ines culek glazba i matematika - odjel za matematikumdjumic/uploads/diplomski/cul03.pdf · tona i...
Post on 02-Aug-2018
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Sveuciliste Josipa Jurja StrossmayeraOdjel za matematiku
Ines Culek
Glazba i matematikaDiplomski rad
Osijek, 2015.
Sveuciliste Josipa Jurja StrossmayeraOdjel za matematiku
Ines Culek
Glazba i matematikaDiplomski rad
Mentor:izv. prof. dr. sc. Ivan Matic
Osijek, 2015.
Sadrzaj
1 Uvod 2
2 Povijest 4
2.1 Harmonija svijeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Jednoliko ugadanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Povijest zapisivanja glazbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Harmonija 6
3.1 Pitagorejska ljestvica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Dobro ugodeni glasovir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 ”Z-board” i ”Lira spectrum” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Alikvote 14
4.1 Upoznavanje s orkestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Alikvote ili visi harmonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Fourierova teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Mjera i ritam 19
5.1 Glazba, razlomci i skola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Matematika u glazbi 24
6.1 Simetrija u glazbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez u glazbenim dijelima . . . . . . . . . . 26
6.3 Math rock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 Matematika i instrumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.5 Glazba Mobiusove trake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Zakljucak 32
8 Sazetak 37
9 Summary 38
10 Zivotopis 39
1
1 Uvod
”Ne bi li se glazba mogla opisati kao matematika osjecaja, a matematika kao glazba
uma?”
James Sylvester
Sto je glazba, a sto matematika?
Kao sto je tesko definirati sto je matematika tesko je definirati i sto je glazba.
Glazba je za mnoge ljude neverbalna forma komunikacije koja dotice ljudski intelekt i
moze izazvati duboke i burne emocije. Glazbom smo okruzeni svakodnevno dok ma-
tematiku puno ljudi smatra enigmom. Ono sto se od matematike uci u skoli dovodi
do vjerovanja da je matematika strogo racionalna i bezdusna znanost. Kako su onda
matematika i glazba povezani?
Slicnosti su u tome sto obje imaju strogo intelektualne, duhovne i kreativne temelje.
Matematiku vezujemo uz brojeve i kalkulatore, iako je matematika zapravo misaona
znanost. Matematika nam pomaze u rjesavanju problema, izgradnji modela, uocavanju
veza i uzoraka. Matematika je nacin razmisljanja, stav koji imamo kad se susretnemo
s necim sto ne razumijemo. Elegancija i ljepota matematike lezi u nacinu jednos-
tavnosti, logicnosti i nacinu razmisljanja i zakljucivanja. Matematicki koncepti i jed-
nadzbe su povezane s dizajnom i oblikom instrumenata, ljestvicama i kompozicijama, te
razlicitim svojstvima zvuka i zvucne produkcije. Jednako vrijedi i za glazbu. Napisati
melodiju, pronaci pravi prstomet za sviranje, nastimavanje instrumenata, pronalazenje
pravog kljuca, ritam, tempo i sl. Nacin razmisljanja prilikom sviranja je jednak nacinu
razmisljanja pri nekom matematickom dokazu ili postupku.
Takoder i matematika i glazba imaju posebne koncepte i simbole. Sto je ton? Sto je
broj? Niti jedan od ova dva pojma ne mozemo definirati, ali ako razumijemo sto su,
definicije nam nisu potrebne.
Glazba se prenosi putem zvuka. Kako bi mogli razumjeti glazbu, moramo znati barem
osnovno o pojmu zvuka i kako ga mi dozivljavamo. Prema fizikalnoj definiciji zvuk je
gibanje valova u elasticnom mediju. Zvuk nastaje titranjem cestica oko ravnoteznog
polozaja, a niz pobudenih cestica stvara zvucni val. Prema opcoj definiciji zvuk su me-
hanicki titraji koje covjek moze cuti, odnosno to su podrazaji koje detektira nas slusni
aparat. To je subjektivni dozivljaj zvuka, koji se u istom smislu koristi i u glazbi.
Covjek je gotovo stalno okruzen zvukovima. No koje cemo tocno zvukove nazvati
glazbom, tesko je definirati. Glazba je definirana kao umjetnost ciji je medij zvuk
koji je organiziran u vremenu, uglavnom po nekom planu. Neki glazbu definiraju kao
kombinaciju zvukova koji su organizirani u tri dimenzije, a to su melodija, ritam i
harmonija. Tada se postavlja pitanje mozemo li rap (Rytham And Poetry) nazvati
glazbom? Glazba je subjektivan dozivljaj pojedinca, pa je najjednostavnije reci da je
glazba sve ono sto pojedinac voli slusati.
2
U radu cemo reci nesto o povijesti matematike i glazbe, u kojoj glavnu ulogu ima Pi-
tagora, zatim cemo reci nesto o harmoniji i njenoj vezi s matematikom. U cetvrtom
cemo poglavlju reci sto su to alikvote i koja je njihova veza s glazbom i matematikom,
te Fourierovim transformacijama. U poglavlju nazvanom mjera i ritam primjetiti cemo
kako nam je potrebno poznavanje matematike kako bi znali citati i razumjeti glazbu
i vidjeti primjer koji nam govori kako to mozemo iskoristiti u nastavi matematike. U
posljednjem cemo poglavlju navesti glazbena djela u kojima mozemo pronaci mate-
maticke uzorke poput simetrije, Fibonaccijevog niza, te zlatnog reza. Na kraju nam
ostaje jos jedino zakljucak i popis literature.
3
2 Povijest
2.1 Harmonija svijeta
Gotovo sve znanosti, pa tako i matematika i glazba, svoje pocetke imaju u staroj
Grckoj. Glazba je bila grana matematike, matematicka disciplina poput geometrije ili
aritmetike jer se bavila odnosima izmedu brojeva, omjerima i proporcijama.
Pitagorina temeljna ideja bila je da su harmonija koju cujemo, harmonija koju vidimo
i svaka druga harmonija zapravo matematicka harmonija. Izucavajuci harmoniju u
glazbi, stari Grci dosli su do zakljucka da je u osnovi svega postojeceg broj. Priroda
je svemir, odnosno red i ljepota, a njegovo je nacelo broj.
Pitagora je roden u 6. stoljecu prije Krista na otoku Samosu. Bio je sin draguljara
Mnesarha. Geometriju je naucio u Egiptu, o omjerima i brojevima je ucio u Fenikiji,
a poduku iz astronomije je dobio u Kaldeji, glavnom sredistu anticke astronomije.
Predaja kaze da je Pitagora cuo konsonantne intervale kvinte, kvarte i oktave dok je
prolazio kraj kovacnice slusajuci zvukove koji su dolazili od udarca cekica u nakovanj.
Eksperimentirajuci sa zategnutim zicama razlicitih duljina, Pitagora je dosao do zakona
malih brojeva. Primjerice, krenemo li od neke zice odredene debljine, onda visina tona
koju ce ona proizvoditi ovisi o njenoj duzini. Sto je zica kraca, to je ton visi. Ako zicu
skratimo na njenu polovinu (odnos 2:1) ton e ce skociti za oktavu. Ako je skratimo
za jednu trecinu (3:2) ton ce skociti za kvintu, a ako ju skratimo za jednu cetvrtinu
(4:3) ton e ce biti visi za kvartu. Ako ”visinu” tona procjenjujemo kao odnos njegovih
frekvencija, kada skracujemo duzinu zice mi joj zapravo povecavamo frekvenciju. Iz
toga izvodimo zakljucak da su Pitagorejci otkrili da je odnos frekvencija izmedu nekog
tona i tona koji je za oktavu visi 1:2, izmedu tona i njegove kvinte odnos je 2:3, itd.
Upravo ovi rezultati su Pitagorin najtrajniji doprinos teoriji glazbe.
Pitagorejsko shvacanje harmonije svijeta razvijalo se dalje, sve do ”De Harmonice
Mundi.” Johannes Kepler (1571.-1630.) njemacki matematicar i astronom najpoznatiji
je po svojim zakonima planetarnog gibanja. Kepler je svoju novu astronomiju opisao
kao ”nebesku fiziku”, te kao dopunu Aristotelovom djelu ”Na nebesima.” Osim toga
u svom djelu iz 1619. bavi se i harmonijom svijeta. U grckom jeziku harmonija znaci
sklad, suzvucje, uskladenost, jedinstvo u mnogostrukosti. . . U svom djelu Kepler se bavi
pravilnostima u trodimenzionalnoj geometriji, principu konsonance u glazbi, Suncevim
sustavom, te trazi red i harmoniju u Suncevom sustavu. Kepler je to nazvao ”pjesmom
koju kozmos pjeva svom gospodaru i sredistu, svom solarnom logosu”.
Keplerova je ideja bila da planeti emitiraju neku vrstu glazbe, gdje je visina tona
proporcionalna brzini kretanja planeta. Sto je planet dalji od Sunca, to se njegova
brzina kretanja smanjuje, time vece staze odgovaraju dubljim tonovima, a one blize
Suncu visim. Nebeski zbor koji je Kepler stvorio sastoji se od tenora (Mars), dva basa
(Satrun i Jupiter), soprana (Merkur) i dva alta (Venera i Zemlja).
4
2.2 Jednoliko ugadanje
Ovako racunanje, pomocu Pitagorinih kvinti i omjera, uz neke manje promjene, zadrzalo
se sve do 17. stoljeca. Naime, bilo je nemoguce mijenjati tonalitet i svaki puta stimeri
su morali dolaziti na scenu. Ovaj nedostatak je ispravio Marin Mersenne (1588. –
1648.) francuski teolog, filozof, matematicar i glazbeni teoreticar koji se ujedno naziva
i ”otac akustike”. Osim sto je u povijesti matematike poznat po brojevima oblika 2p−1,
gdje je p prost broj, Mersenne je naime kao rjesenje za ovaj nedostatak ponudio jedno-
liko temperiranu skalu u kojoj svaki poluton u svakoj oktavi ima odnos frekvencija 12√
2.
