logika (logic)

LOGIKA (LOGIC)

LOGIKA 2

TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS

Analógia Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy

intelligenciát igénylő problémát? Melyek a legnehezebb lépések?

Mi a tudásreprezentáció? pótlék (inkább következtetünk, mint tevékenykedünk) (erős) szemüveg médium mely

lehetővé teszi a hatékony számítást az emberi kifejezést

(töredékes) elmélet arról, hogy mit nevezünk intelligens gondolkodásnak

LOGIKA 3

TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS

Mit várunk el egy reprezentációs nyelvtől? kifejező, tömör egyértelmű hatékony következtetést enged meg

Felhasználási cél is fontos! (pl. osztás arab/római számmal)

programozási nyelvek, természetes nyelvek, logika

LOGIKA 4

A LOGIKA, MINT REPREZENTÁCIÓS NYELV

LOGIKA ELEMEI szintaxis

nyelv szimbólumai (kifejezések, amelyekkel bánni tudunk) hogyan lehet mondatokat formálni

szemantika a mondatok a világ mely tényeire vonatkoznak a mondatok jelentése

következtetés adott szintaxis és szemantika mellett új mondatok

származtatása (mechanikus eljárások alkalmazásával)

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ

LOGIKA)

LOGIKA 6

ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS

jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F

szintaxis szabályai atomi formula (atom)

minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula

formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor (A), (A B), (A B), (A B), (A B)

kifejezések is formulák

a formulaképzés szabálya rekurzív

LOGIKA 7

ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA

állítások:A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy.A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik.A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni.A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon.

A1, A2, A3 állításokból következik-e A4?

atomok (atomi formulák):p: süt a napq: Péter strandra megyr: Péter úsziks: Péter otthon marad

eredeti állítások szerkezetét tükrözi

formulák:

F1: p q

F2: q r

F3: (s r)F4: p s

LOGIKA 8

ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA

logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint)

formula interpretációja minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése

minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése

műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák)

p q p p q p q p q p q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

LOGIKA 9

IMPLIKÁCIÓ

p q

Ha a-disznók-repülnek akkor 2=1. T

F F

hamis előtagból bármi következik?

Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.”

p q p q

LOGIKA 10

FORMULÁK INTERPRETÁCIÓJA

Formula:

G: (p q) (r s)

Lehetséges interpretációk (összesen 24):

I1: (p, q, r, s) = (T, T, F, F)

I2: (p, q, r, s) = (F, T, T, F)

G formula igazságértéke I1 és I2 interpretációban:

G(I1) = F

G(I2) = T

I2 interpretáció kielégíti G formulát, I2 modellje G-nek

LOGIKA 11

ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK

Igazság Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. Egy formula igazsága függ

a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától)

Érvényes formula (tautológia) A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a

szemantikától. minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T x

Kielégíthetetlen formula Kielégíthetetlen egy formula, ha a világ soha nem olyan, mint

amilyennek leírja. minden interpretációban hamis, nincs modellje x F

LOGIKA 12

ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK

Kielégíthető formula van olyan interpretációja, amelyben igaz az értéke, van modellje

Kapcsolat a 3 formulaosztály között: x érvényes x kielégíthetetlen x érvényes x kielégíthető

Logikai kifejezések modellje (x y) M x M és y M (x y) M x M vagy y M x M x M

LOGIKA 13

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA

Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük.

Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények:

1. A B = (A B) (B A)

2. A B = A B3. A B = B A kommutatív

A B = B A4. (A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C) asszociatív

5. A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C) disztributív

LOGIKA 14

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA

Logikai törvények

6. A F = A

A T = A

7. A T = T

A F = F

8. A A = T

A A = F

9. (A) = A kettős tagadás

10. (A B) = A B

(A B) = A B deMorgan

11. A (A B) = A

A (A B) = A abszorpció, elnyelés

A A = A

A A = A idempotencia

LOGIKA 15

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY

A W

W formula A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz.

