otevřeného podílového fondu, spoření na vkladní knížku, otevřeného podílového fondu, stavební stavební spořeníspoření

AnuitaAnuita

•výše pravidelné (stále stejné) splátky úvěru během celého výše pravidelné (stále stejné) splátky úvěru během celého období spláceníobdobí splácení

•úroky z úrokůúroky z úroků

•splátka hypotéky, úvěru stavebního spoření, spotřebitelského splátka hypotéky, úvěru stavebního spoření, spotřebitelského úvěru, úvěru, pravidelné čerpání naspořené částky po určitou dobu pravidelné čerpání naspořené částky po určitou dobu ( důchod, renta)( důchod, renta)

Př: Kolik naspoří pan Trpělivý za 30 let, spoří-li pravidelně

měsíčně 1.000 Kč: na termínovaný vklad (Ø roční úrok 3%) do fondu peněžního trhu (Ø roční zhodnocení 6%) do akciového fondu (Ø roční zhodnocení 15%)

Př: Kolik bude muset pravidelně měsíčně splácet paní Důvěřivá, vezme-li si úvěr 1.000.000 Kč na 5 let za předpokladu, že úrok činí 12% p.a. a jde o anuitní splácení?

Peněžní tok:

Pohyb peněžních prostředků v čase (platby) a to jak příjmy (znaménko +) tak výdaje (znaménko - ).

Př: Uvažujme peněžní toky dané tabulkou a úrokovou mírou 4%

při a) ročním připisování úroků, b) spojitém připisování.

Vypočítejte jejich hodnotu ve čtvrtém roce.rokyroky 11 22 33 44Peněžní Peněžní tokytoky 00 100100 200200 300300

VZTAH MEZI BUDOUCÍ A SOUČASNOU VZTAH MEZI BUDOUCÍ A SOUČASNOU HODNOTOU – VÝNOS INVESTICE, VÝNOSOVÁ HODNOTOU – VÝNOS INVESTICE, VÝNOSOVÁ

KŘIVKA KŘIVKA

• Výnos do splatnosti pro pokladniční poukázku či Výnos do splatnosti pro pokladniční poukázku či bezkuponovou obligacibezkuponovou obligaci

• Výnosové křivkyVýnosové křivky

• Forvardová křivka (očekávání)Forvardová křivka (očekávání)

• DuraceDurace

• KonvexitaKonvexita

ObligaceObligace (Dluhopisy (Dluhopisy))je dlouhodobý cenný papír, který vyjadřuje je dlouhodobý cenný papír, který vyjadřuje dlužnický závazek emitenta vůči oprávněnému dlužnický závazek emitenta vůči oprávněnému majiteli dluhopisumajiteli dluhopisu• Doba splatnostiDoba splatnosti – kdy dochází ke splacení nominální – kdy dochází ke splacení nominální

hodnoty dluhopisuhodnoty dluhopisu• může být upravena – emitent si vyhradí právo na předčasné může být upravena – emitent si vyhradí právo na předčasné

splacení dluhopisů splacení dluhopisů • (call opce), toto právo může být dáno majiteli dluhopisu (put (call opce), toto právo může být dáno majiteli dluhopisu (put

opce)opce)• dluhopisy s pevnou kuponovou úrokovou sazboudluhopisy s pevnou kuponovou úrokovou sazbou• dluhopisy s pohyblivou kuponovou úrokovou sazbou (PRIBOR, dluhopisy s pohyblivou kuponovou úrokovou sazbou (PRIBOR,

LIBOR)LIBOR)• dluhopisy s nulovým kuponemdluhopisy s nulovým kuponem

• Cena dluhopisu Cena dluhopisu (P) – tržní, teoretická (P) – tržní, teoretickáMgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

• C – roční kuponová úroková platbaC – roční kuponová úroková platba

• F – nominální hodnota dluhopisuF – nominální hodnota dluhopisu

• Př:Př: Vypočítej teoretickou cenu dluhopisu s pevnou Vypočítej teoretickou cenu dluhopisu s pevnou kuponovou sazbou 10% p.a., nominální hodnotou 1000 Kč, kuponovou sazbou 10% p.a., nominální hodnotou 1000 Kč, se splatností 3 roky a při tržní úrokové míře 11%.se splatností 3 roky a při tržní úrokové míře 11%.

