i̇ntegral 01
Post on 21-Jul-2015
1.624 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
İntegral
Belirsiz İntegral
İntegral Alma Kuralları
İntegral Alma Metotları
İntegralde Trigonometrik Dönüşümler
Belirli İntegral
Belirli İntegralin Uygulamaları
Belirsiz İntegral
Belirsiz İntegralin Özellikleri
İntegral Alma Kuralları
slayt1
Belirsiz İntegral
Örnek: F(x) = x2 ⇒ F’(x) = 2x ⇒ F’(x).dx=2x.dx ∫F’(x).dx = ∫2x.dx ⇒ F(x)=x2 + C ⇒ ∫2x.dx = x2 + C dır.
Tanım: f:[a,b] → R , F:[a,b] → R tanımlı iki fonksiyon olsun. Eğer F(x)’in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve ∫f(x).dx=F(x)+C biçiminde gösterilir.
CF(x)f(x).dx +=∫
slayt2
Belirsiz İntegralin Özellikleri
3-) Bir fonksiyonunun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir.
dir.Cf(x)d(f(x)) +=∫
1-) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir.
( ) ( ) tir.f(x)CF(x)f(x).dx ''=+=∫
2-) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir.
( ) tir.f(x).dxf(x).dxd =∫
slayt3
İntegral Alma Kuralları
)1(1
1..1 1 −≠+
+= +∫ nCxn
dxx nn
c|x|ln.dxx
12. +=∫
Ce.dxe3. xx +=∫
1)0.a(aC.alna
1.dxa4. xx ≠>+=∫
Ccosxsinx5. +−=∫Csinxcosx.dx6. +=∫
Csecxdxtanx.secx.7. +=∫
Ccosecxx.dxcotx.cosec8. +−=∫
ctanx.dxsec9. 2 +=∫
Ccotx.dxcosec10. 2 +−=∫
212CarccotxCarctanx.dx
x1
111. +−=+=
+∫
212CarccosxCarcsinx.dx
x-1
112. +−=+=∫
slayt4
Örnek1: ∫ (2x+1).dx belirsiz integralini bulalım.
Örnek2: ∫[(2x3-3x)/(x2)].dx belirsiz integralini bulalım.
Çözüm1:
bulunur.CxxC1.x2
x2.1.dxx.dx21).dx(2x 2
2
++=++=+=+ ∫∫∫
Çözüm2:
C|x|3lnx.dxx
32x.dx.dx
x
3x
x
2x.dx
x
3x2x 222
3
2
3
+−=−=
−=−
∫∫∫∫
Yerine Koyma Metodu
slayt1
İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür.
1-) ∫∫ = ))f(x).d(f(x.dx(x)f(x).f '
Örnek: ∫ cos2x.sinx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm: u=cosx diyelim. Her iki tarafın diferansiyelini alalım.du=-sinx.dx ⇒ sinx.dx=-du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,
bulunur.C3
u.duudu).(u.sinx.dxcosx
3222 +−=−=−= ∫∫∫
slayt2
2-) [ ] ∫∫ = )(x).d(f(x)f.dx(x).ff(x) n'n
Örnek: ∫ (3x-1)7 integralini hesaplayalım.
Çözüm: (3x-1)=u diyelim. d(3x-1)=d(u) ⇒ 3.dx=du olur. Bu ifadeler integral de yerine konursa,
bulunur.C1)(3x24
1Cu
24
1.du
3
1.u.dx1)-(3x 8877
+−=+== ∫∫
slayt3
3-)∫∫ =
)(
))((
)(
).('
xf
xfd
xf
dxxf
Örnek: ∫ tanx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm: ∫tanx.dx= ∫ (sinx/cosx).dx yazalım:cosx=u diyelim. İki tarafın diferansiyelini alalım. d(cosx)=d(u) ⇒ -sinx.dx=du olur. Bunları yerlerine yazalım:
bulunur.C|cosx|lnC|u|lnu
du.dx
cosx
sinx +−=+−=−= ∫∫
slayt4
cirCa
bx.arcsin
b
1
.xba
dx
üzereolmak{0}Rb,a
222+
=
−
−∈
∫
Örnek: ım.hesaplayaliintegralin
25x9
dx2∫ −
Çözüm:bulunur.C
3
5x.arcsin
5
1
25x9
dx2
+
=
−∫
4-) {1}R(a.dx(x).fa 'f(x) −∈ +∫
Örnek: ∫ (2tan3x +1).sec2 x .dx integralini hesaplayalım.
