integrali i pacaktuar
Post on 20-Jul-2016
209 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Integrali i pacaktuar
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: (1) Le të jetë f funksion i përkufizuar në njëinterval .I Funksioni i derivueshëm F quhet funksion primitiv i funksionit f
nëse ).)(()(' IxxfxF (2) Nëse F është funksion primitiv i funksionit f në intervalin ,I atëherë çdofunksion tjetër primitiv i funksionit f në I ka formën ( ) ( ) .x F x C ku Cështë një konstantë e çfarëdoshme.(3) Bashkësia e të gjitha funksioneve primitive të funksionit f në intervalin ,I
quhet integral i pacaktuar i funksionit f dhe shënohet .)( dxxf Pra
dxxf )( .)( CxF
Funksioni f quhet funksion nënintegral, kurse shprehja dxxf )( quhet shprehjenënintegrale.
)4( Janë të vërteta barazimet :
1 ( ) ( ) .dF x dx F x C
'
2 ( ) ( ).f x dx f x
3 ( ) ( ) .d f x dx f x dx
4 ( ) ( ) .cf x dx c f x dx
5 ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx
Tabela e integraleve. Duke pasur parasysh tabelën e derivateve të funksioneveelementare, në vazhdim po e japim tabelën e integraleve të pacaktuar të disafunksioneve elementare.
).1(1
11
C
xdxx
.||ln2 Cxx
dx
.3 Cedxe xx
).11(ln
4 aaCa
adxa
xx
.cossin5 Cxxdx
136
.sincos6 Cxxdx
.cos
72
Ctgxx
dx
.sin
82
Cctgxx
dx
.sin1
92
Cxacx
dx
.cos1
102
Cxacx
dx
.1
112
Cactgxx
dx
.1
112
Cacctgxx
dx
.|1|ln1
12 2
2Cxx
x
dx
.|1|ln1
13 2
2Cxx
x
dx
Integralet e mëposhtme mund të sillen në integrale tabelore, provoni!
2.1.1. 2 12 .x x dx
x Rezultati:
32 ln .
3
xx x C
2.1.2. 2 .xdx Rezultati: 2 .x C
2.1.3. 3 .x dx Rezultati:4
.4
xC
2.1.4. 3( 4 ) .t dt Rezultati: 4 .t C
2.1.5. .xdx Rezultati:2
.3
x x C
2.1.6.3.
dx
x Rezultati:2
1.
2C
x
2.1.7.5
4.
dx
x Rezultati:4
1.C
x
2.1.8. 3 .xdx Rezultati: 1 33.
7x C
137
2.1.9.3
.dx
x Rezultati: Cx 34
43
.
2.1.10. xx
dx. Rezultati:
2.C
x
2.1.11. .x x x dx Rezultati: 8 158.
15x C
2.1.12. 3 2(5 4 3 5) .x x x dx Rezultati: 4 3 25 4 35 .
4 3 2x x x x C
2.1.13.4 7 26 8 5 2
.x x x
dxx
Rezultati:4 33 16
5 2ln .2 7
x x xx x C
2.1.14.3
4
10 3.
xdx
x
Rezultati:
3
110ln .x C
x
2.1.15.3
2.
xdx
x
Rezultati:
2
1.
xC
x
2.1.16.2
3
( 1).
xdx
x
Rezultati:
2
2 1ln .
2x C
x x
2.1.17.2
2
( 1)( 3).
3
x xdx
x
Rezultati:
2 1ln .
6 3
x xx C
x
2.1.18.34
1 1.dx
x x
Rezultati: 42 4 .x x C
2.1.19.3( 1)
.x
dxx
Rezultati:
23 6 ln .
3
x xx x x C
2.1.20.
dxx
xxx3
)1)((. Rezultati: Cxx 67613
76
136
.
2.1.21. 4 32
1.x x x x dx
x Rezultati:
53 2 7 32 3 1
.5 3 7
xx x C
x
2.1.22.2
11 .x xdx
x Rezultati:
2
4
4( 7).
7
xC
x
2.1.23. .b
ax dxx
Rezultati: 21
ln .2
ax b x C
2.1.24.1
.x
x
edx
e
Rezultati: .xx e C
2.1.25.2
1 .x
x ee dx
x
Rezultati:
1.xe C
x
138
2.1.26.3
1 .x
x aa dx
x
Rezultati:
2.
ln
xaC
a x
2.1.27. 3(3 ) .x xe dx Rezultati: 33.
ln3
xxe C
2.1.28.2
cos2.
cos sin
xdx
x x Rezultati: .ctgx tgx C
2.1.29. 2 .ctg xdx Rezultati: .ctgx x C
2.1.30.2 2
.sin cos
dx
x x Rezultati: .tgx ctgx C
2.1.31.2
2
3 2.
cos
ctg xdx
x
Rezultati: 3 2 .tgx ctgx C
2.1.32.
13 2
2
3.
x xdx
x
Rezultati: .
322
2
Cxx
x
2.1.33.31 21
3 32 2 .x x x dx
Rezultati:17 19 10
316 6 36 72 122 .
17 19 5x x x x C
2.1.34.31 1
2 2 .a x dx
Rezultati: .
52
23
2 2
522
1
2
3
2
3
Cxxaaxxa
2.1.35. 2cos .xdx Rezultati:sin 2
.2 4
x xC
2.1.36. 2 2(cos sin ) .x x dx Rezultati:sin 2
.2
xC
2.1.37. sin cos .x xdx Rezultati:cos2
.4
xC
2.1.38. 2cos 3 .xdx Rezultati:sin 6
.2 12
x xC
2.1.39.1
2(1 cos ) .x dx Rezultati: 2 2 cos .2
xC
2.2. Integrimi me metodën e zëvendësimit
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë )(uF funksion primitiv i funksionit)(uf dhe )(xu funksion i derivueshëm. Nëse ekziston funksioni i përbërë
139
( ( )),F x atëherë ))(( xF është funksion primitiv i funksionit '( ( )) ( ),f x x d.m.th.
'( ( )) ( ) ( ( )) .f x x dx F x C
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.2.1. Njehsoni .sin
dx
xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
2cos
2tg2
2cos
2sin2sin 2 xx
dxxx
dx
x
dx
e pastaj zëvendësojmë ,
2cos22 2
dtx
dxt
xtg kemi
2
ln | | ln tg ( ).sin 22 tg cos
2 2
dx dx d xt C C x k
x xx t
2.2.2. Njehsoni .cos
dx
xZgjidhje: Sipas detyrës 2.2.1, kemi
ln tg .cos 2 4 2
sin2
dx dx xC x k
xx
2.2.3. Njehsoni2
.3 2 5
dx
x x Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën
2 222
1 1 1,
2 53 2 5 3 3 31 1 5 1 143 3 3 9 3 3 9
dx dx dx dx
x x x x x x
e pastaj zëvendësojmë ,314
314
31
dtdxtx kemi
Ctt
dt
t
dt
xx
dx
arctg14
1114
9314
31
914
914
314
31
523 22
2
140
13
1 1 3 13arctg arctg .
