juuri tehtävien ratkaisut kustannusosakeyhtiö otava päivitetty …¤... · juuri 7 •...
Post on 08-Jul-2020
1.838 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
3 Tangentti
ENNAKKOTEHTÄVÄT
1. a) Täydennetään kuvaan kulman α kehäpiste Q ja pieni suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yksikköympyrän säde 1.
Sinin arvo on 35
, joka on samalla pisteen
Q y-koordinaatti, eli pienessä kolmiossa
kulman α vastaisen kateetin pituus on 35
.
Kosinin arvo on 45
, joka kertoo pisteen Q
x-koordinaatin, eli pienessä kolmiossa
kulman α viereisen kateetin pituus on 45
.
Tangentti on vastaisen kateetin pituuden suhde viereisen kateetin pituuteen.
33 4 35tan :
4 5 5 55
5 34 4
b) Edellisessä kohdassa selvisi pisteen Q koordinaatit: 4 3,5 5
.
Piste T sijaitsee suoralla x = 1, joten sen x-koordinaatti on 1. Pisteen T y-koordinaatti on isomman suorakulmaisen kolmion korkeus.
tan1
34
y
y
Siis piste on T = 31,4
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
2. a) Piirretään suorakulmainen kolmio, ja merkitään toista terävää kulmaa kirjaimella x, valitaan toisen kateetin pituudeksi 1 ja merkitään toisen kateetin pituutta y.
Annetaan kulman x kasvaa, jolloin muodostuu kuvan mukaisia kolmioita.
Kuvan merkinnöillä ( ) tan .1
yf x x y
Kun kulma x kasvaa, sivun pituus y kasvaa myös, joten funktion f arvo
kasvaa välillä 0,2
.
Tehtävä voidaan ratkaista myös edellisen tehtävän avulla. Ensimmäisessä neljänneksessä olevien kulmien tangentti on sellaisen pisteen y-koordinaatti, jonka x-koordinaatti on 1 ja joka sijaitsee
kulman loppukyljen jatkeella. Kun kulma x kasvaa välillä 0,2
,
kulman kylki on yhä ylempänä, eli pisteiden y-koordinaatit kasvavat. Tällöin myös tangenttifuntkion f(x) = tan x arvot kasvavat.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
b) Taulukoidaan funktion f(x) = tan x arvoja lähellä kohtaa x = 2 , sen
vasemmalla puolella.
x f(x)
0,12 tan 0,1
2 = 9,96…
0,012 tan 0,01
2 =99,99…
0,0012 tan 0,001
2 = 999,99…
0,00012 tan 0,001
2 = 9999,99…
Kun muuttujan x arvot lähestyvät kohtaa π2
x vasemmalta puolelta,
huomataan, että funktion arvot kasvavat rajatta. Toispuoleista raja-arvoa
π2
lim ( ) x
f x ei voida määrittää.
Geometrisena tarkasteluna voidaan toistaa a-kohdan mukainen päättely kolmion avulla.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
3.1 Tangentti yksikköympyrässä YDINTEHTÄVÄT
301. a) Kuvasta katsottuna kulman 50° tangenttipisteen y-koordinaatti on noin 1,2, joten tan 50° ≈ 1,2.
b) Kuvasta katsottuna kulman 30° tangenttipisteen y-koordinaatti on noin
0,6, joten tan 30° ≈ 0,6.
c) Huomataan, että 230° = 50° + 180°, joten kulman 230° loppukyljen jatke on kulman 50° loppukylki. Siis kulmilla 230° ja 50° on sama tangenttipiste ja siten tan 230° ≈ 1,2.
d) Kulman −30° tangenttipiste sijaitsee symmetrisesti samassa kohdassa
kuin kulman 30°, mutta x-akselin toisella puolella. Tällöin sen y-koordinaatti on −0,6, joten tan (−30°) = −0,6.
e) Huomataan, että −150° = 30° − 180°. Kulmilla −150° ja 30° on sama
tangenttipiste, eli tan (−150°) ≈ 0,6.
f) Koska −130° = 50° − 180°, kulmilla −130° ja 50° on sama
tangenttipiste. Siis tan (−130°) ≈ 1,2.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
302. a) Appletin avulla löydetään kulmaksi 117°, koska sen loppukyljen jatke leikkaa tangenttisuoran pisteessä, jonka y-koordinaatti on −2,0.
b) Edellisen kohdan perusteella voidaan päätellä, että myös kulman 117° + 180° = 297° tangentti on −2,0.