Çözüm: tanx=u dersek, 3.sec23x.dx=u olur. Bulunan değerleri yerlerine yazalım:
( ) ( )
bulunur.C.tan3x3
1.2
ln8
1
Cu.2ln2
1.
3
1.du12
3
13x.dx.sec12
tan3x
uu2tan3x
++=
+
+=+=+ ∫∫
slayt5
slayt6
{0}dir.R(aC.am.lna
1.dxa2.
dir.C.em
1.dxe1.
üzereolmak0m,Rn,m
nmxnmx
nmxnmx
−∈+=
+=
≠∈
+++
++
∫
∫
dir.Cn).sin(mxm
1n).dxcos(mx2.
dir.Cn).cos(mxm
1n).dxsin(mx1.
üzere;olmak0m,Rn,m
++=+
++−=+
≠∈
∫
∫
İntegrandında Varsa (a>0)22 xa −
İntegrandında Varsa (|x/a|>0)22 ax −
İntegrandında Varsa (a>0)22 xa +
slayt1
İntegrandında Varsa (a>0)22 xa −
Örnek: ∫ − 22 x9.x
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
bulunur.C9x
x9
9x9x
dx
3
xsintsint x
edilir. elde
Ccott9
1
tsin
dt
9
1
tsin1t.27.sin
3.cost.dt
t9sin9t.9.sin
3.cost.dt
2
22
22222
+−−=−
⇒=⇒=
+−==−
=−
∫
∫ ∫∫
x=3sint dönüşümü yapılırsa; x=3sint ⇒ dx=3cost.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:
slayt2
İntegrandında Varsa (|x/a|>0)22 ax −
Örnek: ∫ −16xx.
dx2
integralini x>4 için hesaplayınız.
Çözüm:
bulunur.Cx
4.arccos
4
1
Ct4
1dt
4
1
ttan4
tant.dt
16t16sec4.sect.
t.dt4.sect.tan
16xx.
dx222
+
=
+===−
=− ∫∫ ∫∫
x=4sect dönüşümü yapılırsa; dx=3sect.tant.dt olur. Bulunan değerleri yerine yazalım:
slayt3
İntegrandında Varsa (a>0)22 xa +
Örnek: ∫ + 4x.x
dx22
integralini hesaplayınız.
Çözüm: x=2tant dönüşümü yapılırsa; x=2tant ⇒ dx=2.sec2t.dt olur. Bulunan değerler integral de yerine yazılırsa;
bulunur.C4x
4x
4xx
dx
edilir.eldeCsint
1.
4
1
4.u
du
t4.sin
cost.dt
olur.t4.sin
cost.dt
t.sect8.tan
t.dt2.sec
4t4tant.4.tan
t.dt2.sec
4xx
dx
2
22
22
22
2
22
2
22
++−=+
+−==
==+
=+
∫
∫∫
∫∫ ∫∫
slayt1
∫ ∫−= v.duu.vu.du
Örnek1: ∫x.cosx.dx integralini hesaplayalım
Çözüm1: Verilen integralde u=x, dv=cosx.dx seçelim. Bu durumda, du=dx ve v=sinx olur.
bulunur.Ccosxx.sinxsinx.dxx.sinxx.cosx.dx ++=−=∫ ∫
Örnek2: ∫x2.lnx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm2:
bulunur.Cx9
1lnxx
3
1.dxx
3
1.lnxx
3
1
.dxx
1.x
3
1lnxx
3
1.lnx.dxx
olur.x3
1vve.dx
x
1duBuradan,olsun..dxxdv velnxu
3323
332
32
+−=−=
−=
====
∫
∫∫
slayt2
slayt3
Örnek3: ∫arctanx.dx integralini hesaplayalım.
