michael wiper departamento de estadística universidad...

Probabilidad

Michael Wiper

Departamento de Estadística

Universidad Carlos III de Madrid

M. Wiper Estadística 1 / 15

Objetivo

Introducir el concepto y las leyes de la probabilidad y sus interpretaciones.

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Idea de la probabilidad

La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...

Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.

No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.

Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.

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Idea de la probabilidad

La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...

Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.

No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.

Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.

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Idea de la probabilidad

La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...

Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.

No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.

Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.

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Idea de la probabilidad

La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...

Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.

No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.

Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.

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Conceptos fundamentales

Supongamos que vamos a realizar un experimento aleatorio y estamos interesadosen la probabilidad de que ocurra un determinado suceso.

Experimento: preguntar a un ciudadano español adulto su opinión sobre la GC.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles respuestas a la pregunta

Ω = muy negativa, negativa, indiferente, positiva, muy positiva, NS, NC

Suceso elemental: es un resultado básico del experimento, positiva.Suceso compuesto: expresar una opinión favorable sobre la GC

F = positiva, muy positiva

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Axiomas de la probabilidad

En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.

Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.

Probabilidades son no-negativas.

Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.

La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.

Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces

P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑

i

P(Si ).

Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.

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Axiomas de la probabilidad

En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.

Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.

Probabilidades son no-negativas.

Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.

La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.

Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces

P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑

i

P(Si ).

Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.

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Axiomas de la probabilidad

En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.

Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.

Probabilidades son no-negativas.

Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.

La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.

Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces

P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑

i

P(Si ).

Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.

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Axiomas de la probabilidad

En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.

Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.

Probabilidades son no-negativas.

Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.

La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.

Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces

P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑

i

P(Si ).

Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.

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Probabilidad y diagramas de Venn

Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn.Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.

Supongamos que el área del rectangulo es 1.

Para cualquier suceso S tenemos 0 ≤ P(S) ≤ 1.

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Probabilidad y diagramas de Venn

Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn.Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.

Supongamos que el área del rectangulo es 1.

Para cualquier suceso S tenemos 0 ≤ P(S) ≤ 1.

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Probabilidad y diagramas de Venn

Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn.Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.

Supongamos que el área del rectangulo es 1.

Para cualquier suceso S tenemos 0 ≤ P(S) ≤ 1.

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Probabilidad y diagramas de Venn

La probabilidad de que no ocurra S es

P(S) = 1− P(S).

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Probabilidad y diagramas de Venn

Si S1, S2, S3 son incompatibles

P(S1 ∪ S2 ∪ S3) = P(S1) + P(S2) + P(S3)

En lengua cotidiana ∪ es o: S1 ∪ S2 implica por lo menos uno de los dos sucesosocurren.

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Probabilidad y diagramas de Venn

Si S1, S2 no son incompatibles

P(S1 ∪ S2) = P(S1) + P(S2)− P(S1 ∩ S2)

En lengua cotidiana ∩ es y: S1 ∩ S2 implica que los dos sucesos ocurren.

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Ejemplo

La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para unapregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS.

Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije quehabía mucho fraude scal?

¾Y la probabilidad de que dije bastante?

¾Y la probabilidad de que no dije bastante?

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Ejemplo

La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para unapregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS.

Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije quehabía mucho fraude scal?

¾Y la probabilidad de que dije bastante?

¾Y la probabilidad de que no dije bastante?

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Ejemplo

La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para unapregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS.

Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije quehabía mucho fraude scal?

¾Y la probabilidad de que dije bastante?

¾Y la probabilidad de que no dije bastante?

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Interpretaciones de la probabilidad

La formulación de Kolmogorov es puramente matemática pero necesitamosrelacionar la probabilidad a la vida real.

Hay tres interpretaciones típicas:

Probabilidad clásica.

Probabilidad frecuentista.

Probabilidad subjetiva.

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Probabilidad clásica

Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de unsuceso S es

P(S) =1

K× el número de sucesos elementales en S

¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada sesaquen una cara y una cruz?

Ω = (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)S = (cruz, cara), (cara, cruz

P(S) =2

4=

1

2

En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas lasposibles respuestas son equiprobables?

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Probabilidad clásica

Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de unsuceso S es

P(S) =1

K× el número de sucesos elementales en S

¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada sesaquen una cara y una cruz?

Ω = (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)S = (cruz, cara), (cara, cruz

P(S) =2

4=

1

2

En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas lasposibles respuestas son equiprobables?

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Probabilidad clásica

Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de unsuceso S es

P(S) =1

K× el número de sucesos elementales en S

¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada sesaquen una cara y una cruz?

Ω = (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)S = (cruz, cara), (cara, cruz

P(S) =2

4=

1

2

En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas lasposibles respuestas son equiprobables?

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Probabilidad frecuentista

Si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia (relativa) con que ocurreel suceso sería una aproximación a la probabilidad

Probabilidad = el valor límite de la frecuencia

¾Es fácil pensar en innitas repeticiones de situaciones como escenarios decrimenes?

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Probabilidad frecuentista

Si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia (relativa) con que ocurreel suceso sería una aproximación a la probabilidad

Probabilidad = el valor límite de la frecuencia

¾Es fácil pensar en innitas repeticiones de situaciones como escenarios decrimenes?

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Probabilidad subjetiva

¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?

Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos,experiencia, ...

Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.

¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?

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Probabilidad subjetiva

¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?

Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos,experiencia, ...

Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.

¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?

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Probabilidad subjetiva

¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?

Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos,experiencia, ...

Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.

¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?

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Resumen y siguiente sesión

En esta sesión hemos introducido las leyes básicas de la probabilidad y susinterpretaciones más usuales.

En la siguiente sesión ilustramos como cambiar la probabilidad en luz de nuevainformación.

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