Kun kulmasta 297° vähennetään yksi täysi kulma, saadaan 297° − 360° = −63°, joten myös tan (−63°) ≈ −2,0.
303. a) Kulman tangenttia ei voi määrittää, jos sen loppukylki on pystysuora.
Tällaisia kulmia on esimerkiksi kulmat 3 3 5, , , ja 2 2 2 2 2 .
b) 3 11tan tan tan 1 ( 1) 3 2 3
4 4 12
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
304. a) Sijoitetaan lauseeseen sin
tancos
xx
x ,
5sin
13x ja
12cos
13x ,
jolloin saadaan
5sin 5 12 513tan :cos 12 13 13 13
13
xxx
13 5
12 12 .
b) Kulman x kehäpisteen koordinaattien perusteella
cos x = −0,6 ja sin x = 0,8.
sin 0,8 8 4tan
cos 0,6 6 3
xx
x
305. Kun terävä kulma x kasvaa kohti arvoa 2 , tangenttipiste T siirtyy rajatta
ylemmäksi. Siten tangentin arvo kasvaa rajatta, kun terävä kulma x kasvaa
kohti arvoa 2 .
Kun tylppä kulma x kasvaa kohti arvoa π, tangenttipiste T siirtyy lähemmäs pistettä (1, 0). Siten tangentin arvo lähenee lukua 0, kun tylppä kulma x kasvaa kohti arvoa π.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT
306. Ratkaistaan cos x yhtälöstä sin2x + cos2x = 1.
2 2
22
2
2
sin cos 1
1sin 14
1sin 116
15(sin )16
15 15sin tai sin16 1615 15sin sin4 4
x x
x
x
x
x x
x x
Kulman tangentti on sinin ja kosinin suhde, joten, kun sin x = 154
, on
15sin 15 1 154tan :cos 1 4 4 4
4
xxx
4 151 ja,
kun sin x = 154
, on tan x = 15.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
307. 2 2
2 2
2
2
sin cos 1
0,28 cos 1
0,0784 cos 1
(cos ) 0,9216
cos 0,9216 tai cos 0,9216
cos 0,96 cos 0,96
x x
x
x
x
x x
x x
Koska 2 < x < π, kulma sijaitsee toisessa neljänneksessä.
Tällöin kosinin arvo on negatiivinen, joten cos x = −0,96. Kulman tangentti on sinin ja kosinin suhde, joten
0,28sin 7tan 0,291... 0,29cos 0,96 24
xxx
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
308.
2 2
22
2
2
sin cos 1
1sin 13
1sin 19
8(sin )9
8 8sin tai sin9 98 8sin sin9 94 2 4 2sin sin3 3
2 2 2 2sin sin3 3
x x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
Koska kulma α on välillä 3,2
, se on
kolmannessa neljänneksessä, jossa sinin arvo on
negatiivinen. Tällöin 2 2sin .3
2 2sin 2 23tancos 1 3
3
3 2 21 .
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
309. Koska tan x = −3, niin sin 3.cos
xx Tästä saadaan sin x = −3cos x.
Sijoittamalla tämä yhtälöön sin2 x + cos2 x = 1, saadaan
2 2
2 2
2
2
( 3cos ) cos 1
9cos cos 1
10cos 1 :10
1(cos )10
1 1cos tai cos10 10
x x
x x
x
x
x x
Koska kulma x on tylppä, niin kulman loppukylki sijaitsee toisessa neljänneksessä, jossa kosinin arvo on negatiivinen.
Siis 1cos10
x .
Tästä saadaan
1sin 3co 31
s0 10
3 .x x
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
310. Kulman x kehäpisteen P koordinaatit ovat (cos x, sin x). Ratkaistaan sin x ja cos x.
Koska tangenttipiste T = (1, 7), niin tan x = 7.
sintan 7cos
xxx
, josta saadaan
sin x = 7cos x. Sijoittamalla tämä yhtälöön sin2 x + cos2 x = 1, saadaan
2 2
2 2
2
2
(7cos ) cos 1
49cos cos 1
50cos 1 :50
1(cos )50
1 1cos tai cos50 501 1cos tai cos
5 2 5 2
x x
x x
x
x
x x
x x
Kun 1cos5 2
x , 1 7sin 7cos2
75 5 2
x x .
Kun 1cos5 2
x , 7sin .5 2
x
Tällöin 1 7,5 2 5 2
P tai 21 7,
5 5 2P .