14 14 14 14
xx
C C
2.2.4. Njehsoni2.
3 5
dx
x xZgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën
1009
1035
1
535
153 2
22
x
dx
xx
dx
xx
dx
e pastaj zëvendësojmë ,103
103
103
dtdxtx kemi
132
19100
103
51
1009
1009
103
51
53 222
2 t
dt
t
dt
t
dt
xx
dx
101 12 1 1 1 1 6 103ln ln ln .
103 2 1 3 3 101 13
xt xC C C
t xx
.
2.2.5. Njehsoni2
.1 3
dx
x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
31
313
1
31
313
1
31 222
xx
dx
xx
dx
xx
dx
22
61
36133
1
31
361
613
1
x
dx
x
dx
e pastaj zëvendësojmë1 13 13
,6 6 6
x t dx dt kemi:
2 2 2
131 1 63 31 3 13 1 13 13
36 6 36 6
dtdx dx
x xx t
141
2
1 13 6 1 1 6 1arcsin arcsin .
63 13 3 3 131
dt xt C C
t
2.2.6. Njehsoni2
.2 3 1
dx
x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
21
169
432
1
21
232
1
132 22
2
x
dx
xx
dx
xx
dx
161
432
12
x
dx
e pastaj zëvendësojmë3 1 1
,4 4 4
x t dx dt kemi:
Cttt
dt
t
dt
xx
dx
1ln2
1
12
1
161
161
41
2
1
132
2
22
2
.1)34(34ln2
1 2 Cxx
2.2.7. Njehsoni2
.4 4 5
dx
x x
Zgjidhje:Integralin e dhënë e transformojmë në formën
1212
1
544 22
x
dx
xx
dx
e pastaj zëvendësojmë1
,2
x t dx dt kemi
2 2
2 2
1 1 1 1 5ln 1 ln .
2 2 2 2 44 4 5 1
dx dtt t x x x C
x x t
2.2.8. Njehsoni 2 2 .a x dxZgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x a t dx a tdt kemi :
2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2sin cos cos
2 2
ta x dx a a a t tdt a tdt a dt
142
2 1sin 2 .
2 2
at t C
Meqenëse sin arcsin ,x
x a t ta
atëherë
2 22 2
2
2sin 2 2sin cos 2 sin arcsin 1 2 1 .
x x x x xt t t a x
a a a a a
Rrjedhimisht2 2
2 2 2 22
1 1 2sin 2 arcsin
2 2 2 2
a a x xa x dx t t C a x C
a a
22 2arcsin .
2 2
a x xa x C
a
2.2.9. Njehsoni 21 4 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në këtë formë:
dxxdxxx 22 )2(541
e pastaj zëvendësojmë dtdxtx 552 dhe zbatojmë rezultatin egjetur në detyrën 2.2.8, kemi
dttdxxdxxx 222 15)2(541
21 25arcsin ( 2) 1 4 .
2 5
xx x x C
D e t u r a m e r e z u l t a t e
2.2.10.2
.1
dx
x x Rezultati: .3
12arctg
3
2C
x
2.2.11.2
.7 12
dx
x x Rezultati:4
ln .3
xC
x
2.2.12.2
.1
dx
x x Rezultati: 21
ln 1 .2
x x x C
2.2.13.2
.5 4
dx
x x Rezultati:
1 5 2arcsin .
25
xC
2.3. Integrimi në pjesë
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Integrimi me pjesë bëhet sipas kësaj formule:.udv u v vdu
143
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.3.1. Njehsoni 2 ln .x xdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë,
32( ln ) ,
3
dx xu x dv x dx du v
x
kemi
2 3 2 3 31 1 1 1ln ln ln .
3 3 3 9x xdx x x x dx x x x C
2.3.2. Njehsoni 2 .xxe dxZgjidhje: Integrojmë me pjesë 2 21
( )2
x xu x dv e dx du dx v e
dhe
kemi
2 2 2 21 1 1(2 1) .
2 2 4x x x xxe dx xe e dx e x C
2.3.3. Njehsoni .x arctgxdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë
2
2( ) ,
1 2
dx xu arctgx dv xdx du v
x
kemi
dxx
xarctgx
xxarctgxdx 2
22
121
2
2 1.
2 2
x xarctgx C
2.3.4. Njehsoni sin .xe xdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë ( sin ) ( cos ),x xu e dv xdx du e dx v x kemi
sin cos cos .x x xe xdx e x e xdx Përsëri integrojmë me pjesë ( cos ) ( sin ),x xu e dv xdx du e dx v x kemi
xexexdxexexdxe xxxxx sincoscoscossin xdxex sin
1sin (sin cos ) .
2x xe xdx e x x C
2.3.5. Njehsoni .ln
2 dxx
x
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë2
1ln ,
dx dxu x dv du v
x x x
kemi:
144
.1lnln1lnln 2
2 Cxx
xdxx
x
x
x
dx
xx
xdx
x
x
2.3.6. Njehsoni .22 dxax
Zgjidhje: Vejmë 2 2
2 2,
xdxu x a dv dx du v x
x a
kemi:
dx
ax
aaxaxxdx
ax
xaxxdxax
22
22222
22
22222
22
2
22
2222 )(
ax
dxadx
ax
axaxx
2 2 2 2 2
2 2.
dxx x a x a dx a
x a
Meqenëse 2 2
2 2ln ,
dxx x a C
x a
atëherë
dxax 22 dxaxaxx 2222 Caxxa 222 ln
dxax 22 22
21
axx 2
2 2ln .2
ax x a C
2.3.7. Njehsoni 2 3 2 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
dxxdxxx
41
23
232
2
e pastaj zëvendësojmë3
,2 2 2
t dtx dx kem
22 23 1 1
3 2 12 4 4
x x dx x dx t dt
2 21 1 11 ln 1 .
4 2 2t t t t C
.2323281
23)32(41 22 Cxxxxxx
2.3.8. Njehsoni .22 dxax
Zgjidhje:Vejmë 2 2
2 2,
xdxu x a dv dx du v x
x a
kemi:
145
dx
ax
aaxaxxdx
ax
xaxxdxax
22
22222
22
22222
22
2
22
2222 )(
ax
dxadx
ax
axaxx
2 2 2 2 2
2 2.
dxx x a x a dx a
x a
Meqenëse 2 2
2 2ln ,
dxx x a C
x a
atëherë
dxax 22 dxaxaxx 2222 Caxxa 222 ln
dxax 22 22
21
axx Caxxa
222
ln2
.