Napretkom u glazbenoj teoriji i matematickim modelima za nastimavanje instru-
menta, te sa sve vecom glazbenom produkcijom, matematika i glazba su, barem u
pogledu nastimavanja instrumenta, izgubili onu blisku vezu koju su imali. Glazbenici
su naucili nastimavati svoje instrumente pomocu sluha radije nego uceci matematicke
omjere, te se glazba oslobodila matematicke dominacije.
2.3 Povijest zapisivanja glazbe
Osim u pogledu nastimavanja instrumenata, nastanka ljestvice i slicno, matematika
i glazba slicni su i u pogledu ritma i mjere. Kao i matematicke oznake, koje nisu
imale danasnji oblik i nacin zapisivanja glazbenih djela mijenjao se tokom vremena.
Za zapisivanje glazbe u Mezopotamiji i staroj Grckoj koristila su se slova abecede. U
srednjem vijeku su se za oznacavanje visine,melodije, mjere i tempa, te u manjoj mjeri
ritma koristile posebne oznake zvane neume, a notno je crtovlje imalo 4 crte. U 11.
stoljecu talijanski benedektinac Guido d’Arazzo poceo se sluziti prvim slogom stihova
kako bi zapamtio visinu i imena tonova i upravo to se smatra pocetkom solmizacije.
Solmizacija je tehnika za ucenje glazbenih tonova prilagodenih pjevanju i glasi do, re,
mi, fa, so, la, ti, do (C, D, E, F, G, A, H, C). Tek u 13. stoljecu pojavljuju se crtane
note koje su tada bile u obliku kvadratica ili rombova, dok su se u 18. stoljecu note
pojavile u danasnjem obliku; ovalne i crne u notnom crtovlju koje se sastoji od 5 crta
sa oznakama za dinamiku i tempo.
5
3 Harmonija
Zvuk se sastoji od vertikalne i horizontalne komponente. Horizontalna komponenta je
ritam, melodija i slicno, a vertikalna su akordi, odnosno ono sto se dogada u kratkom
vremenskom razdoblju. Akord cine tri ili vise tonova razlicite visine koji zvuce isto-
dobno ili odvojeno, ako pritom ostavljaju dojam suzvucnosti. Harmonija je izraz koji
u glazbi oznacava dio glazbene teorije koja se bavi proucavanjem akorda.
Pojam intervala i glazbene ljestvice od iznimne su vaznosti u teoriji glazbe. Zamislimo
si segment glasovirskih tipki koji sadrzi dvije grupe (jedna od dvije, a druga od tri) crne
tipke i 8 bijelih tipaka, te se periodicno ponavlja. Niz od 8 bijelih tipaka cini interval
koji se naziva oktava, dok je niz od 5 bijelih tipaka je kvinta. Niz od cetiri bijele tipke
cini kvartu. Ranije smo rekli da su neki intervali konsonantni, a drugi disonantni. Sto
to tocno znaci?
Osnovni pojmovi vezani uz harmoniju su konsonanca i disonanca. Laicki i jednostavno
receno konsonantni tonovi su oni koji su nam ugodni uhu, a disonantni oni koji stvaraju
napetost kod slusaca i traze neko rjesenje. Za dva tona koja su konsonantna, koja nam
zvuce ugodno, kazemo da su u harmoniji, da su harmonicni. Na pitanje kada su dva
tona konsonantna, a kada disonantna odgovor nam daje Pitagorin zakon malih brojeva.
Pitagorin zakon malih brojeva 1. Dva tona su konsonantna ako im frekvencije
stoje u odnosu malih prirodnih brojeva.
Osnovni i najjednostavniji model za zvuk je graf funkcije sinus, kojem je x os
vrijeme, a y os tlak. Vrijedi formula:
P = A · sin(2πft)
gdje je P tlak u decibelima,A je amplituda u decibelima, t je vrijeme u sekundama,f
je frekvencija u Hercima i T je period, T = 1f. Pogledajmo konsonatnost i disonatnost
Slika 1: Zvucni val prikazan grafom funkcije sinus kojemu je amplituda 60 dB, a frek-vencija 100 Hz
matematicki. Grafom funkcije sinus pokazana su dva intervala. Prva slika (Slika 2 )
pokazuje nam graf dva konsonantna tona, a druga Slika 3 graf dva disonantna tona.
6
Slika 2: Konsonantni tonovi (C i G)
Slika 3: Disonantni tonovi (C i F])
Na prvoj slici mozemo uociti da se dio grafa ponavlja, odnosno periodican je, dok
na drugoj slici vidimo da nema nikakvih pravilnosti. To bi takoder moglo biti jedno
vizualno i matematicko objasnjenje zasto nam neki tonovi zajedno zvuce ugodno, a
neki ne. Najbolji primjer uhu ugodnih intervala su terca i kvinta, dok je jedan od
najneugodnijih sekunda ili septima.
3.1 Pitagorejska ljestvica
Slika 4: Glasovirske tipke s oznacenim tonovima i polutonovima
Ljestvica je niz tonova razvrstanih u oktave koji se sastoji od 12 polutonova. (Slika
4 ) Ako izmedu dva tona imamo jos jedan ton (crnu tipku) radi se o cijelom tonu, dok
na primjer izmedu E i F nema tona, odnosno tipke, pa se radi o polutonu.
Postoji puno razlicitih ljestvica, no najpoznatije dijatonske (one koje imaju 12 polu-
tonova) su durska (jonska) i molska (eolska). Obje ljestvice mozemo pronaci jos kod
starih Grka.
U 13. stoljecu francuska je akademija Notre Dame proglasila kako se do tocne ljestvice
moze doci samo koristenjem Pitagorinih savrsenih kvinti. Naime, njihov je stalni omjer
”bozanski“, 3 : 2 gdje 3 predstavlja Sveto Trojstvo, a 2 stoji za razne dualizme (neba
i zemlje, dobra i zla, duha i tijela ).
Zvuk nastaje titranjem nekog tijela i siri se kao val. Zvucni val ima svoja bitna svojstva.
Jedno od njih je i frekvencija. Frekvencija f je broj punih titraja koje tocka napravi u
jedinici vremena. Dogovorno, uzeti cemo da je frekvencija tona C jedinicna. Tada je
velicina intervala jednaka omjeru njihovih frekvencija. Vrijedi sljedece: C-osnovni ton
7
ili tonika, F-kvarta ili subdominanta, G-kvinta ili dominanta i c oktava.
C D E F G A H C1 9
88164
43
32
2716
243128
2
Pitagorejska ljestvica, kao i svi tonovi kromatske ljestvice mogu se dobiti jednostavnim
matematickim postupkom koji koristi iskljucivo dvije cinjenice: frekvencije osnovnog
tona i tona koji je za oktavu visi odnose se 1:2. Odnosno, ako osnovni ton ima frek-
venciju f, tada kvinta gore ima frekvenciju 32
f, a oktava gore frekvenciju 2f. Ako
frekvenciju tona C uzmemo kao osnovu, tj. kao 1, dobivamo redom sljedece frekvencije
C ] D [ E F ] G ] A B H c11
21782048
98
3227
8164
43
729512
32
65614096
2716
169
243128
21
Tablica dobivenih omjera za Pitagorino ugadanje
Polutonovi ovako dobivene skale nisu jednaki. Ako taj postupak nastavimo do-
biti cemo sve medutonove, da bi na kraju ponovno dobili C. Krenemo li od tona C i
pomicemo se za kvintu gore, zbog cuvanja raspodjele cijelih tonova, odnosno poluto-
nova unutar ljestvice, redom cemo morati raditi ispravke i to tako da cemo dodavati
povisilicu na sedmi ton nove ljestvice. Taj postupak nas vraca na pocetni ton i najljepse
se moze pokazati pomocu kvintnog kruga.(Slika 5 ) Od svakog od tih tonova mozemo
graditi ljestvicu.
Slika 5: Kvintni i kvartni krug
Pitagorejska ljestvica je matematicki tocna u odnosu na pocetni ton od kojega smo
krenuli, ali ako pokusamo promijeniti tonalitet, pokazuje svoje nedostatke.
Zamislite da smo oktavu podijelili jednoliko naN jedinica i tako dobili tonove 1, 2, 3, . . . , N−2, N − 1. Ako je n < N i ako su n i N relativno prosti, onda je 0, 1, 2, . . . , N − 1 =
0 · n, 1 · n, 2 · n, . . . , (N − 1) mod n.
To znaci da n- ugadanje: 0→ n→ 2n→ · · · → (N−2) ·n→ (N−1)n daje sve tonove
8
nase jednolike N -ljestvice s polutonovima duljine 1. Pitagorino ugadanje (n + x) –
ugadanje uz (Nx < 1) izgleda ovako:
0→ (n+ x)→ (2n+ 2x)→ · · · → [(N − 2)n+ (N − 2)x]→ [(N − 1)n+ (N − 1)x].
Ono daje N tonova koji se ne poklapaju sa jednolikima i koji cine polutonove razlicitih
duljina.
U teznji za dobrim ugadanjem i neogranicenim transpozicijama, dobro ugodene skale
sve su se vise priblizavale jednolikoj skali koja je u 20. stoljecu nadvladala sve druge.
Najkoristenije bile su”artimeticka“ i
”geometrijska“ skala koju je pocetkom 16. stoljeca
predlagao Henricus Grammateus. Nazive su dobile zbog podjele cijelog tona, ovisno o
tome gledamo li aritmeticku ili geometrijsku sredinu.
Artimeticka skala izrazena je u sljedecem primjeru u centima. Cent je logaritamska
jedinica mjere koja se koristi za intervale. Primjerice kod jednolikog ugadanja poluton
tj. interval izmedu C i C] iznosi 100.
