föreläsning 3 moment. tyngdpunkt. fackverk....beräkningssteg för att hitta tyngdpunkten i en...
Post on 18-Sep-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Föreläsning 3 Moment. Tyngdpunkt. Fackverk.
Byggnadstekniska konstruktioner, 1BY034, VT-15
Tyngdpunkt
den punkt kring vilken
alla
tyngder/massor/volymer/ytor/linjer
balanserar
Katapult
Öppningsbar bro, Malmö hösten 08
Calatrava Seville, Puente del Alamillo
Koserthuset Växjö, vintern 08/09
Lodlinjen går alltid genom tyngdpunkten på en kropp
Newtons tröghetslag, summan av alla krafter verkande på en kropp i vila är noll.
TP
F1+F2
F1+F2
Tyngdpunkt Du vet var personerna sitter!
Var ska plinten stå om brädan
ska vara horisontell?
Moment/ Tyngdpunkt
Fr= F1+F2
F1+F2
För att finna tyngdpunkten för en kropp bestående av ”delkroppar” söks avståndet (i x, y och z- led)
från en känd referenspunkt till den obekanta punkten.
Sammanlagda verkan av delkropparna runt referenspunkten är lika som verkan av helheten runt
referenspunkten.
Tyngdpunkt
F2 F1
Verkan runt en vald referenspunkt är densamma för F1 och F2 som för F
i
ii
tp
F
xF
FF
xFxFx
21
2211
F=F1+F2
x2
x1
xtp
F1x1+F2x2=Fxtp
Vald referenspunkt/ axel
F=F1+F2
Tyngd –volym*densitet*gravitation
Gravitationen är konstant men volym och densitet kan variera
F1=g*V*ρ= 10*10*100= 10000N = 10kN
F2=g*V*ρ= 10*1*1000= 10000N = 10kN
F2
F1
Vi vet att F= m*g Det innebär att om g är detsamma får vi bryta ut det ur vårt
uttryck och förkorta bort det och kvar blir massan m
i
ii
i
ii
m
xm
F
xF
FF
xFxFx
21
2211
Massan m beror som vi tidigare sett av densitet, ρ, och volym V
För att variera vårt tyngdpunktsläge, x, kan vi alltså variera just dessa saker!
Tyngdpunkt
Vi vet att F= m*g Det innebär att om g är detsamma får vi bryta ut det ur vårt uttryck och
förkorta bort det och kvar blir massan m Vi vet också att m= V*ρ
Vilket innebär att ρ kan brytas ut ock förkortas om vi har samma material i alla delar.
V=A*t Är dessutom materialet plant och jämntjockt kan tjockleken t förkortas.
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
A
xA
V
xV
m
xm
F
xF
FF
xFxFx
21
2211
Massan m beror som vi tidigare sett av densitet, ρ, och volym V
För att variera vårt tyngdpunktsläge, x, kan vi alltså variera just dessa saker!
Tyngdpunkt
Beräkningssteg för att hitta tyngdpunkten i en kropp
I detta fall antar vi samma densitet och tjocklek i hela kroppen
1 1
3
1
A1
A2
1. Dela in kroppen i lämpliga delar och måttsätt.
2. Gör en tabell för beräkning av tyngdpunktsläget.
3. Bestäm referenspunkt.
4. Bestäm areor och avstånd till referenspunkten.
5. Bestäm Aixi
6. Summera Ai och Aixi
7. Eftersom summan av delytornas vridning runt ref.
pkt. är samma som hela ytans vridning kan nu
xtp beräknas som
Delyta Ai xi Ai xi
1 3 0,5 1,5
2 1 1,5 1,5
Summa 4 3
B
4
3
13
5,115,03
21
2211
AA
xAxA
A
xAx
i
ii
tp
x1
x2
Bestäm läget av tyngdpunkten i kroppen
1 2 1
1
1
4 A1
A2
A3 A4
Delyta Ai xi Ai xi
1 6 0,5 3
2 2 2 4
3 8 2 16
4 6 3,5 21
Summa 22 44
1. Dela in kroppen i lämpliga delar och måttsätt.
2. Gör en tabell för beräkning av tyngdpunktsläget.
3. Bestäm referenspunkt.
4. Bestäm areor och avstånd till referenspunkten.
5. Bestäm Ai*xi
6. Summera Ai och Ai*xi
7. Eftersom summan av delytornas vridning runt ref.
pkt. är samma som hela ytans vridning kan nu xtp
beräknas som
B
22
44
i
ii
tp
A
xAx
Bestäm läget av tyngdpunkten i kroppen
1 2 1
1
1
4 A1
A2
Delyta Ai xi Ai xi
1 4*6=24 2 48
2 -2 2 -4
Summa 22 44
1. Dela in kroppen i lämpliga delar och måttsätt.
2. Gör en tabell för beräkning av tyngdpunktsläget.
3. Bestäm referenspunkt.
4. Bestäm areor och avstånd till referenspunkten.
5. Bestäm Ai*xi
6. Summera Ai och Ai*xi
7. Eftersom summan av delytornas vridning runt
ref. pkt. är samma som hela ytans vridning kan
nu xtp beräknas som
B
22
44
i
ii
tp
A
xAx
Randvillkor
Vi har pratat om krafter och laster på konstruktionselement och
konstruktioner.