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
311. a) Lauseen mukaan tan (−x) = −tan x = −3.
b) Lauseen mukaan tan(x + n ⋅ π) = tan x, kun n on kokonaisluku. Nyt n = 1, joten tan(x + π) = tan x = 3.
c) Vastaavasti tan(x + 100π) = tan x = 3.
d) Vastaavasti tan(x − 199π) = tan x = 3
312. a) Taulukon mukaanπ 1
tan6 3 .
b) Lauseen mukaanπ π 1
tan π tan6 6 3
.
c) Lauseen mukaanπ π
tan 3π tan .3 3
Taulukosta saadaan π
tan 33 .
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
313. a) Koska 11 2 23 33 3 3 , kulmilla 11
3 ja 2
3 on sama
tangenttipiste. Näin ollen 11π 2π
tan tan 3.3 3
b) Lauseen mukaan tan (−α) = −tan α.
π π 1tan tan
6 6 3
.
c) Koska 9π 1
2 24 4 4
, kulmilla 9
4 ja
4 on sama
tangenttipiste. 9π π π
tan tan tan 14 4 4
314. a) Tangentti on nolla esimerkiksi, kun
x = 0, x = π, x = 2π, x = −π tai x = −2π.
b) Tangentin arvo on yksi esimerkiksi, kun
π
4x
,
π 5ππ
4 4x
,
π 9π2π
4 4x
, π 3π
π4 4
x tai π 7π
2π4 4
x .
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
315. a) Kun kulman loppukylki on 1. tai 3. neljänneksessä, loppukylki tai sen jatke leikkaa suoran x = 1 x-akselin yläpuolella, joten tangenttipisteen y-koordinaatti on positiivinen. Kun kulman loppukylki on 2. tai 4. neljänneksessä, loppukylki tai sen jatke leikkaa suoran x = 1 x-akselin alapuolella, joten tangenttipisteen y-koordinaatti on negatiivinen.
b) Osamäärän merkki määräytyy osoittajan ja nimittäjän merkkien mukaan. Koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä sekä sinin että kosinin arvot ovat positiivisia. Kahden positiivisen luvun osamäärä on
positiivinen, eli
, joten tangentin arvot ovat positiivisia.
Koordinaatiston toisessa neljänneksessä sinin arvot ovat positiivisia ja kosinin arvot ovat negatiivisia. Positiivisen ja negatiivisen luvun
osamäärä on negatiivinen, eli ,
joten tangentin arvot ovat
negatiivisia. Koordinaatiston kolmannessa neljänneksessä sekä sinin että kosinin
arvot ovat negatiivisia, joten
, eli tangentin arvot ovat
positiivisia. Koordinaatiston neljännessä neljänneksessä sinin arvot ovat
negatiivisia, mutta kosinin arvot ovat positiivisia, joten
, eli
tangentin arvot ovat negatiivisia.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT
316. a) Kun kulmaan x lisätään kulma π
( 90 )2 , niin muodostuvan kulman
π
2x loppukylki on kohtisuorassa kulman x loppukylkeä vastaan.
Koska tan x = 2, on tangenttipisteen y-koordinaatti 2. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla.
tan2
x on pisteen F y-koordinaatti.
Punaisen suoran OQ kulmakerroin on 2. Koska musta suora OF on
kohtisuorassa suoraa OQ vastaan, on sen kulmakerroin 12
, koska
kohtisuorien suorien kulmakertoimien tulo on −1.
Suora OF kulkee pisteen (0, 0) kautta, joten sen yhtälö on y = 12
x .
Piste F on suoran OF ja suoran x = 1 leikkauspiste.
Leikkauspisteessä x = 1, joten y = 1 112 2
.
π 1tan
2 2x
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
b) Kulmat x ja π
2x ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten niiden
loppukylkien suuntaisesti voidaan piirtää toisiaan vastaan kohtisuorat suorat. Kohdassa a kolmiosta saatiin, että jos tan x = a, on kulman x
loppukyljen suuntaisen suoran kulmakerroin a. Tällöin kulman x + 2
loppukulman suuntaisen suoran kulmakerroin on 1a
. Koska suora
kulkee pisteen (0, 0) kautta, on suoran yhtälö 1 .y xa
Tämän suoran
ja suoran x =1 leikkauspisteen y-koordinaatti ilmoittaa lausekkeen
tan2
x arvon.
Suoran 1y xa
ja suoran x = 1 leikkauspisteen y-koordinaatti on
1 11 .ya a
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
317. Koska tan α = 5 , niin sin 5.cos
Tästä saadaan sin α = 5 cos α.
