math 3 anal 2017-18 cm3 print
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cours de
Francis Clarke
Analyse III
Fonctions de plusieurs variables
MAT2019L séquence 4
automne 2017
CM3
Analyse III Calendrier 2017 (les mercredi)
13 septembre cours 20 septembre cours TD27 septembre cours TD4 octobre cours TD 11 octobre cours TD 18 octobre cours TD25 octobre cours TD1 novembre8 novembre cours TD 15 novembre cours TD 22 novembre cours TD 29 novembre cours TD6 décembre cours TD13 décembre cours TD
CT final : entre le 7 et le 17 janvier 2018 (2h)Deuxième session : entre le 25 juin et le 6 juillet
Partiel (90 min)
Le partiel sera en amphi et les DSTD en TD ; les dates sont à confirmer
DSTD-3
Note finale :20% partiel, 15% trois DSTD,
15% colles, et 50% CT
DSTD-1
DSTD-2
1
2
Mais en une seule dimension
En L1 vous avez rencontre :
• la droite et le theoreme de Bolzano-Weierstrass
• la convergence des suites
• la continuite des fonctions
• le theoreme des valeurs intermediaires
• les fonctions elementaires
• la derivee
• le theoreme des accroissements finis
• les developpements limites
• l’integrale
�f(x)dx
Beaucoup de phénomènes physiques dépendent de la position du système dans l’espace.Par exemple: la géolocalisation, le positionnement d’un satellite en orbite, les courants dans l’océan...
Autre exemple (calcul de la note finale)
(c’est une fonction que l’on a intérêt à maximiser)
Les fonctions de plusieurs variables
La note finale F du cours :
F (x, y, z, p, u, v, t, r) : R8 → [0, 20],
ou (x, y, z) sont les trois notes de DS, p la note dupartiel, u et v des deux colles, t du controle terminal,et r du rattrapage.
3
4
Exemple: design d’un caniveau
largeur du materiau (a plier) = �
���
�
x
� − 2x� �� �
θ
x
θ
x
Mais sur queldomaine?
� �� �la fonction f(x, θ) a maximiser
aire de la coupe transversale
= x sin θ[� − 2x + x cos θ ]
En general, la fonction f est definie seulementsur une partie D ⊂ Rn.
L’ensemble D, qui est souvent definiimplicitement, est le domaine de f .
Exemple
f(x, y) = ln(1 − x2 − y2)
Il faut
1 − x2 − y2 > 0
⇐⇒ x2 + y2 < 1
Donc D ici serait la boule unite ouverte dans R2 .
5
6
L’espace Rn et sa topologie
Dans l’etude des fonctions de n variables, l’espace Rn
est le contexte sous-jacent.
Pour n > 1, des domaines plus compliques que de simplesintervalles dans la droite entrent en jeu.
Il faut un vocabulaire adapte, et quelques outilstopologiques et geometriques.
Rn est un espace vectoriel (on peut former des combinaisonslineaires, multiplier un element par un scalaire etc.).
Sa dimension est n: c’est le nombre d’elements dans toute base.
La base canonique est constituee des n elements
{e1, e2, . . . , en},
ou e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), etc.
Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R × R · · · × R}
R2 = {(x, y) ∈ R × R}
R3 = {(x, y, z) ∈ R × R × R}
L’espace Rn
Sauf pour n = 1, Rn n’est pas un corps(on n’a pas de division).
7
8
Les normes sur Rn
Une norme veut dire une fonction � · � : Rn → [0,∞[ayant les proprietes suivantes:
• �u� > 0 pour tout u �= 0, et �0� = 0
(definie positive);
• �λu� = |λ|�u� pour tout scalaire λ ∈ R et u ∈ Rn
(positivement homogene);
• �u + v� ≤ �u� + �v� pour tout u, v ∈ Rn
(inegalite du triangle).
Une norme correspond a une facon de mesurer la tailled’un element dans Rn. Il y a infiniment de normesdifferentes.
notation
La boule unite fermee (qui correspond a une certainenorme) veut dire l’ensemble
B = B(0, 1) = B��(0, 1) := {u ∈ Rn : �u� ≤ 1}.
La boule unite ouverte veut dire l’ensemble
B◦ = B◦(0, 1) = B◦��(0, 1) := {u ∈ Rn : �u� < 1}.
De facon plus generale on definit les boules fermees etouvertes de centre w et de rayon r > 0:
B(w, r) = B��(w, r) := {u ∈ Rn : �u − w� ≤ r}.
B◦(w, r) = B◦��(w, r) := {u ∈ Rn : �u − w� < r}.
9
10
y
x
Ou est situe le point
12x +
12y ?
⇐⇒�z1z2
�= a
�x1
x2
�+ b
�y1
y2
�(n = 2)
Une combinaison lineaire de deux points x et ydans Rn veut dire un element z ∈ Rn de la forme
z = ax + by
ou les coefficients a, b de la combinaison lineairesont des nombres reels.