• - je – li kupon nulový P = - je – li kupon nulový P = F F = =

(1 + r)(1 + r)nn

.....111 32

• Výnos z dluhopisu Výnos z dluhopisu (r)(r)

kuponový úrokový výnoskuponový úrokový výnos

rozdíl mezi cenou kupní a prodejní (F)rozdíl mezi cenou kupní a prodejní (F)

• Př:Př: Jaký je výnos dluhopisu s dobou splatnosti 5 let, jestliže Jaký je výnos dluhopisu s dobou splatnosti 5 let, jestliže kupní cena byla 10 000 Kč a prodejní cena 21 000 Kč? kupní cena byla 10 000 Kč a prodejní cena 21 000 Kč? Úroky byly připisovány p.a., p.s., p.q. a p.m.Úroky byly připisovány p.a., p.s., p.q. a p.m.

Př:Př: Vypočítejte teoretickou cenu dluhopisu s nulovým Vypočítejte teoretickou cenu dluhopisu s nulovým kuponem se splatností 3 roky, nominální hodnota dluhopisu kuponem se splatností 3 roky, nominální hodnota dluhopisu činí 1000 Kč, při tržní úrokové míře 11% p.a.činí 1000 Kč, při tržní úrokové míře 11% p.a.

1nNK PV

Př:Př: Kolik bude stát obligace s nominální hodnotou 1 000 Kč, Kolik bude stát obligace s nominální hodnotou 1 000 Kč, splatná za 3 (5 let) roky, jestliže její výnos je 8% (9%)?splatná za 3 (5 let) roky, jestliže její výnos je 8% (9%)?

• Kuponová výnosnostKuponová výnosnost

• Běžná výnosnostBěžná výnosnost

Alikvotní úrokový výnosAlikvotní úrokový výnos (AUV) (AUV)

• část kuponového úrokového výnosu, odpovídající době od část kuponového úrokového výnosu, odpovídající době od výplaty posledního kuponu do dne, ke kterému jej počítámevýplaty posledního kuponu do dne, ke kterému jej počítáme

• Výnosové obdobíVýnosové období• AUVAUV%% = = pk * tv pk * tv • 360 360

• ppkk – kuponová úroková sazba dluhopisu – kuponová úroková sazba dluhopisu

• ttv v – délka výnosového období (A)– délka výnosového období (A)

Datum emise, datum výplaty posledního kuponu

Datum vypořádání obchodu

Datum výplaty dalšího kuponu

Výše AUV

360360 1.....

Cena dluhopisu

Čistá cena dluhopisu

PCL = P - AÚV

B – počet dní, od nákupu dluhopisu po výplatu kupónu

s – počet celých let do splatnosti dluhopisu

• Banka se rozhodla pro krátkodobou investici Banka se rozhodla pro krátkodobou investici a zakoupila T-bill (pokladniční poukázky v a zakoupila T-bill (pokladniční poukázky v USA) s nominální hodnotou 1 000 000 USA) s nominální hodnotou 1 000 000 $$ a a dobou splatnosti 13 týdnů nabízený za cenu dobou splatnosti 13 týdnů nabízený za cenu 968 710 968 710 $$. Za 60 dní však tuto poukázku . Za 60 dní však tuto poukázku prodala firmě, která potřebovala právě na prodala firmě, která potřebovala právě na jeden měsíc před jinou očekávanou investicí jeden měsíc před jinou očekávanou investicí vhodně umístit své rezervy a byla ochotna vhodně umístit své rezervy a byla ochotna za T-bill zaplatit 989 250 za T-bill zaplatit 989 250 $$. Byl takový . Byl takový prodej poukázky před jejím datem splatnosti prodej poukázky před jejím datem splatnosti výhodný?výhodný?

