maszyna turinga

Maszyna Turinga

Mikołaj Olszewski

Michał Żelazowski

Cele prezentacjiPrzybliżenie postaci Alana TuringaPrzypomnienie modelu MTPrzedstawienie modyfikacji modelu

podstawowegoOmówienie zagadnień

nierozstrzygalności

Korzyści dla słuchaczy Informacje przydatne do egzaminu

dyplomowego Interesujące zastosowania MTNieznane szczegóły biografii Alana

Turinga

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

Alan Turing

Urodzony w 1912 w domu opiekiStudent Cambridge University oraz

Princeton UniversityMatematyk, kryptolog, neurolog,

wizjonerPrekursor sztucznej inteligencji

Alan TuringZnakomity biegacz, członek

Walton Athletic ClubPogromca kodu EnigmySamobójstwo w 1954

Walton Athletic Club 1946

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX

wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

Idea Hilberta Przekonanie o

niesprzeczności i zupełności matematyki

Znaleźć skończony zbiór reguł i aksjomatów, pozwalający rozstrzygnąć dowolny problem matematyczny

Mechaniczna procedura dowodzenia – algorytm decyzyjny całej matematyki

Cios Kurta Gödla Pewnych zdań

matematycznych nie sposób rozstrzygnąć

Nieuchronność paradoksów typu „to zdanie jest fałszywe”

Nie można wykazać niesprzeczności danego systemu formalnego

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

Maszyna Turinga (MT)Pierwszy krok w kierunku realizacji

maszyny określającej prawdziwość zdań matematycznych

Uniwersalna maszyna Turinga – może wykonać instrukcje innej MT – prototyp programu

Model podstawowy MT (1936)

Procedura w postaci dyskretnych kroków M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F) wyjaśnienie

Model podstawowy MTKrok maszyny w zależności od

bieżącego stanu i obserwowanego symbolu: Zmień stan Wydrukuj symbol w obserwowanej

komórce Przesuń głowicę o 1 komórkę w lewo lub w

prawo

pokaz

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

Zastosowania MT Urządzenie obliczające funkcje na liczbach

naturalnych - zapis unarny Jeśli MT zatrzyma się z taśmą zawierającą k

symboli ”0”, wartością funkcji jest k Funkcje obliczane przez MT to funkcje

częściowo rekurencyjne Jeśli funkcja jest określona dla całej

dziedziny, jest funkcją całkowicie rekurencyjną (np. n!, 2n, mnożenie)

pokaz

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

Proste modyfikacje MTPrzechowywanie informacji w

sterowaniu skończonymTaśmy wielościeżkowe

Triki z MT „Odfajkowywanie symboli”Przesuwanie symboliPodprogramy

pokaz

Nietrywialne modyfikacje MTTaśma dwustronnie nieskończonaWielotaśmowa MTNiedeterministyczna MTWielowymiarowa MTWielogłowicowa MTWsadowa MT

Taśma dwustronnie nieskończona

Nieskończona ilość komórek w każdą stronę MT nie może „spaść” z lewego końca Zapis taki, jak w modelu pierwotnym

Wielotaśmowa MT k głowic taśmowych k taśm dwustronnie

nieskończonychW każdym ruchu: zmiana stanu nowy symbol w

każdej komórce przesunięcie każdej

głowicy niezależnie od pozostałych

Niedeterministyczna MTSkończone sterowaniePojedyncza i jednostronnie

nieskończona taśmaSkończona liczba opcji następnego

ruchuAkceptacja wejścia dla ciągu opcji

Wielowymiarowa MT

Taśma – k wymiarowa tablica komórek, nieskończona we wszystkich 2 k kierunkach

Ruch głowicy możliwy w każdym z 2k kierunków Skończona liczba rzędów zawierających

niepuste symbole

Wielogłowicowa MTk głowicRuch zależy od stanu i symbolu

obserwowanego przez każdą z głowicNiezależny ruch głowic w każdym kroku

Wsadowa MTWielotaśmowaTaśma wejściowa tylko do czytaniaZnaczniki końców: ¢ i $ „Uwięziona” głowica taśmy wejściowejSzczególny przypadek wielotaśmowej

MT

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

Języki akceptowane przez MTJęzyki rekurencyjnie przeliczalneRozwiązanie problemu należenia w

sposób mechaniczny nie dla wszystkichObliczenia nieskończoneJęzyki rekurencyjne

Teza Churcha funkcja obliczalna ≡ funkcja

częściowo rekurencyjna Inne formalizmy: rachunek λ,

systemy Posta, uogólnionefunkcje rekurencyjne

Abstrakcyjny model komputera:maszyna o dostępie swobodnym (RAM)

Generacja funkcji częściowo rekurencyjnych

Inne zastosowania MT

Generator języków – wielotaśmowa MTz taśmą wyjściową

Maszyna wielostosowa – wielotaśmowa MT z wejściem tylko do czytania

Maszyna licznikowa – wsadowa MTz Γ={Z, B}; Z – znacznik spodu stosu

Plan prezentacjiPrzedstawienie osoby Alana TuringaWyzwania logiki na początku XX wiekuModel podstawowy MTZastosowania MTModyfikacje MTPerełki MTNierostrzygalność a MT

ProblemWystąpieniem jakiegoś problemu

nazywamy listę argumentów, zawierającą po jednym argumencie dla każdego parametru problemu

Łańcuchy – kody konkretnych wystąpień pewnych problemów

czy istnieje algorytm? → czy język jest rekurencyjny?

Problemy rozstrzygalnei nierozstrzygalneProblem → język rekurencyjny ⇒

problem rozstrzygalny Inaczej ⇒ problem nierozstrzygalnyNierozstrzygalny, gdy nie istnieje

algorytm przyjmujący jako wejście wystąpienie tego problemu i rozstrzygający, czy odpowiedzią na to wystąpienie jest TAK, czy też NIE

Tw. Gödla o niepełności Dowolny system

formalny o mocy wystarczającej do objęcia teorii liczb musiałby zawierać stwierdzenia, które byłyby prawdziwe, ale nie dałyby się udowodnić w tym systemie

BibliografiaJ. Hopcroft, J. Ullman „Wprowadzenie

do teorii automatów, języków i obliczeń”, PWN 1994

A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman „Projektowanie i analiza algorytmów komputerowych”, PWN 1983

P. Coveney, R. Highfield „Granice złożoności”, Prószyński i S-ka 1997

www.turing.org.uk

Dziękujemy za uwagę

Maszyna Turinga - symbole M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F)

Q – zbiór stanów maszyny Σ – zbiór symboli wejściowych Γ – zbiór symboli taśmowych, Γ ⊂ Σ δ – funkcja przejść q0 – stan początkowy B – symbol pusty (blank) F – zbiór stanów końcowych, F ⊆ Q

powrót