Intervalos de con�anza

Michael Wiper

Departamento de Estadística

Universidad Carlos III de Madrid

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Objetivo

Ilustrar como calcular intervalos de con�anza para una media y una proporción.

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Intervalo de con�anza para la media de una

población normal: varianza conocida

En la sesión anterior, vimos la formula general:

Dada una muestra, x1, ..., xn de una población con media (desconocida) µ yvarianza conocida σ2, un intervalo de 95% de con�anza para la media poblacionalµ es

x̄ ± 1,96σ/√n.

El cálculo del intervalo se puede hacer con calculadora o través del Excel.

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EjemploSe quería estimar la velocidad media en una calle con un límite teórico de 50kmpor hora. Con un radar oculto, se observó que la velocidad media de una muestrade 25 coches fue de 58km/hora. Si la desviación típica de la velocidad en estacalle es de 6km/hora, calcular un intervalo de 95% de con�anza para la verdaderavelocidad media.

Un intervalo de con�anza es

58± 1,96 ∗ 6/√25 = 58± 2,35 = (55,65, 60,35).

Se estima que la verdadera velocidad media en esta calle es entre 55,65km/hora y60,35km/hora.

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¾Qué pasa si la varianza poblacional es

desconocida?

El supuesto que se conoce la desviación típica de velocidades en la calle cuandono se conoce la media es poco realista en la práctica.

Una alternativa en esta situación es usar la (cuasi) desviación típica muestral, spara estimar la desviación típica de la población.

Ahora si la muestra es de tamaño grande, el intervalo es:

x̄ ± 1,96s/√n.

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Ejemplo

En 100 pruebas de alcoholemia de conductores que han saltado un semáforo enAranjuez el nivel medio de alcohol en aire era de 0,65 mg/litro con una cuasidesviación típica de 0,1mg/litro. hallar un intervalo de 95% de con�anza para laverdadera nivel media de alcohol en el aire para conductores que saltan elsemáforo.

El intervalo es 0,65± 0, 02 = (0,63, 0,67).

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Ejemplo

En la encuesta del CIS de abril 2015 la valoración media de la Guardia Civil fue6,02 (con desviación típica 2,82) de un total de 2389 encuestados. Hallar unintervalo de 99% de con�anza para la verdadera valoración media de la GuardiaCivil en España.

El intervalo es 6, 02± 0, 149 = (5,87, 6,17).

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El intervalo de con�anza para la media dada una

muestra pequeña

Para una muestra pequeña (< 50), no se puede aplicar la misma fórmula. En estecaso, el intervalo asociado con un nivel de con�anza de 100(1− α) % es

x̄ ± tα2 ,n−1s/

√n.

¾Qué es tα2 ,n−1?

Es el punto de la distribución t de Student con n − 1 grados de libertad.

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El intervalo de con�anza para la media dada una

muestra pequeña

Para una muestra pequeña (< 50), no se puede aplicar la misma fórmula. En estecaso, el intervalo asociado con un nivel de con�anza de 100(1− α) % es

x̄ ± tα2 ,n−1s/

√n.

¾Qué es tα2 ,n−1?

Es el punto de la distribución t de Student con n − 1 grados de libertad.

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Ejemplo

Consideramos el ejemplo del inicio de la sesión y supongamos ahora que la cuasidesviación típica de la muestra de 25 coches fue 6km/hora.

Para hacer el intervalo, podemos utilizar tablas de la distribución t de Studentpero también se puede hacer el cálculo con versiones recientes de Excel a travésde la función INTERVALO.CONFIANZA.T.

El intervalo es 58± 2,06 ∗ 6/√25 = 58± 2,477 ≈ (55,5, 60,5), ligeramente más

ancho que el intervalo suponiendo la desviación conocida.

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Intervalo de con�anza para una proporción

También, se puede hacer un intervalo típico para una proporción poblacional pdada una proporción muestral p̂ con la siguiente fórmula:

p̂ ± 1,96

√p̂(1− p̂)

n.

Sería bastante lioso a mano, pero se puede hacer con Excel con un pequeño truco.

Recordamos el intervalo para una media

x̄ ± 1,96σ/√n.

Sustituimos σ por√

p̂(1− p̂) es la parte marcada en rojo.

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Intervalo de con�anza para una proporción

También, se puede hacer un intervalo típico para una proporción poblacional pdada una proporción muestral p̂ con la siguiente fórmula:

p̂ ± 1,96

√p̂(1− p̂)

n.

Sería bastante lioso a mano, pero se puede hacer con Excel con un pequeño truco.

Recordamos el intervalo para una media

x̄ ± 1,96σ/√n.

Sustituimos σ por√

p̂(1− p̂) es la parte marcada en rojo.

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Ejemplo

De una muestra de 100 pruebas aleatorias de alcoholemia, 10 conductores danpositivo. Hallar un intervalo de con�anza para la verdadera proporción deconductores en España que van borrachos.

n = 100 y p̂ = 10/100 = 0,1. Luego el intervalo es

0,1± 1,96√0,1 ∗ 0,9/100 = 0,1± 0,059 = (0,041, 0,159).

Se estima que entre 4% y 16% de los conductores van bebidos.

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Ejemplo

En la encuesta del CIS del abril de 2015, en una encuesta de 2479 personas, un75,3% aprobaron el trabajo de la Guardia Civil. hallar un intervalo de 95% decon�anza para la verdadera proporción de españoles quie aprueban a la GuardiaCivil.

El intervalo es 0,753± 0,017 = (0, 736, 0, 770). Se estima que entra un 73,6% yun 77,0% de la gente apoyan al trabajo de la Guardia Civil.

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Resumen y siguiente sesión

En esta sesión hemos ilustrado como hacer intervalos de con�anza para una mediay una proporción.

En la siguiente sesión, mostramos como podemos ver si los datos de una muestraproprcionan evidencias a favor de un hipótesis.

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