يدﺮﺑرﺎﮐ ﯽﻄﺧ ﺮﺒﺟ يزﺎﺳﺪﻣﺎﻌﺘﻣ و يرادﺮﺑ...

Post on 24-Oct-2019

9 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

دکتر عباداللهی: مدرس

1396 -گروه سیستم و کنترل

جبر خطی کاربردي

فضاهاي برداري و متعامدسازي : 5درس

مفهوم میدان و فضاي برداري

.می کنددر مطالعه سیستم ها فضاي برداري را به روي یک میدان تعریف -

: می سازدهمراه با دو عمل جمع و ضرب شرایط زیر را برآورده طوري کهمجموعه اي از اسکالرها است به )field(میدان -

بسته بودن نسبت به عمل جمع -1

بسته بودن نسبت به عمل ضرب -2

برقراري قوانین زیر -3

�.1قوانین جابجایی پذیري + � = � + �,�� = ��

�).2قوانین شرکت پذیري + �) + � = � + (� + �),(��)� = �(��)

�)�.3قوانین توزیع پذیري + �) = �� + ��

�∀.4عضو خنثی در عمل جمع ∈ �,∃0 ∈ � → � + 0 = �

�∀.5عضو خنثی در عمل ضرب ∈ �,∃1 ∈ � → 1� = �

�∀.6عضو قرینه در عمل جمع ∈ �,∃� ∈ � → � + � = 0

�∀.7عضو معکوس در عمل ضرب ∈ �,� ≠ 0,∃� ∈ � → �� = 1

∀�, � ∈ �, ∃�� ∈ �

∀�, � ∈ �, ∃� + � ∈ �

∀�, �, � ∈ �

1مثال

.می دهندبا دو عمل جمع و ضرب معمولی تشکیل یک میدان ، )C(اعداد مختلط ، )R(اعداد حقیقی مجموعه ي -

نمی دهد،با قواعد جمع و ضرب معمولی تشکیل یک میدان ) N(اعداد طبیعی مجموعه ي -

.نمی سازدزیرا شرط ششم و هفتم را برآورده

نمی دهد،با قواعد جمع و ضرب معمولی تشکیل یک میدان ) Z(مجموعه اعداد صحیح -

.نمی سازدزیرا شرط هفتم را برآورده

� ∈ Z →1

�∉ Z

� ∈ � → −� ∉ �

� ∈ � →1

�∉ �

) Vector space( فضاي برداري ، مجموعه اي از بردار ها است که با دو عمل جمع و ضرب شرایط زیر را Fبر روي میدان V یک فضاي برداري مانند-

. می سازدبرآورده

1.∀�, � → � + � ∈ �2.∀� ∈ �, ∀� ∈ � → �� ∈ �3.∀�, � ∈ � → � + � = � + �

4.∀�, �, � ∈ � → � + (� + �) = (� + �) + �5.∀� ∈ �, ∃0 ∈ � → � + 0 = 0 + � = �6.∀� ∈ �, ∃ − � ∈ � → � + (−�) = (−�) + � = 0

7. ∀�, � ∈ �, ∀�, � ∈ � → � + � � = �� + ��, �(� + �) = �� + ��8.∀� ∈ �, ∀�, � ∈ � → �(��) = (��)�9.∀� ∈ �, ∃1 ∈ � → 1� = �

2مثال

برداري،مثال هایی از فضاي

به روي میدان اعداد حقیقی) تایی حقیقی nبردار هاي ( مجموعه ي-

بر روي میدان اعداد حقیقی ) با عناصر حقیقی n*nماتریس هاي ( مجموعه ي-

مختلط بر روي میدان اعداد مختلط n *nمجموعه ماتریس هاي متقارن -

به فرم بر روي میدان اعداد حقیقی nمجموعه چند جمله اي هاي مرتبه -

��

���(�)

