készítette: halász gábor - hds.bme.hu · valószínűségszámítás összefoglaló esemény a...
Post on 22-Oct-2019
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGépészmérnöki Kar
Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék
1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91http://www.vizgep.bme.hu
Statisztikai módszerekBMEGEVGAT01
Készítette: Halász Gábor
2 Val.szám összefoglaló
Valószínűségszámítás összefoglaló
Történelem:o Görögöknél: nemo XVII. sz. szerencsejátékok , különösen
FranciaországbanÖtlet: a kor matematikusaihoz fordultakElső eredmények: PASCAL és FERMATSokáig ellentmondásos
o KOLMOGOROV (1933) axiomatikus megalapozás
3 Val.szám összefoglaló
Valószínűségszámítás összefoglaló
VéletlenJelenséget (eseményt) meghatároz a körülmények, feltételek teljes halmazaHa mindent figyelembe veszünk: egyértelműHa csak egy részét (csak a lényegeseket) : véletlenszerű
Véletlen kísérlet (jelenség)Kimenetelét a figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen(Előállítjuk, vagy csak megfigyeljük)Pl: egy termék élettartamának megfigyelése, a Duna vízállásának megfigyelése, a hallgatóság vizsgaeredménye, infláció, kockadobálás
4 Val.szám összefoglaló
Valószínűségszámítás összefoglaló
Esemény A kísérlet (bennünket érdeklő) eredménye Egyszerű (elemi) pl. izzólámpa élettartama É=1000 hÖsszetett pl. izzólámpa élettartama 1100h<É<1200hBiztos esemény É<1e6 hLehetetlen esemény É=-3h
5 Val.szám összefoglaló
Alapfogalmak
Gyakoriságn kísérletek száma k a bennünket érdeklő ESEMÉNY darabszáma, a gyakoriságpl: n=45 hallgató vizsgázott matematika A2-ből, közepest
kapott k=11 hallgatóA n és k összefüggRelatív gyakoriság
γ=k/n Relatív gyakoriság tulajdonságai
110
=≤≤
γγ
:esemény biztos
6 Val.szám összefoglaló
Relatív gyakoriság
Relatív gyakoriság és a kísérletek száma: γ=k/n
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rel.g
yak
Ha n↑ → γ ingadozása ↓
7 Val.szám összefoglaló
Relatív gyakoriság
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Átlag
Berajzolható egy „átlag”, ami körül a rel.gyak ingadozikEz az átlag az esemény valószínűsége(mérnöki megfogalmazás)
8 Val.szám összefoglaló
Valószínűség
Hogy jutottunk ide?Véletlen → Kísérlet → Esemény →
→ Gyakoriság → Relatív gyakoriság → valószínűség
A valószínűség jelölése: A esemény, ennek valószínűsége: P(A)=p
9 Val.szám összefoglaló
Valószínűség
ValószínűségAz eseményhez rendelt számérték
P(A)=p;függvénykapcsolat
Pl. A={fej dobás szabályos érmével}; → P(A)=0.5A={3-as dobás kockával} → P(A)=1/6
10 Val.szám összefoglaló
Valószínűség
A valószínűség tulajdonságaiA relatív gyakoriság alapján
Legyen A véletlen esemény,
1.) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2.) B legyen a biztos esemény, P(B)=1
pl. biztos eseményre: kockadobás eredménye legfeljebb 6
vizsgajegy 1 és 5 között van, stb.
11 Val.szám összefoglaló
Valószínűség
3. Ha A1 és A2 események egymást kizáróak, akkorP(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)
Magyarázat: Legyen A1=1; A2=2;…A6=6 a kockadobás eredménye.Szabályos a kocka: P(A1)=1/6; …; P(A6)=1/6P(A1 U A4) = { 1 vagy 4} = 1/6 + 1/6 = 1/3
12 Val.szám összefoglaló
Valószínűség
Kolmogorov axiómáit:
Legyen A véletlen esemény,
1.) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2.) B legyen a biztos esemény,
P(B)=1
3. Ha A1 és A2 események egymást kizáróak, akkor
P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)
13 Val.szám összefoglaló
Valószínűségi változó
Determinisztikus változóA figyelembe vett körülmények egyértelműen meghatározzák a változó értékét:s út; t idő → a v sebesség v=s/tV térfogat; ρ sűrűség. → az m tömeg m= ρV
Valószínűségi változóA figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen a változó értékét:Sorozatgyártás (azonos körülmények): τ élettartamCélba lövés: r távolság a céltábla közepétőlMérési eredmény (hiba) ξJele általában görög betű.
