kvadratna funkcija

KVADRATNA FUNKCIJAKVADRATNA FUNKCIJA

By NataBy Natašša a ČČiiččiićć

ZADATAKZADATAK 1. 1. Na jednoj plantaNa jednoj plantaži nabrali su ži nabrali su 800 t800 t

pomorandži. Trenutna cena je pomorandži. Trenutna cena je 720 e720 evvrara po po toni. Svake nedelje se pokvari toni. Svake nedelje se pokvari 1616 tona tona pomorandži, ali cena po toni poraste za pomorandži, ali cena po toni poraste za 120 120 evraevra. Koji je najpovoljniji momenat za prodaju?. Koji je najpovoljniji momenat za prodaju?

Zadatak 2.Zadatak 2.

Treba napraviti prozor zadatog obima Treba napraviti prozor zadatog obima i odredjenog oblika. Kako treba i odredjenog oblika. Kako treba izabrati dimenzije, tako da prozor izabrati dimenzije, tako da prozor propupropuššta maximalnu kolita maximalnu količčinu inu svetlosti?svetlosti?

Kako Kako ććemo reemo reššavati 1 zadatak?avati 1 zadatak?

Zanima nas kada je najpovoljniji trenutak za prodaju i kolika je Zanima nas kada je najpovoljniji trenutak za prodaju i kolika je tada zarada tj. kada će funkcija imati maksimum i koliktada zarada tj. kada će funkcija imati maksimum i kolika je ta a je ta maksimalna vrednostmaksimalna vrednost

XX koliko je nedelja proteklo od koliko je nedelja proteklo od berbeberbe

YY novac koji se dobija od novac koji se dobija od prodajeprodaje

težina težina ““zdravihzdravih”” pomorandžipomorandži

800800- - 1616 x x

Cena 1 tone posle Cena 1 tone posle xx nedeljanedelja

720720++120120xx

ZaradaZarada y=(800-16x)(720+120x)y=(800-16x)(720+120x)

Množenjem se dobijaMnoženjem se dobija y=-1920xy=-1920x22+84480x+576000+84480x+576000

NNabrali suabrali su 800800 t pomorandži t pomorandži. C. Cena je ena je 720720 eura po toni eura po toni. . Svake Svake nedelje se pokvarinedelje se pokvari 1616 tona tona, ali cena po toni poraste za ena po toni poraste za 120120 evraevra..

Oba zadatka se reOba zadatka se reššavaju avaju pomopomoćću kvadratnih funkcijau kvadratnih funkcija

Kvadratna funkcija je Kvadratna funkcija je realna funkcija zadata realna funkcija zadata izrazom izrazom

f(x) = axf(x) = ax22 + bx + c + bx + c

a,b,c a,b,c єє R R a #a # 0 0 Grafik kvadratne Grafik kvadratne

funkcije je parabola.funkcije je parabola.

Grafik funkcije y =ax Grafik funkcije y =ax 22

a>0a>0 Grafik je iznad x ose Grafik je iznad x ose

(osim jedne ta(osim jedne taččke- ke- TEMETEME))

SimetriSimetriččan u odnosu an u odnosu na y osu (na y osu (parnaparna f-ja) f-ja)

Prolazi kroz Prolazi kroz koordinatni pokoordinatni poččetaketak

a=2a=2 a=1a=1 a=1/2a=1/2

Grafik funkcije y =ax Grafik funkcije y =ax 22

a>0a>0 Grafik je Grafik je iznadiznad x ose x ose

(osim jedne ta(osim jedne taččke - TEME)ke - TEME) SimetriSimetriččan u odnosu na y osu an u odnosu na y osu

(parna f-ja)(parna f-ja) Prolazi kroz koordinatni poProlazi kroz koordinatni poččetaketak

a<0 a<0 Grafik je Grafik je ispodispod x ose (osim x ose (osim

jedne tajedne taččke- TEME)ke- TEME) SimetriSimetriččan u odnosu na y osu an u odnosu na y osu