2.3.9. Njehsoni 2 2 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
dxxx 22 dxx
47
21
2
e pastaj zëvendësojmë1 7 7
,2 2 2
x t dx dt kemi
22 21 7 7
2 12 4 4
x x dx x dx t dt
1
21
47 2tt Ctt
1ln
21 2
2 21 7 2 1 2(2 1) 2 ln 2 .
4 8 7 7
xx x x x x C
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.3.10. arcsin .xdx Rezultati: 2arcsin 1 .x x x C
2.3.11. sin .x xdx Rezultati: sin cos .x x x C
2.3.12. cos3 .x xdx Rezultati:sin3 cos3
.3 9
x x xC
2.3.13. .x
xdx
e Rezultati:1
.x
xC
e
146
2.3.14. 2 .xx dx Rezultati:2
ln 2 1.
2 ln 2x
xC
2.3.15. 2 3 .xx e dx Rezultati:3
2(9 6 2) .27
xex x C
2.3.16. 2( 2 5) .xx x e dx Rezultati: 2( 5) .xe x C
2.3.17. sin cos .x x xdx Rezultati:cos2 sin 2
.4 8
x x xC
2.3.18. cos .x xdx Rezultati: sin cos .x x x C
2.3.19. ( 1) .xx e dx Rezultati: .xxe C
2.3.20. 2( 2 3)cos .x x xdx Rezultati: 2( 1) sin 2( 1)cos .x x x x C
2.4. Integrimi i funksioneve racionale
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Funksioni i formës)()(
)(xq
xpxf ku qp,
janë polinome quhet funksion racional . Nga algjebra lineare dihet se çdo funksionracional mund të paraqitet si shumë e një polinomi dhe një funksioni dhe një numritë fundmë funksionesh elementare racionale. Prandaj duke zbatuar vetitë eintegralit të pacaktuar,integrali i funksionit racional paraqitet si shumë e integralittë një polinomi dhe një numri të fundmë integralesh të funksioneve elementareracionale. Të shtojmë se integralet e mëposhtme :
(1) .A
dxx a
(2) ( 2).( )k
Adx k
x a
(3) 22
( 4 0).Ax B
dx p qx px q
(4)
222
( 2 4 0).Ax B
dx k p qx px q
,
janë integralet e funksioneve elementare racionale .
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
147
2.4.1. Njehsoni .
1 2x
dx
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2 xxx atëherë funksionin nënintegralmund ta shkruajmë në formën
BAxBABxBAxAx
B
x
A
x
)(11
1111
2
1( 0) ( 1) .
2A B A B A B
Rrjedhimisht
2
1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln .
1 2 1 2 1 2 2 1
dx dx dx xx x C C
x x x x
2.4.2. Njehsoni
.45
122 dx
xx
x
Zgjidhje: Meqenëse ),4)(1(452 xxxx atëherë
BBxAAxxx
B
x
A
xx
x
4124145
122
)14()2()4()(12 BABABAxBAx).3()1( BA
Rrjedhimisht3
2
2 1 ( 4)3 ln( 1) 3ln( 4) ln .
5 4 1 4 1
x dx dx xdx x x C C
x x x x x
2.4.3. Njehsoni 2 3
.5 4
xdx
x
Zgjidhje: Kemi:
dxx
dxx
xdx
x
x
54
157
251
5432
51
4532
1 7 1 7 42 2 ln .
45 5 5 5 55
dxdx x x C
x
2.4.4. Njehsoni3 22 7 4 2
.2 3
x x xdx
x
Zgjidhje: Kemi
148
3 2 3 222 7 4 2 1 2 7 4 2 1 5
2 4 23 32 3 2 22 2
x x x x x xdx dx x x dx
x x x
2
35242
2
1 2
x
dxdxxdxdxx
Cxxxx
23
ln522
43
221 23
32 5 3
ln .3 2 2
xx x x C
2.4.5. Njehsoni2
3 4.
6
xdx
x x
Zgjidhje: Zerot e trinomit 62 xx janë 21 x dhe 2 3.x Prandaj
32)3)(2(43
643
2
x
B
x
A
xx
x
xx
x
3 4 ( 3) ( 2) 3 4 3 2x A x B x x Ax A Bx B 3 4 ( ) 3 2 3 3 2 4x A B x A B A B A B
.12423
3
BABA
BA
Prej nga rrjedh se
2
3 4 22ln 2 ln 3 .
6 2 3
x dxdx dx x x C
x x x x
.
2.4.6. Njehsoni2
5 7.
(2 4 6)
xdx
x x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën:
dx
xxx
x
)642(75
2 2
1 5 7.
2 ( 2 3)
xdx
x x x
Meqenëse zerot e trinomit 0322 xx janë: ,1,3 21 xx 322 xx( 3)( 1).x x Prandaj
13)1)(3(
75
x
C
x
B
x
A
xxx
x
)3()1()1)(3(75 xCxxBxxxAx
CxCxBxBxAAxAxx 33275 222
149
)3()32()(75 2 AxCBAxCBAx ( 0) ( 2 3 5) ( 3 7)A B C A B C A
7,
3A 3,C .
32
B
Prej nga2
5 7 7 1 2 1 3.
( 2 3 3 3 3 1
x
x x x x x x
Rrjedhimisht
13
332
37
21
)32(75
21
2 x
dx
x
dx
x
dxdx
xxx
x
1 7 2ln | | ln | 3 | 3ln | 1|
2 3 3x x x C
7 1 3ln | | ln | 3 | ln | 1|
6 3 2x x x C
7 26 7 33 6
9
( 3)ln ln 3 ln ( 1) ln .
( 1)
x xx x x C C
x
2.4.7. Njehsoni 1892 23
2
xxx
dxx.
Zgjidhje: 3 2 2 22 9 18 ( 2) 9( 2) ( 2)( 9) ( 2)( 3)( 3),x x x x x x x x x x x prandaj
332)3)(3)(2(
2
x
C
x
B
x
A
xxx
x
)3)(2()3)(2()3)(3(2 xxCxxBxxAx
.2
3,3rep
10
3,3rep
5
4,2rep
Cx
Bx
Ax
Rrjedhimisht3
123
31
103
21
54
1892 23
2
xxxxxx
x dhe
2
3 2
4 3 3ln 2 ln 3 ln 3 .
2 9 18 5 10 2
x dxx x x C
x x x
2.4.8. Njehsoni
2 2.