��(�)���� + �����

���+. . . +��� + ��

3مثال مثال هایی که فضاي برداري نیستند ،

.اشدغیر منفرد یک فضاي برداري نیست زیرا جمع دو ماتریس غیر منفرد ممکن است ماتریس منفرد ب 2*2مجموعه ماتریس هاي

مختصات،دوتایی در ربع اول صفحه بردارهاي مجموعه -

� + � =2 53 −1

+1 −2−1 3

=3 32 2

) subspace( مفهوم زیر فضاي برداري

. می نامند Vرا یک زیر فضا از S. باشد Vازغیر تهی مجموعه یک زیر Sو Fیک فضاي برداري بر روي میدان Vاگر -

هرگاه،

1.∀�, � ∈ � → � + � ∈ �2.∀� ∈ �, ∀� ∈ � → �� ∈ �

4مثال می باشد،یک زیر فضاي برداري از کند، در فضاي برداري دو بعدي هر خط راستی که از مبدا عبور

براي بررسی باید برقراري شرایط یک و دو را بررسی کنیم ،

.استبنابراین نتیجه می گیریم که می باشد و شرط اول برقرار

. از این رو می باشد و شرط دوم نیز برقرار است

����

� = (�, �) ∈ ��: �� + �� = 0

(�, �) ∈ � → �� + �� = 0

(�, �) ∈ � → �� + �� = 0�(� + �) + �(� + �) = 0

(�, �) ∈ � → �� + �� = 0 → �(��) + �(��) = 0

(� + �, � + �) ∈ �

�(�, �) = (��, ��) ∈ �

5مثال است؟یک زیر فضاي برداري از نکند، آیا در فضاي برداري دو بعدي هر خط راستی که از مبدا عبور

شرایط زیر فضا بودن را بررسی کنیم ،

دا عبور لذا هر خط راستی که از مب. بنابراین نتیجه می گیریم که و نیازي به بررسی شرط دوم نیست.نمی باشد یک زیر فضاي برداري از نکند،

����

� = (�, �) ∈ ��: �� + �� = �

(�, �) ∈ � → �� + �� = �

(�, �) ∈ � → �� + �� = ��(� + �) + �(� + �) = 2k

(� + �, � + �) ∉ �

��

6مثال

می باشد؟یک زیر فضا از به فرم ماتریس هاي آیا مجموعه

باشد، براي زیر فضا بودن باید شرایط زیر را داشته

براي زیرفضا لذا نیازي به بررسی شرط دوم نیست و این مجموعه نمی کند، از آن جایی که شرط اول را بر آورده

.نمی باشد

2 ���0 ���

���(�)

� =2 ���0 ���

1.∀�,� ∈ � → � + � ∈ �

� + � =2 ���0 ���

+2 ���0 ���

=2 ��� + ���0 ��� + ���

=4 ���0 ���

∉ �

���(�)

به فرم ماتریس هاتمامی

)Column Space(معرفی فضاي ستون هاي یک ماتریس 7مثال

بگیرید، را در نظر Aماتریس

C(A) ماتریس ستون هاي خطی ترکیب هاي شامل تمامیA است.

(Column space) فضاي ستون هاي ماتریسA

.استیک زیر فضا از فضاي برداري C(A)نشان داد که می توان

� =124

331

�(�) = � 1 2 4 � + � 3 3 1 �

��

�124

+ �331

=

� + 3�2� + 3�4� + �

∈ � � , �124

+ �331

=

� + 3�2� + 3�4� + �

∈ �(�)

� + 3�2� + 3�4� + �

+

� + 3�2� + 3�4� + �

=

� + �) + 3(� + �

2(� + �) + 3(� + �)

4(� + �) + (� + �)=

� + 3�2� + 3�4� + �

∈ �(�)

� + 3�2� + 3�4� + �

=

��) + 3(��

2(��) + 3(��)

4(��) + (��)=

� + 3�2� + 3�4� + �

∈ �(�)