För att dessa inte ska röra sig när de utsätts för last, utan
istället svara med en reaktionskraft krävs randvillkor.
Dessa villkor definierar egenskaperna där det
studerade elementet eller konstruktionen möter omgivningen.
I 2 dimensioner har vi 3 frihetsgrader,
och i 3 dimensioner har vi 6 frihetsgrader.
Ofta kan vi förenkla diskussionen till 2 D, men inte alltid!
2D 3D
Fritt upplagd balk
Konsolbalk
Två av de vanligaste balktyperna är
I plana system förekommer tre olika reaktionskrafter, 2 i
translation och ett i rotation. Dessa kan låsas med olika
randvillkor.
Exempel på fritt upplagd balk och konslobalk!
Brofäste, Stutgart Kommunföråd i Hohenemmes Schweiz, -05
Exempel på randvillkor på pelare
Inspänningsvillkor kan ibland vara otydliga
Stöd och upplag 2D – rullager vertikala frihetsgraden låst
Ry
Exempel på rullager – i detta fall på en bro
Washington, D.C.
Stöd och upplag 2D – fixlager horisontella och vertikala frihetsgraden låst
Rx
Ry
Exempel på fixlager
Ev. Göteborgsoperan
Stöd och upplag 2D – fast inspänd horisontellt, vertikalt och rotation låst
Typer av stöd Motsvarande låsning av frihetsgrader
Rx
Ry
Mz
Randvillkor - inspänning
Fixlager Fast inspänning
Fast inspänt (momentstyvt) och ledat inspänt
Randvillkor i träkonstruktioner – fjädrande randvillkor som ofta förenklas beräkningsmässigt
Upplagt bjälklag Inhängt bjälklag
Fackverk
Fackverk
- Fackverket är uppbyggt av stänger
- I dessa stänger finns enbart krafter verkande i normalriktningen (tryckande eller dragande)
- Verkningslinjerna i tryckta och dragna stänger möts i en punkt – en knutpunkt
- Knutpunkten antas friktionsfritt ledad
- Stångkrafterna kan beräknas med jämvikt genom knutpunktsmetoden i ett statiskt bestämt fackverk.
Knutpunktsmetoden för att
beräkna stångkrafter • Frilägg fackverket och beräkna
reaktionskrafterna.
• Frilägg en knutpunkt med två obekanta
stångkrafter och ställ upp vertikal och
horisontell jämvikt.
• Obekanta stångkrafter ritas alltid ”ut” från
den snittade stången.
• Ofta bestäms först upplagskrafterna
genom att frilägga hela fackverket
och använda kraft- och
momentjämvikt
Att bestämma stångkrafterna i fackverk:
• Därefter bestäms stångkrafterna genom att frilägga
lämpliga delar av fackverket och utnyttja jämviktsekvationer
Knutpunktsmetod
• Frilägg varje knutpunkt för sig
• Använd horisontell och vertikal jämvikt
för att bestämma obekanta stångkrafter
• 2 ekvationer – max två obekanta krafter
Snittmetod
• Frilägg en del av fackverket
• Använd horisontell och vertikal jämvikt
samt momentjämvikt för att bestämma
obekanta stångkrafter
• 3 ekvationer – max 3 obekanta krafter
Exempel - Knutpunktsmetoden
Bestäm stångkrafterna AB, BD och DE.
A B
x
y
D E
C
1 2
1
m
1.0 kN
Knutpunktsmetoden för att bestämma stångkrafter
(Frilägg en knutpunkt i taget, max två obekanta
stångkrafter)
A B
x
y
D E
C
1.0 kN
N
N CB
CE
α
N CE × sin α
NCE × cos α
Frilägg knutpunkten C
Knutpunktsmetoden för att bestämma stångkrafter
(Frilägg en knutpunkt i taget, max två obekanta
stångkrafter)
A B
x
y
D E
C N BA
α Frilägg knutpunkten B
N BD
2.0 kN
1.0 kN
Stångkrafter - resultat
A B
D
E
C
Drag
Tryck
En tryckt stång trycker på knutpunkten ...
top related