i̇ntegral 02

1.BELİRSİZ İNTEGRAL

2.BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

3.İNTEGRAL ALMA KURALLARI

4.İNTEGRAL ALMA METODLARI

Değişken Değiştirme (Yerine Koyma)Metodu

Kısmi İntegrasyon Yöntemi

Basit Kesire Ayırma metodu

5.TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMIYLA ÇÖZÜLEBİLEN İNTEGRALLER

6.BAZI ÖZEL DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRMELER

7.DEĞERLENDİRME TESTİ

• Tanım: tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonuna,f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve biçiminde gösterilir.

• eşitliğinde; işaretine,integral işareti,f(x) e integrand(integral altındaki fonksiyon),f(x).dx e diferansiyel çarpanı,F(x) e f(x) in ilkel fonksiyonu ve C ye integral sabiti denir.

[ ] Rb,a:f →

∫ += c)x(Fdx).x(f

∫ += c)x(Fdx).x(f ∫

1.Bir belirsiz integralin türevi,integrali alınan fonksiyona eşittir:

2.Bir belirsiz integralin diferansiyeli,integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir:

3.Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali,bu fonksiyon ile bir C sabitini toplamına eşittir:

( ) )x(f)C)x(F(dx).x(f ''=+=∫

( ) dxxfdxxfd ).().( =′

∫

∫ += cxfxfd )())((

Örnek-1- belirsiz integralinin türevini bulunuz.

Çözüm :

Örnek-2- belirsiz integralini bulunuz.

Çözüm :

Örnek-3- belirsiz integralinin diferansiyelini bulunuz.

Çözüm :

( ) 55 4.4 xdxxdx

d =∫

∫ + )( 3 xxd

cxxxxd ++=+∫ 33 )(

∫ + dxx .12

dxxdxx .1.1 22 +=+∫

∫ dxx .4 5

1.

2. 3.

4.

5. 6.

7. 8.

∫ ++

= + cxn

dxx nn 1

1

1 )1( −≠n

∫ += cedxe xx . ∫ += cxdxx

ln1

∫ += caa

dxa xx

ln

1.

)1 , 0 (≠ >a a

∫ +−= cxdxx cos.sin ∫ += cxdxx sin.cos

∫ += cxdxxx sec.sec.tan ∫ +−= cecxdxecxx cos.cos.cot

9.

10.

11.

12.

∫ ∫ ∫ +=+== cxdxxdxx

xdx tan)tan1(cos

1sec 2

22

∫ ∫ ∫ +−=+== cxdxxdxx

xdxec cot)cot1(sin

1cos 2

22

∫ +=+

cxdxx

arctan1

12

∫ +=−

cxdxx

arcsin1

12


Çözüm:


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxx5

cxdxxI +==∫ 65

6

1

∫ + dxee x )( 3

cexedxeeI xx ++=+= ∫ .)( 33

∫−+

dxx

xxx5

45 2

∫∫∫ −−+=−+=

−+= dxxxx

x

dxxxdx

xxI 4

44.2ln.2ln.

211

cx

xxx

xx +++=−

−+=−

3

3

3

2ln

3.2ln


Çözüm:


Çözüm:

Örnek-6- integralini hesaplayınız.

Çözüm:

∫

+

−

dxx

xx 3

13

∫ ++=

+= cxdx

xI

xx ln

3ln

313

∫ xdx2tan

( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−+=−+= cxxdxdxxdxxI tantan11tan1 22

∫ xdx4cot

∫ ∫∫ ∫ ===x

xdx

x

xdxx

xxdx

4sin

)4(sin

4

1

4sin

4cos4

4

1

4sin

4cos4cot

1

cx += 4sinln4

1

İntegralinde u=g(x) ve

Dönüşümü yapılarak integral haline getirilir.

Örnek-1- integralini hesaplayınız

Çözüm:

( )∫ )(xgf dxxg )(' dxxgu )(''=

∫ duxf )(

∫ −+− dxxxxx ).).(32( 324

32 24 +−= xxu ⇒ dxxxdu ).44( 3 −=

dxxxdu ).(4 3 −= dxxxdu

).(4

3 −=

∫ ∫ +=== cu

duudu

uI44

1.

4

1

4

433 cxxI ++−= 424 )32(

16

1


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxxe x .cos.sin

∫ +== cedueI uu .

∫ +dx

x

x2121 xu += ⇒ dxx

du.