در حل دستگاه معادالتستون ها کاربرد فضاي 8مثال

دارد؟دستگاه معادالت جواب bبه ازاي چه مقادیري از بردار

.دادنمایش Aرا بتوان به صورت ترکیب خطی از ستون هاي ماتریس bزمانی جواب دارد که بردار لذا دستگاه معادالت

.باشد شرط الزم و کافی براي داشتن جواب آن است که

�� = �

�� = � → 124

331

����

=

������

→ 124

�� +331

�� =

������

�� = �

� ∈ �(�)

9مثال بگیرید،را در نظر 7در مثال Aماتریس

� =124

331

ستون هاي که از مبدا عبور کرده و بردار است در فضاي برداري صفحه اي Aماتریس ستون هاي به لحاظ هندسی فضاي گردد،را شامل Aماتریس

��

آن هاهستند و می توان Aماتریس ستون هاي که درون این صفحه قرار دارند جزء فضاي bمانند بردارهایی لذا تمامی

دستگاه معادالت سازگار بردارها نمایش داد و براي این Aرا به صورت ترکیب خطی از ستون هاي ماتریس

.است و جواب دارد

بوده و جواب ناسازگار دستگاه معادالت گیرد، طوري انتخاب شود که خارج از این صفحه قرار bاگر بردار

.ندارد

�� = �

124

�� +331

�� = �

�� = �

10مثال و بردارهاي و را در نظر بگیرید، 8در مثال Aماتریس

دارد،است و جواب سازگاردستگاه معادالت یک دستگاه معادالت -

داد، نمایش Aماتریس ستون هاي لذا و می توان بردار را به صورت ترکیب خطی از

����

� =124

331

�� =1−1−7

�� =111

�� = ��

124

331

����

=1−1−7

→124

331

1−1−7

����

→100

010

−210

����

→ �� = −2, �� = 1

�� ∈ �(�)��

(−2)124

+ (1)331

=1−1−7

ندارد،است و جواب ناسازگاراین دستگاه معادالت می گیریم، حال دستگاه معادالت را در نظر -

.دادنمایش Aماتریس ستون هاي لذا و نمی توان بردار را به صورت ترکیب خطی از

124

331

����

=111

→124

331

111

����

→100

010

001

����

�� = ��

�� ∉ �(�)��

) Null Space(معرفی فضاي پوچی یک ماتریس 11مثال

بگیرید،را در نظر Aماتریس

N(A) است، ممکن دستگاه معادالت پاسخ هاي شامل تمامی

(Null space) فضاي پوچی ماتریسA است، یک زیرفضا از فضاي برداري N(A)می توان نشان داد که

.آوریمدستگاه معادالت به دست جواب هاي یعنی باید تمامی آوریم، را به دست Aحال فضاي پوچی ماتریس

� =

1234

1111

2345

�� = 0

��

�(�) = � ∈ �� → �� = 0 ⊂ ��

� ∈ �(�) → �� = 0

� ∈ �(�) → �� = 0�� + �� = �(� + �) = 0 → � + � ∈ �(�)

� ∈ �(�) → �� = 0, �(��) = �(��) = 0 → �� ∈ �(�)

�� = �

رتیکی از جواب ها پاسخ بدیهی و با توجه به فرم سطري پلکانی کاهش یافته پاسخ هاي دیگري هم به صومی آید،زیر به دست

.پاسخ دستگاه باشدمی تواند یکی از جواب ها است و هر ترکیب خطی از این بردار هم لذا بردار است، به صورت زیر قابل نمایش Aبنابراین فضاي پوچی ماتریس

