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Lógica Matemática e

Computacional

RANILDO LOPES

“Não sou o melhor, sei disso,

mas faço o melhor que

posso!!”

2.1. Sentença, Verdade e Proposição

2. Conceitos Preliminares

Cálculo Proposicional

Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática

temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO

SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO

Sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma

linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira

ou que seja falsa.

· A lua é quadrada.

· A neve é branca.

· Matemática é uma ciência.

. 3 < 4

. = 3,14

. 1 é primo

. Zero é par

Sentença e Proposição

• A lógica formal pode representar as afirmações que

fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos

ou transmitir informações. Uma proposição (ou

declaração) é uma sentença que é falsa ou verdadeira.

• Considere as seguintes sentenças:

(a) Dez é menor do que sete.

(b) Como está você?

(c) Ela é muito talentosa.

(d) Existe vida em outros planetas do universo.

É uma proposição, já que é falsa.

Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição.

Não é uma proposição. Ela não está

especificada, não é falsa nem verdadeira.

É proposição.

Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.

Consideração inicial

A lógica analisa os argumentos em vista de sua validade,não de sua veracidade.

Ex: Se todo homem dessa sala é candidato à engenheiro

e se todo candidato a engenheiro é bonito

então todo homem dessa sala é bonito.

Ex:

Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o

Marcelo Anthony juntos.

O time das Pererecas Felizes vai ganhar o torneio de

Handball da Faculdade.

Essa frase é falsa.

Proposição

Exemplo:

Foi detectado que alguns prefeitos não moram

nos municípios onde trabalham. O governo federal

criou então o município de Pizzalândia e nele só

podem morar os prefeitos que não moram em

seus municípios.

Onde mora o prefeito de Pizzalândia?

Definição de um objeto.

TERMO (Palavra) – Definição:

Paula

Um filme de terror

Triângulo retângulo

Exemplo:

Cálculo Proposicional

Todo o conjunto de termos ou símbolos

que exprimem um pensamento

de sentido completo.

Todo homem é mortal.

A Lua é um satélite da Terra.

Exemplo:

sen /2 = cos /2

PROPOSIÇÃO – Definição

As PROPOSIÇÕES

transmitem pensamentos,

isto é,

afirmam fatos ou exprimem juízos

que formamos a

respeito de determinados entes.

PROPOSIÇÃO

PROPOSIÇÃO – Definição

A linguagem NATURAL permite vários tipos

de proposições:

DECLARATIVA: Meu carro é azul.

INTERROGATIVA: Está frio?

EXCLAMATIVA: Que lindo!

IMPERATIVA: Cale a boca.

PROPOSIÇÃO – Definição

CÁLCULO PROPOSICIONAL:

Permite apenas as

proposições

DECLARATIVAS.

PROPOSIÇÃO – Definição

Exercício

• Quais das frases a seguir são proposições declarativas?

A lua é feita de queijo verde.

Ele é, certamente, um homem alto.

Dois é um número primo.

O jogo vai acabar logo?

Os juros vão subir ano que vem.

Os juros vão descer ano que vem.

x2 – 4 = 0.

Exercício

• Quais das frases a seguir são proposições?

A lua é feita de queijo verde.

Ele é, certamente, um homem alto.

Dois é um número primo.

O jogo vai acabar logo?

Os juros vão subir ano que vem.

Os juros vão descer ano que vem.

x2 – 4 = 0.

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO.

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.

A Lógica Matemática adota como regras

fundamentais do pensamento os 2 princípios:

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:

Uma proposição NÃO pode ser

FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.

O Brasil é pentacampeão de futebol.

O Brasil possui pena de morte.

Verdade (V)

Falso (F)

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:

Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa,

isto é, verifica-se sempre um destes casos

e nunca um terceiro.

