ANA SAYFA

BELİRSİZ İNTEGRAL TANIM: f:[a,b]→ R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve ∫f(x).d(x)=F(x)+c biçiminde gösterilir.

BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

1) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani,

= = f(x) tir.

2) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani,

d(∫f(x).dx) = f(x).dx

.dx))(( 'xf∫ )')(( CxF +

ANA SAYFA

xexe

3) Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir. Yani,

∫d(f(x)) = f(x) + c dir.

iNTEGRAL ALMA KURALLARI

1) ∫ dx= (1/n+1) +c (n≠ -1)

2) ∫(1/x)dx = ln |x| +c

3) ∫ dx = +c

4) ∫ dx = (1/lna). +c

5)∫sinxdx = -cosx+c

6)∫ cosx=sinx+c

7) ∫ tanx.secx.dx = secx+c

nx 1+nx

xaxa

ANA SAYFA

8) ∫cotx.cosecx.dx= -cosecx+c

9)∫ .dx = ∫(1/ .dx) = (1+ )dx = tanx+c

10)∫ .dx = ∫(1/ ).dx = ∫ (1+ ).dx=-cotx+c

11)∫(1/1+ ).dx =arctanx+ =-arccotx+

12)∫ dx=arcsinx+ =-arccosx+

Örnek: ∫ (2x+1)dx belirsiz integralini bulalım.

Çözüm: ∫ (2x+1).dx= 2∫x.dx+ ∫1.dx=2.( /2)+1.x+c= +x+c bulunur.

Örnek: ∫[-[(2x-3x) / x].dx belirsiz integralini bulalım.

Çözüm: ∫[(2x-3x) / x].dx =∫[(2x/x) -(3x/x)].dx=∫2x.dx-∫3/x.dx =2∫x.dx-3∫(1/x)dx=x-3 ln |x|+c

xsec2

xcos2

xtan2

xcosec2

xsin 2

xcot2

2x 1c2c

2x-1

11c

2c

2x 2x

ANA SAYFA

İNTEGRAL ALMA METOTLARIİNTEGRAL ALMA METOTLARI

DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME METODU İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür. 1) ∫f(x). .dx= ∫f(x).d(f(x)) integralinde fonksiyon ve türevi çarpım şeklinde ise, değişken değiştirme metodu kullanılır. Değişken değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi yapılmalıdır. F(x)=u dönüşümü yapılırsa; d(f(x))=d(u) => .dx= du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım: ∫f(x). dx= ∫u.du=( /2)+c=1/2 (x)+c şeklinde çarpım fonksiyonunun integrali alınmış olur.

(x). f '

(x). f '

(x). f ' 2u 2f

ANA SAYFA

n[f(x)]

(x)f '

2) ∫ dx =∫ d(f(x)) integralinde genellikle üssü görmeden f(x)=u dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa = u denilmelidir. Burada f(x) = u dönüşümü yapılırsa;

f(x) = u =>d(f(x))=(du) => .dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerine yazalım:

.[f(x)] n (x).f ' (x).f n

(x).dxfn ' .[f(x)]∫

Cn

uduu

nn +

+==

+

∫ 1.

1

Cn

++

=+

1

[f(x)] 1n

ANA SAYFA

(x).f '

3) integralinde,

f(x) dönüşümü yapılırsa ; her iki tarafın diferansiyelini alalım: d(f(x))=d(u) => dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:

bulunur.

∫ =)(

))((

)(

(x).dxf '

xf

xfd

xf

∫ ∫ +=+== CxfCuu

du

xf

dxxf)(lnln

)(

).('

ANA SAYFA

{ }∫ −∈ + )1().(. ')( Radxxfa xf

)(' xf

4) integralinde;

f(x) = u dönüşümü yapılırsa ;d(f(x))=d(u) => .dx = du olur. Bulunanları yerlerine yazalım:

bulunur.

5) integralinde, g(x) = u dönüşümü

yapılırsa ;

g(x)=u => d(g(x))= d(u)=> g’(x).dx=du olur.

Ca

aCa

aduadxxfa xfuuxf +=+==∫ ∫ ln

1.

ln

1..).(. )(')(

dxxgxgf ).(.))(( '∫

ANA SAYFA

Bulunanları yerlerine yazalım:

gibi basit fonksiyon integrali elde edilir.

İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER

İntegrandında bulunan integraller, trigonometrik dönüşümler yardımıyla hesaplanır.

Amaç , yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektedir.

1)İntegrandında Varsa(a>0)

olur.

duufdxxgxgf .)().(.))(( ' ∫∫ =

222222 ,, xaaxxa +−−

22 xa −

tattaaxa cos.sin1sin. 222222 =−=−=−

ANA SAYFA

22 xa +

olur.

1>a

x

2)İntegrandında varsa;

olur.tataataax tan1secsec. 222222 =−=−=−

22 ax −

3)İntegrandında varsa; (a>0)

x = a.tant dönüşümü yapılır.

Buna göre, tatataaxa sec.tan1.tan 222222 =+=+=+

ANA SAYFA

2)KISMİ İNTEGRASYON METODU

YARDIM:

1)dv’nin integrali kolay olmalı.