Çözüm3:
bulunur.Cx1lnx.arctanxC)xln(12
1x.arctanx
.dxx1
2x
2
1x.arctanx.dx
x1
xx.arctanxarctanx.dx
olur.xvve.dx1x
1duolsun.dxdv vearctanxu
22
22
2
++−=++−=
+−=
+−=
=+
===
∫ ∫∫
slayt1
Tanım: Payın derecesi, paydasının derecesinden küçük olan ve paydası çarpanlarına ayrılabilen bir kesrin, önceden hangi kesirlerin toplamı olduğunun bulunması işlemine, basit kesirlere ayırma işlemi denir.
Örnek: integralini hesaplayalım.dx4x
2-3x2∫ −
Çözüm:
[ ] C2)(x1xlnC2x2ln2xln
x2
dx2.
2x
dx.dx
2x
1
2x
1.dx
2)2).(x(x
23x
bulunur.2B1,A2x
B
2x
A
2)2).(x(x
23x
2 ++−=+++−=
+−
=
++
−=
+−−
==⇒+
+−
=+−
−
∫∫∫∫
slayt2
İNTEGRALİqpxx
dx2∫ ++
Paydada ∆<0 olan x2+px+q biçiminde bir ifade varsa; integral, ∫(du/1+u2) şekline dönüştürülerek hesaplanır.
Payın Derecesi, Paydanın Derecesinden Büyük veya Eşit İse∫(P(x)/Q(x)).dx integralinde, P(x)’in derecesi Q(x)’in derecesinden büyük veya eşit ise; P(x)’in Q(x)’e bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) olmak üzere,
olur..dxQ(x)
K(x)B(x).dx.dx
Q(x)
P(x)∫∫∫ +=
slayt3
Örnek: integralini hesaplayalım∫ ++ 106xx
dx2
Çözüm:
dir.C3)arctan(x13)(x
dx
dir.Carctanu1u
du
dendxdu3xu
ür.dönüşşekline13)(x
dx
integral,Buradan
r.yazıazılabşeklinde13)(x196xx106xx
getirilir.şekline1u
duintegrali
106xx
dx
2
2
2
222
22
++=++
+=+
=⇒+=++
++=+++=+++++
∫
∫
∫
∫∫
slayt4
dir.Ca
bx.arctan
a.b
1
xba
dx222
+
=
+∫
a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;
Örnek: integralini hesaplayalım∫ + 6125x
dx2
Çözüm:
bulunur.C4
5x.arctan
20
1
C4
5x.arctan
5.4
1
1625x
dx2
+=
+=+∫
∫sinmx.cosnx.dx (m,n ∈ N) Şeklindeki İntegraller
∫sinax.cosbx.dx, ∫sinax.sinbx.dx ve ∫cosax.cosbx.dx(a,b ∈ N) Şeklindeki İntegraller
İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller
slayt1
∫sinmx.cosnx.dx (m,n ∈ N) Şeklindeki İntegraller
A-) m veya n’den biri tek, biri çift ise;
Örnek: integralini hesaplayalım.dxxx.cossin 32∫
Çözüm:
∫sin2x.cos3x.dx= ∫sin2x.cos2x.cosx.dx şeklinde yazılır. cos2x=1-sin2x olduğundan, ∫sin2x.(1-sin2x).cosx.dx olur.sinx = u ⇒ cosx.dx = du dur.
bulunur.Cxsin5
1xsin
3
1).duu(u).duu.(1u 534222 +−=−=− ∫∫
slayt2
B-) m ve n ‘nin ikiside tek kuvvet ise;
Örnek: integralini hesaplayalım.dxxx.cossin 53∫
Çözüm:
∫sin3x.cos5x.dx=∫cos5x.sin2x.sinx.dx=∫cos5x.(1-cos2x).sinx.dx olur. cosx = u ⇒ sinx.dx = -du dur.