(3 15 18)
xdx
x x
150
Zgjidhje: Meqenëse
2222 )65(9
1
)65(9 xx
xdx
xx
xdx dhe meqenëse
zerot e trinomit 0652 xx janë 1 22, 3,x x atëherë
3)3(2)2()3()2( 2222
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
)3()2()2()3)(2()3( 2222 xxDxCxxBxAx.5,3,5,2 DCBA
Prej nga
35
)3(3
25
)2(2
)65( 2222
xxxxxx
x
dhe
35
)3(3
25
)2(2
)65( 2222 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xdx
Rrjedhimisht
2 2
1 1 2 35ln | 2 | 5ln | 3 | .
9 ( 5 6) 9 2 3
xdxx x C
x x x x
2.4.9. Njehsoni .
)52( 2 xxx
dx
Zgjidhje: Meqenëse trinomi ,0522 xx nuk ka zero reale, atëherë
52)52(1
22
xx
CBx
x
A
xxx
xCBxxxA )()52(1 2 2 1 1 2
1 ( ) (2 ) 5 , ,5 5 5
A B x A C x A A B C
5252
51
51
)52(1
22
xx
x
xxxx
2 2
1 1 1 2.
( 2 5) 5 2 5
x
x x x x x x
2 2
1 2ln .
( 2 5 5 2 5
dx xx dx
x x x x x
Meqenëse
5252
)22(21
522
222 xx
dx
xx
dxxdx
xx
x
atëherë
151
52( 2 xxx
dx
5252)22(
21
ln51
22 xx
dx
xx
dxxx .
Tani nga se
52
)22(21
2 xx
dxx 21ln | 2 5 |
2x x C
2 2 2
1 2 1 1 1 1arctg
22 5 ( 1) 4 2 1 2 2 2
x tdx dx dt xt arctg
dx dtx x x t
rrjedh se
2 2
1 1 1ln .
( 2 5) 5 2 22 5
dx x xarctg C
x x x x x
2.4.10. Njehsoni4
.1
dx
x Zgjidhje: Meqë 4 2 2 21 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1),x x x x x x atëherë
4 2
1 1 1 1, , 0,
1 1 1 1 4 4 2
A B Cx DA B C D
x x x x
11
21
11
41
11
41
11
24
xxxx
4
1 1 1ln | 1| ln | 1|
1 4 4 2
dxx x arctgx C
x
44
1 1ln .
1 1 2
dx xarctgx C
x x
2.4.11. Njehsoni6 4 2
3 2 2
4 2.
( 1)
x x xdx
x x
Zgjidhje: Meqenëse
1)1()1(24
22223223
246
x
GFx
x
EDx
x
C
x
B
x
A
xx
xxx
)1()1()1(24 222222246 xCxxBxxAxxx323 )1)(()( xxGFxxEDx
456246 )2()()(24 xFDCAxGBxFCxxx ABxxCAxGEB 23 )2()2(
2, 0, 0, 2, 0, 1, 0.A B C D E F G Prej nga
1)1(2
2)1(
242223223
246
x
xdx
x
xdx
x
dxdx
xx
xxx
152
2 22 2 2 2
1 1 1 1ln( 1) ln 1 .
1 2 ( 1)x C x C
x x x x
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.4.12.3 2
1.
6
xdx
x x x
Rezultati:
3
10
1 2
6 15
( 2)ln .
( 3)
xC
x x
2.4.13.3 2
3 5.
1
xdx
x x x
Rezultati:
1 1 4ln .
2 1 1
xC
x x
2.4.14.2
4 7.
6
xdx
x x
Rezultati: 3ln ( 2) ( 3) .x x C
2.4.15.2
.6 13
dx
x x Rezultati:1 3
.2 2
xarctg C
2.4.16.2
.5
dx
x x Rezultati:1
ln .5 5
xC
x
2.4.17.2
4.
( 1)( 1)
xdx
x x Rezultati:1 1 1
ln .4 1 2( 1)
xC
x x
2.4.18.2
.5 6
dx
x x Rezultati: ln( 3) ln( 2) .x x C
2.4.19.2
3
1.
xdx
x x
Rezultati:
1ln .x C
x
2.4.20.5 2
.dx
x x
Rezultati:2
2
1 1 ( 1) 1 2 1ln .
6 1 3 3
x xarctg C
x x x
2.4.21.3 2
2
3 5 7.
2
x x xdx
x
.
Rezultati: 2 21 3 13 ln( 2) .
2 2 2 2
xx x x arctg C
2.4.22.2 2
.( 1)
dx
x x Rezultati:2
2 2
1 1ln .
2 1 2( 1)
xC
x x
2.4.23.3
.8
dx
x Rezultati: 21 1 1 1
ln( 2) ln( 2 4) .12 24 4 3 3
xx x x arctg C
153
2.4.24.2 2
1.
( 1)( 9)
xdx
x x
Rezultati:2
2
1 1 1 1ln .
16 9 8 24 2
x xarctgx arctg C
x
2.4.25.2
3
2.
1
xdx
x
Rezultati:
2 2 1ln( 1) .
3 3
xx arctg C
2.4.26.3
.1
dx
x Rezultati:2
2
1 ( 1) 1 2 1ln .
6 1 2 2
x xarctg C
x x
2.4.27.2 4
.( 1)
dx
x x Rezultati:1 1 1 1
ln .4 1 2
xarctgx C
x x
2.4.28.4 3
.( 1)
dx
x x Rezultati: 3 33
1ln | | ln | 1| .x x C
x
2.5. Integrimi i funksioneve irracionale
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e:
(1) Integralet e tipit , ,..., ( , ,..., , ),m r
n sR x x x dx m n r s
ku R është funksion
racional në lidhje me , ,..., .m r
n sx x x Këto integrale shndërrohen në integrale tëfunksioneve irracional me zëvendësimin ,ktx ku k është shumëfishi më i vogël ipërbashkët për .,..., sn
(2) Integralet e tipit , ,..., ( , ,..., , ),
m r
n sax b ax bR x dx m n r s
cx d cx d
ku R
është funksion racional në lidhje me , ,..., .
m r
n sax b ax bx
cx d cx d
Këto integrale
shndërrohen në integrale të funksioneve racionale me zëvendësimin ,ktdcx
bax
ku
k është shumëfishi më i vogël i përbashkët për .,..., sn
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.5.1. Njehsoni3
3.
xdx
x x x xZgjidhje: Zëvendësojmë ,6 56 dttdxtx kemi
154
dx
xxxx
x3
3
Ct
t
tt
dt 1ln6
)1(6 .