LÓGICA BIVALENTE

PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS

O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:

VERDADE se esta for VERDADEIRA;

FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Assim, o que os princípios da não contradição

e o do terceiro excluido afirmam é que:

Toda proposição tem um, e um só,

dos valores V, F.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO

Qual é Valor Lógico (V ou F) das

proposições a seguir?• O número 17 é primo. ( )

• Fortaleza é a capital do Maranhão. ( )

• TIRADENTES morreu afogado. ( )

• (3 + 5)2 = 32 + 52. ( )

• O valor archimediano de é 22/7. ( )

• -1 < -7. ( )

• 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( )

• As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( )

• Todo polígono regular convexo é inscritível. ( )

• O hexaedro regular tem 8 arestas. ( )

• O número 17 é primo. ( V

• Fortaleza é a capital do Maranhão. ( F

• TIRADENTES morreu afogado. ( F

• (3 + 5)2 = 32 + 52. ( F

• O valor archimediano de é 22/7. ( V

• -1 < -7. ( F

• 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( V

• As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( F

• Todo polígono regular convexo é inscritível. ( V

• O hexaedro regular tem 8 arestas. ( F

• A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( )

• Todo número divisível por 5 termina por 5. ( )

• O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( )

• sen2 30º + sen2 60º = 2. ( )

• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( )

• As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( )

• O número 125 é cubo perfeito. ( )

• 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( )

• O cubo é um poliedro regular. ( )

• tg /4 < tg /6. ( )

Qual é Valor Lógico (V ou F) das

proposições a seguir?

• A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( F

• Todo número divisível por 5 termina por 5. ( F

• O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( V

• sen2 30º + sen2 60º = 2. ( F

• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. ( V

• As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( V

• O número 125 é cubo perfeito. ( V

• 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( V

• O cubo é um poliedro regular. ( V

• tg /4 < tg /6. ( F

Proposição NÃO contém nenhuma outra

proposição como parte integrante

de si mesmo.

Minha casa é grande.

PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

Seus olhos são azuis.

Está calor.

PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS

São designadas pelas letras latinas

minúsculas p,q,r,s,...,

chamadas letras proposicionais.

p: Minha casa é grande.

q: Seus olhos são azuis.

r: Está calor.

PROPOSIÇÕES SIMPLES OU ATÔMICAS

PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

Formada pela combinação de 2 ou mais

PROPOSIÇÕES.

Minha casa é grande e meu carro é azul.

PROPOSIÇAO COMPOSTA (MOLÉCULAS)

Seus olhos são azuis ou verdes.

Se está calor, então é verão.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

São designadas pelas letras latinas

maiúsculas P,Q,R,S,...,

chamadas letras proposicionais.

P: Minha casa é grande e meu carro é azul.

Q: Seus olhos são azuis ou verdes.

R: Se está calor, então é verão.

PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

Também chamadas de

fórmulas proposicionais ou fórmulas.

PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULAS)

Notação:

P(q,r,s) – significa que P

é uma proposição composta das

proposições atômicas q,r e s.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU MOLECULARES

Os símbolos da Linguagem do

Cálculo Proposicional

VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS SIMPLES E COMPOSTAS

Proposições Simples: letras minúsculas p, q, r, s,....

Ex: A lua é quadrada: p

A neve é branca: q

Proposições Compostas: letras maiúsculas P, Q, R, S,....

Ex: Carlos é estudante e Pedro é Careca: P

Se André é médico então sabe biologia: Q

• P (p, q, r, ...) indica que a proposição composta P é combinação das

proposições simples p, q, r, ...

• O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p) e o de

uma proposição composta P por V(P).

Termos usados para formar novas

proposições a partir de outras.

E OU NÃO

SE...

ENTÃO...

...SE E

SOMENTE SE...

Conectivos Lógicos

CONECTIVO – Exemplos:

P: Minha casa é grande e meu carro é azul.

Q: Seus olhos são azuis ou verdes.

R: Se está calor então é verão.

S: Não está chovendo.

T: O triângulo é equilátero se e

somente se é equiângulo.