C ] D [ E F ] G ] A B H c0 99 204 303 408 498 597 702 801 906 1005 1110 1200
Geometrijska skala
C ] D [ E F ] G ] A B H c0 102 204 306 408 498 600 702 804 906 1008 1110 1200
Razliku vidimo samo u polutonovima. Odnosno ako si zamislimo klavir, u crnim
tipkama.
3.2 Dobro ugodeni glasovir
Ovaj nedostatak su glazbenici u 17. stoljecu ispravljali tako da su svaki put kada
bi trebali svirati u drugom tonalitetu stimeri dolazili na scenu i ponovno nastimavali
instrumente. Matematicko objasnjenje za ovaj problem je da ako krenemo od tona
C i napravimo puni krug u kvintnom krugu i ponovno stignemo do tona C, to nije
sasvim tocan C koji je za sedam oktava visi od polaznog. Taj ton C trebao bi imati
frekvenciju (27 = 128) puta vecu od polazne, a ako idemo 12 kvintnih skokova dobijemo
(32)12 = 129.746. Rjesenje za taj problem dao je Marin Mersenne koji je u svojoj knjizi
Harmonie Universelle predlozio jednako – ugodenu skalu i kompozicije su se mogle bez
problema transponirati iz jednog tonaliteta u drugi. Cijena njegove jenoliko ugodene
skale bila je da kvinte vise nisu matematicki savrsene, ali odstupanja su bila vrlo mala.
Johann Sebastian Bach ( 1685. – 1750.) je bio odusevljen time te je napisao ”Dobro
ugodeni glasovir” (” Wohltemperiertes Klavier”) sa po 24 preludija i fuga, svaka u
razlicitim tonalitetu. Giacomo Gorzanis virtuoz na lutnji, 1567. napisao je zbirku od
24 plesne suite koja za razliku od Bachovog ”Dobro ugodeni glasovir” uistinu pokazuje
9
prave mogucnosti transponiranja. Roselli se 1588. zalagao za univerzalno ugadanje svih
instrumenata koje bi omogucilo slobodno transponiranje, ali i kombiniranje razlicitih
glazbala i glasova u zajednickim izvedbama. To je do kraja prihvaceno tek u nasem
stoljecu.
Zasto oktava ima bas 12 polutonova? Pitagorini tocni intervali 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6
prirodno vode takvoj podjeli, no mogu dovesti i do sedamnaesttonske raspodjele.
Odabrati cemo prvi ton i njegovu cemo frekvenciju promatrati kao jedinicnu. Ljudski
glas se najcesce krece u rasponu od dvije oktave. To znaci da frekvencije oktava u
skladu s Pitagorom izgledaju ovako
2−3 ← 2−2 ← 2−1 ← 1→ 2→ 22 → 23 .
Kada njima, u skladu s Pitagorom, dodamo kvinte i njima odgovarajuce oktave, dola-
zimo do beskonacno mnogo tonova unutar oktave koji su zadani omjerima oblika
12m· (3
2)n m,n ∈ Z = 0,±1,±2, . . .
Nijedan od tih tonova se ne poklapa s osnovnim tonom vec ovaj postupak stalno gene-
rira nove tonove. Naravno mozemo stati pri n-tom tonu ako se on, vracen u osnovnu
oktavu, priblizno poklapa s osnovnim tonom (buduci da je tocno poklapanje nemoguce).
Npr. Za 7. i 12. ton imamo sljedece aproksimacije:
124· (3
2)7 = 1, 068 ≈ 1 i 1
27· (3
2)12 = 1, 041 ≈ 1.
Znacenje prve aproksimacije je da bi Pitagorin ton c poistovjetili sa C, dok druga,
bolja, se svodi na poistovjecivanje tonova Es i D. U jednolikom temperiranju prva
aproksimacija znaci da smo kvintu u jednolikoj skali sa 7 tonova aproksimirali cetvrtim
tonom, jer vrijedi 124· (3
2)7 ≈ 1 tj. 3
2= 2
47 . Druga aproksimacija znaci da smo kvintu, u
jednolikoj skali sa 12 polutonova, aproksimirali sa 7. polutonom. Postavlja se pitanje
je li u jednolikoj skali s n tonova kvintu moguce jos bolje aproksimirati m-tim tonom
za neki drugi broj jednolikih tonova n i neki drugi redni broj kvinte m. Problem se
svodi na izracunavanje mn
koji sto bolje aproksimira x koji je zadan s
32
= 2x tj. x = log232
=log ( 3
2)
log 2.
Buduci da je broj x ovako zadan iracionalan, moguce ga je aproksimirati razlomkom,
a najbolji nacin je pomocu veriznih razlomaka.
Verizni razlomak je ”razlomak” oblika:
q0 +1
q1 + 1q2+
1
q3+1
q4+...
10
gdje su q0, q1, q2, . . . prirodni brojevi koje nazivamo kvocijentima tog veriznog razlomka
koji se jednostavnije zapisuje
[q0, q1, q2, . . . ].
Ako realni broj x zapisemo u obliku veriznog razlomka (konacnog ili beskonacnog),
tada su pocetni komadi tog veriznog razlomka zapravo razlomci:
x0 = [q0] = q0, x1 = [q0, q1] =m1
n1
, x2 = [q0, q1, q2] =m2
n2
xk = [q0, q1, q2, . . . , qk] =mk
nk.
Ovi razlomci su najbolje aproksimacije broja x danim nazivnikom. Neki razlomakmn
bolje aproksimira broj x od xk = mk
nksamo ako je n > nk.
Kako bi pronasli rjesenje za nas problem optimalnog broja polutonova u oktavi, sveli
smo nas problem na problem pronalazenja razlomka koji najbolje aproksimira x =log ( 3
2)
log 2. Taj broj cemo iskazati u obliku veriznog razlomka:
log (32)
log 2= 0 +
1log 2
log (3/2)
= 0 +1
log (3/2)(2/3)2log 3/2
= 0 +1
log (3/2)+log((2/3)·2)log 3/2
= 0 + 1
1+log (4/3)log (3/2)
= 0 + 11+ 1
log (3/2)log (4/3)
= · · · = 0 + 11+ 1
1+ 1log (4/3)log (9/8)
.
Ponavljajuci postupak dobivamo:
x =log (3/2)
2= [0, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, . . . ].
Aproksimacije su sljedece:
x0 =0
1x1 =
1
1x2 =
1
2x3 =
3
5x4 =
7
12x5 =
24
41. . .
Optimalno rjesenje daje nam aproksimacija u kojoj je 12 polutonova sa 7. tonom kao
kvintom, jer je 2712 = 1.498 omjer kojem odgovara 700 centa koji je samo 2 centa
udaljen od savrsene kvinte. Ako zelimo dobiti korektne kvarte, matematicki cemo
dobiti racunanjem verizne aproksimacije broja :
x =log 4
3
log 2= [0, 2, 2, 2, . . . ],
koje redom iznose:0
1
1
2
2
5
5
12.
Primjetimo kako je najbolja aproksimacija 512
s 12 polutonova i petim tonom kao kvar-
tom. No krenemo li racunati korektne terce, najbolja podjela oktave je na 19 poluto-
nova. U takvoj bi skali izvrsna mala terca bila peti ton, velika terca sesti ton i jedva
11
podnosljiva kvinta (695 cent) jedanaesti ton. Kako najvise konsonantnosti ipak sadrzi
12-tonska skala, oktava je podijeljena na 12 polutonova i glasovir je dobio svoj sadasnji
izgled.
3.3 ”Z-board” i ”Lira spectrum”
Hrvatski skladatelj, aranzer, gitarist i inovator Zoran Scekic, ujedno i koautor knjige
Matematika i muzika u suradnji sa Zvonimirom Sikicem uspio je rijesiti tisucljetni pro-
blem u glazbi tako sto je na temelju Pitagorinih nacela pronasao revolucionaran nacin
nastimavanja instrumenata. Scekic je postavio novi teorijski sustav geometrijskih ljes-
tvica koji mijenja nacin ugadanja insturumenta kakvog do sada poznajemo. Primjenom
matematickih zakona na podrucju glazbe uspio je preciznu harmoniju prirodnih inter-
vala uciniti dostupnu glazbenoj praksi.
Prvi instument je mikrotonalna klavijatura nazvana ”Z-board” koji je osmislio i izra-
dio u San Diegu 2009. godine. nakon kojeg je uslijedio drugi izum ”Lira Spectrum”,
aktivna instalacija koja reproducira glazbu i crteze. Trenutno radi na medunarodnom
projektu ”Panmonizam” u cijem je fokusu mikrotonalna glazba. Jednostavnim i pris-
tupacnim nacinom, kroz ovaj projekt, otkrivaju se zajednicki korijeni znanosti i umjet-
nosti, te kroz discipline kao sto su matematika, glazba, animacija i mehanika opisuje
se jedan jedini fenomen: odnos dviju ili vise frekvencija.
Taj fenomen u razlicitim disciplinama ima razlicite nazive. U glazbi to su akord i ri-
tam, u matematici slozeno harmonijsko gibanje ili Lissajousova krivulja, u slikarstvu
odnos boja. Isti taj fenomen cini osnovu mnogih drugih tehnologija i disciplina poput
telekomunikacija, strojarstvo, arhitektura, medicina. . . .
Slika 6: Z-board
U 19. stoljecu francuski fizicar i matematicar Jules Antoine Lissajous (1822.-1880.)
utemeljio je opticku metodu mjerenja razlike frekvencije dvaju vibrirajucih tijela. Zraka
svjetlosti koja se odbija od zrcala koje je pricvrceno na vibrirajucu vilicu za ugadanje i
12
Slika 7: Harmonograf Lira Spectrum
koja se zatim odbija od drugog zrcala koje je pricvrsceno za okomitu vibrirajucu vilicu
za ugadanje (obicno druge visine, stvarajuci tako interval) na zidu stvara vrlo pra-
vilne i kompleksne geometrijske krivulje. Te se krivulje nazivaju Lissajousove krivulje.