2=

∫ ++=+== cxcuu

du

I )1ln(2

1ln

2

12 2

cosx.dxdu sinx u ==

2xdx du =


Çözüm:

∫ dxx

xln

xu ln= dxx

du1=

∫ ∫ +=== cu

duuduuI

23

2

3

2

1

cx += 2

3

)(ln3

2


Çözüm:

∫ +dx

e

dxx 1

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ +−=

+−

++=

+−+=

+= dx

e

edxdx

e

edx

e

edx

e

eedx

e

dxI

x

x

x

x

x

x

x

xx

x 111

1

1

1

1

∫ += dxe

eI

x

x

12 dxedueu xx .1 =⇒+=

∫ +== cuu

duI ln2

cexI x ++−= 1ln


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxx

e x

xu = dxx

du2

1= dxx

du1

2 =

∫ ∫ +=== ceduedueI uuu 222. ceI x += 2

∫ dxxx .cos.sin

xu sin= dxxdu .cos=

∫ +== cu

duuI2

.2

cx

I +=2

sin 2


Çözüm:

dxxxx ).2(42 −−∫

xxu 42 −= dxxdxxxdu ).2(2).42( −=−=

dxxdu

).2(2

−=

cucu

duudu

uI +=+=== ∫ 7

32

3

3

1

232

1.

2

1

2

cxxI +−= 2

32 )4(

3

1


Çözüm:


∫ +dx

x

x21

arctan

xu arctan= dxx

du21

1

+=

∫ +== cu

duuI2

.2

cx

I +=2

arctan2

∫ −

−

−+

dxee

eexx

xx

xx eeu −−= dxeedu xx )( −+=

∫ +== cuu

duI ln ceeI xx +−= −ln


Çözüm:

dxxx )tan(cot −∫

∫ ∫− xdxxdx tancot

I1 I2

xu sin=xdu cos=

xt cos=dxxdt .sin−=

ctuI ++= lnln

cxxI ++= coslnsinln


Çözüm:


Çözüm:

∫ +dxx

x2cos3

2sin

xu 2cos3 += xxxdu sinsincos2 −=−=

cuu

duI +−=−= ∫ ln cxI ++−= 2cos3ln

dxxx )tan(tan 24∫ +

dxxxI )1(tantan 22 += ∫xu tan= dxxdu )tan1( 2+=

cu

duuI +== ∫ 3

32 c

xI +=

3

tan3


Çözüm:

∫ − 2259 x

dx

cx

x

dx +

=

−∫ 3

5arcsin

5

1

259 2

{ } ⇒−∈ 0, Rba ∫ +

=

−c

a

bx

bxba

dxarcsin

1222

seçerken; yi' ve

...

vu

duvvudvu∫ ∫−=

1. dv’nin integralinden v kolayca bulunabilir.

2. integralini hesaplamak

integralinden daha kolay olmalı.

2. u seçimi yaparken öncelik sırası :

L A P T Ü

∫ duv. ∫ duu.

logoritma arc polinom trigonometrik üstel

∫ dxex x ..Örnek-1- integralini hesaplayınız.

Çözüm:

ceex

dxeexdxex

dxdu

dxxu

xx

xxx

+−=

−=

==

==

∫ ∫.

....

e v

.edv x

x


Çözüm:

∫ dxx.ln

cx-x.lnx x

1x.-x.lnxlnx.dx

x v x

1du

dxdv ln

+=

=

==

==

∫ ∫ dx

dx

xu


Çözüm:

∫ dxxex .sin.

( )

( ) ( ) cxxe

xxeI

dxxexexeI

dxxexexexeI

dxxdu

dxxu

dxxeex

dxxdu

dxxu

xx

xxx

xxxx

xx

+−=−=

−−=

−−−−=

=−===

−

====

∫∫

∫

cossin.2

cossin.2

.sin.cos.sin.

.sin.cos(cos.sin.

e v.sin

.edv cos

.cos..sin

e v.cos

edv sin

x

x

x

x

I


Çözüm:

( )dxxx .1ln 2∫ −+

( )

( )( ) cxxxxI

x

dxx

dx

xxu

+−−−+=

−−−+=

=−

=

=−+=

∫11ln.