MI-ben: A1 , . . . , An W

bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An)

ha W ezek logikai következménye, W is igaz

esetek végignézése nélkül hogy lehet eldönteni??

a (a b) b a b a b a (a b)

T T T T

T F F F

F T T F

F F T F

LOGIKA 16

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY

Logikai következmény fogalmának értelmezése az érvényesség fogalmával:

A1 , . . . , An W iff (A1 . . . An) W érvényes.

Logikai következmény fogalmának értelmezése a kielégíthetetlenség fogalmával:

A1 , . . . , An W iff A1 . . . An W kielégíthetetlen.

Elnevezések:

(A1 . . . An) W tétel

A1 . . . An tétel axiómái, feltételei

W következmény, konklúzió

LOGIKA 17

TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL

F1: p q

F2: q

F3: p

?: F1 F2 F3

lehetőségek:

a. beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz,

igaz F3 is

b. bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 érvényes

c. beláthatjuk, hogy F1F2F3 kielégíthetetlen

p q F1 F2 F1F2 F3 F1F2F3 F1F2F3T T T F F F T F

T F F T F F T F

F T T F F T T F

F F T T T T T F

a b c

LOGIKA 18

TÉTELBIZONYÍTÁS QUINE ALGORITMUSSAL

a formula egy változójának interpretálása (T, F) két új formula eljárás folytatása mindaddig, míg a bináris fa levelein csak igazságértékek

találhatók ha minden levél T, érvényes a formula

(((p q) r) (p q)) (p r)

(((p q) r) (p q)) (p r)

((q r) q) r T

r r T

T T

p=T p=F

q=T q=F

r=T r=F

LOGIKA 19

TÉTELBIZONYÍTÁS FORMÁLIS LEVEZETÉSSEL

Formula formális levezetése egy axiómahalmazból axiómahalmaz (egyszerű, érvényes formulák) levezetési (következtetési) szabályok (érvényes formulákból érvényes

formulát hoznak létre) p q

Kleen: A (B A)

(A (B C)) ((A B) (A C))

(A B) ((A B) A)

levezetési szabály: modus ponens

Modus ponens:

A, A B B A B

A

BHa az A és az A→B formula érvényes, akkor a B formula is érvényes.

LOGIKA 20

LEVEZETÉSI SZABÁLYOK

Érvényes kártyák: mássalhangzó magánhangzó és páros szám

Modus ponens:

A B, A B (K, E)

Modus tollens:

A B, B A (7)

mássalhangzó érvényes

magánhangzó páros érvényes

magánhangzó érvényes páros

E K 4 7

LOGIKA 21

a b a, a b b levezetési szabályok?

Helyes következtetés:

Def. Ha p q, akkor p q

az előállított formula logikai következmény legyen

a b b nem helyes (igazságtáblából)

a b a, modus ponens helyes (igazságtáblából)

Teljes következtetés:

Def. Ha p q, akkor p q

mindent előállítson, ami logikailag következik

modus ponensnem teljesa ba s

b s

s ??

LEVEZETÉSI SZABÁLYOKa b a b

T T T

T F F

F T F

F F F

a b a b

T T T

T F T

F T T

F F F

a b a b

T T T

T F F

F T T

F F T

LOGIKA 22

Rezolúció:

a b a bc a c ac b c b

a1 ... am b1 ... bk

c1 ... cn d1 ... dl ahol dj = ai

a1 ... ai ... am c1 ... cn b1 ... bk d1 ... dj ... dl

a1 ... am b1 ... bk

c1 ... cn d1 ... dl ahol dj = ai

a1 … ai … am c1 ... cn b1... bk d1 ... dj ... dl

LEVEZETÉSI SZABÁLYOK

LOGIKA 23

Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk.

Konjunktív normálforma:

speciális részformulák (klózok) konjunkciója

klóz: literálok diszjunkciója ill. egy literál

literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja

(p q) (q r) (s r) p s

Implikációs normálforma:

speciális részformulák (klózok) konjunkciója

klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója

(p q) (q r) (s r F) (T p) (T s)

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

LOGIKA 24

minden formula átalakítható normálformára

Transzformációs szabályok:

a) A B = (A B) (B A) ( kiküszöbölése)

b) A B = A B ( kiküszöbölése)

c) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása)

d) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása)

e) A = A ( hatáskörének redukálása)

f) A (B C) = (A B) (A C) (klózok konjunkciójának létrehozása)

(((p q) (q r) (s r)) (p s))

(((p q) (q r) (s r)) (p s)) b.)