. یک خط درفضاي برداري است Aلذا فضاي پوچی ماتریس

1234

1111

2345

������

=

0000

1000

0100

1100

������

=

0000

� = 0,0,0

�� + �� = 0�� + �� = 0

�� = −���� = −��

�� = −�� = �

11−1

� = 1,1,−1

�(�) = � ∈ �� → � = � 1 1 −1 �

��

�� = 0

) Span(مفهوم اسپن

می کنند، اگر، را اسپن wبردارهاي فضاي -

می دهند، فضاي اسپن شده توسط بردارهاي را به صورت زیر نمایش -

��, ��, . . . , ��

1.��, ��, . . . , �� ∈ �2. ∀� ∈ � → � = ���� + ����+. . . +����

��, ��, . . . , ��

� = �� ��, ��, . . . , ��

12مثال .می کنند اسپنبررسی کنید که آیا بردارهاي زیر فضاي برداري را

را به صورت ترکیب خطی از این سه براي اسپن کردن باید بتوان هر برداري در فضاي برداري مانند بردار نمایش داد ،

فرم ماتریسی این دستگاه معادالت به صورت زیر می باشد ،

. یعنی حداقل یک جواب دارد یا نهناسازگار، حال باید بررسی کنیم که این دستگاه معادالت سازگار است یا .کردبراي هر بردار دلخواه می توان یک جواب پیدا باشد، بنابراین، از آن جاییکه می

.اسپن می کنندرا برداري فضاي و و بردارهاي لذا ،

��

� = 1,2,1 �, � = 1,1,1 �, � = 0,2,−1 �

��T� = ��,��,��

� = �� + �� + �� = �121

+ �111

+ �02−1

→� + � = ��

2� + � + 2� = ��� + � − � = ��

�� = � →121

111

02−1

���

=

������

|�| = 1T� = 0,2, − 1T� = 1,1,1T� = 1,2,1��

T� = ��,��,��

استقالل خطی و وابستگی خطی بردارها

زیر،شکل معادله اي به اگر -

آن گاه بردارهاي را مستقل باشد، فقط به ازاي شرط برقرار

.گویند) Linear Independent(خطی

.گویند) Linear Dependent( در غیر این صورت بردارهاي را وابسته خطی -

���� + ����+. . . +���� = 0

�� = �� =. . . = �� = 0��, ��, . . . , ��

��, ��, . . . , ��

13مثال .کنیداستقالل خطی یا وابستگی خطی بردارهاي زیر را بررسی

بردارها داریم،با توجه به تعریف استقالل خطی

، می باشددستگاه معادالت مربوطه به شکل زیر

آورد،را به صورت زیر می توان به دست است، جواب ها تعداد معادالت کمتر از تعداد مجهوالت آنجائی که از

�� بردار هايبنابراین = −2,1 �,�� = −1, − 3 �,�� = 4, − 2 .می باشندوابسته خطی �

�� = −2,1 �, �� = −1,−3 �, �� = 4,−2 �

��−21

+ ��−1−3

+ ��4−2

=00

→−2�� − �� + 4���� − 3�� − 2��

=00

−21

−1−3

4−2

������

=00

→10

01

−20

00

������

�� = 2��, �� = 0

مفهوم پایه و بعد در فضاي برداري اگر دو شرط زیر دهند، می ) Basis(، مجموعه بردارهاي تشکیل یک پایه Vدر فضاي برداري -

باشند، را داشته

کنند، اسپنآن فضاي برداري را -1.باشندمستقل خطی بردارهاي -2

. می نامندرا بعد آن فضا Vتعداد بردارهاي پایه در یک فضاي برداري -

:چند نکته .د استولی نمایش هر بردار توسط این بردار هاي پایه منحصر به فرنیستند، بردار هاي پایه منحصر به فرد Vبراي فضاي برداري -

.استبعد یک فضا برابر با حداکثر تعداد بردارهاي مستقل خطی در آن فضا -

. می دهدبردار مستقل خطی تشکیل یک پایه nهر مجموعه از Vبعدي مانند nدر فضاي برداري -

��, ��, . . . , ��

� = ��{��, ��, . . . , ��}��, ��, . . . , ��

نمایش فضاهاي برداري بر اساس پایه ها

است، نمایش فضاهاي برداري استفاده از پایه هاي آن فضا روش هاي یکی از -

:فضاي برداري -

:فضاي برداري -

:فضاي برداري -

��

�� = ��100

,010

,001

, dim(��) = 3

���(�) = ��1 00 0

,0 01 0

,0 00 1

,0 10 0

, dim(���) = 4

���(�)