1

.1xxx.lnxI

x v .1x

1du

dxdv 1ln

22

2

2

2

2


Çözüm:

( ) dxx .lncos∫( )

( ))sin(ln)cos(ln2

cos(lnx)-x.sin(lnx)x.cos(lnx)I

x v).cos(ln1

du

dxdv sin(lnx)u x

lnxsin--cos(lnx).xI

x vx

1-sinlnx.du

dxdv lncos

xxx

I

dxxx

xdx

dx

xu

+=

+=

==

==

=

==

==

∫

∫

I

[ ] [ ]

. naçarpanları

)( ise )(p(x)der deintegralin )(

).(

ayrilir

xQxQderxQ

dxxP <∫

( ) ( )getirilir. haline

)(

)()(

Q(x)

P(x)

ile bölme adi ise )()(

xQ

xKxB

xQderxPder

+=

≥


Çözüm:

∫ ++++dx

x

xxx

1

22 23

22 23 +++ xxx X+1

xx +223 xx +

xx

xx

+++

2

2 2

2

-- 1

22

+++x

xx

cxxx

I

x

dxxxdx

xxxI

++++=

+++=

+++= ∫ ∫

1ln223

1

2

23.

1

2

23

232


Çözüm:

dxxx

x∫ +

−)1.(

1

cx

xI

cxxdxxx

xx

x

B

x

A

xx

x

++=

+++−=

++−

==+

+−=+

==

++=+

+−=+

−

∫2)1(

ln

1ln2ln1

21

2Biçin -1 x

1

21

1)x.(x

1-x -1Aiçin 0 x

B(x)1)A(x1- x1)1.(

1


Çözüm:

∫ − 2)1.(xx

dx

cx

xxI

dxxxx

x

x

CxxBxxA

x

C

x

B

x

A

xx

+−

−−−=

−+

−−+=

======

+−+−=−

+−

+=−

∫ ∫

1

11lnln

))1(

1

1

11(

1)-x.(x

dx

-1B için 2

1Aiçin ox1,C için 1

)1()1(1

)1(1)1.(

1

22

2

22


Çözüm:

∫ −162x

dx

∫∫ +−=

− )4).(4(162 xx

dx

x

dx

cx

xdx

xxx

dx

x

x

xBxA

x

B

x

A

xx

++−=

+

−+

−=

−

==

−=−=

−++=+

+−

=+−

∫∫ 4

4ln

8

1

481

481

16

8

1Aiçin 4

8

1Biçin 4

)4()4(1

44)4).(4(

1

2

1cossin 22 =+ xx1. 3.

2. 4.

*

*

*

1tansec 22 =− xx

x x xcos . sin 2 2 sin=

1cos.22cos 2 −= xx

x2sin21−=

[ ])cos()cos(2

1sin.sin bababa −−+−=

[ ])sin()sin(2

1cos.sin bababa −++=

[ ])cos()cos(2

1cos.cos bababa −++=

Örnek: integralini hesaplayınız.

Çözüm:

∫ dxxx .2cos.4cos

cxxdxxxI +

+=+= ∫ 2sin

2

16sin

6

1

2

1).2cos6(cos

2

1

cxxI ++= 2sin4

16sin

12

1

∫ ∫ ∫ bxaxbxbxbxax cos.cos,cos.sin,sin.sin

BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER

∫∫ dxxdxx nn .cos,.sin


Çözüm:

∫ dxx.sin2

∫ ∫∫∫ −=−= dxxdxdxx

dxx .2cos2

1

2

1

2

2cos1.sin 2

cxx ++= 2sin4

16sin

12

1



Çözüm:

∫∫ ∫∫ −=

−== dxxdx

xdxxdxx .)2cos1(

4

1

2

2cos1.)(sin.sin 2

2224

∫ dxx.sin4

∫ ∫+−=+−= )2cos2sin2

1.2(

4

1)2cos2cos21(

4

1 22 xdxxxdxxx

2

4cos1 x+=

cxxxx

dxx

xx

I +++−=++−= ∫ )4sin4

1(

8

12sin

4

1

42

4cos1

4

12sin

4

1

4

cxxx

I ++−= 4sin32

1

4

2sin

8

3


Çözüm:

∫ ∫ −== dxxxdxxxxdx .sin.)cos1(.sin.)(sinsin 22225

xdx5sin

xu cos= xdxdu sin−=dxxdu .sin=− ∫ −−= ).()1( 22 duuI

∫ ∫ −+−=−+−= duuuduuuI ).21()).(21( 4242

53

2 53 uuuI −+−= cxxxI +−+−= 53 cos

5

1cos

3

2cos

∫∫ = dxxxxdxxx .cos.cos.sin.cos.sin 2232

∫ −= dxxxx .cos).sin1.(sin 22 xu sin= dxxdu .cos=

∫ ∫ −=−= duuuduuuI ).().1.( 4222

cxx

cuu +−=+−=

5

sin

3

sin

53

5353

Örnek:-1- integralini hesaplayınız.

