順位ヅヺソ解析とhodge分解 （理論、゠ラゲヨジ...

順位データ解析とＨｏｄｇｅ分解（理論、アルゴリズム、応用）

坂田年男坂田年男坂田年男坂田年男 九大九大九大九大 芸工芸工芸工芸工角角角角 俊雄俊雄俊雄俊雄 九大九大九大九大 芸工芸工芸工芸工宮崎充弘宮崎充弘宮崎充弘宮崎充弘 京都教育大京都教育大京都教育大京都教育大

代数統計学による数理統計の新たな展開代数統計学による数理統計の新たな展開代数統計学による数理統計の新たな展開代数統計学による数理統計の新たな展開つくば国際会議場つくば国際会議場つくば国際会議場つくば国際会議場１月１９日－２０日１月１９日－２０日１月１９日－２０日１月１９日－２０日

Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ Ｄａｔａ Ａｎａｌｙｓｉｓの一部として位置づけ

１．ＴＤＡの簡単な紹介

（目的、人物、文献）

２．ＴＤＡの統計への応用の紹介

２．１ 順位データとＨｏｄｇｅ分解

２．２ 多様体Ｍ上の点データからＭを知る

２．３ 多様体Ｍ上の関数（回帰、密度）

２．４ 判別、ＭＤＳ,クラスタリングの新しい視点

Ｔopological data analysis

� 多様体上のデータから多様体の幾何学的

特徴を抽出する

□多様体上の関数データから関数の性質を知る

□ グラフ（ネットワーク）の幾何学的特長を抽出する

手法：複体のHOMOLOGY理論、複体の上昇列とPersistent Homology, MORSE理論

などを使う

：

位相幾何学の特徴が生きる場面（G.Carlsson:Topology and Dataより)

� 定量的よりも定性的情報が重要な場合定量的よりも定性的情報が重要な場合定量的よりも定性的情報が重要な場合定量的よりも定性的情報が重要な場合

� 距離が理論的に正当化されない場合距離が理論的に正当化されない場合距離が理論的に正当化されない場合距離が理論的に正当化されない場合

（生物学における類似性など）（生物学における類似性など）（生物学における類似性など）（生物学における類似性など）

□□□□ 座標が自然でない場合座標が自然でない場合座標が自然でない場合座標が自然でない場合

□□□□大量データの定性的な要約がパラメータの具体的値大量データの定性的な要約がパラメータの具体的値大量データの定性的な要約がパラメータの具体的値大量データの定性的な要約がパラメータの具体的値

よりも重要（パラメータの変化に対するモデルの定性よりも重要（パラメータの変化に対するモデルの定性よりも重要（パラメータの変化に対するモデルの定性よりも重要（パラメータの変化に対するモデルの定性的変化に関心がある）的変化に関心がある）的変化に関心がある）的変化に関心がある）

TDAにおける道具

� グラフ理論

� 単体的複体(点、直線、三角形、四面体、、、の集合）

� Homology 代数（loopの分類ができる）

� Parsistent Homology（複体の上昇列に対するHomologyの変化を表現）

� モース理論 レベル空間{f１＝＜c}の性質を調べる。臨界点ｃでのみ位相構造が変わる

多様体Ｍの有限点列データからＭを知る

� 多様体M�点データ{x1,x2,…,xn}＝＞

単体複体の構成、例えば、

Vietris－Rips複体： ｋ－部分集合の全ての点間相互距離がepsilon以下�ｋ－単体をなすと定義した複体

単体的複体Fと多様体MがHomotopyequivalent�Mの代わりにFを調べればよい

ＴＤＡの研究者群

� G.Carlson（Topology and Data Bull.ＡＭＳ２００9,v0l29,255-308）,

� G.Carlson (Talk:Persistent homolog and high dimensional data analysis)

� A. Tausz and G. Carlson(APPLICATIONS OF ZIGZAG PERSISTENCE TO TOPOLOGICAL DATA ANALYSIS(Ａｒｘｉｖ．Ｏｒｇ／ｐｄｆ／１１０８．３５４５）