��(�)

��(�) = �� ��, �, 1 , dim(��) = 3

14مثال

. یک پایه می دهند تشکیل بررسی نمایید که آیا بردارهاي زیر براي فضاي برداري

می کنیم، براي این منظور دو شرط ذکر شده در تعریف پایه را بررسی

را بتوان به صورت ترکیب خطی از کردن فضاي برداري باید هر بردار دلخواه مانند اسپنبراي -1

داد،این سه بردار نمایش

می باشد، فرم ماتریسی دستگاه معادالت حاصل به صورت زیر

��

�� = 1,−1,1 �, �� = 0,1,2 �, �� = 3,0,−1 �

��� = ��, ��, ��

� = ���� + ���� + ���� →

������

= ��

1−11

+ ��

012

+ ��

30−1

1−11

012

30−1

������

=

������

می کنیم،از تعریف آن استفاده بودن بردارهاي مستقل خطی براي بررسی -2

می باشد،معادالت ماتریسی حاصل به صورت زیر

بردارهاي مستقل خطی بوده و فضاي ، دترمینان ماتریس مخالف صفر است آنجایی که از

.می دهندلذا تشکیل یک پایه براي فضاي برداري . می کنندبرداري را اسپن

��, ��, ��

���� + ���� + ���� = ��

1−11

+ ��

012

+ ��

30−1

=000

1−11

012

30−1

������

=000

|�| = −10��, ��, ��

����

15مثال

.می دهندبررسی نمایید که آیا بردارهاي زیر براي فضاي برداري تشکیل یک پایه

می کنیم،براي این منظور دو شرط ذکر شده در تعریف پایه را بررسی

را بتوان بصورت ترکیب خطی از این چهار بردار کردن فضاي برداري باید هر بردار دلخواه اسپنبراي -1

نمایش داد،

، می باشدفرم ماتریسی دستگاه معادالت حاصل به صورت زیر

��

�� = 0,1,1 �, �� = −1,1,2 �, �� = 1,2,−1 �, �� = −1,0,−1 �

��� = ��, ��, ��

� = ���� + ���� + ���� + ���� →

������

= ��

011

+ ��

−112

+ ��

12−1

+ ��

−10−1

0 −1 1 −11 1 2 01 2 −1 −1

��������

=

������

→ �

−�� + �� − �� = ���� + �� + 2�� = ��

�� + 2�� − �� − �� = ��

، می آیدفرم ماتریس افزوده و سطري و سطري پلکانی کاهش یافته آن به شکل زیر به دست

C4 دمی کنن اسپنبنابراین این چهار بردار فضاي برداري را . جواب دارد بی شمار معادالتمتغیر آزاد است و دستگاه .، می کنیمبراي بررسی مستقل خطی بودن بردارهاي از تعریف آن استفاده -2

��

��, ��, ��, ��

� = ���� + ���� + ���� + ���� = ��

011

+ ��

−112

+ ��

12−1

+ ��

−10−1

=000

0 −1 1 −11 1 2 01 2 −1 −1

������

��������

→1 0 0 −40 1 0 20 0 1 1

2.5�� − 0.5�� + 1.5��−1.5�� + 0.5�� − 0.5��−0.5�� + 0.5�� − 0.5��

��������

می باشد،معادالت ماتریس افزوده و فرم سطري پلکانی کاهش یافته حاصل به صورت زیر

جواب دارد ، بردارهاي مستقل خطی نیستند و بی شمار معادالتمتغیر آزاد است و دستگاه 4Cاز آنجاییکه

.پایه بدهندتشکیل برداري نمی توانند براي فضاي

��, ��, ��, ��

��

0 −1 1 −11 1 2 01 2 −1 −1

000

��������

1 0 0 −4

0 1 0 2

0 0 1 1

000

��������

top related