14 Val.szám összefoglaló
Valószínűségi változó
Determinisztikus változó: v =10 m/s
Valószínűségi változóIngadozik: sokféle értéket vehet felLehet diszkrét: pl. kockadobás, meghibásodások száma, mobiltelefonra befutó hívások száma , stb.Lehet folytonos: holnapi középhőmérséklet, élettartam,
Hogyan jellemezhető?
15 Val.szám összefoglaló
Eloszlásfüggvény (folytonos változó)
x
≈ γx
F(x)
xF F
γx ≈P{ξ<x}
16 Val.szám összefoglaló
Eloszlásfüggvény (diszkrét változó)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7
F(x)
x
17 Val.szám összefoglaló
Eloszlásfüggvény (folytonos változó)
x
F(x)
x
F(x)
Szavakban:
ξ valószínűségi változó F(x) eloszlás függvénye
A függvényérték annak az eseménynek a valószínűsége, hogy ξ x-nél kisebb
F(x)=P{ξ<x}
18 Val.szám összefoglaló
Eloszlásfüggvény (folytonos változó)
)()( 1212 xFxF xx ha ≥⇒>
Tulajdonságai
Monoton növekedő:
Határértékei:
Balról folytonos
x
F(x)
x
F(x)
1
0
=
=
+∞→
−∞→
)(lim
)(lim
xF
xF
x
x
19 Val.szám összefoglaló
Eloszlásfüggvény (folytonos változó)
F(x)
x
F(a)
a b
F(b)
)()()()()()()(
aFbFbaPbFbPaFaP
−=<<⎭⎬⎫
=<=<
ξξξ
Intervallumba - esés valószínűsége
20 Val.szám összefoglaló
Sűrűségfüggvény
ξ sűrűségfüggvényének nevezzük az f(x) függvényt, ha F(x) eloszlásfüggvény differenciálható és:
ebből következik
dxdFxf =)(
∫∞−
=x
dttfxF )()(
21 Val.szám összefoglaló
Sűrűségfüggvény
xa b
)(xf
a b
1)(xF Tulajdonságok
0)( ≥xf
∫∞
∞−
=1)( dxxf
∫=−b
a
f(x)dxF(a)F(b)
22 Val.szám összefoglaló
Alapfogalmak
Fontos fogalmak:
Véletlen esemény
Gyakoriság, relatív gyakoriság,
Valószínűség
Valószínűségi változó
Eloszlásfüggvény
Sűrűségfüggvény
23 Val.szám összefoglaló
Várható érték
Valószínűségi változó részleges jellemzése:
o az „ingadozás közepe”
várható érték
o az ingadozás mértéke
szórás
24 Val.szám összefoglaló
Várható érték
nξξξξ ,...,, 321 Megfigyelés sorozat, pl. testmagasságok
∑=
=n
iin 1
1 ξξ Átlag: az ingadozás közepe
Részintervallumokra bontás
145 2001+jj x x
j ννν 21 j
K
jjx
nνξ ∑
=
=1
1
gyakoriságok
25 Val.szám összefoglaló
Várható érték
Folytatás:
j
K
jjj
j
jK
jj
j
jjK
jjj
K
jj
xxfxxxn
x
xx
nxx
n
∆=∆∆
=
=∆∆
==
∑∑
∑∑
==
==
)(11
11
1
ν
ννξ
∫= dxxxfM )()(ξ
26 Val.szám összefoglaló
Várható érték
Összefoglalva:
Ki akartuk számolni a valószínűségi változó „ingadozásának” közepét. Ez a matematikai átlag. Ha „nagyon sok” elem átlagát vesszük, akkor
∫=⇒ dxxxfM )()(ξξ
27 Val.szám összefoglaló
Várható érték
( )( ) ( ) ( )
( )M
M M MM
ξ ξξ η ξ η
η ξ→ ⎫
+ = +⎬→ ⎭
Tulajdonságai:additív:
Lineáris
baMbaMMbaba
+=+=+=
)()()( , ;
ξξηξη konstans
Konstans várható értéke önmaga
28 Val.szám összefoglaló
Szórás
A valószínűségi változó várható értéke körüli ingadozását, „szóródását” méri a szórás, ennek négyzete a szórásnégyzet.