1ln6
6
6
Cx
x
2.5.2. Njehsoni2
2 1.
xdx
x
Zgjidhje: Zëvendësojmë ,12 2 tdtdxtx kemi
dxx
x
2
12 2 2
2 2 2 2
44 .
( 1) ( 1)
t tdt dt
t t
Meqenëse
1)1(1)1()1()1()1( 2222
2
22
2
t
D
t
C
t
B
t
A
tt
t
t
t
)1()1()1()1()1()1( 22222 ttDtCttBtAt
.41
,41
,41
,41
DCBA
dxx
x
2
12
dtt
t22
2
)1(
4
14
1
)1(4
12 t
dt
t
dt4
14
1
)1(4
12
t
dt
t
dt
Ctt
tt
|1|ln1
1|1|ln
1
1
Ct
t
t
tC
t
t
t
t
1
1ln
1
2
1
1ln
1
222
2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1ln ln .
2 1 1 2 1 1 2 1 1
x x x xC
x xx x
2.5.3. Njehsoni3
3
1 1.
1 1
xdx
x
Zgjidhje: Zëvendësojmë ,31 23 dttdxtx kemi
dx
x
x3
3
11
11
dtt
ttdtt
t
t
13
1
13
322
Ctttt
|1|ln22
33 2
3
.)11ln(12)1(3
13 2333 2 Cxxx
x
155
2.5.4. Njehsoni 37 4 .x x dxZgjidhje: Zëvendësojmë 3 24 3 ,x t dx t dt kemi
dxxx 3 47 dtttt 23 )4(37 CttCt
t )7(34
843 344
7
.4)12(3)3)(4(43 323 Cxxxxxx
2.5.5. Njehsoni2
1 1.
xdx
x x
Zgjidhje: Zëvendësojmë 22 2 2
1 1 2,
1 ( 1)
x tt x dx dt
x t t
kemi
332 2 2
2 2 2
1 1 2 12 ( 1) 2 2 .
( 1) 3 3
x t t xdx t t dt t dt C C
x x t x
2.5.6. Njehsoni4
3.
xdx
x xZgjidhje: Zëvendësojmë 12 1112 ,x t dx t dt kemi
dxxx
x 3
4
dt
tt
tdtt
tt
t
)1(1212 24
1411
64
3
dt
t
t
112
2
10
Ctarctgttttt
357912
3579
.121245
127
1234 1212412 512 74 3 Cxarctgxxxxx
2.5.7. Njehsoni3
.1 1
xdx
x x Zgjidhje: Zëvendësojmë 6 6 51 1 6 ,x t x t dx t dt kemi
113 xx
xdx
Ctttttt
dtttt
t
4567896
16
4567895
32
6
6 73 43 )1(76
)1(43
)1(32
xxx
.)1(23
)1(56
)1( 3 26 5 Cxxx
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.5.8.34
1 1.dx
x x
Rezultati: 42 4 .x x C
156
2.5.9.3( 1)
.x
dxx
Rezultati: .ln63
32
Cxxxxx
2.5.10.3
( )(1 ).
x x xdx
x
Rezultati: .
76
136 67613 Cxx
2.5.11. 4 32
1.x x x x dx
x
Rezultati: .1
73
32
53723
5
Cx
xxx
2.5.12.2
11 .x xdx
x Rezultati: .
7
)7(44
2
Cx
x
2.5.13. .1 1
xdx
x Rezultati:2
(1 ) 1 1 .3
x x C
2.5.14. .( 1) 1
dx
x x Rezultati:1 1 2
ln .2 1 2
xC
x
2.5.15.1 1
.1
xdx
x x
Rezultati:1 1 1
ln .11 1
x x xarctg C
xx x
2.5.16.4
.dx
x x Rezultati: 4 42 4 4ln 1 .x x x C
Integrali i formës 2( , ) .R x ax bx c dx Njehsimi i integraleve të kësaj forme
bëhet me zëvendësimet e Eulerit:
( )a Nëse 0a merret zëvendësimi 2 .ax bx c t ax
( )b Nëse 0c merret zëvendësimi 2 .ax bx c xt c
( )c Nëse ))(( 212 xxxxacbxax merret zëvendësimi
21( )ax bx c x x t ose .)( 2
2 txxcbxax
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.5.17. Njehsoni2
.4 4
dx
x x x
Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi xtxx 442
157
2 2 22
2
4 4 4 4 44 4 ,
2( 2) 2( 2) 2( 2)
t t t t tx x x dx dt
t t t
kemi
442 xxx
dx.
244
242
2
2 Cxxx
arctgct
arctgt
dt
2.5.18. Njehsoni2
.( 1) 1
dx
x x x
Zgjidhje:Meqenëse ,01c merret zëvendësimi 11 2 txxx2 2
22 2 2 2
1 2 1 2( 1)1 ,
1 1 ( 1)
t t t t tx x x dx
t t t
kemi
222 2 ( 1)
2 2( 1) 1
dx dtarctg t C
t tx x x
.111
22
Cx
xxarctg
2.5.19. Njehsoni2
.7 10
xdx
x x
Zgjidhje: Meqenëse ),2)(5(1072 xxxx merret zëvendësimi
1
3107
125
)5(107 22
2
22
t
txx
t
txtxxx
2 2
6,
( 1)
tdx
t
kemi
2
2 22
5 2 32 7
( 1) 17 10
xdx t tdt arctg t C
t tx x
.29142
)5)(2(352
7 2 Cxx
xx
x
xarctg
2.5.20. Njehsoni2
.2 3
dx
x x x
Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi xtxx 322
3 2 22
2
3 2 3 1 2 32 2 ,
2(1 ) 2(1 ) 2 (1 )
t t t t tx x x dx
t t t
kemi
2
2 2 22
1 ( 2 3) 2(1 ) 2(1 )
2 (1 ) ( 3)( 2 3)2 3
dx t t t tdt
t t t tx x x
158
2
1 3 1 32 2 ln ln
3 2 3 3 3 3
dt t tC C
t t t
.332
332ln
3
12
2
Cxxx
xxx
2.5.21. Njehsoni .11
112
2
dxx
x
Zgjidhje: Meqenëse ,01a zëvendësojmë
t
txtxx
21
12
2
dt
t
tdx
t
tx 2
222
21
21
1 dhe kemi:
2 2 2 3 2
2 2 22
1 1 ( 2 1)( 1) 1 1 4 2 1
( 2 1) 2 2 ( 1)1 1
x t t t t t tdx dt t dt
t t t t tx
dtttt
t 22 )1(841
21
21
Ct
tt
t
1
4||ln2
21
21
.1222
)1ln(222
2 Cx
xxxxx
2.5.22. Njehsoni2
.3 2
dx
x x x
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(2(232 xxxx integrali i dhënë zgjidhet
me zëvendësimin )2()1)(2( xtxx
222
2
)1(2
112
t
tdtdx
t
tx
22
3 2 .1
tx x
t
Kemi:
2 2
2 2 2 22
2 ( 1)( 1)2 2 2
( 1) (2 1) 2 13 2
dx t t t dtdt arctg t C
t t tx x x
.2
12222 C
x
xarctgtarctg
2.5.23. Njehsoni2
2
1 1.