Quand x �= y, l’ensemble descombinaisons lineaires
z = x+t(y−x) = (1−t)x+ty
(ou t varie dans R) decrit ladroite determinee par x et y.
Une combinaison convexe de deux points x et ydans Rn veut dire un element z ∈ Rn de la forme
z = (1 − t)x + ty
ou le reel t appartient a [0, 1].
Il s’agit donc d’une combinaison lineaire de x et you les deux coefficients sont positifs ou nuls et desomme 1.
11
12
Definitions: intervalle dans Rn; partie convexe
Soient x et y deux points dans Rn. Le segment
(ou l’intervalle) ferme [x, y ] est defini par
[x, y ] = {z ∈ Rn: z = (1 − t)x + ty : t ∈ [0, 1]} .
Pour l’intervalle ouvert ]x, y [ , omettre
t = 0 et t = 1.
On dit qu’une partie U dans Rnest convexe si
x ∈ U, y ∈ U =⇒ [x, y ] ⊂ U .
x
y
y
x
x
y
pas
convexe
Definition. Une partie C dans Rn est dite convexe lorsque
x, y ∈ C, t ∈ [0, 1] =⇒ (1 − t)x + ty ∈ C.
Sens geometrique : si la partie C contient deux points,elle contient aussi le segment entre les deux points.
En TD, on montrera:
Proposition. Soit � · � une norme sur Rn. Alors saboule unite (ouverte ou fermee) est convexe.
13
14
norme euclidienne, p-norme, norme lpLa norme euclidienne de Rn est definie par
�x�2 :=�x21 + x2
2 + · · · + x2n
�1/2, x ∈ Rn.
Donc la distance euclidienne entre deux points(a, b) et (c, d) dans R2 est donnee par
�(a, b) − (c, d)�2 =�(a − c)2 + (b − d)2
�1/2
La norme infini de Rn est definie par
�x�∞ := maxi=1,2,...,n
|xi| , x ∈ Rn.
De facon plus generale, pour chaque nombre reelp ∈ [1,∞[ , on definit la p-norme sur Rn par
�x�p :=�|x1|p + |x2|p + · · ·+ |xn|p
�1/p, x ∈ Rn.
Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
quelques boules unité dans R2
�(x, y)�2 :=�x2 + y2
�1/2, (x, y) ∈ R2.
�(x, y)�1 := |x| + |y|, (x, y) ∈ R2.
�(x, y)�∞ := max{|x|, |y|}, (x, y) ∈ R2.
La boule unite fermee de la norme euclidienne sur R2 :
B2(0, 1) :=�(x, y) ∈ R2 : (x2 + y2)1/2 ≤ 1
�
La boule unite fermee de la 1-norme (ou norme L1) sur R2 :
B1(0, 1) :=�(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1
�
La boule unite fermee de la norme infini sur R2 :
B∞(0, 1) :=�(x, y) ∈ R2 : max
�|x|, |y|
�≤ 1
�
�(x, y)�p :=�|x|p + |y|p
�1/p, (x, y) ∈ R2.
Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
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Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
p = 3/2
Illustr
ation
s of u
nit
circle
s in di
fferen
t p-
norm
s (ev
ery ve
ctor
from th
e orig
in to
the
unit c
ircle
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leng
th
of on
e, the
leng
th be
ing
calcu
lated
with
leng
th-
formula
of th
e
corre
spond
ing p)
.
Unit ci
rcle (
supere
llipse)
in p
= 3 2
norm
For a r
eal nu
mber p
! 1, th
e p-norm
or Lp -norm
of x i
s defi
ned b
y
The Euc
lidean
norm
from ab
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to thi
s clas
s and
is the
2-no
rm, a
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the 1-
norm
is the
norm
that
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spond
s to th
e Man
hatta
n dist
ance.
The L! -norm
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um no
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f the Lp -
norm
s for p "
#. It
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ition:
For all
p ! 1
, the p
-norm
s and
max
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th fun
ction
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h are
that:
only
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o len
gth,
the le
ngth
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vecto
r is po
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homog
eneo
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n by a
scala
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the le
ngth
of the
sum of
two v
ectors
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large
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um of
leng
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ectors
(trian
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equa
lity).
Abstrac
tly sp
eaking
, this m
eans th
at Rn to
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r with
the p
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is a B
anach
space
. This
Banach
space
is the
Lp -
space ov
er Rn .