Sijoittamalla tämä yhtälöön sin2 α + cos2 α = 1, saadaan
2 2
2 2
2
2
5 cos cos 1
5cos cos 1
6cos 1 : 6
1(cos )61 1cos tai cos6 6
Koska kulma α on tylppä, niin kosini on negatiivinen. Siis cos α = 16
.
Edelleen 1 5sin 5 cos 5 .66
Sinin kaksinkertaisen kulman kaavalla
5 1 2 5 5sin 2 2sin cos 26 36 6
.
Kosinin kaksinkertaisen kulman kaavalla
22 5 5 2cos2 1 2sin 1 2 1 2
6 36
.
318. Vastaus on oikea, eikä perusteluissa ole moittimista.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
319. a) Kotangentti on määritelty, kun kulman loppukylki ja suora y = 1 leikkaavat, eli loppukylki ei ole yhdensuuntainen suoran y = 1 kanssa. Kulmat, joiden loppukylki on vaakasuora, ovat x = nπ, n . Kotangentti on määritelty, kun π, .x n n
b) Olkoon l suora, joka yhtyy kulman x loppukylkeen. Sinin ja kosinin määritelmien perusteella suora l kulkee origon ja kehäpisteen (cos x, sin x) kautta, joten sen kulmakerroin on
sin 0 sincos 0 cos
x xkx x
ja yhtälö on muotoa y = kx. Lasketaan suorien y = kx ja y = 1 leikkauspiste.
1
1 ||: 0
1
sin1:cos
cossin
y kx
y
kx k
xk
xxx
xxx
Suorat l ja y = 1 leikkaavat pisteessä cos ,1sin
xx
. Kulman x kotangentti
on tämän pisteen x-koordinaatti cos .sin
xx
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
c) sin cos
2 2
sin costan cotcos sin
sin cossin cos
1sin cos
x xx xx xx x
x xx x
x x
d)
2
2
2 2
2
2 2
2
2
cosDcot Dsin
D(cos ) sin cos D(sin )
(sin )sin sin cos cos
(sin )sin cos
sin(sin cos )
sin1
sin
xxxx x x x
xx x x x
xx x
xx x
x
x
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
320. Koska sintancos
xxx
, niin 2
22
sintancos
xxx
ja
2 2
2
2
2
cos2
2 2 2
2 tan12 2 tan
21 tan 1 tan2 2
sin122
cos sin2 21cos
2
2sin2
sin2cos 1
2 cos2
2sin 2sin cos2 2 2
sin cos sin2 2 2cos
2 cos2
x
xx
x x
x
x x
x
x
xx
x
x x x
x x xx
x
Kaavoilla sin2 α + cos2 α = 1 ja sin 2α = 2sin α cos α saadaan
2 2
sin 22sin cos22 2 sin .
1cos sin2 2
xx x
xx x
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
Koska sintancos
xxx
, niin 2
22
sintancos
xxx
ja laventamalla lausekkeella
2cos2x , saadaan
2cos
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
sin21
1 tan cos cos sin2 2 2 2
1 tan sin cos sin2 2 2 21
cos2
xx
x x x x
x x x x
x
Sievennetään kaavoilla cos 2α = cos2 α − sin2 α ja sin2 α + cos2 α = 1.
2 2
2 2
cos 2cos sin22 2 cos
1cos sin2 2
xx x
xx x
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
3.2 Tangenttifunktio, tangenttiyhtälö ja tangentin derivaatta
YDINTEHTÄVÄT
321. Koska tan x = tan (x + nπ) ja tan 33 niin esimerkiksi
tan π 33 , tan 2π 3
3 ja tan π 3.
3
Funktio f saa siis arvon 3 esimerkiksi kohdissa
4π3 3
x , 72π3 3
x ja 2π .3 3
x
322. a) Yhtälön tan x = 1
3 yksi ratkaisu on
6x
.
Yhtälön kaikki ratkaisut saadaan lauseen avulla.
6x n
, .n
b) tan 3x = tan 67
637
2 , .7 3
x n
x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
323. a) tan x = 1
4
x n
, .n
b) tan x = −1
4
x n
, .n
c) tan x = 0
x = 0 + n ⋅ π x = n ⋅ π, .n
324. a) tan 3x = tan 39°
3x = 39° + n ⋅ 180° || : 3 x = 13° + n ⋅ 60°, .n
b) tan 2x = −4
2x = −75,96…° + n ⋅ 180° || : 2 x = −37,98…° + n ⋅ 90° x ≈ −38° + n ⋅ 90°, .n
c) tan 12x
45 180 || 2
290 360
x n
x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
325. a) tan (x − 1) = 1,7 x − 1 = 1,03… + n ⋅ π x = 2,03… + n ⋅ π x ≈ 2,0 + n ⋅ π, .n
b)
tan4 6
0,482... || 44
1,929... 41,9 4 ,
x
x n
x nx n n
c)
1tan 23
2 ||: 26
,12 2
x
x n
x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
326. a) tan x = 3 x = 1,249… + n ⋅ π, x ≈ 1,2 + n ⋅ π, n
b) Edellisessä kohdassa saatiin eräs yhtälön ratkaisuista, x ≈ 1,2, joka osuu
välille ,2 2
. Kuvassa tämä näkyy tälle välille osuvana
tangenttifunktion kuvaajan ja suoran y = 3 leikkauspisteenä.