((p q) (q r) (s r) (p s)) d.)

(p q) (q r) (s r) (p s) c.) e.)

(p q) (q r) (s r) p s c.) d.) e.)

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

LOGIKA 25

klóz alak, klóz halmaz:

C1: p qC2: q rC3: s r

C4: p

C5: s

Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kielégíthetetlen

indirekt bizonyítás:

tfh létezik modellje (minden klóz igaz)

C4 igaz, ha p = T

C5 igaz, ha s = T

C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből)

C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből)

C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből)

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

ellentmondás!

LOGIKA 26

A bizonyítási eljárás szemléltetése:

C1: p qC2: q rC3: s r

C4: p

C5: s

rezolúciós gráf, cáfolati gráf

új klóz előállítása: rezolúcióval

p q s r q r q

p s r q

q r q NIL

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

q

r qNIL

LOGIKA 27

A1, A2, …, An B ??

A1 A2 … An B kielégíthetetlen

igazolása rezolúciós eljárással

A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, az axiómákhoz való hozzáadása Az A1 A2 … An B formula klóz formára hozása (kiindulási

klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig:

a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

LOGIKA 28

rezolválható klózok: komplemens literálpárt tartalmaznak

komplemens literálpár: egy logikai változó és a negáltja együtt

rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek

diszjunkcióval összekapcsolva

üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis

rezolúció tulajdonságai: algoritmusa nemdeterminisztikus

C1: p q p rC2: q r p s

C3: s r s

C4: p NIL

C5: s helyes (logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

PREDIKÁTUMKALKULUS (ELSŐRENDŰ LOGIKA)

LOGIKA 30

PREDIKÁTUMKALKULUS

Alapok: az elsőrendű logika felosztja a világot objektumokra, az objektumok tulajdonságaira, az objektumok közti relációkra.

igaz vagy hamis állítások reprezentálása

a kijelentések egy alaphalmaz elemeire vonatkoznak

konstansok, változók, függvények, predikátumok

minden, létezik

LOGIKA 31

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS

jelkészlet elválasztó jelek: , ( ) logikai műveleti jelek: kvantorok: objektumváltozók, változók: x, y, z, . . . objektumkonstansok, konstansok: a, b, c, . . . függvényszimbólumok: f, g, h, . . . ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F predikátumszimbólumok: P, Q, R, . . .

LOGIKA 32

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS

szintaxis szabályai term

minden objektumkonstans term minden objektumváltozó term ha f n-argumentumú függvényszimbólum és t1, ... ,tn termek,

akkor f(t1, ... ,tn) is term

atomi formula minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula ha P n-argumentumú predikátumszimbólum és t1, ... ,tn termek,

akkor P(t1, ... ,tn) atomi formula

LOGIKA 33

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS

szintaxis szabályai formula (jól formált formula, wff)

minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor a A, (A B), (A B), (A B), (A B)

kifejezések is formulák ha A egy formula és x egy változó, akkor a x A, x A kifejezések is

formulák

wff?

szereti(Kati, kutyája(Kati) macskája(Kati))

szereti(Kati, f drága(f))

szereti(Kati, x)

x szereti(Kati, x)

x szereti(Kati, x)

x [P(x, y) y Q(x, y)]

LOGIKA 34

PREDIKÁTUMKALKULUS - PÉLDA

állítások:A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik.A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg.A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló.