Relatio
ns betw
een p-
norms
The gr
id dis
tance
("Man
hatta
n dist
ance"
) betw
een tw
o poin
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This fa
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norm
||x|| p
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p:
||x|| p+a
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1 and a
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norm
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Schwarz
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In ge
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in Cn w
here
0 < r <
p:
When
0 < p
< 1
In Rn fo
r n > 1, th
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absol
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homog
eneo
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ction
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gree 1
for 0
< p < 1; h
owev
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e resu
lting
functi
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es no
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F-norm
, beca
use it
is not
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ditive
. In Rn fo
r n > 1, th
e form
ula fo
r
0 < p
< 1de
fines
a sub
addit
ive fu
nctio
n, whic
h doe
s defi
ne an
F-norm
. This
F-norm
is ho
mogen
eous
of de
gree
p = 3
Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
p = 1
Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
p = 2
Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).
Unit circle (superellipse) in p = 32
norm
For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by
The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.
The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:
For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:
only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).
Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.
Relations between p-norms
The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:
This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:
||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)
For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:
This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.
In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:
When 0 < p < 1
In Rn for n > 1, the formula
defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting
function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1
defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree
p = ∞
la boule unité de la p-norme
Par contre, la norme euclidienne joue un rôle particulier à cause du produit scalaire :
Les normes différentes induisent des boules (et des distances) différentes, mais la même topologie (notions de ouvert, convergence, continuité, etc.)
Soient u, v deux points dans Rn.
u • v = �u, v� :=n�
i=1
uiviOn a
u • u =
n�
i=1
uiui =
n�
i=1
u2i = �u�2
2
17
18
équivalence des normes sur Rn
Remarque. Il suit de la premiere inegalite que si �x�∗ ≤ 1,alors �x� ≤ c.
Donc la boule B∗(0, 1) est contenue dans la boule B(0, c).
Par dilatation, la boule B∗(0, r) est contenue dans la boule B(0, rc).
Par translation, la boule B∗(u, r) est contenue dans B(u, rc).
Il en resulte: chaque boule pour la norme � · � contient uneboule (centree au meme point) pour la norme � · �∗.
La deuxieme inegalite mene a la meme conclusion dans l’autresens: chaque boule pour la norme � · �∗ contient une boule(centree au meme point) pour la norme � · �.
Theoreme. Soient � · � et � · �∗ deux normes sur Rn.Alors les normes sont equivalentes:il existe c et k positifs tels que
�x� ≤ c�x�∗ , �x�∗ ≤ k�x�, x ∈ Rn.
Theoreme. Soient � · � et � · �∗ deux normes sur Rn.Alors les normes sont equivalentes:il existe c et k positifs tels que
�x� ≤ c�x�∗ , �x�∗ ≤ k�x�, x ∈ Rn.
La preuve utilise :
Theoreme de Bolzano-Weierstrass.
Soit (xi) une suite bornee dans R. Alorsil existe une sous-suite (ou suite extraite)(xij) qui converge vers une limite x.
19
20
Demonstration. On prend n = 2 et l’on demontre le theoreme lorsque
la norme � · �∗ est la 1-norme � · �1 ; cela suffit car on obtient que
toute norme sur Rnest equivalente a celle-ci, d’ou elles sont toutes
equivalentes entre elles.
On veut donc montrer l’existence de c et k tels que
�(x, y)� ≤ c�(x, y)�1 , �(x, y)�1 ≤ k�(x, y)�, (x, y) ∈ R2 .
La premiere inegalite est obtenue ainsi:
�(x, y)� = �xe1 + ye2� ≤ |x|�e1� + |y|�e2�≤ c(|x| + |y|) (ou c = max(�e1�, �e2�))= c�(x, y)�1.
Theoreme. Soient � · � et � · �∗ deux normes sur Rn.Alors les normes sont equivalentes:il existe c et k positifs tels que
�x� ≤ c�x�∗ , �x�∗ ≤ k�x�, x ∈ Rn.
Il reste a prouver l’existence de k positif tel que
�(x, y)�1 ≤ k�(x, y)�, (x, y) ∈ R2.
Il suffit de considerer (x, y) �= (0, 0). On divise alors chaque
cote par λ := �(x, y)�1 .
L’inegalite voulue devient :
�(x, y)/λ� ≥ 1/k.
Le point (x, y)/λ appartient a l’ensemble
{(u, v) : �(u, v)�1 = 1}.
Conclusion: il suffit de montrer que l’infimum de �(u, v)� sur l’ensemble{(u, v) : �(u, v)�1 = 1} est strictement positif.
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22
On raisonne par l’absurde, en supposant (au contraire) qu’il existe
une suite (ui, vi) avec �(ui, vi
)�1 = 1 ∀ i telle que �(ui, vi)� →
0.
Les suites (ui) et (vi
) sont bornees. On invoque Bolzano-Weierstrass
(en passant au besoin a des sous-suites, sans modifier la notation) afin
de supposer que ui → u et vi → v. On a �(u, v)�1 �= 0, car autrement
u = v = 0, ce qui contredit �(ui, vi)� = 1 ∀i.
On a alors
���(ui, vi)� − �(u, v)�
�� ≤ �(ui, vi) − (u, v)�
≤ c�(ui, vi) − (u, v)�1 (par l’inegalite etablie ci-dessus)
→ 0 ,
d’ou �(u, v)� = limi→∞
�(ui, vi)� = 0 (par hypothese).