Jiný ukazatel výnosnosti- Jiný ukazatel výnosnosti- renditarendita – – zjednodušení výnosnosti do doby zjednodušení výnosnosti do doby

splatnostisplatnosti • Výnosnost za dobu Výnosnost za dobu

držby:držby:

• Př:Př: Uvažujte dva pětileté dluhopisy v nominální Uvažujte dva pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 6% a tržní cenu dluhopis 1 má kuponovou sazbu 6% a tržní cenu 9 560 Kč a dluhopis 2 má kuponovou sazbu 14% a 9 560 Kč a dluhopis 2 má kuponovou sazbu 14% a tržní cenu 10 670 Kč. Spočtěte a) běžný výnos b) tržní cenu 10 670 Kč. Spočtěte a) běžný výnos b) výnos do splatnosti c) aproximativní výnosy.výnos do splatnosti c) aproximativní výnosy.

• Př:Př: Uvažujte tři pětileté dluhopisy v nominální Uvažujte tři pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 9,8% a tržní cenu dluhopis 1 má kuponovou sazbu 9,8% a tržní cenu 10 000 Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a tržní 10 000 Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a tržní cenu 8 840 Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a cenu 8 840 Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a tržní cenu 11 280 Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) tržní cenu 11 280 Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) hrubý výnos do splatnosti, b) čistý výnos do hrubý výnos do splatnosti, b) čistý výnos do splatnosti s daňovou sazbou 15 %.splatnosti s daňovou sazbou 15 %.

• Př:Př: Jaké čisté výnosnosti dosáhne klient, jestliže Jaké čisté výnosnosti dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku 100 000 Kč na šestiměsíční uložil na počátku roku 100 000 Kč na šestiměsíční termínovaný vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a termínovaný vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční term. Vklad znovu okamžitě uložil na šestiměsíční term. Vklad při 12% úrokové sazbě p.a.?Úroky z vkladů při 12% úrokové sazbě p.a.?Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů ve výši 15%.podléhají dani z příjmů ve výši 15%.

• Př:Př: Dluhopis s pevnou kuponovou úrokovou Dluhopis s pevnou kuponovou úrokovou platbou má kup. Sazbu 10% p.a. , nominální platbou má kup. Sazbu 10% p.a. , nominální hodnotu 1 000 Kč a kupní cenu 950 Kč. Po jednom hodnotu 1 000 Kč a kupní cenu 950 Kč. Po jednom roce se dluhopis prodal za cenu 1 150 Kč. Jaká byla roce se dluhopis prodal za cenu 1 150 Kč. Jaká byla hrubá a čistá výnosnost, jestliže úroky podléhají hrubá a čistá výnosnost, jestliže úroky podléhají dani z příjmu 25%.dani z příjmu 25%.

VÝNOSOVÉ KŘIVKYVÝNOSOVÉ KŘIVKY

•vztah mezi výnosem do splatnosti a dobou do vztah mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti dluhopisů (státní)splatnosti dluhopisů (státní)

•konkrétní dluhopisy lišící se pouze dobou do konkrétní dluhopisy lišící se pouze dobou do splatnosti (shodné další vlastnosti)splatnosti (shodné další vlastnosti)

•s delší dobou do splatnosti větší výnos (rostoucí)s delší dobou do splatnosti větší výnos (rostoucí)

Výnosová křivka:Výnosová křivka:

• bezkuponových dluhopisů bezkuponových dluhopisů

• kuponových dluhopisů kuponových dluhopisů

• Forwardová Forwardová

Př:Př: Máme tři kuponové dluhopisy v nom. hodnotě Máme tři kuponové dluhopisy v nom. hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony.10 000 Kč s ročními kupony.

1 - jednoletý s kup. sazbou 5,8% a tržní cenou 9 1 - jednoletý s kup. sazbou 5,8% a tržní cenou 9 980 Kč.980 Kč.

2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a tržní cenou 2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a tržní cenou 9 960 Kč.9 960 Kč.

3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a tržní cenou 9 920 3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a tržní cenou 9 920 Kč.Odhadněte odpovídající hodnoty výnosové Kč.Odhadněte odpovídající hodnoty výnosové křivky bezkuponových dluhopisů.křivky bezkuponových dluhopisů.

FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekávání)FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekávání)

• znázorňuje závislost mezi forwardovými výnosy do znázorňuje závislost mezi forwardovými výnosy do splatnosti a dobou do splatnosti bezkuponových či splatnosti a dobou do splatnosti bezkuponových či kuponových dluhopisůkuponových dluhopisů

• křivky rostoucí: forwardová leží vždy nad křivky rostoucí: forwardová leží vždy nad výnosovými křivkamivýnosovými křivkami

• je z roku na rok, z roku na dva, z roku na tři je z roku na rok, z roku na dva, z roku na tři ……………………

• křivky klesající: forwardová leží vždy pod křivky klesající: forwardová leží vždy pod výnosovými křivkamivýnosovými křivkami

• je-li rostoucí: trh očekává zvýšení úrokových sazebje-li rostoucí: trh očekává zvýšení úrokových sazeb

• je-li klesající, očekává snížení úrokových sazebje-li klesající, očekává snížení úrokových sazeb

• Př:Př: Zjistěte body forwardové výnosové křivky, jestliže znáte Zjistěte body forwardové výnosové křivky, jestliže znáte body výnosové křivky: y1* = 8%, y2* = 9%, y3* = 10% při body výnosové křivky: y1* = 8%, y2* = 9%, y3* = 10% při spojitém připisování úroků.spojitém připisování úroků.

DURACEDURACE

• Je to aritmetický průměr dob do splatnosti Je to aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise.plateb diskontovaných ke dni emise.

• průměrná doba do splatnostiprůměrná doba do splatnosti

• průměrná doba pro získání příjmů spojených průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova)s dluhopisem (Macaulayova)

• dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních tržních sazeb (modifikovaná) sazeb (modifikovaná)

Durace je tím nižší čím: Durace je tím nižší čím:

• vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti do splatnosti

• dříve platba z daného instrumentu dříve platba z daného instrumentu nastávánastává

• kratší je celková doba do splatnostikratší je celková doba do splatnosti

čím menší hodnota durace, tím menší jsou čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazebzměnám tržních úrokových sazeb

• Př:Př: Vypočítejte D Vypočítejte DMacMac , D , Dmodmod dluhopisu s pevnou dluhopisu s pevnou kuponovou úrokovou sazbou 8%, jestliže nominální kuponovou úrokovou sazbou 8%, jestliže nominální hodnota dluhopisu je 1.000 Kč, doba do splatnosti hodnota dluhopisu je 1.000 Kč, doba do splatnosti 3 roky, aktuální tržní cena je 950,25 Kč a 3 roky, aktuální tržní cena je 950,25 Kč a výnosnost do doby splatnosti tedy 10%. (Kuponové výnosnost do doby splatnosti tedy 10%. (Kuponové platby jsou vypláceny 1x ročně, první bude platby jsou vypláceny 1x ročně, první bude následovat za rok). následovat za rok).

O kolik se změní cena tohoto dluhopisu, jestliže se O kolik se změní cena tohoto dluhopisu, jestliže se změní úrokové sazby o 1%. Vypočítej přímo a pomocí změní úrokové sazby o 1%. Vypočítej přímo a pomocí durace.durace.

Změny hodnot dluhopisu při Změny hodnot dluhopisu při změnách tržní úrokové míry.změnách tržní úrokové míry.

• Př:Př: Vypočítejte změny počáteční a koncové Vypočítejte změny počáteční a koncové hodnoty tříletého dluhopisu v nominální hodnotě hodnoty tříletého dluhopisu v nominální hodnotě 10.000 Kč s ročními kupony a kup. sazbou 10% při 10.000 Kč s ročními kupony a kup. sazbou 10% při tržní úrokové míře 10%, jestliže tržní úroková míra tržní úrokové míře 10%, jestliže tržní úroková míra klesne (vzroste) o 5% (tj. klesne (vzroste) o 5% (tj. i = i = ++ 5 %). 5 %).