A1 és A2 állításokból következik-e A3?

predikátumok:P(x): x egy páciensD(y): y egy doktorK(z): z egy kuruzslóM(x,y): x megbízik y-ban

formulák:F1: x {P(x) y [D(y) M(x,y)]}F2: x {P(x) y [K(y) M(x, y)]}vagyF2: x y {[P(x) K(y)] M(x, y)}F3: x [D(x) K(x)]

LOGIKA 35

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA

interpretáció értelmezés alaphalmazának megválasztása (U ) hozzárendelések:

minden konstans szimbólumnak egy elem megfeleltetése U-ból minden n-argumentumú függvényszimbólumhoz egy Un U

leképezés rendelése minden n-argumentumú predikátumszimbólumnak egy Un {T, F}

leképezés megfeleltetése

Példa: x [P(f(x,x),a) P(x,a)]U: természetes számok

a: 1

f(x,x): x2

P(x,y): x=y

x [(x2=1) (x=1)]

LOGIKA 36

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA

kiértékelés ha A, B formulák igazságértéke ismert, akkor

A, (A B), (A B), (A B), (A B)

formulák igazságértékének meghatározása (igazságtábla) x A igazságértéke T, ha A formula minden xU esetén T,

egyébként F x A igazságértéke T, ha A formula legalább egy xU esetén T,

egyébként F

LOGIKA 37

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA

Kielégíthető formula: van modellje.x [(x2 = 1) (x = 1)]

U: természetes számok modelljeU: egész számok nem modellje

Érvényes formula (tautológia): minden modellben benne van. x p(x) y p(y)

Kielégíthetetlen formula (ellentmondás): nincs modellje.x p(x) y p(y)

formulák kiértékelése az összes lehetséges interpretációban???

LOGIKA 38

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA

Logikai törvények:. .12. Qx A(x) B = Qx (A(x) B) Q: vagy

Qx A(x) B = Qx (A(x) B)13. (x A(x)) = x A(x)

(x A(x)) = x A(x)14. x A(x) x B(x) = x (A(x) B(x))

x A(x) x B(x) = x (A(x) B(x))15. Qx A(x) Qx B(x) = Qx Qy (A(x) B(y))

Qx A(x) Qx B(x) = Qx Qy (A(x) B(y))

(14) x A(x) x B(x) x (A(x) B(x)) !!x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x) B(y)) -

(15) x A(x) x B(x) x (A(x) B(x)) !!x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x) B(y)) -

(15)

LOGIKA 39

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY

F1: x (P(x) Q(x))F2: P(a)F3: Q(a)

F1 és F2 formulákból következik-e F3?

Logikai következmény definíciója alapján: F1 igaz minden x-re, speciálisan a-ra is F2 igaz F3 is igaz (implikáció)

Cáfoló módszer (kielégíthetetlenség): F1 F2 F3 kielégíthetetlen

LOGIKA 40

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

a1 . . . am b1 . . . bk

c1 . . . cn d1 . . . dl ahol dj = ai

a1 . . ai . . am c1 . . cn b1 . . bk d1 . . dj . . dl

Problémák: normálformára hozás kvantorok kezelése egyesítés

LOGIKA 41

NORMÁLFORMÁRA HOZÁS

a) A B = (A B) (B A) ( kiküszöbölése)

A B = A B ( kiküszöbölése)

b) (A B) = A B ( hatáskörének redukálása)

(A B) = A B

A = A

x A(x) = x A(x)

x A(x) = x A(x)

c) változók standardizálása

- változók átnevezése, hogy az egyes kvantorok által lekötött változók különbözzenek (nem csak formulán belül!)

x (P(x) x Q(x))

x (P(x) y Q(y))

LOGIKA 42

NORMÁLFORMÁRA HOZÁS

d) egzisztenciális kvantorok kiküszöbölése

x P(x) h háza(h, János)

P(a) háza(Sk_1, János)

Skolem konstans

x y P(x,y) sz h háza(h, sz)

x P(x, g(x)) sz háza(Sk_2(sz), sz)

x1, . . . ,xn y P(y)

x1, . . . ,xn P(g(x1, . . . ,xn))

Skolem függvény

y x P(x, y) h sz háza(h, sz)

x P(x, b) sz háza(Sk_3, sz)