Mais ceci implique (u, v) = (0, 0), ce qui est la contradiction
recherchee.
Conclusion: il suffit de montrer que l’infimum de �(u, v)� sur l’ensemble{(u, v) : �(u, v)�1 = 1} est strictement positif.
�x� ≤ �x − y� + �y� =⇒ �x� − �y� ≤ �x − y�De meme, �y� − �x� ≤ �x − y�
Soit (ui) une suite de points dans Rn. On dit que la suite
converge vers la limite u ∈ Rnlorsque la suite numerique
�ui − u� converge vers 0.
suites et leur limites
Geometriquement:
Pour toute boule B(u, �) autour de u, la suite restedans la boule a partir d’un certain point.
Definition equivalente (a la Cauchy):
Pour tout � > 0 il existe N� tel que
i ≥ N� =⇒ �ui − u� < �.
On montre facilement que la suite ((ai, bi)) dans R2
converge vers (a, b) si et seulement si ai → a et bi → b.
Preuve: prenons la 1-norme sur R2 ; alors
(ai, bi) → (a, b) ⇐⇒ �(ai, bi) − (a, b)�1 → 0
⇐⇒ |ai − a| + |bi − b| → 0. �
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terminologie
Un ensemble A est dit borne lorsqu’il existe R > 0tel que A ⊂ B(0, R).
(C-a-d, il existe R > 0 t.q. �x� ≤ R ∀x ∈ A.)
Par le theoreme de l’equivalence des normes, c’estune propriete qui ne depend pas du choix de norme.
Preuve :On applique la version connue dans la droite comme suit :
On extrait une sous-suite afin que la suite des premieres coordonnees
converge ; ensuite une sous-suite de la sous-suite afin que les deuxiemes
coordonnees convergent, etc.
Corollaire.(Bolzano-Weierstrass) Une suite dans Rn
qui est bornee admet une sous-suite (suite extraite)qui converge vers une limite.
On dit qu’un ensemble A est un voisinage (ou contient un voisinage) d’un point u lorsqu’il existe une boule B(u,r) comprise dans A.
Vue l’équivalence des normes (l’emboîtement), cette définition ne dépend pas de la norme utilisée.
Il en sera de même pour nos autres notions topologiques: ouvert, fermé, etc.
Exemple : dans R, l’intervalle [-1,1] est un voisinage du point 0, mais pas du point 1.
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Un ensemble A dans Rn est dit ouvert si, pour chaque u ∈ A,il existe r > 0 (qui depend de u) tel que B(u, r) ⊂ A.
Ici, la boule correspond a une norme quelconque sur Rn.
Puisque toutes ces normes sont equivalentes, on obtientla meme notion de ‘ouvert’, independamment du choixde norme.
Un ensemble est ouvert lorsqu’il est un voisinage de chacun des points qu’il contient.
Dans la droite R (n = 1), l’ensemble (l’intervalle)]0, 1[ est ouvert.
L’intervalle [0, 1], ou encore [0, 1[, ne l’est pas.
Rq: la boule unité ouverte est un ouvert.
sans arêtes (côtés)
avec arêtes (et sommets)A A
ouvert pas ouvert
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Un ensemble A est dit ferme lorsque soncomplementaire est ouvert.
sans arêtes
avec arêtes
fermé, pas ouvertouvert, pas fermé
A A
Demonstration
=⇒ Soit (xi) une suite dans A qui tend vers x. On va supposer
x /∈ A et obtenir une contradiction (preuve par l’absurde).
Or A est fermee, donc son complementaire ACest ouvert (par definition).
Alors il existe r > 0 tel que x ∈ B(x, r) ⊂ AC. Ceci entraıne
(definition de limite) que pour tout i suffisamment grand on a
xi ∈ B (x, r) ⊂ AC .
C’est bien une contradiction, puisque xi ∈ A ∀ i.
⇐= Soit A stable dans le sens indique ; on prouve que ACest ouvert,
en raisonnant par l’absurde. Si ACn’est pas ouvert, il existe x ∈ AC
tel que, quelque soit r > 0, la boule B(x, r) n’est pas comprise dans
AC. En prenant r =
1i, on en deduit que pour chaque i, il existe
xi ∈ A ∩ B(x, 1i). La suite (xi) converge vers x mais sa limite n’est
pas dans A, contradiction. �
Proposition Une partie A dans Rn est fermeesi et seulement si A est stable sous les limitesde suites dans A, au sens suivant :
xi ∈ A ∀ i ∈ N, limi→∞
xi = x =⇒ x ∈ A.
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avec une arête
ni ouvert ni fermé
L’ensemble vide ∅ est ouvert (convention).
Il est aussi ferme.