(parna f-ja)(parna f-ja) Prolazi kroz koordinatni Prolazi kroz koordinatni

popoččetaketak

y=y=aaxx22+ +

Ordinata se Ordinata se dobija dobija tako sto se uvetako sto se uvećća a zza a

pa zatopa zato Grafik je parabola Grafik je parabola

“pomerena” du“pomerena” duž ž yy oseose

Teme je tačka Teme je tačka

T (0, T (0,

y=y=aaxx22++

y=axy=ax22

y=axy=ax2 2 +1+1 y=axy=ax2 2 +2+2 y=axy=ax2 2 -1-1

Y=a(x-Y=a(x-))22

Dobija se tako Dobija se tako ššto se parabola y=axto se parabola y=ax2 translira za translira za du dužž x ose udesno ili x ose udesno ili ulevo.ulevo.

Y=(x-3)Y=(x-3)2 Y=(x+3)Y=(x+3)2

RazliRazliččiti oblici kviti oblici kvadratneadratne funkcijefunkcije

kkanonianoniččkkii oblikoblik

Y=a(x+b/(2a))Y=a(x+b/(2a))22-(b-(b22-4ac)/(4a)-4ac)/(4a)

TemenskTemenskii oblik oblik

y = a(xy = a(x--22 + +b/(2ab/(2a), ), -(b-(b22--4ac)/(4a)4ac)/(4a)

Tačka T(Tačka T(, , ) je teme parabole.) je teme parabole.

Oblik s nulama:Oblik s nulama:

y = a(x – xy = a(x – x11)(x – x)(x – x22))

Y=axY=ax22+bx++bx+cc

ISPITIVANJE KVADRATNE ISPITIVANJE KVADRATNE FUNKCIJEFUNKCIJE

DomenDomen je skup je skup svih realnih brojeva za koje izraz ima svih realnih brojeva za koje izraz ima

smisla. smisla. Kod kvadratne funkcije to je Kod kvadratne funkcije to je RR NuleNule Presek sa y osomPresek sa y osom je tačkaje tačka P (0,c)P (0,c) parnostparnost EkstremneEkstremne vrednostivrednosti Intervali rasta i opadanjaIntervali rasta i opadanja ZnakZnak

PrimerPrimer

Y=xY=x22-8x+7-8x+7 1. domen je R1. domen je R 2. Nule : 2. Nule :

xx22-8x+7=0 => -8x+7=0 => xx11= 1, = 1, xx22=7=7

Presek sa y osom:Presek sa y osom:

X=0 => y=7X=0 => y=7 Teme (4,-9)Teme (4,-9)

NULE FUNKCIJENULE FUNKCIJE

su realni koreni su realni koreni kvadratne jednakvadratne jednaččine ine

axax22+bx++bx+c=0c=0

XX1,2=1,2=-b-b±± b b22-4ac-4ac

2a2a

Geometrijsko Geometrijsko tumačenjetumačenje

Nule su tačke u kojima Nule su tačke u kojima grafik seče x osu.grafik seče x osu.

Kanonični oblik funkcijeKanonični oblik funkcije

YY=ax=ax22+bx+c+bx+c YY=a=a((xx22++((bb/a)/a)xx))+c+c YY=a=a((xx22++((bb/a)/a)xx+b+b22/4a/4a22-b-b22/4a/4a22))+c+c YY=a=a((x+x+((bb/2a)) /2a)) 22+c+c-b-b22/4a/4a

Y=a(x+b/(2a))Y=a(x+b/(2a))22 -(b -(b22-4ac)/(4a)-4ac)/(4a)