Skolem konstans

LOGIKA 43

NORMÁLFORMÁRA HOZÁS

e) prenex formára hozás

csak -k maradtak (a változókat standardizáltuk)

kiemelése

x1 . . . xn A(x1, . . . ,xn)

f) univerzális kvantorok elhagyása

g) klózok kialakítása

csak és műveletek

A (B C) = (A B) (A C)

klózok konjunkciójának létrehozása

h) konjunkciók elhagyása (klózhalmaz)

LOGIKA 44

EGYESÍTÉS/UNIFIKÁCIÓ

x szereti(Fifi, x)y szereti(y, alma)szereti(Fifi, alma)

kötési/helyettesítési lista:véges halmaz, amelyben minden vi változó, minden ti term és vi-k

különbözőek = {v1t1, . . . , vntn} = {xalma, yFifi}

kötés/helyettesítés:p p formula helyettesítése -valS(x, g(x, y)){x1, z345} = S(1, g(1, y))

p és q egyesíthető -val:p = q

legáltalánosabb egyesítő: legrövidebb kötési lista, amely egyesít 2 formulát

LOGIKA 45

EGYESÍTÉSI ALGORITMUS

H = { P(x, u, f(g(x))), P(a, y, f(y)) }x, y, u: változók, a: konstans,

f, g: függvény szimbólum, P: predikátum szimbólum

különbségi halmaz: D

1. D = { x, a } = { xa }

H = { P(a, u, f(g(a))), P(a, y, f(y)) }

2. D = { u, y } = { xa, uy }

H = { P(a, y, f(g(a))), P(a, y, f(y)) }

2. D = { g(a), y } = { xa, uy, yg(a) }

H = { P(a, g(a), f(g(a))), P(a, g(a), f(g(a))) }

x = f(x) ???

f(f(f…. OCCUR CHECK – ELŐFORDULÁS-ELLENŐRZÉS

LOGIKA 46

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

a1 ... am b1 ... bk

c1 ... cn d1 ... dl ahol dj = ai

[a1 ... ai ... am c1 ... cn b1... bk d1 ... dj ... dl]

bináris rezolúció: a rezolválandó literálnak csak 1-1 előfordulását választjuk ki mindkét szülő klózból

tulajdonságai: helyes nem teljes nemdeterminisztikus

LOGIKA 47

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

K1: P(x) P(a)K2: P(y) P(a)

K1 mindkét és K2 első literáljának egyesítése:H = P(x), P(a), P(y) = xa, yaK3: P(a)

K1 első és K2 mindkét literáljának egyesítése:H = P(x), P(a), P(y) = xa, yaK4: P(a)

K3 és K4 klózok rezolválása: NIL

bináris rezolúcióval:K1 – 1, K2 – 1, x|y K3: P(a) P(a) tautológia (törölhető)K1 – 2, K2 – 1, y|a K4: P(x) P(a)K1 – 2, K2 – 2 K5: P(x) P(y)K1 – 1, K2 – 2, x|a K6: P(a) P(y)…

NIL nem érhető el

LOGIKA 48

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

FAKTORIZÁCIÓ bináris rezolúció teljessé tehető faktorizációval C klóz egy faktora: C|, ( egy legáltalánosabb egyesítő

helyettesítés, amely C két vagy több literálját azonossá teszi)

klóz faktorizációja: klóz összes faktorának előállítása klózhalmaz faktorizációja: klózhalmaz összes klózának

faktorizációja faktorhalmaz: faktorizáció műveletével kibővített

klózhalmaz

LOGIKA 49

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

P(x, a) P(y, z) P(z, x)

klóz összes faktora:P(y, a) P(a, y) (1. és 2. literál egyesítése, = {x|y, z|a})

P(a, a) P(y, a) (1. és 3. literál egyesítése, = {z|x, x|a}))

P(x, a) P(x, x) (2. és 3. literál egyesítése, = {y|z, z|x}))

P(a, a) (1., 2. és 3. literál egyesítése, = {x|y, z|y, y|a}))

K1: P(x) P(a)

K2: P(y) P(a)

K1’: P(a)

K2’: P(a)

LOGIKA 50

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik.