Tangenttifunktion kuvaaja ja suora y = 3 leikkaavat äärettömän monessa kohdassa. Nämä saadaan, kun yhteen ratkaisuun lisää luvun π monikertoja, koska tangenttifunktion kuvaaja toistuu samanlaisena piin välein.
327. a) Tangenttifunktion kuvaaja on kasvava välillä ,2 2
, joten se saa
jokaisen arvonsa, myös arvon a, vain kerran.
b) Tangenttifunktion perusjakso on π. Väliin ,2 2
sisältyy kolme
perusjakson pituista väliä. Tangenttifunktio on kasvava väleillä
, ,2 2
,
2 2
ja ,
2 2
ja se saa jokaisen arvonsa näillä
väleillä kerran. Siten yhtälöllä tan x = a on kolme ratkaisua välillä
,2 2
.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT
328. a) f(0) = 2tan 0 − sin (2 ⋅ 0) = 2 ⋅ 0 − 0 = 0
b) π π π π
2 tan sin 2 2 1 sin 2 1 14 4 4 2
f
c)
32 3
π π π 1 π2tan sin 2 2 sin
6 6 6 33
2 3 4 3 3 3 3
2 6 6 63
f
329. tan x = 1
3
6
x n
, .n
Kulma 6
ei kuulu välille
3 9 3, eli ,
2 2 6 6
eikä välille
, eli ,2 2 6 6
.
Kun kulmasta 5
6x
vähennetään 2π, saadaan kulma
52
6 6x
, joka kuuluu välille
3,
2 2
.
Kun kulmaan 5
6x
lisätään 2π, saadaan kulma 5 172
6 6x , joka
kuuluu välille ,2 2
.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
330. Lauseke ei ole määritelty, kun
2 π π || π232 π ||:22
3 π , 4 2
x n
x n
x n n
Sijoitetaan lausekkeeseen 19
24x
.
19 19 12 7πtan 2 π tan tan 2 3 2 3
24 12 12 12
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
331. a) Kuvaaja leikkaa x-akselin, kun f(x) = 0.
tan 3 0
tan 3
ππ,
3
x
x
x n n
Välillä 2 2
x on 3
x .
Kysytty piste on π
,03
.
b) Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun x = 0.
(0) tan 0 3 0 3 3f
Kysytty piste on 0, 3 .
c) Kuvaaja leikkaa suoran y = 2, kun f(x) = 2.
tan 3 2
tan 2 3
5ππ,
12
x
x
x n n
Välillä 2 2
x on 12
x .
Kysytty piste on 5 ,2 .12
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
332. Ratkaistaan käyrien leikkauspisteen x-koordinaatti yhtälöstä sin x = cos x. Yhtälö ei toteudu, jos cos x = 0, joten voidaan olettaa, että cos x ≠ 0.
sin cos || : cos ( 0)
sin 1costan 1
π, 4
x x x
xxx
x n n
Välillä [−π, 2π] olevat leikkauskohdat ovat
3 5π , ja π .4 4 4 4 4
x x x
333. Yhtälö ei toteudu, jos cos 3x = 0, joten voidaan olettaa, että cos 3x ≠ 0.
sin3 3 cos3 0
sin3 3 cos3 || : cos3 ( 0)
sin3 3cos3tan3 3
3 π ||:33
π , 9 3
x x
x x x
xxx
x n
x n n
334. Tangentti on vaakasuora, kun derivaatta on nolla.
f ′ (x) = 2(cos x − sin x) = 2cos x − 2sin x
2cos 2sin 0
2sin 2cos ||: 2cos ( 0)
tan 1
ππ,
4
x x
x x x
x
x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
335. a) Käytetään sääntöä D tan x = 1 + tan2 x.