� R.Christ（Barcodes:The persistent topology of data, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (2008), 61-75 ）

� V. de Silva and R. Ghrist, (Coordinate-free coverage in sensor networks with controlled boundaries via homology,International Journal of Robotics Research, vol25 Issue 12,2006)

� A.Zomorodian (Computing parsistent homology,Discrete & Computational Geometry,33,2,2005)

� P. Bubenik and P.Kim(A statistical approach to persistent homology,Homology,Homotopy, and Applications,9,2,337-362,2007)

� P. Bubenik(Several talks:Multivaraite TDA（２００８）,Estimating the topology of functions on manifolds from noisy data(2009), Nonparametrix regression for topology, applied to brain imaging data(2010),Persistent homology and statistical inference:Persitentlandscape(2012)

� P. Bubenik他(Statistical topology via Morse theory persistency and nonparametric estimation,Algebraic methods in statisitics and probability II.comtemporary mathematics,516,75-92,2010)

� M.K.Chung, P. Bubenik, P.Kim(Persistence Diagrams of Cortical Surface DataLecture Notes in Computer Science, 5636 (2009), 386-397)

統計との関連性のある話題

� 方向データ（球面データ）と回帰

� 方向データ（球面データ）と密度推定

� ＭＤＳ，クラスタリング、判別の新しい視点を

与える可能性

まだあまり多くの実用例はないが、

○糖尿病患者の判別

○肺がん患者の画像診断

○ネットワーク解析

統計的応用の文献

� J. Gamble and G.Heo, (Exploring uses of persitent homology for statistical analysis of landmark-based shape data, J.MultivariateAnalysis,2010,vol.101,pp.2184-2199)

� M.Lee 他(Comarison of Pattern detection methods in microaaray time series of the segmentation clock, Plos one open access journal,2008)

� G. Sign 他（Topological Methods for the Analysis of High Dimensional

Data Sets and 3D Object Recognition、2007）

□□□□ Monica Nicolau1, Arnold J. Levine2, Gunnar Carlsson（Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival（（（（Proc Natl Acad Sci U S A. 2011 Apr 26;108(17):7265-70. Epub 2011 Apr 11.）

Hodge decompositionの文献� Xiaoye Jiang � Lek-Heng Lim � Yuan Yao �Yinyu Ye（（（（Statistical ranking and

combinatorial Hodge theory、、、、Math. Program., Ser. B (2011) 127:203–244）。

� Zhanglong JI, Yang AN, Ying CHEN, Yuan YAO, Jun XU, Hang LI（Hodge decomposition of paird camparison flows in Click-through data. Tech Report, appeared in The 6th Joint Workshop on Machine Perception and Robotics (MPR), Fukuoka, Japan, 2010.)

� Qianqian Xu, Qingming Huang, Tingting Jiang, Bowei Yan, Yuan Yao, and Weisi Lin, (HodgeRank on Random Graphs for Subjective Video Quality Assessment, IEEE Transactions on Multimedia, submitted.)

� Qianqian Xu, Tingting Jiang, Yuan Yao, Qingming Huang, BoweiYan, Weisi Lin. (Random Partial Paired Comparison for Subjective Video Quality Assessment via HodgeRank. ACM Conference on Multimedia (MM), 2011.)