Conectivos Lógicos

Operadores Lógicos

Assim como operamos com números, asproposições também podem ser “operadas”utilizando os operadores lógicos. São eles:

Conjunção - E (^)

Disjunção - Ou (v)

Condicional - Se ... então ()

Bi-condicional - Se e só se ()

Conectivos Lógicos

Exemplos

• A lua é quadrada e a neve é branca.

p q (p e q são chamados conjunctos)

• A lua é quadrada ou a neve é branca.

p q (p e q são chamados disjunctos)

• Se a lua é quadrada então a neve é branca.

p q (p é o antecedente e q o consequente)

• A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.: p q

• A lua não é quadrada.: ~p

Outros Exemplos

• Pedro é estudante e Carlos professor.

p q (p e q são chamados conjunctos)

• O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.

p q (p e q são chamados disjunctos)

• Se Roberto é engenheiro então sabe matemática.

p q (p é o antecedente e q o conseqüente)

• O triângulo ABC é equilátero se e somente se tem os três

lados iguais.: p q

• Não tenho carro.: ~p

Símbolos Auxiliares

( ), servem para denotar o "alcance" dos conectivos.

Exemplos: p: a lua é quadrada e q: a neve é branca

· Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não

é quadrada.:

((p q) ~p)

· A lua não é quadrada se e somente se a neve é

branca.:

((~p) q))

Definição de Fórmula

1. Toda fórmula atômica é uma fórmula.

2. Se A e B são fórmulas então (A B), (A B), (A B), (A

B) e (~ A) também são fórmulas.

3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2..

Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos:

~, , , , .

Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.

Exemplo: a fórmula p q ~ r p ~ q deve ser entendida como

(((p q) (~ r)) ( p (~ q)))

Negação (~)

Dada uma proposição p, sua negação será denotada por

~p (não p).

Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa.

Ex: p = Bia está usando tênis preto.

~p = Bia não está usando tênis preto.

p = Esta frase possui cinco palavras.

~p = Esta frase não possui cinco palavras.

Chama-se negação de uma proposição p a proposição

representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é

falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

• A negação de “nunca” é

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

• A negação de “p e q” é

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

• A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

• A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

• A negação de “p ou q” é

Algumas observações

sobre a negação

• A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

• A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

• A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

• A negação de “p ou q” é “~p e ~q”

1. A resposta 2 é 2 ou 3.

1. A resposta é nem 2 nem 3.

2. A resposta não é 2 ou não é 3.

3. A resposta não é 2 e não é 3.

Quais negações das proposições

estão corretas?

1. A resposta 2 é 2 ou 3.

1. A resposta é nem 2 nem 3.

2. A resposta não é 2 ou não é 3.

3. A resposta não é 2 e não é 3.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.

1. Pepinos não são verdes e não têm sementes.

2. Pepinos não são verdes ou não têm sementes.

3. Pepinos são verdes e não têm sementes.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.

1. Pepinos não são verdes e não têm sementes.

2. Pepinos não são verdes ou não têm sementes.

3. Pepinos são verdes e não têm sementes.

Quais negações das proposições

estão corretas?

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.

1. 2 > 7 e 3 é par.

2. 2 7 e 3 é par.

3. 2 7 ou 3 é ímpar.

4. 2 7 ou 3 é par.

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.

1. 2 > 7 e 3 é par.

2. 2 7 e 3 é par.

3. 2 7 ou 3 é ímpar.

4. 2 7 ou 3 é par.

1. Se a comida é boa, então o serviço é excelente.

Escreva a negação das afirmações a seguir.

A comida é boa, mas o serviço é ruim.

2. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.

A comida é ruim e o serviço também.