2) integrali ilk integral

3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.

∫ duv.

∫ ∫−= duvvuduu ...

ANA SAYFA

ÖRNEK: x.cos.dx

u= x ; dv=cosx.dx

du=dx ; v=sinx

=>x.sinx- sinx.dx

=xsinx+cosx+c ÖRNEK2:

lnx/x2

u=lnx dv=1/x2.dx

du=(1/x).dx v=-1/x

=>u.v- v.du

lnx(-1/x)- (1/x).(1/x).dx

∫

∫

∫

∫

∫

ANA SAYFA

.dx=

=

1+x22 23 +++ xxx

∫ +++

1

22

xxx

= (-lnx/x)-(1/x)+c

= (-lnx-1/x)+c

3) BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU

ÖRNEK:

dxx

xxx.

1

22 23

∫ ++++

=x2+x kalan:2

cxxx ++++ 1ln223

23

ANA SAYFA

B=3 ; C=1 ;A=-3

Örnek: dxxx

xx.

323

2

∫ −++

11)1)(1(

322

++

−+=

+−++

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

)1()1()1(32 22 −+++−=++ xCxxBxxAxx

∫

++

−+−

dxxxx

.1

1

1

33

=-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c

ANA SAYFA

1tansec

sin211cos22cos

cossin22sin

1cos2sin

22

22

22

=−−=−=

==+

xx

xxx

xxx

xx

4) TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMI İLE

(sina.sinb)= -1/2(cos(a+b)-cos(a-b))

(cosa.cosb)= 1/2(cos(a+b)-cos(a-b))

(sina.cosb)= 1/2(sin(a+b)-sin(a-b))

ANA SAYFA

ÖRNEKLER:

1)

2)

∫ = ???.tan4 dxx

∫

∫ = ???.2cos.4cos dxxx

3)

4)

sinx2 .dx=???

???x.dxx.cossin 32 =∫

5)

∫ = ???.tan.sec 3 dxxx

ANA SAYFA

( ) dxxx .2cos6cos2

1∫ +=

( ) ( )

cxx

dxxdxx

+

=+

=

+=

6

2sin

2

1

6

6sin

2

1

.2cos2

1.6cos

2

1

ANA SAYFA

dxx

dxx

.2

2cos

2

1.

2

2cos1x.dx sin 2 ∫∫

−=−=

cxx +−=

4

2sin

2

ANA SAYFA

=> u=sinx du=cosx.dx

( ) dxxxx .cos.sin1sin

x.cosx.dxx.cossin

22

22

∫∫

−=

=

( )( )

cxx

cuu

duuu

duuu

+−=

+−=

−=

−=

∫∫

5

sin

3

sin

53

.

.1

53

53

42

22

ANA SAYFA

( )∫∫

−=

=

dxxxx

dxxxx

.tan.sec1sec

.tan.sec.tan

2

2

=> u=secx du=secx.tanx.dx

( )

cxx

cuu

duu

+−=

+−=

−=∫

sec3

sec

3

.1

3

3

2

ANA SAYFA

( )∫∫

∫∫

∫

−=

−=

=

=>

dxxdxxx

dxxx

dxxx

dxx

.tan.tan.sec

.tan.1sec

.tan.tan

.tan

222

22

22

4

u=tanx

du=sec2x.dx

( )cxx

x

dxxduu

++−=

−+−=>∫ ∫tan

3

tan

.11tan.

3

22

ANA SAYFA

5)ÖZEL DÖNÜŞÜMLER

Sadece köklü ifade varsa!!!

ub

axaxb

ub

axxba

ub

axxba

sec*

tan*

sin*

222

222

222

==>−

==>+

==>−

ANA SAYFA

( )∫ =+−

???664 2x

dx

∫ =++

???1744 2 xx

dx

ÖRNEK1:

ÖRNEK3:

ÖRNEK2:

∫ = ???.sec dxxarc

ANA SAYFA

( )( )

cx

u

xu

xu

duu

duu

uu

+

+=

+=⇒+=⇒

=

=−=

=

+=

==+

∫∫

8

6arcsin

8

6arcsin

8

6sin

cos8

.cos8

cos8sin18

8sinu-64

6x-64

8cosu.dudx 8sinu 6x

2

2

2

ANA SAYFA

1744 2 ++ xx =(2x+1)2+42

( )udx

udx

udx

ux

uxxx

dx

2

2

2

2

tan12

tan22

tan442

1tan42

tan4121744

+=+=+=

−==+

++∫ ( )( )