� L.J. Grady and J.R.Polimeni(Discrete Calculus, Springer, 2010)

TDAの一つとしての対比較のの一つとしての対比較のの一つとしての対比較のの一つとしての対比較のHODGE 分解分解分解分解(Xiaoye Jiang � Lek-Heng Lim � Yuan Yao �Yinyu Ye

（（（（Statistical ranking and combinatorial Hodge theoryからからからから)

� 対比較の順位データは古から統計解析の対象である対比較の順位データは古から統計解析の対象である対比較の順位データは古から統計解析の対象である対比較の順位データは古から統計解析の対象であるが、最近でも会社の格付けデータやＷＥＢのページラが、最近でも会社の格付けデータやＷＥＢのページラが、最近でも会社の格付けデータやＷＥＢのページラが、最近でも会社の格付けデータやＷＥＢのページランクどの分野で議論がンクどの分野で議論がンクどの分野で議論がンクどの分野で議論が活発なデータ形式である。活発なデータ形式である。活発なデータ形式である。活発なデータ形式である。

２０１１年のＪｉａｎ－Ｌｉｍ－Ｙ２０１１年のＪｉａｎ－Ｌｉｍ－Ｙ２０１１年のＪｉａｎ－Ｌｉｍ－Ｙ２０１１年のＪｉａｎ－Ｌｉｍ－Ｙan－Ｙｅの論文は順位－Ｙｅの論文は順位－Ｙｅの論文は順位－Ｙｅの論文は順位データ解析にＨｏｄｇｅ分解が利用できることを示した。データ解析にＨｏｄｇｅ分解が利用できることを示した。データ解析にＨｏｄｇｅ分解が利用できることを示した。データ解析にＨｏｄｇｅ分解が利用できることを示した。

� 本稿は本稿は本稿は本稿はJ-L-Y-Yの理論の概要を紹介し、作成したＲの理論の概要を紹介し、作成したＲの理論の概要を紹介し、作成したＲの理論の概要を紹介し、作成したＲとＡＳＩＲによる解析プログラミングについてコメントすとＡＳＩＲによる解析プログラミングについてコメントすとＡＳＩＲによる解析プログラミングについてコメントすとＡＳＩＲによる解析プログラミングについてコメントする。また、それを用いて、具体的なデータについて理る。また、それを用いて、具体的なデータについて理る。また、それを用いて、具体的なデータについて理る。また、それを用いて、具体的なデータについて理論を適用した結果について紹介する。論を適用した結果について紹介する。論を適用した結果について紹介する。論を適用した結果について紹介する。

� 最後に研究の最新の動向についても紹介する最後に研究の最新の動向についても紹介する最後に研究の最新の動向についても紹介する最後に研究の最新の動向についても紹介する

データを読む

� データの意味を摑む為に、データを意味のある空間へ射影し分解することはデータ解析の基本的な手法である。

� ＨＯＤＧＥ分解もそのような理論の一つである。適用されるのは対比較データである。

目的は対比較＝大域一致順序(Gradiant flow)

+局所一致かつ大域不一致（curl=0, div=0)＋大域不一致かつ局所不一致（curl div=0 )

に分解することである。

0≠

対比較データのグラフ表現

� 頂点集合(比較対象）

� 辺（対比較の実施された対）

}{1,2,...,V n=

１２２２２

３３３３

４４４４

}{{ }{ }{ }{ }1, 2 , 1,3 , 1, 4 , 3, 4Edge =

辺の値＝評価値の差

� 辺の値＝番号の高い方の対象の評価値ー 番号の低い方の対象の評価値

� ２は１より２低い、３は１より１高い、４は１より

３高い、 ４は３より２高い

１１１１

２２２２

３３３３

４４４４

－２

１

２

３

対比較グラフの交代行列表現

� 対比較グラフに対して交代行列Ｘを対応させる。

� 辺 に数値aが

乗っている場合

� jの評価がiよりaだけ高い、iの評価がｊより

aだけ低いので、X(i,j)=a,X(j,i)=-aと定め

比較されていない対の場合は０と置くと対比較辺グラフは交代行列Xと対応する。

{, }, ,i j i j<ただし

関数空間 とgrad()作用素� 頂点集合Ｖ上の関数の全体を で表す。ベクトル=ｓ（ｓ１,ｓ２,�,sn)の全体とも考えられる。

で作用素 を定めgrad()と呼ぶ。内積を以下で定める

注意： Im(grad)は大局的一致評価の全体を表す。

0C

0C

0 1

0

0

( ) :

