geseran (translasi) .pdf

Amaliadewi29.blogspot.com

1

GESERAN (TRANSLASI)

Translasi adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar

Teorema 1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka " = " dengan

" = () dan " = ().

Bukti

Pilih sebuah system koordinat dengan misalnya g sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus

pada g, sebagai sumbu x (gambar 1.1)

Andaikan = (1, 2) dan = (1, 2). Kalau N tengah-tengah ruas garis " maka harus

dibuktikan () = ". Andaikan persamaan h adalah = ( 0), apabila = (, ) dan

= () maka memotong h di sebuah titik (, ) dengan sebagai titik tengah ,

jadi = () = (2 , ) sedangkan () = (, ).

Amaliadewi29.blogspot.com

2

Jadi () = () = [(, )] = (2 + , )

Jadi pula =MhMg(A)=(2x+a1,a2)

B" = MhMg(B)=(2x+b1,b2)

Oleh karena N titik tengah " , maka

= {(2 + a1) + b1

2

a2 + b22

}

Sedangkan () = 2 |2+a1+b1

2| . a1, 2 |

a2+b2

2. a2|

Atau () = (2 + b1,b2 = "

Dengan demikian maka " = "

Jadi setiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya oleh

adalah ekuivalen dengan setiap ruas garis berarah seperti diatas. Jadi, hasil transformasi

adalah seakan-akan kita menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah.

Transformasi demikian dinamakan translasi (geseran).

Definisi

Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah sehingga setiap

titik P pada bidang menjadi P dengan G(P) = P dan = .

Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau suatu garis berarah maka

dengan lambing kita maksud sebuah geseran yang sesuai dengan ;

Teorema 2

Jika = maka =

Bukti

Andaikan () = 1 dan () = 2

Jadi 1 = dan 2 =

Amaliadewi29.blogspot.com

3

Karena = maka 1 = 2 , ini berarti bahwa 1 = 2

Sehingga = .

Teorema 3

Jika sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan A (a, b) dan T transformasi

yang didefinisikan untuk semua titik P (x, y) sebagi T(P) =(x + a, y+b) maka = .

Bukti

Misalkan = () = (, )

= jika (, ) diperoleh hubungan

= 0

= +

= +

= 0

= +

= +

= (( + )( + )) = (), = =

(, ),

Teorema 4

Jika = (, ), (, )dan (, ), maka () = (( ) + , ( ) + )

Bukti

Amaliadewi29.blogspot.com

4

Misalkan = = = (0, 0)

Berdasarkan ruas berarah

0 0 = 0 =

0 = 0 =

= (( ), ( )) karena =

= 0 , berdasarkan teorema 3

() = 0 () = (( ) + , ( ) + )