Ovo je otkrice dovelo do pojave harmonografa. Harmonograf je mehanicko pomagalo
koje koristi njihala i crta geometrijske krivulje, odnosno najcesce Lissajousove krivulje.
Sluzbeni izumitelj harmonografa je Hugh Blackburn (1823. - 1909.), skotski mate-
maticar, no samom izumu je pridonijelo vise osoba. ”Lira Spectrum” je harmonograf
koji je izumio Zoran Scekic. Dok crta, ona takoder proizvodi glazbu u intonaciji i ritmu
koji su analogni slici.
Slika 8: Slike dobivene harmonografom
13
4 Alikvote
4.1 Upoznavanje s orkestrom
Orkestar je instrumentalni glazbeni ansambl koji je podijeljen u cetiri sekcije: gudaci,
drveni puhacki instrumenti, limeni puhacki instrumenti i udaraljke. Vodi ih najcesce
dirigent, no te se kroz povijest mijenjalo. Takoder postoje i razlicite vrste orkestara,
od nesto manjeg klasicnog do simfonijskog, odnosno filharmonijskog orkestra. Osim
navedenih sekcija, orkestrima se mogu pridruziti pjevaci, zbor, klaviristi, te razni so-
listi.
Orkestar je u pocetku bio luksuz za aristokrate, no vremenom se prosirivao. Simfo-
nija je svoj uspon dozivjela u 19. stoljecu. Glazbenici su najcesce morali prikupljati
glazbenike za orkestar. Nazalost, krajem 20. stoljeca, razvojem popularne glazbe,
popularnost klasicne glazbe i orkestara opada. Novi trend je ponovna popularizacija
klasicne glazbe i klasicnih instrumenata kroz njihovo ukljucivanje u danasnju popu-
larnu i modernu glazbu.
Gudacka sekcija je najveca u orkestru. Gudacki instrumenti napravljeni su od drveta,
tijela su im suplja kako bi zvuk mogao vibrirati unutar njih i sviraju se sa gudalom
napravljenim od dlake iz konjskog repa, a mogu se svirati i prstima. Instrumenti koji
cine gudacku sekciju su: violina, viola, violoncelo i bas.
Drvani i limeni puhacki instrumenti sviraju se na isti nacin, tako da svirac puse zrak
u njih. Razlika je sto su napravljeni od razlicitih materijala. Sekciju drvenih puhackih
instrumenata cine flauta, oboa, klarineti fagot, dok sekciju limenih puhackih instrume-
nata cine: truba, rog, trombon i tuba.
Sekciju udaraljki cine bubnjevi raznih vrsta, gong, timpani, ksilofon, te je cak i glasovir
smjesten medu udaraljke. Ton na glasoviru dobijemo pritiskom tipke koja podize mali
cekic, koji zatim udara od zicu.
4.2 Alikvote ili visi harmonici
Kao sto je zraka svijetlosti kompleksna i sastavljena od duginih boja, tako su i zvuci
koje cujemo kompleksni, odnosno sastavljeni od puno cistih zvukova. Nas sluh raz-
dvaja kompleksan zvucni val na spektar jednostavnih valova. Boja ljudskog glasa je
upravo zato specificna. Kada prepoznajemo neciji glas, mi zapravo uspijevamo detek-
tirati specificni, osobni spektogram.
Na isti nacin kada netko odsvira odredeni ton na violini, flauti ili klaviru mi cujemo
da su to tonovi iste visine, ali potpuno razlicite boje. Upravo za boju tona odgovorni
su tzv. alikvotni tonovi ili visi harmonici koji se cuju pored osnovnog tona i po tome
se zvuk oboe razlikuje od zvuka violine ili zvuk klavira od zvuka gitare.
Frekvencija titranja jednog vala je 131 Hz, tu vibraciju mi cujemo kao ton c. Frekven-
cija dvostrukog vala je 262 Hz i mi tu frekvenciju cujemo kao c1. Frekvencija trostrukog
14
vala dala bi ton g1, cetverostruki bi proizveo c2, peterostruki e2, a sesterostruki g2.
Ako ovih sest tonova odsviramo istovremeno dobiti cemo akord koji sadrzi trozvuk c +
e + g koji je temelj zapadne harmonije. Osim temeljne frekvencije za koju vidimo da
odreduje visinu tona, akordi uvijek sadrze i vise frekvencije u sve slabijem intenzitetu.
To su alikvotni tonovi koji daju cijelu skalu tonova i zvuku daju puninu. Kada bi uzeli
jednostavni sinusni ton, to bi zvucalo prazno i umjetno. Takav ton moze se proizvesti
elektronicki, ali nijedno glazbalo ne proizvodi takve tonove. (Slika 11 )
Ako je osnovni ton frekvencije, alikvotni tonovi koje stvaraju instrumenti je spektar
tonova manje jacine cije su frekvencije cjelobrojni visekratnici od f: 2f, 3f, 4f,. . . Boja
tona odredenog instrumenta ovisi o raspodjeli jacine tih alikvota. I ovo objasnjava
Pitagorin zakon malih brojeva:
Pitagorin zakon malih brojeva 2. Tonovi koji su u harmoniji sa osnovnim tonom
su upravo tonovi cije su frekvencije zastupljene u spektru alikvotnih tonova.
Poklapanja alikvotnih tonova dobro objasnjavaju Pitagorin zakon malih brojeva,
no ne vrijede za suglasnost jednostavnih tonova, odnosno onih koji uopce nemaju visih
harmonika, a kako nemaju zajednickih frekvencija, jednostavni bi tonovi trebali biti
disonantni.
Objasnjenje Pitagorinog zakona malih brojeva ponudili su Galileo (1564. – 1642.) i
njemacki fizicar Herman von Helmholtz (1821. – 1894.), tek je poslije istrazivanja
Plompa i Levelta (1965.) potpuno razjasnjena matematicka i fizicka pozadina koja
stoji iza fenomena konsonantnosti. Helmholtz je objasnjenje konsonantnosti ponudio
u svojoj knjizi On the sensation of tones. Rekao je kako je disonanca posljedica udara
sto ih stvaraju bliske frekvencije alikvota. Konsonantnost je definirao kao odsustvo tih
udara. Rezultati Plompa i Leveleta 1965. su potvrdili da ako cujemo jednostavne zvu-
kove, onda se zvuci bliskih frekvencija dozivljavaju kao disonantni, a klasicni intervali
kao terca, kvarta ili kvinta kao konsonantni.
4.3 Fourierova teorija
Postavlja se pitanje kako zica moze vibrirati na vise razlicitih frekvencija u isto vrijeme?
Glazbu u fizikalnom smislu cine zvukovi koji nastaju titranjem nekog tijela, odnosno
izvora zvuka. Ti titraji tada stvaraju zvucne valove koji se krecu kroz zrak (vodu, metal
ili neki drugi medij) i dolaze do naseg uha. Glavna svojstva zvucnog vala su amplituda,
intenzitet i frekvencija. Nase usi vibriraju slicno izvoru zvuka, te nam omogucavaju
da cujemo razlicite zvukove. Ljudsko uho moze razlikovati zvukove po boji, glasnoci
i visini. Takoder, postoji i raspon intenziteta koje ljudsko uho uopce cuje, a krece se
od praga cujnosti (0 dB) do praga bola odnosno (130 dB). Frekvencija je pojam koji
15
se veze uz periodicne zvucne valove, kao sto su tonovi. Ako je p periodicna funkcija
temeljnog perioda T , tada je 1T
frekvencija zvucnog vala.
Svojstva zvucnog vala utjece na to kako mi dozivljavamo zvuk. Periodicne zvucne
valove definiramo kao ton, dok neperiodicne cemo dozivjeti kao buku. Intenzitet vala
(amplituda) dozivjeti cemo kao glasnocu, visinu predstavlja frekvencija vala, a na boju
utjece oblik vala. Rastav zvucnog vala u Fourierov red zove se jos i harmonijska analiza.
Joseph Fourier (1768. - 1830.) francuski je matematicar i fizicar po kojemu su Fourierov
red i Fourierove transformacije dobile ime. Najvazniji uvjet pri razvoju funkcije u
Fourierov red je da je ona periodicna, stoga ako je u pitanju neperiodicna funkcija,
moramo ju napraviti periodicnom. Neka je p : [0,∞〉 → R. Rekli smo kako periodicne
zvucne valove dozivljavamo kao tonove. Nasa funkcija p predstavlja jedan zvucni val.
Zelimo vidjeti kako oblik vala djeuje na nas dozivljaj boje tona. Ovakvu periodicnu
funkcija, temeljnog perioda T mozemo zapisati u obliku sume trigonometrijskog reda
p(t) = p0 +∞∑n=1
An · sin(
2nπt
T+ φn
),
gdje se koeficijenti Fourierovog reda p0, An, φn racunaju iz izraza:
p0 =1
T
∫ T
0
p(t)dt, An =√a2n + b2n, sinφn =
an√a2n + b2n
, cosφn =bn√a2n + b2n
,
gdje su
an =2
T
∫ T
0
p(t) cos
(2nπt
T
)dt, bn =
2
T
∫ T
0
p(t) sin
(2nπt
T
)dt,
za proizvoljni n ∈ N, te koeficijenti An monotono padaju prema 0 kada n tezi u
beskonacno.
Kako nas zanimaju glavne ideje, necemo ulaziti u detalje i diskutirati o razlicitim
vrstama konvergencije ovog reda.
Prvi clan p1(t) = A1 · sin(2πtT
+ φ1
)pripadnog Fourierovog reda zovemo osnovni ili
fundamentalni ton, dok se ostali clanovi nazivaju alikvotni tonovi ili visi harmonici.