D(2tan x) = 2(D tan x) = 2(1 + tan2 x) = 2 + 2tan2 x
b) D(2x − tan x) = 2 − (1 + tan2 x) = 2 − 1 − tan2 x = 1 − tan2 x
c) Tulon derivoimissäännöllä
D(x tan x) = 1 ⋅ tan x + x ⋅ (1 + tan2 x) = tan x + x + x tan2 x
336. a) Derivoidaan funktio f(x) = tan x.
f ′ (x) = 1 + tan2 x Ratkaistaan yhtälö f′(x) = 0.
2
2
1 tan 0
tan 1
x
x
Yhtälöllä ei ole reaalijuuria, joten derivaatalla ei ole nollakohtia.
b) Ratkaistaan yhtälö f ′ (x) = 4.
2
2
1 tan 4
tan 3
tan 3 tai tan 3
π 2ππ π,
3 3
x
x
x x
x n x n n
337. Derivoidaan funktio f(x) = x − tan x ja ratkaistaan yhtälö f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 1 − (1 + tan2 x) = −tan2 x
2tan 0
tan 0
π,
x
x
x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
338. Sijoitetaan funktion lausekkeeseen 3
x
.
3tan 3 33 3
f
Tangentti kulkee pisteen ,3 33 kautta.
Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kohdassa 3
x
.
Derivoidaan funktio f(x) = 3tan x. f′(x) = 3(1 + tan2 x) = 3 + 3tan2 x
22' 3 3tan 3 3 3 3 3 3 123 3
f
Sijoitetaan suoran yhtälöön y − y0 = k(x − x0) piste 0 0π
( , ) ,3 33
x y
ja
kulmakerroin k = 12.
π3 3 12
3
12 4π 3 3
y x
y x
Kohtaan 3
x
piirretyn tangentin yhtälö on 12 4π 3 3y x .
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
339. a) 2
2
tan 2 3
(tan 2 ) 3
tan 2 3 tai tan 2 3
π 2π2 π ||:2 2 π ||:2
3 3π π π π
,6 2 3 2
x
x
x x
x n x n
x n x n n
b)
2
2
2
3tan 1 0
3(tan ) 1 ||: 3
1(tan )
31 1
tan tai tan3 3
π 5ππ π,
6 6
x
x
x
x x
x n x n n
340. Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun x = 0. f(0) = 2tan 0 − 3cos 0 = 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 = −3 Siis kuvaajan ja y-akselin leikkauspiste on (0, −3). Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvokohdassa x = 0. Derivoidaan funktio ja sijoitetaan x = 0. f′(x) = 2(1 + tan2 x) − 3(−sin x) = 2 + 2tan2 x + 3sin x f′(0) = 2 + 2tan2 0 + 3sin 0 = 2 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 = 2. Kysytty tangentti on suora, jonka kulmakerroin on 2 ja joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, −3). Sen yhtälö on y = 2x − 3.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
341. Otetaan yhtälössä tan2 2x − tan 2x = 0 yhteiseksi tekijäksi tan 2x ja käytetään tulon nollasääntöä.
2
2
tan 2 tan 2 0
(tan 2 ) tan 2 0
tan 2 (tan 2 1) 0
tan 2 0 tai tan 2 1 0
x x
x x
x x
x x
Ratkaistaan saadut yhtälöt erikseen. tan 2 0 tai tan 2 1
π2 0 π ||: 2 2 π ||:2
4π π π
,2 8 2
x x
x n x n
x n x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
342. Kirjoitetaan funktion lauseke muodossa tan 1 1
( ) tan2 2 2
x xf x x x
ja
derivoidaan funktio.
2 2 21 1 1 1 1 1'( ) (1 tan ) tan 1 tan
2 2 2 2 2 2f x x x x
Tangentin kulmakerroin saadaan sijoittamalla derivaattaan 4
x
.
2 2π 1 π 1 3' 1 tan 1
4 2 4 2 2f
Tangentilla on piste, jolle 4
x ja 4y f .
π 1 π π 1 π 1 π 1 π 4
tan4 2 4 4 2 4 2 8 2 8
f
Sijoitetaan suoran yhtälöön y − y0 = k(x − x0) piste 0 0π π 4
( , ) ,4 8
x y
ja
kulmakerroin 3
2k .
2
π 4 3 π
8 2 4
3 3π π 4
2 8 8
3 4 2π
2 83 2 π
2 4
y x
y x
y x
y x
Kohtaan 4
x
piirretyn tangentin yhtälö on 3 2 π
2 4y x
.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
Tangentti ja normaali ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten normaalin
kulmakerroin 2
3k . Normaali kulkee myös pisteen
0 0π π 4
( , ) ,4 8
x y
kautta, joten sen yhtälö on
π 4 2 π
8 3 4
2 π π 4
3 6 82 7 12
3 24
y x
y x
y x
Suoran x − 2y = 0 eli suoran 12
y x kulmakerroin on 1
2. Tutkitaan, onko
yhtälöllä 1
'( )2
f x ratkaisua.