Çözüm:

dxxx∫ .cos.sin 32

dxxx mn .cos.sin∫BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER


Çözüm:

∫dx x x. sin . cos3 4

dx x x x dx x x. sin . sin . cos . sin . cos2 4 3 4

∫ ∫=

∫ −= dxxxx .sin).cos1.(cos 24 xu cos= dxxdu .sin−=

duuuduuuI .)()).(1.( 6424 ∫∫ +−=−−=

cxx

cuu

I ++−=++−=7

cos

5

cos

75

7575

∫ ∫ dxxdxx nn .cot,.tan


Çözüm:

∫ dxx.tan

cxI

dxxduxu

dxx

xdxx

+−=−==

= ∫∫

cosln

.sin cos

.cos

sin.tan



Çözüm:

∫ dxx.tan2

cxxI

dxdxx

dxxdxx

+−=

−+=

−+=

∫ ∫∫∫

tan

).1(tan

).11(tan.tan

2

22


Çözüm:

dxx.tan4∫

∫ ∫∫ ∫∫

−

−==

dxxdxx

dxxdxxxdxx

.tan.tan.sec

.tan).1(sec.tan.tan.tan

222

22224

xdu

xu2sec

tan

==

dxx )11(tan2

−+= ∫

cxxx

cxxu

dxdxxduuI

++−=++−=

++−= ∫ ∫ ∫tan

3

tantan

3

).1(tan.

33

22


Çözüm:

∫ dxx.tan5

cxxx

cxx

duuI

dxxxu

dxxdxxx

dxxxdxxxdxxI

+−−=+−−=

==

−=

−===

∫

∫ ∫∫ ∫∫

cosln2

tan

4

tancosln

2

tan.

.secdu tan

.tan.sec.tan

).1.(sectan.tan.tan.tan

2423

2

323

23235

dxxx mn .tan.sec∫


Çözüm:

∫ dxxx .tan.sec 3

∫

∫∫∫

+−=+−=−=

==

−=

=

cxx

cuu

du

dxxxx

dxxxxdxxx

sec3

sec

3)1(uI

dxsecx.tanx.du secx u

.tan.sec).1(sec

.tan.sec.tan.tan.sec

332

2

23



Çözüm:

∫ dxxx .tan.sec 36

cxx

I

duuduuduuuduu

dxxxxxdxxx

+−=

−=−=−=

==

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

6

sec

8

sec

..).().1(uI

dxsecx.tanx.du secx u

.tan.sec.tan.sec.tan.sec

68

575725

2536

RİNTEGRALLE BULUNDUGU

OLARAK RASYONELin cosx' VEsinx DEİNTEGRALİN

2

x

21 u+4

2

2

2

2

u1

2dudx

1

u-1cosx

u1

2usinx

2

xtan

+=

+=

+=

=

u

u

1


Çözüm:

∫ −+ xx

dx

cossin1

)1(11

12

1

12

cossin12

2

2

2

+=

+−−

++

+=−+∫ uu

du

uu

uuudu

xx

dx

cx

x

cu

u

uuu

du

u

du

u

B

u

AI

++

=++

=

+−=+

−+=

===+⇒+

++=+

+=

∫ ∫

12

tan

2tan

ln1

ln

1lnln1

I

-1B 1A

0BAB)u(A

B(u)1)A(u1 1


Çözüm:

∫ − x

dx

sin2

∫ ∫∫ +−=

+−+

+=− 1

1222

12

sin2 2

2

2

2

uu

du

uuu

udu

x

dx

∫

+

−

=+−

−

= 222

23

21

11

21

u

du

uu

du

⇒

∫ =+ a

u

aau

duarctan

122

c

x

I +

−=

3

12

tan2arctan

3

2

222 xba − ‘den başka köklü ifade bulundurmayan

integralleri hesaplamak için

Değişken değiştirmesi yapılır.

∏≤≤∏=

22- sin uu

b

ax

Örnek: integralinin değerini bulunuz.