Funkcija p1 je periodicna s temeljnim periodom T , njena je frekvencija 1T
, sto je zapravo
jednako frekvenciji pocetnog zvucnog vala. Kako su alikvotni tonovi spektar tonova
cije su frekvencije cjelobrojni visekratnici frekvencije osnovnog tona, tada frekvencije
visih harmonika redom iznose: 2T, 2T, 3T, 4T, . . . . Neki alikvotni tonovi se ne moraju ni
pojaviti u Fourierovom redu iz razloga sto neki koeficijenti An mogu biti jednaki 0.
Osnovna frekvencija tona A je jednaka svim instrumentima, no taj isti ton A zvucati
ce drugacije na tubi, nego na primjerice oboi. Mozemo zakljuciti kako na dozivljaj boje
tona utjece distribucija alikvotnih tonova ili matematicki velicina koeficijenata An i φn,
za n ≥ 2.
Pomocu matematike i Fourierove analize glazbu mozemo vidjeti i tako prepoznati.
16
Osnovna ideja je gledati na val kao na funkciju frekvencije, a ne funkciju vremena. Ton
osim osnovnog tona ima i alikvotne tonove, no nas ne zanimaju svi tonovi, vec nas
zanimaju samo oni odredene frekvencije. Recimo da zelimo smanjiti niske i pojacati
visoke frekvencije. Mozemo to uciniti pomocu osnovnog ekvilizatora koji zapravo koristi
Fourierove transformacije. Tesko je iscitati iz samog spektra tonova o kojoj se melodiji
radi. Glazba nema samo jedan ton, vec se cijeli spektar tonova mijenja kroz vrijeme.
Fourierovu analizu mozemo primjeniti na jedan mali dio zvuka i prikazati ga kao graf.
Na Slici 9 vidimo pocetak Beethovenove 5. simfonije. Takoder, jako dobro se vide visi
harmonici, na primjer oko 100 Hz mozemo vidjeti osnovni ton i isti taj ton na 200
Hz, 300 Hz,. . . Vidimo kako se jedan visi ton ponavlja par puta, onda imamo ravnu
liniju nizih tonova, tocno kako i zvuci pocetak najpoznatije Beethovenove simfonije. U
ovakvom prikazu ga mozemo prepoznati, no iz cijelog spektra ne bi uspjeli iscitati kako
se radi o ovom dijelu.
Slika 9: Ludwig van Beethoven: Simfonija broj 5 u c-molu
Na primjer, na Slici 10 mozemo vidjeti kako izgleda cijeli spektar tonova na primjeru
John Williamsovog Imperial Marcha. Vecini je ova kompozicija poznatija kao tema pri
pojavljivanju Darth Vadera iz sage Star Wars, no iako ju vecina zna, na slici cijelog
spektra, tesko ju je prepoznati, zapravo nemoguce.
Ne mozemo uvijek na ovaj nacin prepoznati o kojoj se pjesmi/skladbi radi. Na Slici
11 vidimo nejasne oblike i ne mozemo prepoznati nikakav uzorak. Mogli bi reci da ovo
nije glazba, no radi se o elektronickoj glazbi u kojoj ova analiza ne vrijedi jer su veliki
skokovi i osim toga ne postoje tako jasni alikvotni tonovi, posto su alikvotni tonovi
svojstveni klasicnim instrumentima, te ljudskom glasu.
17
Slika 10: John Williams: Imperial March, poznatija kao tema Darth Vadera iz sageStar Wars
Slika 11: Skrillex: Bangarang
18
5 Mjera i ritam
”Najnuznija, najteza i glavna stvar u glazbi je vrijeme.”
Wolfgang Amadeus Mozart
Slika 12: Mala glazbena recenica
Na Slici 12 vidimo jednu glazbenu recenicu koja pocinje s kljucem i mjerom. Vec na
sam pogled mozemo reci da je za razumijevanje glazbe potrebna matematika, osobito
razlomci. Cijela nota ima dvije polovinke, 4 cetvrtinke, 8 osminki. Jedna polovinka
ima 2 cetvrtinke, 4 osminke, itd. Mjera nas neobicno podsjeca na razlomak, sto u neku
ruku i jest. Mjera je broj koji nam govori koliko doba ima u svakom taktu (gornji broj)
i koja nota je jedinica mjere (donji broj). Kad bi primjerice uzeli sesnaistinke umjesto
osminki, imali bi vise nota za odsvirati, zbog cega bi melodija zvucala brze. U svakoj
mjeri postoje i dobe koje se naglasavaju. Koje note i koju mjeru koristimo utjece na
ritam. Ritam je nizanje tonova po trajanju (ne smije ga se mijesati s tempom, tempo
odreduje skladatelj na pocetku skladbe i on vise pridonosi ugodaju.
Vecina ljudi nije svjesna da je matematicka pozadina notnog teksta u sustini graf funk-
cije u prilagodenom polulogaritamskom koordinatnom sustavu gdje os x predstavlja
vrijeme, a os y logaritam frekvencije tona. Polulogaritamski prikaz se cesto koristi kad
su u pitanju frekvencije. Pri tome su sva mjesta na kojima funkcija ima konstantnu
vrijednost oznacena pomocu notnih vrijednosti.
Rekli smo ranije da cemo na razliku u visini dva tona gledati kao odnos njihovih frek-
vencija. Primjerice ton A2 ima frekvenciju 440Hz, ton A3 koji je za oktavu nizi 220Hz,
a ton A2 koji je jos nizi 110Hz. Ako ta tri tona postavimo u koordinatni sustav kojemu
je os x vrijeme, a os y frekvencija, imali bi razlicite razmake izmedu tonova A2 i A3,
tj. A3 i A4. Prema tome, prirodno je da u grafickom prikazu glazbe u nekoj vrsti
koordinatnog sustava biljezimo logaritme frekvencija u ovisnosti o vremenu. Uzmimo
redom f1 : f2 = f3 : f4. U tom slucaju vrijedi da je log 1– log 2 = log 3– log 4.
5.1 Glazba, razlomci i skola
U 5. razredu osnovne skole ucenici se upoznaju s razlomcima. Ucenici ponekad
znaju imati problema sa samim pojmom razlomka, zatim racunanju s razlomcima,
usporedivanjem razlomaka i slicno. Upravo iz tog razloga, ucenicima se ovo gradivo
nastoji pribliziti raznim metodama i primjerima iz svakodnevnog zivota, primjerice
19
Slika 13: Prikaz glazbenih kljuceva u polulogaritamskom sustavu. Horizontalne linijeudaljene su za malu ili veliku tercu. Ravne horizontalne linje prikazuju frekvencijupojedinih tonova. Mjera na horizontalnoj osi vremena govori nam kakav je tempo.
dijeljenjem pizze, cokolade, torte iil slicno. Jedan od takvih primjera i metoda je kom-
binacija glazbe i matematike.
Potrebno je ucenike prvo upoznati s notama i njihovim izgledom krenuvsi od cijele note,
zatim polovinka, cetvrtinka, osminka, te sesnaestinka. Nakon toga ucenike upoznajemo
sa 4/4 mjerom, sto znaci da u svakom taktu mora biti 4 dobe. U toj mjeri cijela nota
je jedan udarac i iznosi 4 dobe koje mozemo naglas brojati (1 2 3 4). Polovinka vrijedi
dvije dobe, iz cega slijedi da moramo imati dvije polovinke kako bi dobili 4 dobe i opet
mozemo brojati glasno, prvi udarac (1 2), drugi udarac (3 4). Na kraju u toj mjeri 1
dobu vrijedi cetvrtinka, svaki udarac je jedna doba.
Za uvjezbavanje ovih pravila razred mozemo podijeliti u tri skupine, jedna broji ci-
jele note, druga polovinke i treca cetvrtinke, pritom imajuci na umu dobe i njihovo
brojanje. Grupe se mogu izmjenjivati kako bi svi uspjeli brojati sve dobe. Takoder
ucenici mogu raditi u paru i napisati dva-tri takta vlastitih kombinacija nota, pritom
vodeci racuna da uvijek imaju 4 dobe u taktu. Nakon toga sve radove mozemo spojiti
u cjelinu i slicno kao u prethodnom zadatku ih zajedno izvesti.
Vazno je da ucenici shvate kako za note vrijede ista pravila kao i za razlomke. U sva-
kom taktu zbroj svih nota mora davati jednu cijelu notu. Znanje mozemo provjeriti
pitanjima:
Koliko sestnaestinki ima jedna cetvrtinka?
Odgovor: Cetiri.
Koliko traje jedna cetvrtinka?
Odgovor: Jednu dobu.
Koliko osminki ima jedna cetvrtinka?
20
Odgovor: Dvije.
Koliko traje jedna osminka?
Odgovor: Ako jedna cetvrtinka traje jednu dobu, a jedna cetvrtinka je dvije osminke,
onda jedna osminka traje pola dobe.
Jedan od zadataka moze biti i krug, odnosno kruzni dijagram, koji predstavlja jednu
Slika 14: Primjer zadatka sa kruznim dijagramom koji predstavlja jednu cijelu notu
cijelu notu. Razlicite velicine kruznih isjecaka ce predstavljati razlicite note, te ucenici
moraju popuniti kruzni dijagram kako god zele koristeci dane kruzne isjecke. (Slika
14 )
Na sljedecoj strani nalazi se primjer radnog lista koji mozemo iskoristiti u nastavi. Za-
daci se sastoje od nacrtanih nota ili napisanih vrijednosti nota, a ucenik treba nacrtati
ili napisati vrijednost nota, te zbrojiti tako da u svakom zadatku zbroj iznosi 1 cijelo
(Radni list).