2
2
2
1 11 tan
2 21 1
tan || 22 2
tan 1
x
x
x
Koska tan2 x ≥ 0, yhtälöllä tan2 x = −1 ei ole ratkaisua. Siis funktion kuvaajalla ei ole tangenttia, joka olisi suoran x − 2y = 0 suuntainen.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT
343. Funktion kuvaajan ja x-akselin välinen kulma on leikkauspisteeseen piirretyn tangentin ja x-akselin välinen kulma. Ratkaistaan x-akselin leikkauskohdat yhtälöstä f(x) = 0. 1
tan 03
tan 0
π,
x
x
x n n
Nollakohdista välillä 3
,2 2
on kohta x = π.
Tangentin suuntakulma saadaan selville kulmakertoimen, eli derivaatan avulla. Derivoidaan funktio ja sijoitetaan leikkauspiste x = π derivaattafunktion lausekkeeseen.
2 21 1 1'( ) (1 tan ) tan
3 3 3f x x x
2 21 1 1 1
'(π) (1 tan π) 03 3 3 3
k f
Ratkaistaan tangentin suuntakulma yhtälöstä tan .k
1tan
318,43...
18,4
Funktion kuvaaja leikkaa x-akselin noin 18°:een kulmassa.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
344. a) Tangenttifunktio on jatkuva ja kasvava välillä 0,3
. Se saa siis
pienimmän arvonsa vasemmassa päätepisteessä ja suurimman arvonsa oikeassa päätepisteessä.
(0) tan 0 0f
tan 33 3
f
Välillä 0,3
funktion suurin arvo on 3 ja pienin 0
b) Tangenttifunktio on kasvava välillä 0,2
. Se saa siis pienimmän
arvonsa vasemmassa päätepisteessä. Suurinta arvoa ei ole, koska
tangenttifunktion arvot kasvavat rajatta, kun .2
x
Funktion pienin arvo on f(0) = tan 0 = 0.
c) Tangenttifunktio on kasvava välillä ,3 4
. Se saa siis pienimmän
arvonsa vasemmassa ja suurimman oikeassa päätepisteessä.
Pienin arvo on 2
tan tan tan 33 3 3 3
f
Suurin arvo on tan 14 4
f
.
d) Tangenttifunktio ei ole määritelty välillä [0, 2π], kohdissa
3 ja
2 2x x
. Niissä kohdissa vasemmanpuoleinen raja-arvo on
ääretön ja oikeanpuoleinen raja-arvo on ääretön. Tangentilla ei siis ole suurinta eikä pienintä arvoa välillä [0, 2π].
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
345. Ratkaistaan yhtälö tan2 x + 4tan x = −1. Merkitään tan x = u, jolloin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa u2 + 4u + 1 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
3 2tai 3 2u u
Ratkaistaan yhtälöt tan 3 2x ja tan 3 2x .
tan 3 2
11ππ,
12
x
x n n
tan 3 2
7ππ,
12
x
x n n
Funktio f(x) = tan2 x + 4 tan x saa arvon −1, kun
11π 7ππ tai π,
12 12x n x n n
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
346. Ratkaistaan yhtälö käyttäen tangentin määritelmää sin
tancos
xx
x .
tan sin 0
sinsin || cos
cossin sin cos
sin sin cos 0
sin (1 cos ) 0
sin 0 tai 1 cos 0
x x
xx x
xx x x
x x x
x x
x x
Ratkaistaan molemmat yhtälöt. sin x = 0 x = n ⋅ π, n 1 − cos x = 0 cos x = 1 x = n ⋅ 2π, n Ratkaisut voidaan yhdistää. Yhtälö tan x − sin x = 0 toteutuu, kun x = n ⋅ π, n .
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
347. Lasketaan käyrien leikkauspiste yhtälöstä sin x = 2cos x. sin 2cos || : cos ( 0)
sin 2costan 2
1,107... π,
x x x
xxx
x n n
Välillä 0,2
oleva leikkauskohta on x ≈ 1,11.