1 1
xdx
x
159
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2 xxx atëherë merret zëvendësimi
2222
2
22
)1(4
12
111
)1(1t
tdtdx
t
tx
t
txxtx
dhe kemi
2 22
2 2 2 222 2
2
21 4
1 1 ( 1)14
2 ( 1) ( 1)1 1 1 ( 1)1
tt
x ttdx dt dt
t t tx tt
Ctarctgtt
)1(21
11
4 2
.1
1
11
12
1
11
1
14
2
22
2C
x
xarctg
x
xx
x
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.5.24.2
.1
dx
x x x Rezultati:
2
2
1 1ln .
1 1
x x xC
x x x
2.5.25.2
.1
dx
x x
Rezultati: 2 2 21 1( 1 ) ln 1 .
4 2x x x x C
2.5.26.2 2
.( 1) 4
dx
x x
Rezultati:2 2
2 2
1 1 4 5ln .
2 5 1 4 5
x x xC
x x x
2.5.27.2
.1 2
dx
x x x Rezultati:
2
2
1 2 2 1ln .
1 2 2 1
x x xC
x x x
2.5.28.2
.4
dx
x x x Rezultati:
24.
2
x xC
x
160
2.5.29.2
.3 5 8 4
dx
x x x
Rezultati: 319ln( 1) 12 13ln( 1) 5ln( 5) ,
39t arctg t t t C ku
25 8 4.
12
2
x xt
x
2.5.30.2
.1
dx
x x Rezultati:
2ln .
1 1
xC
x
2.5.31.2
.5 2
dx
x x Rezultati:
2
1ln .
5 5 5 2
xC
x
2.5.32.2
.( 2) 6 1
dx
x x x Rezultati: .
)2(8
5arcsin
7
1C
x
x
Integrimi i diferencialit binomial. Integrali i formës: dxbxax pnm )( ku
, ,m n p quhet integral i diferencialit binomial. Integralet e kësaj formereduktohet në integral të funksionit racional në këto raste :(1) Nëse ,p në këtë rast merret zëvendësimi stx ku s është emëruesi i
përbashkët për m dhe .n
(2) Nëse 1,
m
n
merret zëvendësimi sn tbxa ku s është emëruesi i .p
(3) Nëse 1,
mp
n
merret zëvendësimi
ns
n
a bxt
x
ku s është emëruesi i .p
2.5.33. Njehsoni 231 .x x dx
Zgjidhje: Meqenëse ,2p zëvendësojmë ,6 56 dttdxtx dhe kemi
82
5 332 2 2
6 31 6 4 18 21
( 1) 5 1
t dt tx x dx t t t arctg t C
t t
.211
3184
56 6
3
666 5 Cxarctg
x
xxxx
2.5.34. Njehsoni 5 2 2 / 3(1 ) .x x dxZgjidhje: Zëvendësojmë ,321 232 dttxdxtx kemi
dxxx 3/225 )1( 4 3 2 11 8 53 3 3 3( 1)
2 22 8 10t t dt t t t C
161
.)1(103
)1(83
)1(223 3 523 823 112 Cxxx
2.5.35. Njehsoni2 3 23
.(1 )
dx
x x
Zgjidhje:Zëvendësojmë2
3 3
3 431 ,
( 1)
t dtx t dx
t
kemi
3 3
2 3 23
1.
(1 )
dx xdt C
xx x
2.5.36. Njehsoni3 41
.x
dxx
Zgjidhje:Meqenëse ,21
41
31
21
n
mnpm merret zëvendësimi
3 4 2 3 3( 1) 12 ( 1) ,x t dx t t dt kemi
3 3 33 46 3 7 4
3 2
1 ( 1) 1212 12 ( ) 3
( 1) 7
x t tdx dt t t dt t t C
tx
.1317
12 43 4
73 4 Cxx
2.5.37. Njehsoni
.1
322 xx
dx
Zgjidhje: Meqenëse1 1 1
2 ,2
m mp
n n
merret zëvendësimi
1
11
2
222
uxxux
32 2
,
( 1)
ududx
u
kemi:
3 32 22 23
2 2 23 3 3
2 2
22 22 2
1 1( 1)
11 111 11 1
udu udu
u udxx x dx
ux x u u uu u
2
2 1
du
u
u
2 2
2 2
1 1 1.
1
u x xdu u C C
u u xx
D e t y r a m e r e z u l t a t e
162
2.5.38.3
3 2 2(1 2 ) .x x dx
Rezultati: Cx
x
2
2
21
121
.
2.5.37.44
.1
dx
x Rezultati: .1
21
11
11ln
41 4 4
4 4
4 4
Cxarctgx
x
2.5.38.4 2
.1
dx
x x Rezultati:
2 2
3
(2 1) 1.
3
x xC
x
2.5.39.3 5
.1
dx
x x
Rezultati:2
3 52
1 ( 1) 3 2 1ln , ku 1 .
10 1 5 3
t tarctg C t t
t t
2.5.40.2 3 5/ 3
.(2 )
dx
x x Rezultati:3
3 2 / 3
4 3.
(2 )
xC
x x
2.5.41.33 34
.1
dx
x x Rezultati:
23
432 1 .x C
2.5.42. 3 4 .x x dxRezultati: 2 3 21 1 2 1
( ) ln 1 .3 8 8
xx x x x x x C
2.5.43.23
.(1 )
xdx
x
Rezultati:5 11 1/ 6
1/ 66 621/ 3
6 34 18 21 .
5 1
xx x x arctgx C
x
2.5.44.3 2
.1
xdx
x Rezultati: 35 3 23
2 3 , ku 1 .5
t t t C t x
2.5.45.5
2.
1
x dx
x Rezultati:
53 22
, ku 1 .3 5
tt t C t x
2.5.46.3 3
.1
dx
x
Rezultati:32 3
2
1 1 1 2 1 1ln , ku .