A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg.

A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló.

F1: x {P(x) y [D(y) M(x,y)]}

F2: x {P(x) y [K(y) M(x, y)]}

F3: x [D(x) K(x)]

F3 negáltja: x [D(x) K(x)]

klóz forma:

K1: P(a)

K2: D(y) M(a, y)

K3: P(x) K(y) M(x, y)

K4: D(b)

K5: K(b)

F1-ből, a: skolem konstans

F2-ből

F3-ból, b: skolem konstans

LOGIKA 51

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL

P(a)

D(y) M(a,y)

P(x) K(y) M(x,y)

D(b)

K(b)

x|a

y|b

y|b

K(y) M(a,y)

M(a,b)

M(a,b)

NIL

LOGIKA 52

VÁLASZADÁS REZOLÚCIÓVAL

ítéletkalkulus: válaszadással nincs probléma (T, F)

predikátumkalkulus: x W(x) – T, F

x W(x) – T, F x ??

válasz kialakításának automatizálása ??

kérdés-felelet probléma

válasz meghatározása logikai következtetést igényel

LOGIKA 53

VÁLASZADÁS REZOLÚCIÓVAL

x h(János, x) h(Fifi, x) h(János, x) h(Fifi,x)h(János, park) h(János, park)x h(Fifi, x) h(Fifi, x)

h(Fifi,x) h(János, x)

h(János, x) h(Fifi,x) NIL

h(János, park)cáfolati gráf

h(Fifi,x) h(Fifi,x) h(János, x) h(Fifi,x)

h(János, x) h(Fifi,x) NIL

h(Fifi,park)h(János, park)

bizonyítási gráf

LOGIKA 54

VÁLASZADÁS REZOLÚCIÓVAL

A VÁLASZADÁSI ELJÁRÁS célállítás negálásából származó klózokat kiegészítjük

tautológiává

(diszjunkcióval saját negáltját hozzáfűzzük – ez a helyettesítésben igen, a rezolválásban nem vesz részt)

cáfolati gráffal azonos szerkezetű bizonyítási gráfot hozunk létre

a bizonyítási gráf gyökérelemében találjuk a választ

LOGIKA 55

REZOLÚCIÓ - PÉLDA

V-t meggyilkoltákgyanúsítottak: X, Y, Z

X: "ártatlan vagyok" ártatlan(X) ártatlan(X)"Y barátja V-nek" ártatlan(X) barát(Y, V) (1)"Z gyűlölte V-t" ártatlan(X) szereti(Z, V) (2)

Y: "nem voltam a városban" ártatlan(Y) városban(Y) (3)"nem ismerem V-t" ártatlan(Y) ismeri(Y, V) (4)

Z: "ártatlan vagyok„ ártatlan(Z) ártatlan(Z)"X és Y V-vel volt" ártatlan(Z) vele(X, V) (5)ártatlan(Z) vele(Y, V) (6)

LOGIKA 56

REZOLÚCIÓ - PÉLDA

"V-t a városban ölték meg" vele(gy, V) városban(gy) (7)"barát ismeri" barát(i, j) ismeri(i, j) (8)"szereti ismeri" szereti(i, j) ismeri(i, j) (9)

mindenki igazat monda gyilkos hazudhat

ártatlan(X) ártatlan(Y) (10)ártatlan(X) ártatlan(Z)(11)ártatlan(Y) ártatlan(Z)(12)

Kérdés: ártatlan(gy)ártatlan(gy) ártatlan(gy) (13)

LOGIKA 57

REZOLÚCIÓ - PÉLDA

á(X) b(Y,V) b(i, j) i(i,j) á(Z) ve(Y,V) ve(gy,V) vá(gy)

á(X) i(Y,V) á(Y) i(Y,V) á(Z) vá(Y) á(Y) vá(Y)

á(X) á(Y) á(X) á(Z) á(Z) á(Y)

á(Y) á(Z)

á(Y) á(gy)á(gy)

NIL á(Y)