Změna ceny dluhopisu jako reakce Změna ceny dluhopisu jako reakce na změny tržní úrokové míryna změny tržní úrokové míry

yDPP mod

KONVEXITAKONVEXITA

• Zpřesnění aproximací výpočtu durace se nazývá Zpřesnění aproximací výpočtu durace se nazývá konvexita.(CX)konvexita.(CX)

DLUHOPISOVÉ DLUHOPISOVÉ PORTFOLIOPORTFOLIO

• čím menší hodnota durace, tím menší čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazebzměnám tržních úrokových sazeb

• - vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem: - vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem:

1. PV ↑ 1. PV ↑ y↓ y↓

2. PV ↓ 2. PV ↓ y↑ y↑

• Při změně ve výnosech hrozí: Při změně ve výnosech hrozí:

• a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy)výnosy)

• b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy)výnosy)

Investiční horizont:Investiční horizont:

• krátký krátký utrpíme ztrátu při vzestupu utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů výnosů

(kapitálová ztráta (kapitálová ztráta výnos z reinvestice) výnos z reinvestice)

• dlouhý dlouhý utrpíme ztrátu při poklesu výnos utrpíme ztrátu při poklesu výnos

(ztráta z reinvestice (ztráta z reinvestice kapitálový výnos) kapitálový výnos)

Snaha o eliminaci obou uvedených rizik Snaha o eliminaci obou uvedených rizik (imunizaci): (imunizaci):

Je-li investiční horizont roven Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při a ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů. vzestupu i poklesu výnosů.

• Durace portfolia složeného z dluhopisů je Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr durací jednotlivých vážený průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.celkové ceně portfolia.

• D = wD = w11DD11 + w + w22DD22 + …. + w + …. + wnnDDnn

1.000.000

• Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%

• Jak budeme investovat částku 600 000Kč do Jak budeme investovat částku 600 000Kč do dluhopisového portfolia, jestliže je náš IH roven 6 dluhopisového portfolia, jestliže je náš IH roven 6 letům a portfolio je složeno z dluhopisů A a B. Jak letům a portfolio je složeno z dluhopisů A a B. Jak se změní jeho cena, jestliže úroky klesnou se změní jeho cena, jestliže úroky klesnou (vzrostou) o 1%.(vzrostou) o 1%.

A: n=10, c=0%, y=4%, FV= 2000Kč A: n=10, c=0%, y=4%, FV= 2000Kč

B: n=3, c=4%, y=2%, FV= 2000KčB: n=3, c=4%, y=2%, FV= 2000Kč

DERIVÁTY

Forvardové kontrakty – forvardy Opční kontrakty – opce

termínované kontrakty – plnění v budoucnosti

ForvardForvard – „ – „závazekzávazek“ koupit či prodat “ koupit či prodat

OpceOpce – „ – „právoprávo“ koupit či prodat“ koupit či prodat

• určitý počet akciíurčitý počet akcií

• za určenou cenu za určenou cenu

• k dohodnutému datuk dohodnutému datu

DlouháKrátká

dlouhá pozice – kupuje

krátká pozice – prodává

Evropské – opce může být uplatněna pouze v čase T

Americká – opce může být uplatněna i před časem T

Call opce uplatněna právě tehdy když ST > X – zisk = max { ST - X ; 0}

Put opce uplatněna právě tehdy když ST < X – zisk = max { X - ST; 0}

Call long

Call short

Put long

ziskcena

XPut short

Literatura:

P. Budinský, P. Záškodný: Finanční a investiční matematika, Praha 2004

finanČnÍ matematika

Documents

finanční matematika

finanční matematika v osobních a rodinných...

finanční systém

finanční řízení projektu

finanční politika

finanČnÍ instituce

finanční řízení

finanční kontrola

finanČnÍ dokumenty (obligace)

finanční instituce

finanČnÍ trh

mezinárodní finanční trhy

finanční deriváty

finanční trh téma „finanční trh“

souhrn teorie pravděpodobnosti - univerzita...

finanČnÍ systÉm

finanční účetnictví

finanční matematika 1. · matematika pro 9. ročník...

finanční účetnictví rozpočtové

finanČnÍ matematika