Sejam as proposições p e q, traduzir para a

linguagem corrente as seguintes proposições:

1. p: Está frio e q: Está Chovendo.

a) ~p b) p ^ q c) p v q

d) q p e) p ~q f) p v ~q

g) ~p ^ ~q h) p ~q i) p ^ ~q p

2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz.

a) q p b) p v ~q c) q ~p d) ~p

q e) ~~p f) ~p ^ q p

Sejam as proposições p e q, traduzir para a

linguagem corrente as seguintes proposições:

3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala

alemão.

a) q v p b) p ^ q c) p ^ ~q

d) ~p ^ ~q e) ~~p f) ~(~p ^ ~q)

4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista.

a) ~(~p ^ ~q) b) ~~p c) ~(~p v ~q)

d) p ~q e) ~p ~q f) ~(~q p)

Sejam as proposições p e q, traduzir para a

linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Marcos é alto e elegante

b) Marcos é alto, mas não é elegante

c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante

d) Marcos não é nem alto e nem elegante

e) Marcos é alto ou é baixo e elegante

f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante

5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante.

Sejam as proposições p e q, traduzir para a

linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Suely é pobre, mas feliz

b) Suely é rica ou infeliz

c) Suely é pobre e infeliz

d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz

6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz.

Sejam as proposições p e q, traduzir para a

linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão

b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão

c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão

d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não

fala francês

7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês

e r: Carlos fala alemão.

Traduzir para a linguagem simbólica as

seguintes proposições matemáticas:

8. a) x = 0 ou x > 0 b) x 0 ou y 0

c) x > 1 ou x + y > 0 d) x2 = x . x ou x0 = 1

9. a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0

b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0)

d) x + y = 0 e z > 0) ou z = 0

c) x 0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0)

Traduzir para a linguagem simbólica as

seguintes proposições matemáticas:

10. a) Se x > 0 então y = 2

b) Se x + y = 2 então z > 0

d) Se z > 5 então x 1 e x 2

c) x = 1 ou z = 2 então y > 1

e) Se x y então x + z > 5 e y + z < 5

f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1

g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0

h) Se y = 4 e se x < y então x < 5

Gabarito

1.

a) Não está frio

b) Está frio e está chovendo

c) Está frio ou está chovendo

d) Está chovendo se e somente se está frio

e) Se está frio, então não está chovendo

f) Está frio ou não está chovendo

g) Não está frio e não está chovendo

h) Está frio se e somente se não está chovendo

i) Se está frio e não está chovendo, então está frio

2.

a) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico

b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz

c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico

d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz

e) Não é verdade que Jorge não é rico

f) Se Jorge não é rico, e Carlos é feliz, então Jorge é

rico

Gabarito

Gabarito

3.

a) Cláudio fala alemão ou inglês

b) Cláudio fala inglês e alemão

c) Cláudio fala inglês, mas não alemão

d) Não é verdade que Cláudio fala inglês e alemão

e) Não é verdade que Cláudio não fala inglês

f) Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem

alemão

Gabarito

4.

a) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaime

não é paulista

b) Não é verdade que João não é gaúcho

c) Não é verdade que João não é gaúcho ou que

Jaime não é paulista

d) Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista

e) Se João não é gaúcho então Jaime não é paulista

f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então

João é gaúcho

Gabarito

5.

a) p ^ q b) p ^ ~q c) ~(~p v q)

d) ~p ^ ~q e) p v (~p ^ q) f) ~(~p v ~q)

6.

a) ~p ^ q b) p v ~q

c) ~p ^ ~q d) (~p v q) ^ ~q

Gabarito

7.

a) (p v q) ^ ~r b) (p ^ q) v ~(p ^ r)

c) ~(p ^ ~r) d) ~((q v r) ^ ~p)

8.

a) x = 0 v x > 0 b) x 0 v y 0

c) x > 1 v x + y > 0 d) x2 = x . x v x0 = 1

Gabarito

9.

a)(x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0

b) x = 0 ^ (y + z > x v z = 0)

c) x 0 v (x = 0 ^ y < 0 ^ z = 0)

d) (x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0

Gabarito

10.

a) x > 0 y = 2

b) x + y = 2 z > 0

c) x = 1 v z = 2 y > 1

d) z > 5 x 1 ^ x 2

e) x y x + z > 5 ^ y + z < 5

f) (x + y > z ^ z = 1) x + y > 1

g) x < 2 x = 1 v x = 0

h) y = 4 ^ (x < y x < 5)