[ ]
00
0
2
2
222
=
≥
==−
=−
)(
)())((
))((
aD konstans a ha
DMM
MM
σ
ξσξξ
ξξ
Átlagos négyzetes eltérés = szórásnégyzet
A szórásnégyzet pozítiv négyzetgyöke a szórás
29 Val.szám összefoglaló
Szórás
Tulajdonságok:
Legyen: ( ) 22ξσξξ =D;
szórásaba += ξηKérdés:
( ) ( )ξξη 2222 DabaDD =+= )( ( ) ( )ξη DaD ⋅=
22 ; ; ηξ σσηξLegyen:
Kérdés: )( ηξ + szórása (ξ és η független)
( ) ( ) ( )ηξηξ 222 DDD +=+
30 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások
Binomiális eloszlás:
kísérletnek két kimenetele lehet: A vagy Â. Jelöljük P(A)=p és P(Â)=1-pMagyarázat: egy szállítmányban p=3% selejt van. Kérdés, hogy n=25 darabot kiválasztva, pontosan 2 db selejtet találok.
31 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: egyenletes eloszlás
valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [a,b] intervallumban, ha egyenlő valószínűséggel esik egyenlő hosszúságú részintervallumokba.
a=0 b=3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
-1 0 1 2 3 4
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 0 1 2 3 4
x
F(x)
32 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: egyenletes eloszlás
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
-1 0 1 2 3 4
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 0 1 2 3 4
x
F(x)
311
=−
=ab
xf )(
512
.
)()(
=+
=
== ∫ba
dxxxfMb
a
ξ
22 ( ) 3
12 434
b aσ
σ
−= =
=
33 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: normális eloszlás
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
F(x)
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
x
F(x)
sűrűségfüggvény:
2 m
exfmx
==
=−
−
σπσ
σ
;
)()(
22
1 2
2
2
m: várható érték
σ: szórás
eloszlásfüggvény:
∫∞−
=x
dttfxF )()(
34 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: normális eloszlás
Két paraméteres eloszlás: m és σJele: ξ єN(m, σ)
Ha m=0 és σ=1: standard normális eloszlás.
Standardizálás:
σξξ m
s−
=
Belátjuk, hogy ξs єN(0, 1)
35 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: standardizálás
Belátjuk, hogy ξs єN(0, 1)
0=−
=−
=−
=σξ
σξ
σξξ mMmMmMM s
)()()()(
12
2
2
222 ==
−=
−=
σξ
σξ
σξξ )()()()( DmDmDD s
36 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: standard normális eloszlás
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
F(x)
Standard normális eloszlás
m=0; σ=1
37 Val.szám összefoglaló
Nevezetes eloszlások: standard normális eloszlás
ξ єN(m, σ) ξs єN(0, 1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
F(x)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
F(x)
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
x
F(x)
38 Val.szám összefoglaló
Nagy számok törvénye
n – kísérletek számak – kedvező esetek száma, p – az esemény valószínűsége
Bernoulli (1713)Nagy számú kísérlet esetén a relatív gyakoriság „tart” az esemény valószínűségéhez.
0=≥−∞→
)(lim εpnkP
n
39 Val.szám összefoglaló
Nagy számok törvénye
p{{
εε
nk
n
0=≥−∞→
)(lim εpnkP
n
Sztochasztikus konvergencia
40 Val.szám összefoglaló
Nagy számok törvénye
Átlag és várható érték kapcsolata
1 2 n, , . . .ξ ξ ξ
st mξ⎯⎯→
n
ii 1
1 n =∑ξ = ξ
41 Val.szám összefoglaló
Centrális határeloszlás tétel
)()...(lim21 xx
nmnP n
nΦ=<
⋅⋅−+++
∞→ σξξξ
duexx u
∫∞−
−
=Φ 2
2
21)(π
Az n darab független valószínűségi változó összegének eloszlása tart a normális eloszláshoz:
ahol:
42 Val.szám összefoglaló
Centrális határeloszlás tételxf1
1ξ
1xf2
21 ξξ +
1 2
1 2 3
xf3
321 ξξξ ++
31 2 4
xf4
4321 ξξξξ +++
Példa: Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó.
43 Val.szám összefoglaló
Fogalmak
Várható érték
Szórás
Binomiális eloszlás
Egyenletes eloszlás
Normális eloszlás
Standardizálás
Nagy számok törvénye
Stochasztikus konvergencia
Centrális határeloszlás tétel
top related