Les seuls ensembles dans Rn qui sont a la foisferme et ouvert sont ∅ et Rn.
A
Deuxieme partie. Soit A := ∩ki=1Ai une intersection finie
d’ouverts, et soit u un point dans A.
Pour chaque i, le point u appartient a Ai , qui est ouvert.
Donc par definition il existe une boule B(u, ri) comprise dans Ai.
On pose r := mini=1,2,...,k ri > 0.
Alors B(u, r) ⊂ A. On a prouve que A est ouvert.
Demonstration. Soit A :=�
τ∈T Aτ une reunion d’ouverts
(dans le meme Rn, bien sur).
Soit u un point dans A.
Il existe τ tel que u ∈ Aτ . Mais Aτ etant ouvert, il existe
par definition une boule B(u, r) comprise dans Aτ .
Il vient B(u, r) ⊂ A.
On a prouve que A est ouvert.
Proposition. Une reunion quelconque d’ouvertsest un ouvert. Une intersection finie d’ouvertsest un ouvert.
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Proposition. Une intersection quelconque defermes est un ferme. Une reunion finie de fermesest un ferme.
Demonstration.
Soit F :=�
τ∈T Fτ une intersection quelconque de fermes.
On veut prouver que F est ferme.
On a (par de Moivre)
F c=
�
τ∈T
F cτ .
Mais F cτ est ouvert pour chaque τ ∈ T . Donc F c
est un
ouvert, par la proposition precedente.
On a prouve que F est ferme.
La deuxieme affirmation est laissee en exercice.
intérieur d’un ensembleSoit A une partie dans Rn
. On definit l’interieur de Acomme etant la reunion de tous les ouverts contenus dans A.
Notation: intA ou A◦.
Il est equivalent de dire: la reunion de toutes
les boules ouvertes comprises dans A.
Ou encore: le plus grand ouvert compris dans A.
Il est clair que intA ⊂ A. Lorsque A ne contient aucune
boule, on a intA = ∅.
intA =A
A int A = ∅
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Rqs :
A est ouvert ssi A = int A
A est ouvert ssi son complémentaire est fermé
A est fermé ssi son complémentaire est ouvert
Soit A une partie dans Rn. On definit l’adherence
de A comme etant l’intersection de tous les fermes
qui contiennent A. (On dit aussi fermeture.)
Notation: adhA ou A.
Il est equivalent de dire: le plus petit ferme qui
contient A.
adhérence d’un ensemble
Corollaire. Un point u appartient a adhA ssi il existeune suite (ui) dans A qui converge vers u.
adhA =
Proposition. Un point u appartient a adhA ssi touteboule B(u, r) (ou r > 0) contient un point de A.
Rq : A est fermé ssi A = adh A
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frontière d’un ensembleSoit A une partie dans Rn
. On definit la frontiere de A,
notee frA ou ∂A, comme suit:
frA = adhA\intA.
frA =
Proposition. Un point u appartient a frA ssi touteboule B(u, r) (ou r > 0) contient un point de A ainsiqu’un point de son complementaire Ac.
avec une arête
ni ouvert ni fermé
AintA =
adhA =
frA =
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Proposition. Soit A une partie dans Rn. Alors
adhA = A ∪ frA = intA ∪ frA.
Demonstration. On a frA = adhA\intA par definition.
Alors
intA ∪ frA = intA ∪ [adhA\intA] = adhA.
On a donc egalite entre le premier et le troisieme terme
de l’enonce.
Il reste a prouver que les deux derniers ensembles coıncident.
On a evidemment
A ∪ frA ⊃ intA ∪ frA.
Verifions l’inclusion contraire, en considerant un point uquelconque dans A ∪ frA = A ∪ [adhA\intA].
Si u ∈ intA, alors u ∈ intA ∪ frA.
Si, au contraire, u /∈ intA, alors u est forcement dans adhA,
d’ou u ∈ adhA\intA = frA.
Dans les deux cas, on obtient u ∈ intA ∪ frA. �
Un ensemble A qui est ferme et borne est dit compact.
Theoreme de Bolzano-Weierstrasspour un compact
Soit (xi) une suite dans une partiecompacte A dans Rn. Alors il existeune sous-suite (xij) qui converge versun point x dans A.
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Les fonctions de plusieurs variables
Soit f : Rn → R une fonction (scalaire, reelle)
de n variables (reelles).
Notations:
f(x) (x ∈ Rn) ou f(x1, x2, . . . , xn) (xi ∈ R)
f(x, y, z) (n = 3); ou encore z = f(x, y) (n = 2)
On ecrit aussi
x = (x1, x2, . . . , xn) �→ f(x) = f(x1, x2, . . . , xn)
ou, pour definir la fonction f (par exemple):
f : R2 → R(x, y) �→ f(x, y) = x2
+ sin(xy) − xy4
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En general, la fonction f est definie seulementsur une partie D ⊂ Rn.