Razlomke i note mozemo povezati i sa gradivom decimalnih brojeva ili postotaka. Tako
ce na primjer cijela nota iznositi 1, odnosno 100%. Polovinka vrijedi 12
cijele note, to
je 50% ili 0.5. Analogno dalje za svaku notu. Iz toga slijedi da zadatke mozemo
kombinirati po potrebi, te ucenicima pribliziti gradivo razlomaka, decimalnih brojeva
i postotaka. (Slika 15 )
21
Slika 15: Primjer zadatka
22
RADNI LIST
Popunite prazna mjesta odgovarajućim notama ili brojevima i provjerite daje li zbroj 1.
Primjer:
Zadatak 1.
ZBROJ =
Zadatak 2.
ZBROJ =
Zadatak 3.
ZBROJ =
6 Matematika u glazbi
6.1 Simetrija u glazbi
Pitanje ugadanja je samo jedan aspekt u kojem matematicko razmisljanje ulazi u sferu
glazbenog svijeta. No, glazba se ne sastoji samo od nota i harmonije, bitnije su pro-
mjene nota u vremenu, odnosno ritam i melodija, gdje je matematika opet prisutna.
Nije samo glazbeni zapis u velikoj mjeri temeljen na matematickim konceptima, vec i
u glazbi mozemo pronaci odredene aritmeticke i geometrijske uzorke.
Mnoga glazbena djela su na neki nacin simetricna. Najcesci tipovi simetrije koji se
javljaju u glazbenim djelima su:
1. Osna simetrija- ravnina simetrije je obicno horizontalni ili vertikalni pravac, obicno
je jasno vidljiva u zapisu glazbenog djela (Slika 16 )
2. Translacija- posljedica translacije u glazbi je zapravo ponavljanje osnovnog dijela
Slika 16: Osna simetrija tona razlicite visine, os simetrije je horizontalna os koja ”pro-lazi” tonom srednje visine
dane kompozicije (Slika 17 )
3. Rotacija- u glazbi se odnosi na ponavljanje kojem je kraj jednog dijela pocetak
Slika 17: Translacija istog tona po visini
drugog, a pocetak prvog dijela, kraj drugog.
Glazbeno djelo je napisano u odredenoj mjeri, ima svoj tempo, tonalitet i dinamiku.
Dinamika djela je zapravo intenzitet djela, njegova glasnoca. Simetriju mozemo pronaci
u dinamici djela, tempu, visini tonova; odnosno simetrija melodije, harmoniji, tonali-
tetu, te u samoj formi djela.
U preludiju (Libero, Slika 18 ) simetrija je skrivena, no u drugom djelu valceru (Guisto)
24
Slika 18: G. Kurtag, Preludij i valcer u C duru, note
simetrija je izgradena iz prvog dijela, odnosno iz preludija. Na ton C1 mozemo gledati
kao na centar simetrije koju autor naglasava na samom kraju. Ako krenemo od tona
C1 oktave u suprotnim smjerovima jedna drugu postepeno prate. Ritam ovog valcera
je translativan, dok je dinamika osnosimetricna obzirom na vertikalnu os.
Postoje brojni primjeri raznih vrsta simetrije u glazbenim djelima. Johann Sebastian
Bach (1685.-1750.) je njemacki barokni skladatelj koji je iza sebe ostavio veliki opus
cijenjenih glazbenih djela, kanona, misa, simfonijskih djela i koncerata. U brojnim
Bachovim djelima mozemo pronaci razne primjere simetrije, neka od njih su: Toccata
u D duru, Crab Canon kojeg cemo spomenuti kasnije u potpoglavlju 6.5, te Concerto,
poslije Telemanna, drugi stavak. Njegovo djelo The Musical Offering/Das Musikalische
Opfer sastoji se od 5 stavaka, to su redom po obliku glazbenog djela: ricecar (preteca
fuge, instrumentalno polifonsko djelo), pet kanona, trio sonata (oblik glazbenog djela
pisan za dva solo melodijska instrumenta i bas), trio sonata, pet kanona i ricecar.
Odnosno, u Bachovim djelima takoder mozemo pronaci i simetriju u formi glazbenog
djela. Potrebno je napraviti zasebno istrazivanje kako bi se vidjeli svi primjeri sime-
trije u Bachovim djelima. Poseban oblik glazbenog djela u kojima je cesto prisutna
simetrija, najcesce translacija i neka vrsta osne simetrije je i rondo.
25
Simetrija u harmoniji najvise se pojavljuje u Mozartovim djelima, odnosno u njegovim
Sonatama u C duru, u D duru, u G duru, no nesto vise o Mozartu i njegovim djelima
reci cemo u potpoglavlju 6.2.
U Landleru Franza Schuberta (1797.-1828.), austrijskog kompozitora osim sto postoji
simetrija u harmoniji, takoder se pojavljuje i simetrija u tonalitetu. Kompozicija krece
iz E dura, zatim prelazi u B dur i na kraju se vraca u E dur.
6.2 Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez u glazbenim dijelima
Jako zanimljiv aspekt matematickih koncepata u glazbenim dijelima je pojava Fibo-
naccijevih brojeva i teorija o zlatnom rezu ( φ =√5−12≈ 0.61803398 . . . )
Fibonaccijev niz je ime dobio po talijanskom matematicaru Fibonacciju. On je 1202.
godine u svom djelu Liber Abaci upoznao zapadnu Europu sa nizom koji je po njemu
dobio ime. Poznati niz koji dobivamo tako da je sljedeci broj u nizu zbroj prethodna
dva; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . u Fibonaccijevoj knjizi zapravo predstavlja idealan,
iako bioloski nemoguc, rast zecje populacije. Ako idemo dovoljno daleko u nizu i gle-
damo omjere susjednih brojeva priblizavamo se tzv. zlatnom rezu.
Zlatni rez je broj φ = 1+√5
2= 1.6180339 . . . . Njegova najpoznatija interpretacija je ona
geometrijska: Podjela jedne linije na dva nejednaka dijela se nalazi u omjeru zlatnog
reza, ako je omjer duljine cijele linije naprama duljine veceg dijela, jednaka omjeru
duljine veceg dijela naprama duljine manjeg dijela. Zlatni rez se mnogo upotrebljava u
umjetnosti, posebno u slikarstvu, gdje glavni elementi dijele duljinu ili sirinu slike po
zakonu zlatnog reza. Osim u umjetnosti, omjer zlatnog reza, te Fibonaccijev niz moze
se pronaci i u prirodi, arihtekturi, u omjerima ljudskog tijela i dizajnu.
Istrazivanja su otkrila da se isti koncept moze pronaci i u glazbenim kompozicijama.
Zlatni rez - izrazen pomocu Fibonaccijevog niza, koristi se kako bi se generirale pro-
mjene u ritmu ili za razvoj melodije.
Konkretno, ove pravilnosti mozemo pronaci u prvom stavku Bartokovog djela ”Kon-
cert za gudace, udaraljke i celestu” gdje se glavni dio, odnosno klimaks djela nalazi u
55-tom taktu od ukupno njih 89 ( 89 = 55 + 34, 89 : 55 = 1.6181818 . . . ). Takoder u
uvodnom dijelu na ksilofonu mozemo cuti Fibonaccijev niz u ritmu: 1 : 1 : 2 : 3 : 5 :
8 : 5 : 3 : 2 : 1 : 1. Nadalje Rothwellova istrazivanja (1977.) otkrila su primjere zlatnog
reza u raznim glazbenim razdobljima. Iako se sama djela razlikuju po ritmu, melodiji,
razdoblju i kompozitorima, lokacija vaznih dogadaja u djelu poput promjene ritma,
klimaksa, dinamike ili tempa obicno kompoziciju dijele na dva dijela ili simetricno ili
u omjeru zlatnog reza.
Najpoznatiji primjer je zbor ”Haleluja” iz ”Mesije”, Georga Friedricha Handela koji
se sastoji se od 94 takta. Jedan od najvaznijih dogadaja je ulazak solo truba (”King
of Kings” ) koji se dogada izmedu 57-og i 58-og takta, tocno nakon 813
cijelog djela.
26
U oba dijela ovog velikog djela mozemo pronaci slicne omjere. Primjerice nakon 813
prvih 57 taktova, odnosno na 34. taktu pojavljuje se tema” The kingdom of glory. . . ”
koja oznacava vazan dio ovog dijela, te takoder nakon 813
drugog dijela od 37 taktova,
to je 79. takt (”And He shall reign. . . ”) opet se pojavljivanjem solo truba naglasava
vazan dio. Tesko je tvrditi je li Handel toga stvarno bio svjestan i je li to namjerno
napravio, ali svakako mozemo primjetiti da fenomen zlatnog reza nije strogo vizualan,
vec ga mozemo i cuti.
Jos jedno istrazivanje [12] da se u skoro svim Mozartovim (1756. - 1791.) sonatama za
klavir, omjer ekspozicije i provedbe i repeticije poklapa sa zlatnim rezom. U Mozar-
tovo vrijeme sonatni oblik sastojao se od dva dijela: ekspozicije, u kojoj se upoznajemo
sa temom djela i provedbe i repeticije u kojem se tema razvija i ponavlja. Mozart je
svoje djelo podijelio po pravilu zlatnog reza gdje je ekspozicija kraci dio, u odnosu na
provedbu i repeticiju. Mozart je zasigurno toga bio svjestan, jer postoje dokazi da je
bio nadaren za maetmatiku. Njegova je sestra Maria Anna, Marianne odnosno Nannerl
od milja, rekla kako je njen brat uvijek piskarao brojeve i formule za vjerojatnost na
marginama svojih djela (Fantasia and Fugue in C Major). Ipak, Mozart je bio genije i
nikad necemo sa sigurnoscu moci tvrditi je li on namjerno svoje sonate pisao po pravi-
lima zlatnog reza ili je jednostavno zlatni rez cuo i osjetio, bez koristenja matematike.