6 ( 1) 3 3
t t t xarctg C t
t x
2.6. Integrimi i funksioneve trigonometrike
163
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e:
(1) Integralet e tipit sin ,cos ,R x x dx ku R është funksion racional në lidhje
me xsin dhe cos .x Këto integrale shndërrohen në integrale të funksioneve
racionale me ndihmën e zëvendësimit ).(2
xx
tgt
Këto integrale mund të zgjidhen edhe me zëvendësime tjera në këto raste:( )a Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR merret zëvendësimi .cos tx ( )b Nëse ),cos,(sin)cos,(sin xxRxxR merret zëvendësimi .sin tx ( )c Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR merret zëvendësimi .sin tx
(2) Integralet e tipit sin cos .m nx xdx Këto integrale shndërrohen në integrale
të funksioneve racionale kështu:( )a Nëse m është numër tek ,merret zëvendësimi .cos tx ( )b Nëse n është numër tek , merret zëvendësimi .sin tx ( )c Nëse ,m n janë numra çift natyror, zbatohen formulat
.2
2cos1cos
22cos1
sin 22 xx
xx
( )d Nëse ,m n janë numra çift me shenja të kundërta, merret zëvendësimittgx ose .tctgx
(3) Integralet e tipit: dxnsmx sinsin
dxnsmx cossin
cos cos .mx nsdxKëto integrale zgjidhen duke zbatuar formulat:
xnmxnmnxmx )cos()cos(21
sinsin
xnmxnmnxmx )cos()cos(21
coscos
xnmxnmnxmx )sin()sin(21
cossin
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.6.1. Njehsoni .3sin 4cos
dx
x x
164
Zgjidhje: Zëvendësojmë2
2 2 2
2 1 2sin cos ,
2 1 1 1
x t t dtt tg x x dx
t t t
atëherë
2
22
2 2
2 11 11 2ln
36 4(1 )3sin 4cos 2 5 2121 1
dttdx dtt C
t tx x tt tt t
11 2 2ln .5 2
2
xtg
Cx
tg
2.6.2. Njehsoni 1 sin.
sin (1 cos )
xdx
x x
Zgjidhje: Zëvendësojmë2
2 2 2
2 1 2sin cos ,
2 1 1 1
x t t dtt tg x x dx
t t t
kemi
21 sin 1 1 12 ln | | 2
sin (1 cos ) 2 2 2
x tdx t dt t t C
x x t
.
.2
222
12
ln21 2 C
xtg
xtg
xtg
2.6.3. Njehsoni 1.
sin sin 2dx
x xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),b prandaj merret zëvendësimi
2
2sin cos 1 .
1
dtt x x t dx
t
Kemi:
Ct
t
ttt
dt
xx
dxdx
xx 1
1ln
2
1
2
1
)1(2
1
cossin2
1
2sinsin
1222
.sin1sin1
ln21
sin21
Cx
x
x
2.6.4. Njehsoni3
2
sin.
cos 1
xdx
x
Zgjidhje: Meqenëse3 3
2 2
( sin ) sin,
cos 1 cos 1
x x
x x
funksioni nënintegral është tek
sipas sin ,x prandaj zëvendësojmë cos sinx t xdx dt dhe kemi:3 2 2 2
2 2 2 2
sin sin 1 cos 1sin sin
cos 1 cos 1 1 cos 1
x x x tdx xdx xdx dt
x x x t
165
.)(cos2cos21
21 2 CxarctgxCarctgttdt
t
2.6.5. Njehsoni3
2
cos.
4sin 1
xdx
x Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është tek sipas cos ,x zëvendësojmë
dtxdxtx cossin dhe kemi:
dttt
dtt
tdx
x
x
121
83
121
83
41
141
1sin4cos
2
2
2
3
1 3 2 1 1 3 2sin 1ln sin ln .
4 16 2 1 4 16 2sin 1
t xt C x C
t x
2.6.6. Njehsoni2 2
2 3.
sin 2cos
tgxdx
x x
Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),c prandaj merret zëvendësimi tgx tdhe kemi:
22 2 2
2 3 2 3 3ln( 2) arctg
sin 2cos 2 2 2
tgx t tdx dt t C
x x t
2 3
ln( 2) arctg .2 2
tgxtg x C
2.6.7. Njehsoni2 2
.sin 4sin cos 5cos
dx
x x x x Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është çift sipas xsin dhe cos ,x
zëvendësojmë22 2
1sin cos
11 1
u dutgx t x x dx
uu u
dhe
kemi
1)2(54cos5cossin4sin 2222 u
du
uu
du
xxxx
dx
.)2( Ctgxarctg
2.6.8. Njehsoni3
6
cos.
sin
xdx
xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),b prandaj merret zëvendësimi
sint x dhe kemi:3
6 2 6 26
cossin cos cos sin (1 sin ) (sin )
sin
xdx x x xdx x x d x
x
)(sinsin 6 xxd Cxxxxd 354 sin31
sin51
)(sinsin
166
.sin5
1
sin3
153
Cxx
2.6.9. Njehsoni4
6
sin.
cos
xdx
xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),d prandaj merret zëvendësimi tgx tdhe kemi:
dxx
xtgdxx
x2
46
4
cos
1
cos
sin 54 ( ) .
5
tg xtg xd tgx C
2.6.10. Njehsoni 4 2sin cos .x xdxZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),c prandaj duke zbatuar formulat
2 21 cos2 1 cos2sin cos ,
2 2
x xx x
kemi
xdxx 24 cossin2
21 cos2 1 cos2 1(1 cos 2 )(1 cos2 )
2 2 8
x xdx x x dx
2 2 21 1 1sin 2 (1 cos2 ) sin 2 sin 2 cos2
8 8 8x x dx xdx x xdx
)2(sin2sin161
4cos1161 2 xxddxx
.48
2sin64
4sin16
2
Cxxx
2.6.11. Njehsoni sin 4 cos2 .x xdxZgjidhje: Meqenëse
1sin 4 cos2 (sin 6 sin 2 ),
2x x x x atëherë
1 1sin 4 cos2 (sin 6 sin 2 ) sin 6 (6 )
2 12x xdx x x dx xd x
1 1 1sin 2 (2 ) cos6 cos2 .