[ ]( , ) ( ) ( )

grad C C

s i j s j s i

δ

δ

→

= −

0δ

0δ

0, ( ) ( )i V

s t s i t i∈

< > = ∑

交代行列の空間を関数の空間 とみる

� 交代行列の空間はまたＶｘＶ上の関数空間とみなせる

� 任意の重み関数W=(Wij), Wij>0により、

内積を以下のように定める。

{ }1 | ( , ) ( , ), ( , ) 0C X X i j X j i X i i= = − =

{ }1, ,, ( , ) ( , ) ( , )

W i j EdgeX Y W i j X i j Y i j

∈=∑

1C

関数空間 とcurl()作用素

� ＶxVxV上の関数の中で

�

�

を満たし、その他では０ となるものの全体を で表す。

所謂、交代テンソルの全体とも考えられる。Ｃｕｒｌ写像を以下で定める

2C

2C

1 2

1

1

( ) :

[ ]( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

curl C C

X i j k X i j X j k X k i

δ

δ

→

= + +

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

i j k j k i k i j j i k

i k j k j i

Ψ = Ψ = Ψ = −Ψ

= −Ψ = −Ψ

{ , , } ( )i j k T E∈すべての に対し、

辺の3角形の集合 Ｔ（Ｅ）

� ただし、前頁のＴ（Ｅ）を次のごとく定めている。

� の内積を以下で定める。

( ) {{ , , }||{ , },{ , },{ , } }T E i j k i j j k k i E= ∈2C

1 2 2 1 2

{ , , } ( )

, ( , , ) ( , , )i j k T E

i j k i j k∈

<Θ Θ > = Θ Θ∑

写像が定める のＨＯＤＧＥ分解

� 次の写像の連鎖を考える。

� ここで, は次で定める。

* * *10 01( )( ) ( )( )

0 1 2 1 0curlgrad divcurl

C C C C Cδδ δδ −

→ → → →

*

0 1, 0 0

*

1 2 1 1,

, ,

, ,

W

W

s X s X

X X

δ δ

δ δ

< > =< >

< Θ > =< Θ >

* *

0 1,δ δ

1C

基本関係式

� よって、

� また、

� より

*

0 0Im( ) Im( ) ( ) ( )grad Ker Ker divδ δ⊥ ⊥= = =

1 *

0 0Im( ) ( ) Im( ) ( )C Ker grad Ker divδ δ= ⊕ = ⊕

1 * *

1 1( ) Im( ) ( ) Im( )C Ker Ker curl curlδ δ= ⊕ = ⊕

*

1 1Im( ) Im( ) ( ) ( )curl Ker Ker curlδ δ⊥ ⊥= = =

証明

� 定義より � 左を使う

* *

1 0 0 1( ) 0 , ( ) 0δ δ δ δ= =

[ , ] [ , ] [ , ]

( [ ] [ ]) ( [ ] [ ])

( [ ] [ ])

0

Y i j Y j k Y k j

s j s i s k s j

s i s k

+ +

= − + −

−

=

1 0

*

0 1

* *

0 1

* *

0 0

* *

0 0

( ), 0, ,

( ), ( ) 0, ,

, ( ) 0, ,

( ) 0,

0

s T s T

s T s T

s T s T

T T

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

< >= ∀

< >= ∀

< >= ∀

= ∀

=

�

�

�

�

基本関係式の証明

最初の等号 � 2番目の等号

0 0

*

0

*

0

* *

0 0

Im( ) ( ), 0,

, ( ) 0,

( ) 0

( ) ( )

X s X s

s X s

X

X Ker

δ δ

δ

δ

δ δ

⊥∈ ⇔< >= ∀

⇔< >= ∀

⇔ =

⇔ ∈

*

1

*

1

1

1

1

Im( )

, ( ) 0,

( ), 0,

( ) 0

( )