L’ensemble D, qui est souvent definiimplicitement, est le domaine de f .
Exemple
f(x, y) = ln(1 − x2 − y2)
Il faut
1 − x2 − y2 > 0
⇐⇒ x2 + y2 < 1D = B0(0, 1) ⊂ R2
(la boule unite ouverte dans R2)
Peut-on prolonger la fonction de façon naturelle à la frontière de son domaine?
Soit f : D → R une fonction, ou D est une region
dans Rn, soit w un point dans adhD, et soit �
un nombre reel.
On dit que f tend vers � lorsque x ∈ Rntend vers w,
et l’on ecrit
limx→w
f(x) = �
pourvu que pour tout � > 0, il existe δ = δ(�) > 0
tel que
x ∈ D, �x − w� < δ =⇒ |f(x) − �| < �.
Ici, x est une variable muette, mais w et � ont des
valeurs prescrites. A noter: x est restreint a D.
Informellement, ceci veut dire qu’en prenant
l’argument de f suffisamment proche de w, la valeur
de f sera aussi proche du nombre � que desire.
le choix de norme n’importe pas
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44
Remarques On peut ecrire plus explicitement
limx→wx∈D
f(x) = � ou lim
x→w, x∈D
f(x) = �.
Il faut que toutes les facons d’approcher
le point w donne la limite �.
Remarques
1. La limite se verifie (ou se contredit)
par les suites, au sens suivant.
On a limx→w
f(x) = � si et seulement si:
pour chaque suite xi dans D qui
converge vers w, on a
limi→∞
f(xi) = �.
2. Certaines propositions connues pour
n = 1 s’etendent facilement a n > 1,
par exemple: la limite de la somme =
la somme des limites, etc. (sous les
hypotheses analogues).
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Soit f : D → R une fonction, ou D est une region
dans Rn, et soit w un point dans adhD.
On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers w,
et l’on ecrit
limx→w
f(x) = +∞
pourvu que pour tout M > 0, il existe δ = δ(M) > 0
tel que
x ∈ D, �x − w� < δ =⇒ f(x) > M.
Informellement: en prenant l’argument de fsuffisamment proche de w, la valeur de f sera
arbitrairement grande.
Exemple: lim(x,y)→(0,0)
1
x2 + y2= +∞.
convergence vers l’infini
Soit f : Rn → R une fonction, et soit � ∈ R.
On dit que f tend vers � lorsque �x� tend vers +∞,
et l’on ecrit
lim�x�→∞
f(x) = �
pourvu que pour tout ε > 0, il existe M = M(ε)tel que
x ∈ Rn, �x� > M =⇒ |f(x) − �| < ε.
Informellement: en prenant l’argument de fsuffisamment grand en norme, la valeur de f sera
arbitrairement proche de �.
convergence quand x tend vers l’infini
Exemple: lim�(x,y)�→∞
1
x2 + y2= 0.
Evident en prenant � · � = � · �2 , car alors
1
x2 + y2=
1
�(x, y)�22
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Continuité des fonctions de plusieurs variables
Definition Soit f : D → R une fonction,
ou le domaine D est une partie dans Rn.
On dit que f est continue au point w si:
1. w ∈ D (donc, f(w) est defini)
2. On a
limx→w
f(x) = f(w)
La fonction est dite continue si elle est
continue en chaque point de son domaine.
Remarque On peut ecrire plus explicitement
limx→wx∈D
f(x) = f(w) ou lim
x→w, x∈D
f(x) = f(w).
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Remarque
La continuite se verifie (ou se contredit)par les suites, au sens suivant.
La fonction f est continue en w ∈ Dsi et seulement si:
pour chaque suite xi dans D quiconverge vers w, on a
limi→∞
f(xi) = f(w).
Exemple
f(x, y) =
�=
xyx2+y2 si (x, y) �= (0, 0)
= 0 si (x, y) = (0, 0)
On a bien (0, 0) ∈ D. Mais cette fonction n’est
pas continue, car (comme on le montre sur la
prochaine page)
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) n’existe pas !
Il n’y a aucun choix de f(0, 0) qui rendrait la
fonction continue ; la discontinuite en (0, 0) est
intrinseque.
51
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f(x, y) =xy
x2 + y2, D = R2\{(0, 0)}
Peut-on affirmer
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 ?
En s’approchant de l’origine (0, 0) verticalement(par l’axe des y), on obtient la limite 0(car f(0, ·) est identiquement 0).
De meme si l’on s’approche horizontalement(par l’axe des x).
Mais si l’on s’approche de (0, 0) en suivantla droite x = y, on a f(x, x) = 1/2, qui netend pas vers 0.
Conclusion: f n’admet aucune limite en (0, 0).
La continuite de f ne se verifie pasune coordonnee a la fois.