bulunur.Cxcos6
1xcos
8
1).duu(u).(-du)u.(1u 687525 +−=−=− ∫∫
slayt3
C-) m ve n ‘nin ikiside çift kuvvet ise;
Örnek: integralini hesaplayalım.dxx.xsin 2∫
Çözüm:
bulunur.Csin2x4
1x
2
1Csin2x
2
1x
2
1
cos2x).dx(12
1cos2x).dx(1
2
1x.x.dxsin
cos2x)(12
1xsin
2
2
+−=+
−=
−=−=
⇒−=
∫∫∫
slayt4
∫sinax.cosbx.dx, ∫sinax.sinbx.dx ve ∫cosax.cosbx.dx(a,b ∈ N) Şeklindeki İntegraller
[ ]
[ ]
[ ]b)cos(ab)cos(a2
1cosa.cosb
b)cos(ab)cos(a2
1sina.sinb
b)sin(ab)sin(a2
1sina.cosb
−++=
+−−=
−++= Bu tip integraller hesaplanırken ters dönüşüm formülleri kullanılır.
Örnek: integralini hesaplayalım.dxxsin3x.sin2∫
Çözüm: [ ]
bulunur.Csin5x10
1sinx
2
1
.dx2x)cos(3x-2x)-cos(3x2
1x.dxsin3x.sin2
+−=
+= ∫∫
slayt5
İntegrandında sinx ve cosx‘in Rasyonel İfadeleri Bulunan İntegraller
√1+u2
u
1
x2
Bu tip integrallerde, tan(x/2) = u dönüşümü yapılır. Yandaki dik üçgen yardımıyla,
2u1
2usinx
+=
2
2
u1
u1cosx
+−= 2u1
2dudx
+=
Örnek: ∫ +cosx1
dx
Çözüm:
bulunur.C2
xtan
u12u1
2du
cosx1
dx
2
2
+=
+
+=+ ∫∫
slayt1
Tanım: f:[a,b] → R , F:[a,b] → R ve sürekli yada süreksiz olduğu nokta sayısı sonlu tane olan bir fonksiyon ve [a,b] ‘nin bir bölüntüsü P olmak üzere:
lim||P||→0A(f,P)=lim||P||→0Ü(f,P)=S ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilir bir fonksiyondur, denir. S reel sayısına da f nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve bu,
Belirli İntegral
.gösterilir biçiminde.dxf(x)Sb
a∫=
slayt2
Teorem1: f:[a,b] → R fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ve F:[a,b] → R fonksiyonu, ile tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve ∀∈(a,b) için F’(x)=f(x) tir.
.dtf(t)F(x)x
a∫=
Örnek1: ?(x)F.dtt.cost1F(x) 'x
3
=⇒+= ∫−
Çözüm1:tir.x.cox1(x)F
göre;teoreme1.' +=
slayt3
Çözüm2:
( ) ( ) ( )bulunur.3222.1361(1)fm22x36x(x)f
28x6x36x.212.(2x)6x.1)2.(3x(x)f3'
t3'
32'
=−−==⇒−−=
−−+=+−+=
Örnek2: .dx1)(2xF(x)
23x
2x∫ += Fonksiyonu veriliyor. f(x) ‘in
grafiğini x=1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
slayt4
Teorem2: f:[a,b] → R integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eğer ∫f(x).dx=F(x)+C , C ∈ R olacak biçimde f:[a,b] → R ye F(x) fonksiyonu varsa,
dır.F(a)F(b)|F(x).dxf(x)
b
a
b
a
−==∫
Örnek: ?.dxsin2t.dt
dx
dπ/6
0
x
0
=
∫ ∫
Çözüm:
bulunur.4
1cos0
3
πcos
2
1|.cos2x
2
1sin2x.dx
π/6
0
π/6
0
=
−−=−=∫
slayt5
Tanım: f:[a,b] → R fonksiyonu, [a,b] aralığında integrallenebilirse,
Belirli İntegralin Özellikleri
:integralif(x).dxvef(x).dxa
b
a
a∫∫
1-)
2-)
0f(x).dxa
a
=∫
∫∫ −=a
b
b
a
f(x).dxf(x).dxbiçiminde tanımlanır.
top related