Leikkauskohdassa käyrien y-koordinaatti on y = sin 1,107… = 0,894… ≈ 0,89. Leikkauspiste on (1,11; 0,89). Käyrien välinen kulma on leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma. Lasketaan molempien käyrien tangentin kulmakerroin, eli derivaatta leikkauspisteessä. Käyrä y = sin x: Dsin x = cos x Ratkaistaan cos x arvo leikkauspisteessä, jossa sin x = 2 cos x.
2 2
2 2
2 2
2
2
sin cos 1
(2cos ) cos 1
4cos cos 1
5cos 1 ||: 51cos51 1cos tai cos5 5
x x
x x
x x
x
x
x x
Koska kulma on välillä 0,2
, on kosinin arvo positiivinen.
Käyrän y = sin x tangentin kulmakerroin on 1 .5
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
Käyrä y = 2cos x. D 2cos x = −2sin x.
Leikkauspisteessä sin x = 2 cos x ja cos x = 1 .5
Tällöin −2sin x = −2 ⋅ 2cos x = −4 ⋅ 15
= 4 .5
Käyrän y = 2cos x tangentin kulmakerroin on 4 .5
Lasketaan suuntakulmat yhtälöstä tan α = k.
1tan
524,09...
4
tan5
60,79...
Toinen tangentti on laskeva ja toinen on nouseva, joten niiden välinen kulma on 24,09…° + 60,79…° = 84,88…° ≈ 84,9°.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
348. Piirretään kuvaajat.
Funktio f on määritelty, kun tangentti on määritelty, eli kun .2
x n
Funktion 2
1( )1 tan
f xx
lausekkeessa tan2x voi saada kuinka suuria
arvoja tahansa, kun kulman arvo lähestyy kohtia x = , .2
n n Kun
jakaja kasvaa äärettömän suureksi, funktion f arvot lähestyvät nollaa, koskaan kuitenkaan saavuttamatta sitä. Tämän vuoksi funktiolla f ei ole nollakohtia.
Funktio 2
1( )1 tan
f xx
saa suurimman arvonsa, kun nimittäjä
1 + tan2 x saa pienimmän arvonsa. Nimittäjä saa pienimmän arvonsa, kun tan x = 0, eli kun x = n ⋅ π, n .
Funktion f suurin arvo on siis 1 1.1 0
Funktio 2
1( )1 tan
f xx
saa pienimmän arvonsa, kun nimittäjä 1 + tan2
x saa suurimman arvonsa. Lausekkeen tan2 x arvo kasvaa rajatta, kun x
lähestyy mitä tahansa kohdista .2
x n Funktion f arvo lähestyy
tällöin nollaa sitä kuitenkaan koskaan saavuttamatta. Funktiolla f ei ole pienintä arvoa. Funktion g lauseke voidaan sieventää.
sin sin cos( ) sin : sin costan cos sin
x x xg x x x xx x x
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
Funktio g on määritelty, kun tan x ≠ 0, eli kun x ≠ n ⋅ π ja tangentti on
määritelty, kun .2
x n Funktio g on siis määritelty, kun
.2 2
x n
Funktion g nollakohdat ovat yhtälön cos x =0 ratkaisut, eli x = 2
n .
Funktio g ei kuitenkaan ole määritelty näissä kohdissa, joten funktiolla g ei siksi ole nollakohtia. Funktion g suurinta ja pienintä arvoa voidaan tarkastella tarkastelemalla funktion cos x arvoja. Funktion cos x suurin ja pienin arvo ovat 1 ja −1. Kuitenkin, cos x saa nämä arvot kohdissa x = n ⋅ π, jossa funktiota ei ole määritelty. Kun x lähestyy mitä tahansa kohdista 2x n , funktion arvot lähestyvät arvoa 1 ja kun x lähestyy mitä tahansa kohdista 2x n , funktion arvot lähestyvät arvoa −1, koskaan näitä arvoja kuitenkaan saavuttamatta. Funktiolla g ei siten ole suurinta eikä pienintä arvoa.
Juuri 7 • Tehtävien ratkaisut • Kustannusosakeyhtiö Otava • päivitetty 17.5.2018 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
349. a) Kirjoitetaan tangentti muodossa sin
tancos
xx
x .
π π
π
π
sin sinlim lim sin :
tan cos
coslim sin
sin
lim cos
cosπ
1
x x
x
x
x xx
x x
xx
x
x
b) Käytetään muunnoskaavaa sin 2x = 2sin x cos x.
0 0
20
20
2
2
tan sinlim lim : (2sin cos )
sin 2 cos
sinlim
2sin cos
1lim
2cos
1
2 cos0)
1
2 1
1
2
x x
x
x
x xx x
x x
x
x x
x
top related