L’exemple montre que :
(car les fonctions partielles x �→ f(x, y) et y �→ f(x, y)
sont toutes continues)
53
54
On peut demontrer que certaines fonctions souvent rencontrees sont
continues, notamment:
Les polynomes en n variables; comme, par exemple,
f(x, y) = x2y + y4(pour n = 2).
La fonction (x, y) �→ xy(dans la region x > 0).
On montre aussi que les sommes, produits, composes, etc. de fonc-
tions continues sont continues. Il suit (mais nous omettons les details)
que des fonctions telles les suivantes sont continues (en respectant les
domaines de definition):
f(x, y) = x2y + y4+ ln(x + y + 3), dans le demi-plan x + y + 3 > 0
g(x, y) = (sinx)2 cosx + (cos y)4 + ln(sinx + cosx + 3), partout
h(x, y) =P (x,y)Q(x,y)
, ou P,Q sont des polynomes, quand Q(x, y) �= 0
ϕ(x, y, z) = arcsin(x+ex+z−cos(x+y+z)), dans un voisinage de (0, 0, 0)
(exactement, ou |x + ex+z − cos(x + y + z)| ≤ 1)
Propriétés des fonctions continues
• les ensembles de niveau sont fermés
• stabilité locale d’une valeur
• existence d’un min/max
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Continuité et ensembles de niveauProposition. Soit f : Rn → R une fonction continue, et soit λ ∈ R.Alors les ensembles (de niveau, sous-niveau, sur-niveau) suivantssont fermes:
{x ∈ Rn : f(x) = λ}, {x ∈ Rn : f(x) ≤ λ}, {x ∈ Rn : f(x) ≥ λ},
et les ensembles suivants sont ouverts:
{x ∈ Rn : f(x) < λ}, {x ∈ Rn : f(x) > λ}.
Demonstration. (pour l’ensemble de niveau
Aλ := {x ∈ Rn: f(x) = λ}
�
Soit (ui) une suite dans Aλ qui converge vers u. Alors f(ui) = λ ∀i.Par la continuite de f , on a f(u) = limi→∞ f(ui) = λ.Donc u ∈ Aλ.
On a prouve que Aλ est ferme. �
Rappel. Un ensemble A dans Rn est ferme si et seulement siA est stable sous la convergence des suites ; c-a-d
ui ∈ A ∀i, ui → u =⇒ u ∈ A.
application: pour montrer qu’un ensemble est fermé, il suffit de l’exprimer comme un ensemble de niveau (ou sous-niveau au sens large) d’une fonction continue
Exemple
Le premier quadrant
Q1 := {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}
est ferme, car
Q1 = {(x, y) : x ≥ 0} ∩ {(x, y) : y ≥ 0}= {(x, y) : f(x, y) ≥ 0} ∩ {(x, y) : g(x, y) ≥ 0}
ou f(x, y = x et g(x, y) = y sont des fonctions continues(des polynomes).
Puisque l’intersection de deux fermes est ferme, il vientque Q1 est ferme.
57
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Generalisation : Les ensembles de niveau (ou sous-niveau,
ou sur-niveau) d’une fonction continue definie sur un
domaine ferme sont fermes. Formellement:
Proposition Soit f : D → R une fonction continue, ou
D ⊂ Rnest ferme. Alors les ensembles
{x ∈ D : f(x) = λ} et {x ∈ D : f(x) � (ou �)λ}
sont fermes.
Demonstration On traite l’ensemble de niveau S, en utili-
sant le critere par suite. Soit xi une suite dans Sconvergeant vers un point x. Il faut montrer que x ∈ S.
Or xi ∈ D pour chaque i, et D est ferme; il vient x ∈ D.
On a aussi f(xi) = λ pour chaque i, d’ou (par la
continuite de f) f(x) = λ. Conclusion: x ∈ S.
Remarque Il faut que l’ensemble de sous-niveau (ou de
sur-niveau) soit defini par une inegalite au sens large pour
que l’ensemble soit ferme.
D
Démonstration : exercice
u
Stabilite locale de la valeur d’une fonction continue.
Soit f : D → R une fonction, ou D est un domainedans Rn, et soit u ∈ D un point de continuite de f .
Si f(u) = λ, alors pour tout � > 0 il existe unvoisinage de u, disons une boule B(u, r), tel que
x ∈ B(u, r) ∩ D =⇒ λ − � < f(x) < λ + �.
)(λ=
f(u)
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60
Corollaire
Une fonction continue qui est positive en un pointest positive localement autour du point.
Formellement:
Proposition Soit f : D → R une fonction, soitw ∈ D un point de continuite de f tel que f(w) > 0.Alors il existe un voisinage W de w tel que
x ∈ D ∩ W =⇒ f(x) > 0.
Exemple
Montrer que la fonction
(x, y) �→ ln(x + sin(x2y))
est definie et continue dans un voisinage du point (1, 0) dans R2.