Çözüm:

dxx .94 2∫ −

( )

cxxx

I

cuuduuI

duu

uduuuI

uuu

ux

+−+=

+

+=+=

+==

==

=

==

∫

∫∫

2

22

2

942

3

3

1

2

3arcsin

3

2

2sin2

1

3

22cos1

3

2

.2

2cos1

3

4.cos

3

2.cos2

cos24sin-4 sin3

29-49x-4

cosu.du3

2dx deg.deg. sin

3

2

‘den başka köklü ifade bulunmayan

integralleri hesaplamak için


222 xba +

∏≤≤∏=

22- tan uu

b

ax


Çözüm:∫ + 24 x

dx

cxxcuu

duI

dxx

xx

dxxxxdx

xx

xxxdxx

uuuux

duuux u

++=+==

+=

+=+

+=+

+=

==+=+=+

=+==

∫

∫ ∫∫

tanseclnln

)sectanx-secx(du

tanxsecxu tansec

)tan.sec(sec

tansec

)tan(secsec.sec

sec2sec2tan12tan444

sec.2)tan2(1dx yap. deg.deg. tan2

2

2

2222

2

‘den başka köklü ifade bulundurmayan

integralleri hesaplamak için:


222 axb −

ub

ax sec=


Çözüm:

dxx

x∫

−19 2

( ) cxxI

cuxcuuI

duuu

duuuuI

uux

duuuux

+−−−=

+−−=+−=

==

=−=−

==

∫∫

19arctan19

19tan

.tansec

3

1

.tan.sec3

1tan

tan1sec9

1.919

.tan.sec3

1dx sec

3

1

22

2

2

22

1. belirsiz integrali için

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E) cxxI

cxxI

cxxI

cxI

cxxI

+=

+=

++=

+=

++=

cos.sin2

cos.sin

cossin2

sin.2

cossin

dxxx

xx∫ +

−cossin

sincos

2. Belirsiz integrali aşağıdakilerden

hangisi olamaz?

A)

B)

C

D)

E)

∫+dx

x

x4

4 4

3

4

3

34

3

34

3

34

3

34

3

43

3

463

3

453

3

443

3

433

x

x

x

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

−

−+

−+

−+

−+

3. İntegralinin çözümü aşağıdakilerden

hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E) c32

x4sin

8

x3I

c32

x4sin

8

xI

c32

x4sin

8

xI

c32

x4sin

8

x3I

c32

x4sin

8

xI

+−−=

+−=

+−−=

+−=

++=

∫ dx.xcos.xsin 22

A)

B)

C)

D)

E)

4 Belirsiz integrali için aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

∫ +++dx

x

xx

1

1222

3

cxx

cxx

cxx

cxx

cxx

+++

+++

+++

++

++

)1arctan(

)1ln(2

1

)1ln(

arctan

arctan

22

2

22

3

2

5. belirsiz integrali için aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E)

∫ dxx

xln2

cx

1

x

xlnI

cx

1lnI

cx

1

x

xlnI

cx

1

x

xlnI

cx

1

x

xlnI

+−−=

+−=

++−=

++=

+−=

6. belirsiz integrali için

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E)

∫ dxxxx .2cos.cos.sin8

cx

cx

cx

cx

cx

+−

+−

+

+−

+

2

4cos

2

8cos

4sin4

1

4cos

4cos

7. integralinin değeri aşağıdakilerden

hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E) cx

xI

cx

xI

cx

xI

cx

xI

cx

xI

++−=

++=

++=

++=

++−=

3

cossin

3

cossin

3

sinsin

3

coscos

3

coscos

3

3

3

3

3

∫ dxx.sin3

∫ + xx

dx28. belirsiz integrali için, aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E) cx

x

cx

x

cxx

cx

cx

++

++

++

++

++

1ln

1ln

ln

1

1ln

1

1ln

2

2

2

9. aşağıdakilerden hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E)

∫ − dxxx .2sin).sin(sin 2

cx

cx

cx

cx

cx

+

+

+

+

+

cos

)cos(sin

)cos(sin

)sin(sin

)cos(sin

2

2

10. integralinin değeri

aşağıdakilerden hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E)

∫ +−−+

dx)1x)(1x(

2xx32

2

cxarctan31xln1xlnI

cxarctan31xln1xlnI

cxarctan31xln1xlnI

cxarctan31xln1xlnI

cxarctan31xln1xlnI

2

2

2

2

2

+−++−−=

+−+−−=

+++−−=

++++−=

++++−−=

i̇ntegral 02

Education