X

X T T

X T T

X

X Ker

δ

δ

δ

δ

δ

⊥∈

⇔< >= ∀

⇔< >= ∀

⇔ =

⇔ ∈

のＨＯＤＧＥ分解

� 次の包含関係が成り立つ

� これより次の表現が導かれる

*0, 0

Im( ) ( ), Im( *) ( ).

curl grad div curl

grad Ker curl curl Ker div

= =

⊆ ⊆

� � より

( ) ( ) (Im( ) Im( ) )

( ) (Im( ) ( ))

Im( )

Im( )

( ( ) (

(

))

Ker curl Ker curl grad grad

Ker curl grad K

Ker curl Ker div

er div

grad

gra Harmonid c

⊥= ⊕

= ⊕

= ⊕

= ⊕

∩

∩

∩

定議）

1C

のＨｏｄｇｅ分解

� よって、次のHodge分解を得る。

� Ｈａｍｏｎｉｃ順位は（１）任意の三角形で無矛盾で

（２）任意の頂点でinflowの値とoutflowの和が０であることは次の式からわかる。

1 *

*

Im( ) Im( )

Im(

(

) Im

(

(

( )

)

))C grad curl

gra

Ker curl Ker div

Harmonicd curl

= ⊕ ⊕

= ⊕ ⊕

∩

1C

{ }. . ,

( ) [ ] [ , ] [ , ]j s t i j Y

d i v Y i W i j Y i j∈

= ∑

Ｋｅｒ（curl)の部分空間：Ｈａｒｍｏｎｉｃ

� Ｋer(curl)は任意の３角形でflow sum＝の空間。これはすべての３角形で局所無矛盾な順位。

さらに、 curl ◎ grad=0

より、

よって、局所無矛盾で大域矛盾な順位が

局所無矛盾なKer(curl)に含まれる。それが、

Im ( ) ( )grad Ker curl⊆

†( ) Im( ) ( ) ( )Ker curl grad Ker curl Ker div=∩ ∩

３つの部分空間への分解の意味

� 対比較データを３通りに分類する。

１）ある一つの評価関数で順位が決まっているもの＝大局一致評価（順位）

２）局所無矛盾であるが大局一致評価ではない

３）ある３辺での評価で局所不一致な評価

Im( )grad⇒

( ) ( )Ker curl Ker div⇒ ∩

*Im ( )cu r l⇒

ＨＯＤＧＥ分解の図式

統計学的意味

大域一致（Ｉｍ（ｇｒａｄ）

局所一致（Ｋｅｒ（ｃｕｒｌ））

局所一致かつ大域不一致

大域不一致かつ局所不一致

局所不一致(Ker(Curl)に直交）

大域不一致( Im(grad)に直交）

Im( )grad ⊥

例 大局一致評価

� Ｓ＝（２，１，３，４）による大局一致評価

１１１１

２２２２

３３３３

４４４４

－１－１－１－１

１１１１

１１１１

２２２２

局所一致であり大局不一致な評価

� s=(0,1,2,4,5)は｛２，３、４，５｝で矛盾

� Ｔ（Ｅ）＝｛１，２，５｝で無矛盾

１１１１

２２２２

３３３３

４４４４

５５５５

１１１１

５５５５６６６６

１１１１

２２２２１１１１

対比較の交代行列表現

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,] 0 1 0 0 6

[2,] -1 0 1 0 5

[3,] 0 -1 0 2 0

[4,] 0 0 -2 0 1

[5,] -6 -5 0 -1 0

観測および推定された大局一致評価

Ｈａｒｍｏｎｉｃ flow

局所不一致（したがって大局不一致）評価

� s=(0,1,2,4,5)は｛１，５｝、｛２，５｝で矛盾

� Ｔ（Ｅ）＝｛１，２，５｝で矛盾

１１１１

２２２２

３３３３

４４４４

５５５５

１１１１

３３３３６６６６

１１１１

２２２２１１１１

Ｅｄｇｅ ｆｌｏｗ ａｎｄ Gradiant flow

Harmonic Flow and Im(Curl*)