EKSTREMNE VREDNOSTIEKSTREMNE VREDNOSTI U temenu U temenu

T (-b/(2a), (T (-b/(2a), (4ac-b4ac-b22)/4a))/4a) kvadratna funkcija kvadratna funkcija dostiže najvedostiže najvećću u vrednost kad je a<0, vrednost kad je a<0,

a najmanju a najmanju kada je a>0kada je a>0

INTERVALI RASTA I INTERVALI RASTA I OPADANJAOPADANJA

a>0a>0

temeteme

a<0a<0

temeteme

parnostparnost

Funkcija je PARNA ako Funkcija je PARNA ako f(-x)=f(x) za svako x iz domenaf(-x)=f(x) za svako x iz domena Funkcija je NEPARNA ako Funkcija je NEPARNA ako f(-x)=-f(x) za svako x iz domenaf(-x)=-f(x) za svako x iz domena

Grafik parne funkcije je simetriGrafik parne funkcije je simetričan u odnosu čan u odnosu na y osuna y osu

Grafik Grafik neneparne funkcije je simetriparne funkcije je simetričan u čan u odnosu na koordinatni početakodnosu na koordinatni početak

ZnakZnak Funkcija je pozitivna za one vrednosti Funkcija je pozitivna za one vrednosti

x za koje je f(x)>0, a negativna ako x za koje je f(x)>0, a negativna ako je f(x)je f(x)<<0.0.

U delu u kojem je funkcija pozitivna U delu u kojem je funkcija pozitivna grafik je iznad x ose.grafik je iznad x ose.

U delu u kojem je funkcija negativna U delu u kojem je funkcija negativna grafik je ispod x ose.grafik je ispod x ose.

+++++

- - - - - -

znakznak

- - - - - - -

+ + + +

+ + + + + + +

Grafik je ispod x ose

Funkcija je negativna

znakznak

+ + + +

- - - - - -

- - - - -

Grafik je iznad x ose

Funkcija je pozitivna

RazliRazliččiti graficiiti graficiD>0 dve nule D>0 dve nule

grafik segrafik seče x osu u 2 če x osu u 2 tačketačke

D>0 dve nuleD>0 dve nule

grafik segrafik seče x osu u 2 če x osu u 2 tačketačke

a>0 grafik je a>0 grafik je okrenut otvorom na okrenut otvorom na goregore

a<0 grafik je a<0 grafik je okrenut otvorom na okrenut otvorom na doledole

D=b2-4ac

D=0 jedna nulaD=0 jedna nula D=0 jedna nulaD=0 jedna nula

a>0 grafik je a>0 grafik je okrenut otvorom na okrenut otvorom na goregore

a<0 grafik je a<0 grafik je okrenut otvorom na okrenut otvorom na doledole

D<0 nema nuleD<0 nema nule

a<0 grafik je a<0 grafik je okrenut otvorom na okrenut otvorom na doledole

D<0 nema nuleD<0 nema nule

a>0 grafik je a>0 grafik je okrenut otvorom na okrenut otvorom na goregore

A šta je sa narandžama?A šta je sa narandžama? y=-1920xy=-1920x22+84480x+576000 +84480x+576000 Tražimo vrednost za x za koju će funkcija imati Tražimo vrednost za x za koju će funkcija imati

maximummaximum To je u stvari prva koordinata temena ove To je u stvari prva koordinata temena ove

kvadratne funkcijekvadratne funkcije -b/(2a)=-84480/2*(-1920)=84480/3840=22-b/(2a)=-84480/2*(-1920)=84480/3840=22 Dakle,ako se narandže prodaju nakon 22 dana Dakle,ako se narandže prodaju nakon 22 dana

biće ostvarena najveća zarada.biće ostvarena najveća zarada. Ostvarena zarada tada je jednaka maksimalnoj Ostvarena zarada tada je jednaka maksimalnoj

vrednosti funkcije, a to je druga koordinata temena vrednosti funkcije, a to je druga koordinata temena funkcijefunkcije

(4ac-b(4ac-b22)/(4a)=(4*(-1920)*576000-84480)/(4a)=(4*(-1920)*576000-8448022)/(4*(-)/(4*(-1920)=...1920)=...