4 12 4xd x x x C
2.6.12. Njehsoni cos cos2 cos5 .x x xdxZgjidhje: Meqenëse
1 1cos cos2 cos5 (cos( ) cos3 )cos5 (cos cos5 cos3 cos5 )
2 2x x x x x x x x x x
1((cos( 4 ) cos6 ) (cos( 2 ) cos8 ))
4x x x x
1(cos2 cos4 cos6 cos8 ),
4x x x x
atëherë
167
xdxxx 5cos2coscos1
(cos2 cos4 cos6 cos8 )4
x x x x dx
.8sin321
6sin241
4sin161
2sin81
Cxxxx
5.6.13. Njehsoni .sin sin
dx
x a
Zgjidhje: Meqenëse ,22
coscos
axax
a atëherë
dx
ax
dx
sinsin
dxaxax
axax
a2
cos2
sin
22cos
cos21
sin1 2ln (cos 0 sin sin ).cos cos
2
x a
C a x ax aa
2.6.14. Njehsoni ( ) .tgxtg x a dxZgjidhje: Kemi
dxaxx
axxaxxdxaxtgtgx 1
)cos(cos)sin(sin)cos(cos
)(
Cax
xctgaxxdx
axx
a
)cos(
cosln
)cos(cos
cos
ku .0)cos(0cos axx
2.6.15. Njehsoni sin sin5 .x xdxZgjidhje: Kemi
.6sin121
4sin81
)6cos4(cos21
5sinsin Cxxdxxxxdxx
2.6.16. Njehsoni xdxx 5cos3cos .
Zgjidhje: Kemi
dxxxxxxdxx )]53cos()53[cos(21
5cos3cos
dxxxdxxx )8cos2(cos21
]8cos)2[cos(21
= .8sin161
2sin41
Cxx
168
2.6.17. Njehsoni xx
dx
2sinsin.
Zgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x t xdx dt kemi
2 2 2 2 2
cos 1
sin sin 2 2sin cos 2sin (1 sin ) 2 (1 )
dx dx xdx dt
x x x x x x t t
Ct
t
t
11
ln21
21
.sin1sin1
ln21
sin21
Cx
x
x
2.6.18. Njehsoni3sin
.2 cos
xdx
xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë cosx t
sin ,xdx dt kemi:3 2 2 2sin sin sin (1 cos )sin 1 3
22 cos 2 cos 2 cos 2 2
xdx x x x x tdx dx dt t dt
x x x t t
2
212 3ln | 2 | cos 2cos 3ln(cos 2) .
2 2
tt t C x x x C
2.6.19. Njehsoni dxxx
tgx
22 cos2sin
32.
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë tgx t
2
1,
cosdx dt
x kemi:
22
2 2 2
(2 3)2 3 3cos ln | 2 | .sin 2cos 2 2 2
dxtgxtgx xxdx tg x arctg C
x x tg x
2.6.20. Njehsoni sin 5 sin 3 .x xdxZgjidhje: Kemi
1 sin8 sin 2sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .
2 16 4
x xx xdx x x dx C
2.6.21. Njehsoni xdxx 24 cossin .
Zgjidhje:Kemi2
4 2 (1 cos2 ) 1 cos2sin cos
4 2
x xx xdx dx
21
sin 2 (1 cos2 )8
x x dx
xdxxxdx cos2sin161
2sin81 22
3sin 4 sin 2.
16 64 48
x x xC .
169
2.6.22. Njehsoni sin 5 sin 3 .x xdxZgjidhje: Kemi
1 sin8 sin 2sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .
2 16 4
x xx xdx x x dx C
2.6.23. Njehsoni3
6
cos.
sin
xdx
xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë sin x t
cos ,xdx dt kemi:3
6 2 6 26
cossin cos cos sin (1 sin )cos
sin
xdx x xdx x x xdx
x
5 3
1 1... .
3sin 5sinC
x x
2.6.24. Njehsoni4
6
sin.
cos
xdx
xZgjidhje:Kemi
.5coscos
sin 5
24
6
4
Cxtg
x
dxxtgdx
x
x
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.6.25. .5 3cos
dx
x Rezultati:1
2 .2 2
xarctg tg C
2.6.26.
1 sin.
sin 1 cos
xdx
x x
Rezultati: 21 1
ln 2 .2 2 2 2 2
x x xtg tg tg C
2.6.27. .3 5cos
dx
x Rezultati: .2
2
22ln
41
Cx
tg
xtg
2.6.28.sin
.1 sin
xdx
x Rezultati:2
.1
2
x Cx
tg
2.6.29. 3sin .xdx Rezultati:3cos
cos .3
xx C
2.6.30. 4sin .xdx Rezultati:3 sin 2 sin 4
.8 4 32
x x xC
2.6.31. 3cos .xdx Rezultati: 31sin sin .
3x x C
170
2.6.32. 5sin .xdx Rezultati: 3 52 1cos cos cos .
3 5x x x C
2.6.33. 2 3sin cos .x xdx Rezultati:3 5sin sin
.3 5
x xC
2.6.34. 2 2sin cos .x xdx Rezultati:sin 4
.8 32
x xC
2.6.35. .(2 cos )sin
dx
x x Rezultati:2
3
1 (1 cos )(2 cos )ln .
6 (1 cos )
x xC
x
2.6.36.2 2
.4cos 9sin
dx
x x Rezultati:1 2
ln .24 2
tgxC
tgx
2.6.37.4
sin cos.
1 sin
x xdx
x
Rezultati: 21
sin .2
arctg x C
2.6.38.2
2
cos.
sin 4sin cos
xdx
x x xRezultati:
1 1ln | sin | ln | sin 4cos | .
17 4 16
xx x x C
2.6.39.3
4
sin.
cos
xdx
x Rezultati:3
1 1.
3cos cosC
x x
2.6.40.2
4
cos.
sin
xdx
x Rezultati: 31.
3ctg x C
2.6.41. 3 .tg xdx Rezultati:2
ln | cos | .2
tg xx C
2.6.42. sin cos .2 2
x xdx Rezultati:
3 5cos 3cos .
5 6 6
x xC
2.6.43.2 3
sin cos .3 2
x xdx Rezultati:
3 5 3 13cos cos .
5 6 16 6
x xC
2.6.44. sin cos2 sin3 .x x xdx Rezultati:sin2 sin4 sin6
.8 16 24 4
x x x xC
2.6.45. cos( )cos( ) .ax b ax b dx Rezultati:sin 2 cos2
.4 2
ax bxC
a
2.6.46. sin sin 2 sin 3 .x x xdx Rezultati:1 1 1
cos6 cos4 cos2 .24 16 8
x x x C
2.6.47.2
cos.
sin 6sin 5
xdx
x x Rezultati:1 5 sin
ln .4 1 sin
xC
x
2.6.48.3
sin.
(1 cos )
xdx
x Rezultati:2
1.
2(1 cos )C
x
171
2.6.49. .(2 sin )(3 sin )
dx
x x
Rezultati:2 1 3 12 12 2 .
3 3 2 2 2
x xtg tg
arctg arctg C
2.6.50.1 sin cos
.1 sin cos
x xdx
x x
Rezultati: 22ln .
12
xtg
x Cx
tg
2.6.51.3sin 2cos
.2sin 3cos
x xdx
x x
Rezultati:
12 5ln | 2sin 3cos | .
13 13x x x C
top related