考える空間

� 対比較データ� 対比較グラフ�交代行列

V={1,2,3,4}人の対比較を考える。

i<jの評価の差Sj－Siをi-jを結ぶ返上に書く

１

２

３

４１１１１１１１１

１１１１

２２２２-2

２２２２

-1

注意１

� すべての交代行列が一つの評価関数ｓによってＹ［ｉ，ｊ］＝ｓ［ｊ」－ｓ［ｉ］

によって得られるとは限らない。この場合は特殊なケースで、大局的一致性がある対比較データといえる。

δ0: C0 � C1を δ0[s](i,j)=s[j]-s[i]によって定め, gradiant 作用素とよぶと大局一致性のある対比較は Ｉｍ（δ0) に属するもの。

局所一致性� 任意の対比較の間の３角形関係を論じる空間を考える。� Ｔ（Ｅ）={ (i,j,k)| {i,j},{j,k},{i,k}がすべて対比較グラフの辺である（比較が行われた）｝

Ｃ２＝ＶｘＶｘＶの上の3変数関数X(i,j,k)で*) X(i,j,k)=X(j,k,i)=X(k,i,j)=-X(j,i,k)=-X(k,j,i)-X(i,k,j) Ｗhen (i,j,k) in T(E)

X(I,j,k)=0 When (i,j,k) not in T(E) を満たす関数のクラスを考える

δ1:C１ �C2を

δ１[X](i,,j,k)=X(i,j)+X(j,k)+X(k,i)を定める. これをCurl 写像とよぶ１） δ１の像は*)を満たす。即ち, C２に属する２） 局所一致性を持つ比較はδ１のkernelに属する。

大域的一致性のある順位の最小２乗近似

の正規方程式は

であり、解は

ここで、

0 1,min || ( ) || Ws C

grad s Y∈

−

0 ( )s div Y∆ = −

0 ( )s div X+= −∆

*

0 0 0 0,div grad Moor Penrose g inverseδ δ +∆ = =− ∆ − −� � は 　

証明

行列表現を使う

0 , 1

0 0 0 0 0

* *

0 0 0

* *

0 0 0

t t

C C

s

s

s

δ

=

=

０

０

に お け る 基 底 を 固 定 し て

の 表 現 行 列 を Ｄ と す る と

<Y- D s , Y - D s > = < Y , Y > - 2 < Y , D > + < D s , D s >

< Y , Y > - 2 < D Y , > + < D D s , s >

< Y , Y > - 2 ( D Y ) + s D D s

で あ る か ら 通 常 の ｓ に 関 す る 偏 微 分 で

最 小 化 す れ ば 正 規 方 程 式 が 従 う

第２の最小２乗法

� Ｒを大域順序による残差をＲとして、

への射影を求めるには次の最小2乗問題を解

ばよい。

正規方程式は

2 2

* *

2, 2,{ } { }min || || min || ||W WC C

R curl X curlΨ∈ Ψ∈

− Ψ = − Ψ

* *

1Im( ) Im( )curlδ =

*

* *

Im( )P ( ) ( ) ( )

() :