( )u

u

u

u

u

x

xx

2

2

2

2

2

2

2

tan12

1

tan14

tan12

1tan4

16tan4

1612

1744

+=+

++=

+=

++=

++

DEVAMIANA SAYFA

cuuuu ++=== ∫∫ tansecln2

1sec

2

1sec

2

1 2

tanu=2x+1/4

Secu=1/2 ln| |

uu tantan1 2 ++

cxxx

xxx

+++++=

+++++=

121744ln2

1

4

12

16

17441ln

2

1

2

2

ANA SAYFA

cxxxarc

cx

xxarc

cx

xxarc

xu

xu

uxux

xx

dxxxarc

dxduxux

dxdu

xarcux

dxxarcxdxxarc

+−

++

+

−−

−===>==>=

−−=

===>−

=

=−

−=

∫

∫∫

lnsec

1lnsec

1lnsec

1lncos

1cos

cos

1sec

1sec

;1

sec1

sec..sec

2

2

2

ANA SAYFA

( )∫ =b

a

xFdxxf )(.b

a)()( aFbF −= c yok ; c-c=0

ANA SAYFA

( )∫∏

=+0

???.sincos dxxx

x

dx

1

2

3

2

12−

∫

ANA SAYFA

663

∏=∏−∏=

2

1

x=

2

3

Arc sinx

dx

1

2

3

2

12−

∫ 2

1sin

2

3sin ArcArc −

ANA SAYFA

xx cossin −0

∏

2)1()1( =−−+=

ANA SAYFA

∫ =+=x

dttxF2

???).12()(

BELİRLİ İNTEGRALİN TÜREVİ

)(')).(()(').(()('

).()()(

)(

xgxgfxhxhfxF

duufxFxh

xg

−=

⇒= ∫

ÖRNEK:

ANA SAYFA

12)('

)0).(5()1).(12()('

+=−+=

xxF

xxF

ANA SAYFA

???.sin.sin2

2

=∫∏

∏−

dxxx???.cossgn2

2

=∫∏

∏

dxx

ÖZEL FONKSİYONUN İNTEGRALİ

???.2

3

2

=∫−

dxX

ANA SAYFA

Π−⇒+−+− ∫∫∫Π

Π

Π

Π

Π

Π

2

2

3

2

3

2

.0.1.1 dxdxdx

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Π

2

3Π

Π2

2

Π

ANA SAYFA

∏

2

∏

2

3∏ ∏2

0

2

∏−

1

1−

0

2

∏−

x

dxxdxx

cos

.sin.0.sin2

0

0

2

⇒

+− ∫∫∏

∏−

1= ANA SAYFA

1

.1.0.1

2

2111

3

2

2

0

0

2

−⇒

++−

===

∫∫∫−

dxdxdx

ad

ANA SAYFA

İNTEGRALDE ALAN HESABI1) A)BİR EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN

y=f(x) , x=a , x=b ve x ekseni

dxxfAb

a

.)(∫=

a

dxxfAb

a

.)(∫=

a b

b

dxxfAb

a

.)(∫−= dxxfdxxfA

AAAc

a

b

a

.)(.)(

21

∫∫ −=

+=

cba

ANA SAYFA

B ) x=g(y) , y=c , y=d ve y ekseni

c

∫∫ −=

+=e

c

d

c

dyygdyygA

AAA

).().(

21

∫−=d

c

dyygA ).( ∫=d

c

dyygA ).(

∫=d

c

dyygA .)(

c c

dd

d

e

C

ANA SAYFA

2) İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN

y=f(x) , y=g(x) , x=a , x=b

∫ −=d

c

dxxgxfA .)()(

ANA SAYFA

y=x2-x-2 x ekseni ve

x=-2 , x=2 doğrusu

y=2-x2 , y=-x arasındaki alan

ANA SAYFA

02x2 =−− x 2=x 1; −=x

21−2−

+ +−

dxxxdxxx

AAA

.)2(.)2(2

1

21

2

2

21

∫∫−

−

−

−−−+−−=

+=

2

3

19br= ANA

SAYFA

2-x2=-x

x2-x-2=0 x=2 , x=-1

2

2

1

2

2

9

).()2(

br

dxxxA

=

−−−= ∫−

ANA SAYFA

DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ

a b

İki eğri arasında x ekseni etrafında;

[ ]∫ −∏=b

a

dxxgxfH .)()( 22

X ekseni etrafında;

[ ] dxxfHb

a

.)(2

∫∏=a b

Y ekseni etrafında;

[ ]∫∏=d

c

dyyfH .)( 2

c

d

)(2 xgy =

)(1 xfy =

ANA SAYFA

x=a , x=b y=f(x) y ekseni etrafında;

ba

c

a b

∫∏=b

a

dxxxfH ).(2

f(x) ve x=c , x=a ,x=b arası bölge c etrafında

[ ]∫ −∏=b

a

dxcxfH .)( 2

ANA SAYFA

Yarıçapı r olan kürenin hacminin olduğunu gösteriniz. 3

4 3r∏

,xey = ,1=x x ekseni arsında kalan bölgenin x ekseni etrafındaki hacmi nedir?

ANA SAYFA

)3

(

.)(

.(

32

22

22

22

xxrH

dxxrH

dxxrH

xry

r

r

r

r

−∏=

−∏=

−∏=

−=

∫

∫

−

−

r−

r

3

4 3r∏⇒ ANA SAYFA

( ) 322

2

1

0

2

1222

2

)(

.)(

bree

eH

dxeH

x

x

−∏=∏−∏=

∏=

∏= ∫

0

1

ANA SAYFA

ANA SAYFA

ANA SAYFA

ANA SAYFA

ANA SAYFA

ΠANA SAYFA

ΠANA SAYFA