Ludwig van Beethoven (1770.-1827.) njemacki je kompozitor i pijanist koji je tokom
svog zivota postao gluh. Postavlja se pitanje kako je ipak mogao skladati takva pre-
divna djela? Njegovo djelo Mjeseceva sonata krije matematicke uzorke ispod naoko
jednostavne melodije. Beethoven je sam rekao ”Uvijek imam sliku u glavi kada skladam
i pratim njene linije”. Beethoven ne samo da vidi sliku, bez da cuje glazbu, vec ju i
osjeti. Ako uzmemo 12 polutonova ljestvice i pogledamo interval koji se naziva trijada.
Trijadu cine tri tona C, F], A i oni su konsonatni. Naravno da zvuce ugodno uhu, no
Beethoven je u jednom od svojih poznatijih djela, Mjesecevoj sonati koristio tonove
koji su disonatni, no svejedno kada slusamo djelo zvuci nam ugodno. Iako mozemo
pronaci matematicki uzorak u djelima, jos uvijek je velika nepoznanica zasto glazba
ima takav utjecaj na nas, zasto neke kompozicije zvuce tuzno, dok nas neke raduju?
Zasto nam disonanca zvuci u ovom primjeru ugodno, a zapravo matematicki i subjek-
tivno, odsvirani van konteksta kompozicije, nam zvuce neugodno?
Fibonaccijevi brojevi pojavljuju se i u djelu francuskog skladatelja Claudea Debussya.
Roy Howat je skotski pijanist i muzikolog specijaliziran za francusku glazbu. U svom
djelu Debussy in Proportion govori o Fibonaccijevom nizu i uzorku koji je pronasao u
Debussyevim djelima. Howat govori kako Debussy pri skladanju koristi matematicke
modele u vec postojecoj sonatnoj formi svojih djela. Howat kaze kako se Debussyeva
djela mogu podijeliti na dijelove koji su u omjeru zlatnog reza i to pomocu Fibonacci-
jevog niza.
Osim u klasicnoj glazbi, primjeri Fibonnacijevog niza prisutni su i u drugim glazbenim
27
zanrovima, u sadasnje vrijeme. Tool je americki band iz Los Angelesa, osnovan 1990.
godine i po glazbenom zanru spadaju u progresivni rock/metal. Pjesma Lateralus je
naslovna pjesma njihovog treceg albuma i ujedno i njihov treci singl. Glazba i rijeci
ove pjesme prozeti su Fibonaccijevim nizom. Pjesma je poznata po posebnim mjerama
i odgovarajucim uzorcima u rijecima. Mjera u kojoj je refren ove pjesme mijenja se od
9/8, zatim 8/8 do 7/8 i bas zbog toga pjesma se isprva trebala zvati 987, zbog mjera,
a i 987 je 16. clan Fibonaccijeva niza, no ipak su je preimenovali u Lateralus. Ako
poblize pogledamo uvod u pjesmu i refren, te podijelimo fraze u odnosu na ritam i
melodiju, tada vidimo kako se Fibonacci pojavljuje u broju samoglasnika u rijecima.
Takoder, uvod pjesma zavrsava nakon 1 minute i 37 sekundi, nakon cega krecu stihovi.
Odnosno, stihovi zapocinju 1 minutu + 0.618 minute, sto je nakon zaokruzivanja ot-
prilike 37 sekundi.
Hip hop duo Black Star u svojoj pjesmi Astronomy (8th light) takoder ima Fibonnacijev
niz u svojim rijecima:
”Now everybody hop on the one, the sounds of the two
It’s the third eye vision, five side dimension
The 8th Light, is gonna shine bright tonight”
6.3 Math rock
Osim u glazbi, matematika je posluzila i kao inspiracija za nastajanje novog glazbenog
smjera.
Math rock je ritmicki kompleksan smjer eksperimentalnog rocka i indie rocka. Ka-
rakteriziraju ga kompleksni, atipicni ritmovi, kontrapunkt, neparne mjere, disonantni
akordi i nezgrapne melodije. Glazba nema toliko tipicnih elemenata rock glazbe, vec
je vise spontana i ima prizvuk jazza. Unatoc tome je proracunata i instrumentalni
riffovi na gitari se zapravo pojavljuju u tocno odredeno vrijeme. Zvuk ove vrste glazbe
moze zvucati cak i pomalo kaoticno iako je u pozadini zapravo stroga matematicka
struktura.
Stil se pojavio 80-ih godina 20 stoljeca pod utjecajem King Crimsona i Stevea Reicha.
Neki od ranijih utjecaja su bendovi poput Black Flag i Nomeansno. U rubriku math
rock spadaju i bendovi: 65daysofstatic, And So I Watch You From Afar, Maybeshewill,
Bloc Party, Foals, Paul Newman, Russian Circles, Tool. . .
6.4 Matematika i instrumenti
Osim u glazbi, zlatni rez se upotrebljava i u izradi instrumenata. Clanovi obitelji Stra-
divarius su najpoznatiji po izradi najkvalitetnijh gudackih instrumenata. Najpoznatiji
po izradi je bio Antonio Stradivari (1644.-1737.). Stradivari je u izradi svojih instru-
28
menata koristio zlatni rez i njegove violine su vrlo trazene, cak i sad, zbog izvanredne
kvalitete i boje tona. Jody Espina bavi se izradom piskova za saksofon i u svoje piskove
je takoder ”ugradila” zlatni rez. Rezultat je jasniji, glasniji, puniji zvuk i lako je za
svirati kroz njega.
6.5 Glazba Mobiusove trake
Slika 19: Mobiusova traka
Mobiusova traka (Slika 19 ) je matematicki objekt koji ima vrlo zanimljiva svojstva
i primjenu, ne samo u matematici, vec i u umjetnosti i ostalim znanostima.
Zamislimo si 12 polutonova ljestvice, u oktavama, poredane po visini, kao na brojev-
nom pravcu, od nizih prema visima. Ako promatramo akorde, smatramo da svi tonovi
C pripadaju istoj klasi tonova (medusobno su ekvivalentni). Ako sve tonove C uzi-
mamo kao ekvivalentne, matematicki to bi bilo kao da gledamo sve one tonove C koji
su kongruentni modulo 12. Ovo vrijedi za svaki od 12 polutonova u oktavi. Nadalje,
ako ti tonovi pripadaju istoj klasi, mozemo reci kako se nizanjem oktava zapravo vr-
timo u krug.
Pogledajmo sada akorde. Zbog jednostavnosti, gledati cemo akorde od dva tona. Za-
mislimo si sada koordinatni sustav kojem su x i y os zapravo ovih 12 polutonova oktave.
(Slika 20 )
Glavna dijagonala x = y predstavlja iste tonove. Pravac y = x + c, gdje je c ∈ Nkonstanta koja nam daje akorde ili intervale tonova koji se razlikuju za tu konstantu.
Pravci okomiti na pravac x = y dati ce nam iste akorde, samo u opadajucem poretku.
Sto ako zelimo gledati obje osi na nacin da nam opet svi akordi, bez obzira na poredak
tonova, budu smjesteni u istu klasu? Ako zarolamo u jednom pravcu dobijemo cilindar,
te zavrtimo li zatim u drugom pravcu dobivamo torus. (Slika 21 )
No problem sa torusom je sto su na primjer akord C i E, te E i C dvije razlicite tocke,
a trebale bi biti ista tocka. Trebamo promijeniti nase tijelo kako bi C i E i E i C bili ista
tocka. Vratimo se na primjer s koordinatnim osima.(Slika 22 ) Presavijemo papir po
glavnoj dijagonali, matematicki identificirali smo tocku s koordinatama (x, y) s tockom
(y, x). Papir cemo izrezati i zamotati tako da se svi akordi istih tonova nalaze na rubu.
29
Slika 20: Koordinatni sustav s polutonovima. Crveno je istaknuta glavna dijagonalana kojoj se nalaze akordi istih tonova
Slika 21: Torus-crveno je glavna dijagonala , dvije tocke predstavljaju C i E, tj. E i Cinterval
Rezultat ovog postupka je Mobiusova traka. (Slika 23 )
Slika 22: Prije presavijanja po glavnoj dijagonali
30
Slika 23: Mobiusova traka s tonovima
Primjer za slusanje: J.S.Bach - Crab Canon on Mobius strip [11]. Kanon je
viseglasna skladba u kojoj melodiju pocetnog glasa u odredenom vremenskom raz-
maku ponavljaju ostali glasovi. Bachov kanon je viseglasna kompozicija u kojoj su
dvije napisane glazbene recenice komplementarne i jedna je zapravo ista kao druga, ali
gledana od kraja, slicno kao palindrom.
31
7 Zakljucak
”Mozda su matematika i muzika jedno te isto. . . samo sto se jedno vidi a drugo
cuje. . . Muziku ne mozes vidjeti, matematiku ne mozes cuti.”
Abdulah Sidran
Glazba je jedna od najstarijih sastavnica ljudske kulture. Kao i filozofija i matematika.
Jos u 6. stoljecu pr. Kr. Pitagora je govorio o vezi tih znanosti, a kasnije je i Aristotel u
svojoj Metafizici govorio o vezama izmedu ovih znanosti, spominjuci pritom Pitagoru.
Po njima brojevi su temelj svega, na njima se zasniva harmonija svemira. Kasnije
istu ideju spominje, te o njoj pise i Johannes Kepler, prema kojem su nebeska gibanja
vjecna polifonija. Prva matematizacija, bila je matematizacija glazbe. Ako se glazbeni
svijet, koji je naoko strogo osjecajan, bez puno racionalnosti i pravila, moze prikazati
brojevima, moze i sve ostalo. Od tuda i Pitagorina izjava, koju je mozda do sada bilo
tesko shvatiti: ”Sve je broj ”.
Johannes Kepler u svom je djelu Harmonija svijeta (De Harmonice Mundi) napisao:
”Nebeska gibanja nisu drugo do vjecna polifonija koju opazamo umom, a ne uhom.”