roj curlX curl curl curl curl X

Moore Penrose Inverse

+

+

=

−

�

*

0 1 1 0( ), ( ) ( ), 0s T s Tδ δ δ δ< >=< >=� であるから

Ｈａｒｍｏｎｉｃ 空間の特徴付け

� 命題

� Hermholz作用素を

で定めると

* *

1 1 1 0 0δ δ δ δ∆ = +

*

1 1 00 ( ) ( )X X Ker Ker Hδ δ∆ = ⇔ ∈ ∩ =

証明

� 補題

(1)の証明

*

0 0 0 0

* * *

1 1 1 1

(1) ( ) 0 ( ) 0

( 2 ) ( ) 0 ( ) 0

s fo r s

fo r

δ δ δ δ

δ δ δ δ

≠ ≠

Φ ≠ Φ ≠

*

0 0 0 0

* *

0 0 0 0

*

0 0 0

( ) 0, ( ) 0

( ) ( ) Im( ) {0}

( ) ( ) Im( ) {0}

s s

s Ker

s Ker

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ

≠ =

⇒ ∈ ∩ =

⇒ ∈ ∩ =

で矛盾

証明

（２）の証明

* * *

1 1 1 1

* *

1 1 1 1

* *

1 1 1

( ) 0, ( ) 0

( ) ( ) Im( ) {0}

( ) ( ) Im( ) {0}

Ker

Ker

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ

Φ ≠ Φ =

⇒ Φ ∈ ∩ =

⇒ Φ ∈ ∩ =

で矛盾

命題の証明

は自明だから、その逆を示せばよい。そのために

は

のとき、

を示せばよいが、補題より明らかである。

*

1 0 1( ) ( ) ( )Ker Ker Kerδ δ∩ ⊆ ∆

*

1 00 ker( ), 0 ker( )X or Xδ δ≠ ∉ ≠ ∉

1 0X∆ ≠

Ｈａｒｍｏｎｉｃ 空間への射影

を用いて、harmonic spaceへの射影は

で与えられる。

* *

1 1 1 0 0 ,δ δ δ δ∆ = +� �

1 1( )I Y+−∆ ∆

Ｒ－pｒｏｇｒａｍ

� Ｈｏｄｇｅ分解を得るために（2つの最小2乗法を解くために）は写像

およびそれらの共役写像

の基底を定めた行列表現が必要である。また、写像

の行列表現とそれらの

Ｍｏｏｒ－Ｐｅｎｒｏｓｅ一般逆行列も必要である。

0 1 2, ,δ δ δ

* * *

0 1 2, ,δ δ δ

1 2,∆ ∆

0 1,∆ ∆

Ｒ－program(続き）

幸いなことに、

１）直交基底の計算、

２）写像の行列表現、

３）一般逆行列計算

４）対比較グラフの描画

はＲのプログラムで簡単に実現できる出来る

ことは有難い。グラフも簡単に描ける利点がある。

注）共役写像は転置行列与えられる。

4年生の卒業研究（坂田研：劉茜）

� 天神商店街のデパート

岩田屋、大丸、岩田屋、パルコ、イムズ

� 博多駅商店街のデパート

阪急、アミューズ

� キャナルシティ商店街

に対する対比較アンケート(50名）データに対

する大域的順位の付与を試みた

今後の展開

� 高次の関数空間 の導入と

意味づけとＲによる分解プログラムの作成

□□□□更なる実データの解析とＲプログラム群の充実

□□□□正規分布の平均値に対する多重比較へ適用した場合の性能のシミュレーション

□□□□TDAの統計への応用、理論を統計家の立場で

深める

, 3kC k ≥

実際問題への応用

大域的評価結果

� 岩田屋 13.111111

� 三越 10.000000

� 大丸 13.777778

� 阪急 -11.555556

� アミュ -1.777778

� キャナル -14.222222

� パルコ -8.444444

� 天神コア 1.555556

� イムズ -2.444444

結 語

� 位相幾何学的データ解析（ＴＤＡ）の分野が発展しつつあることを紹介した。

� 順位分解にＨＯＤＧＥ分解理論を使うという

最新の話題について詳しく紹介した

Ｒープログラムによっていくつかの対比較グラフについてＨＯＤＧＥ分解をグラフ化した。

□□□□ 今後、順位分解についての統計へのさらなる今後、順位分解についての統計へのさらなる今後、順位分解についての統計へのさらなる今後、順位分解についての統計へのさらなる応用が考えられる。また、ＴＤＡについても応用が考えられる。また、ＴＤＡについても応用が考えられる。また、ＴＤＡについても応用が考えられる。また、ＴＤＡについても

同様である。同様である。同様である。同様である。