(a) Les fonctions (x, y) �→ x et (x, y) �→ x2y sont continues sur R2, en
tant que polynomes.
(b) La fonction (x, y) �→ sin(x2y) est continue, etant la composee de
fonctions continues (on sait que sin est continue).
(c) La fonction (x, y) �→ g(x, y) := x + sin(x2y) est continue, car elle
est la somme de deux fonctions continues.
(d) On a g(1, 0) = 1 + sin 0 = 1. Par la continuite de g, il existe
un voisinage V du point (1, 0) dans lequel g reste strictement posi-
tive.
(e) Pour (x, y) dans V , la fonction (x, y) �→ ln(g(x, y)) (c-a-d la fonc-
tion f) est alors bien definie et continue, par les proprietes connues
de la fonction ln(·).
preuve :
61
62
exemple enune dimension Minimiser la fonction f(x) := ex
3sur R.
C’est absolument faux !
Il aurait fallu savoir a priori qu’un minimum existe !
On sait qu’en un point x donnant le min de la fonction,
la derivee s’annule. (C’est la regle de Fermat.) Donc on
pose f �(x) = 0 :
f �(x) =
�ex
3��
= 3x2ex3
= 0.
Le seul point qui satisfait ceci est x = 0.
Conclusion: le min est atteint en 0.
existence d’un min/max
Exemple (n = 1) Soit A l’intervalle [0,∞[ et f la fonction
f(x) = e−x.
On a infA f = 0 et supA f = 1.
Soit A une partie non vide dans Rn, et f : A → R une fonction. On
note infA f la borne inferieure de l’image de A par f , c-a-d, la borne
inferieure de l’ensemble f(A) de reels suivant:
f(A) = {f(u) : u ∈ A}.
Rappel: il s’agit du plus grand minorant de f(A); si f(A) n’admet
aucun minorant, alors infA f = −∞ par definition.
De meme pour supA f .
5
e−x
x
1
Notons que supA f est atteint dans cet exemple,mais infA f ne l’est pas.
63
64
Remarque
Soit A une partie non vide dans Rn, et f : A → R
une fonction.
La borne inferieure infA f de f sur A n’est pas
forcement atteinte par un point de A. C-a-d, le
infimum ne correspond pas toujours a un minimum.
On utilise ce mot ‘minimum’ lorsque le inf est atteint ;
on ecrit alors minA f .
Cependant, il existe toujours une suite minimisante:une suite (xi) dans A telle que
limi→∞
f(xi) = infA
f .
(Ceci reste vrai dans le cas ou infA f = −∞.)
Le probleme abstrait
(P) minA
f
optimis!tion
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L’importance en optimisation d’un théorème d’existence a priori vient de cette logique.Cette logique fait défaut en absence d’un théorème d’existence
La methode deductive applique le raisonnementsuivant pour resoudre (P) :
• Prouver qu’une solution de (P) existe;
• Etudier les conditions necessaires afind’identifier les eventuelles solutions;
• Comparer les points trouves afin dedecouvrir la (ou les) solutions.
Le théorème suivant (de Weierstrass) est de forte importance en optimisation.
Theoreme (de Weierstrass) Soit f : A → R une fonctioncontinue, ou A ⊂ Rn est un compact non vide. Alors fatteint un minimum sur A, et atteint un maximum sur A.
Demonstration La demonstration utilise une suiteminimisante ; elle ne traite que le cas d’un minimum,l’autre etant pareil.
Soit α le infimum de f sur A. A priori , α pourraitetre −∞, ou bien un nombre fini mais n’atteint paraucun point dans A.
Soit xi une suite minimisante pour infA f ; c-a-d, on axi ∈ A et limi f(xi) = α. L’ensemble A etant compact,on peut extraire une sous-suite xϕ(i) qui converge versune limite x∗ ∈ A (Bolzano-Weierstrass + compacite).
Par la continuite de f , on obtient
f(x∗) = limi
f(xϕ(i)) = limi
f(xi) = α ∈ R.
Il vient f(x∗) = α, d’ou la conclusion: f atteint unminimum (fini) par rapport a D en x∗. �
borné + fermé
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En général, l’existence peut faire défaut en absence de soit la compacité de A, soit la continuité de f
exemple manque de compacité
exemple manque de continuité
Il n’est pas dit que, dans des cas précis, on n’aura pas l’existence même si ces ingrédients ne sont pas présents
inf = 0pas atteint
inf = 0pas atteint
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e−x
x
1A = [0,∞)
x
f
A = [a, b]
a b
Que faut-il retenir ?
Beaucoup de définitions !
• Definitions de base en topologie : ouvert, ferme,convexe, borne, compact, voisinage, interieur,adherence, frontiere ; relations entre ces notions
• Les normes, et l’equivalence des normes
• Convergence des suites dans Rn
• La continuite et ses consequences (notammentle theoreme de Weierstrass)
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Fin du troisième cours
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