Takoder u podnaslovu ovog dijela postavlja pitanje: ”Koji planeti u nebeskoj harmoniji
pjevaju sopran i alt, a koji tenor i bas?” Odgovor na Keplerovo pitanje sada mozda
ipak ima vise smisla: ”Merkur je sopran, Venera i Zemlja su altovi, Mars je tenor, a
Saturn i Jupiter basovi.”
Slika 24: Harmonija svijeta
Ljepota je ugradena u matematiku, jednako tako ljepotu i harmoniju je, kao sto
smo vidjeli u primjerima, moguce iskazati pomocu matematike. Biti matematicar,
ne znaci samo vidjeti brojeve u svemu. Biti matematicar znaci vidjeti uzorke i pre-
poznati ljepotu. Glazbenici obicno ne pokazuju isto zanimanje za matematiku, kao
32
matematicari za glazbu. Ono sto povezuje matematiku i glazbu mora imati veze sa
nacinom razmisljanja, sa stavom jednog matematicara i sa zanimanjem za rjesavanje
problema. Zaista, matematicari cijene ljepotu i jednostavnost u pronalazenju sto jed-
nostavnijih i ljepsih dokaza. Osjecaj kojeg matematicar dobije nakon sto uspjesno rijesi
neki problem ili dokaze teorem, slican je ushitu i osjecaju kojeg dozivljava glazbenik
dok izvodi djelo na pozornici.
Kroz poglavlja rada vidjeli smo da je matematika u pozadini nastanka ljestvica i zasto
ljestvica ima bas 12 polutonova. Od Pitagorina ugadanja i prirodne intonacije, dosli
smo do jednolikog ugadanja koje se pokazalo jednostavnijim, iako zapravo uhu zvuci
kao da je rastimano. Zbog toga pjevaci i sviraci ponekad nesvjesno teze Pitagorinom
jednostavnijem i cistijem zvuku, odnosno teze prirodnoj intonaciji.
Objasnivsi pojmove konsonatnosti i disonatnosti na primjeru dva grafa na kojem su
prikazani sinusi danih konsonatnih i disonatnih intervala i vizualno smo vidjeli razliku
ta dva pojma, te primjetili matematicku vezu. Poput Beethovena koji je glazbu ”vi-
dio”, poput slike koju je opisivao.
Brojni umjetnici poput velikog Ludwiga van Beethovena su u svoja djela ugradili ma-
tematiku koristeci zlatni rez i Fibonnacijev niz. Od Bacha koji je napisao svoje 24
fuge kao posvetu jednolikom ugadanju, preko Handela, pa sve do Mozarta koji je bio
ne samo vrhunski skladatelj koji je svoja djela protkao ljepotom matematike, vec je
bio i matematicar koji je na marginama svojih djela cesto imao napisane matematicke
formule.
Alikvotni tonovi odgovorni su za boju i lijep ton koji proizvode instrumenti. Ako je
osnovni ton frekvencije, alikvotni tonovi koje stvaraju instrumenti je spektar tonova
manje jacine cije su frekvencije cjelobrojni visekratnici od f: 2f, 3f, 4f,. . . , a boja tona
je povezana s rasporedom jacina alikvotnih tonova.
Mjera koja se nalazi na pocetku svakog glazbenog djela nas mozda najvise tjera na
pomisao povezanosti matematike i glazbe, pogotovo sto nas u velikoj mjeri podsjeca
na razlomke. Ritam, kojeg ne smijemo pomijesati sa tempom kojeg zadaje skladatelj,
je nizanje tonova po trajanju i upravo on nas u glazbi nosi, da plesemo, da se krecemo.
Stoga, mozemo reci da matematiku treba pjevati i plesati.
Istrazivanja su pokazala da djeca koja su svirala neki instrument, cesto pokazuju bo-
lje vjestine koje su potrebne za rjesavanje zagonetki, igranje saha ili izvodenje mate-
matickih zakljucaka. Takoder je u nekim istrazivanjima bilo primjeceno da postotak
studenata koji su isli u glazbenu skolu prije fakulteta je bio oko 11% veci medu stu-
dentima matematike. Matematika pomaze da bolje razumijemo glazbu, no istrazivanje
pokazuje da i slusanje glazbe[9] (posebno Mozart) moze poboljsati intelektualne spo-
sobnosti, koncentraciju, a samim time i matematicke sposobnosti.
Mozemo istrazivati skrivene matematicke uzorke glazbenih djela, no jos uvijek je tesko
razumjeti zasto i kako ti uzorci na nas djeluju, pa se osjecamo tuzno, napeto, osjecamo
33
ljutnju ili srecu slusajuci neko djelo? Matematika i glazba su bogati primjeri svjetova
koji se opiru algoritmizaciji, jer traze sustinski ljudski intelekt, kreativnost i imagina-
ciju.
34
Literatura
[1] Apagyi M., Symmetries in music teaching, Computer Math. Applic, Vol. 17, No.
4-6, 1989. dostupno na:
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0898122189902551
[2] Beer M., How do mathematics and music relate each other?, Brisbane, 1998.
[3] Benson D., Music: A mathematical offering, Web version, 2008.
[4] Burazin K., Jankov J., Glazba titrajuce zice, Osjecki matematicki list, 14; 1-22,
Osijek, 2014.
[5] Clair, Natalya St., Music and math: The genius of Beethoven, dostupno na:
http://ed.ted.com/lessons/music-and-math-
the-genius-of-beethoven-natalya-st-clair
[6] Hart G., Mathematical Impressions: Making Music With a Mobius Strip, dostupno
na:
https://www.simonsfoundation.org/multimedia/
mathematical-impressions-making-music-with-a-mobius-strip/
[7] Heimiller J., Where Math meets Music, 2002., dostupno na:
https://musicmasterworks.com/WhereMathMeetsMusic.html
[8] Hunt P., Mozart and Mathematics, dostupno na:
http://www.electrummagazine.com/2013/06/mozart-and-mathematics/
[9] Lurch D., The Mozart Effect: A Closer Look, dostupno na:
http://lrs.ed.uiuc.edu/students/lerch1/edpsy/mozart_effect.html
[10] Madarasz Sz. Rozalia, Matematika i muzika, Novi Sad, 2009.
[11] Marshall C., The Genius of J.S. Bach’s “Crab Canon” Visualized on a Mobius
Strip, dostupno na:
http://www.openculture.com/2013/02/the_genius_of_js_bachs_
crab_canon_visualized_on_a_mobius_strip.html
35
[12] May M., Did Mozart Use the Golden Section?, dostupno na:
http://www.americanscientist.org/issues/
id.590,content.true/postComment.aspx
[13] Meisner G., Acoustics and the Golden Ratio, dostupno na:
http://www.goldennumber.net/acoustics/
[14] Mujic E., Harmonija sfera Johannesa Keplera, dostupno na:
http://nova-akropola.hr/kultura/astronomija-
harmonija-sfera-johannesa-keplera/
[15] Peterson M., Mathematical Harmonies, Colorado, 2001.
[16] Reid H., On Mathematics and Music, dostupno na:
http://www.woodpecker.com/writing/essays/math+music.html
[17] Stortz Branch L., Adventures in Music: Musical Math, dostupno na:
http://www.fwsymphony.org/education/materials/1415_musical_math.pdf
[18] Sikic Z., Scekic Z., Matematika i muzika, Profil, Zagreb, 2013.
36
8 Sazetak
Stari Grci su glazbu smatrali strogo matematickom disciplinom. U pitagorejskoj skoli
glazba je bila na istom nivou kao i aritmetika, geometrija i astronomija. Glazba je bila
znanost zvuka i harmonije, a njezina se umjetnicka strana cesto zanemarivala. Kasnije,
procvjetom glazbene umjetnosti, glazba dobiva vaznu ulogu u zivotu svakog covjeka.
Glazbom smo okruzeni svakodnevno, u njoj pronalazimo utjehu, slavimo, veselimo se,
osjecamo, a u isto vrijeme ona je blisko povezana sa matematikom za koju mislimo da
je strogo racionalna znanost. U radu vidimo u kojoj su mjeri zapravo matematika i
glazba povezani, te kako tu vezu upotrijebiti u nastavi matematike.
37
9 Summary
In ancient Greece music was considered as a strictly mathematical discipline. In Pyt-
hagorean school music was equal to arithmetic, geometry and astronomy. At that time
music was science of sound and harmony and her artistic value was not appreciated.
Later, with the rise of music as a form of art, music got one of the central roles in a life
of every human. We are surrounded with music on a daily basis, music comforts us,
we celebrate with it, enjoy it and feel it and at the same time music is closely related
with mathematics, science that we believe is strictly rational. This paper show us links
between math and music, and how can we use that in teaching mathematics.
38
10 Zivotopis
Rodena sam 6. ozujka 1990. godine u Osijeku. Zivim u Donjem Miholjcu gdje sam
pohadala Osnovnu skolu Augusta Harambasica (1996.-2004.) i Osnovnu glazbenu skolu
- smjer gitara (1998.-2004.). Ljubav prema glazbi postoji oduvijek, a ta se ljubav
vjerovatno najvise razvila za vrijeme sviranja gitare u glazbenoj skoli. Nakon zavrsetka
osnovne skole upisujem se u Srednju skolu Donji Miholjac - smjer opca gimnazija
(2004.-2008.). U srednjoj skoli sudjelujem na natjecanjima iz matematike i povijesti,
te po zavrsetku srednje skole s odlicnim uspjehom, 2008. godine, odlucujem upisati
sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u
Osijeku. Oduvijek mi se cinilo da su matematika i glazba u nekoj mjeri povezane i
od pocetka studija postojala je zelja jednog dana saznati vise o tome, te da upravo to
bude tema diplomskog rada.
39
top related