projektiranje optimalnih fir filtara

Projektiranje optimalnih Projektiranje optimalnih FIR filtaraFIR filtara

Digitalna obradba signala

2

Valovitost kod filtaraValovitost kod filtara Filtri dobiveni metodom vremenskih otvora

valovitost definirana vrstom vremenskog otvora nemogućnost kontrole nad valovitostima u

pojedinim frekvencijskim područjima Filtri dobiveni korištenjem adaptivnih vremenskih

otvora (Kaiser, Dolph-Chebyshev) omogućuju kontrolu minimalnog gušenja

Optimalni FIR filtri kontrola valovitosti za svako pojedino područje

3

Specifikacija optimalnog niskog Specifikacija optimalnog niskog propustapropusta

11 + p

1 – p

s

–s

p s

Hd(ej)

0

Neki od parametara N, s, p, p, s su fiksirani, a iterativnim postupcima se podešavaju ostali parametri.

4

Numeričko projektiranje FIR Numeričko projektiranje FIR filtarafiltara

- frekvencijska karakteristika digitalnog filtra H(z) koja aproksimira željenu frekvencijsku karakteristiku .

Primjenjuje se iterativni postupak.

)( jeH

)( jeD

5

Numeričko projektiranje FIR Numeričko projektiranje FIR filtarafiltara

Iterativno se određuju koeficijenti H(z) tako da je razlika i preko zatvorenih subintervala od minimalna.

Greška aproksimacije dana je s:

gdje je težinska funkcija

)( jeH )( jeD0

)]()()[()( jjj eDeHeWE

)( jeW

6

Numeričko projektiranje FIR Numeričko projektiranje FIR filtarafiltara

Chebyshev ili minimax kriterij:Minimizira se maksimalna vrijednost greške:

gdje je R skup razdvojenih frekvencijskih područja unutar za koje jedefiniran.

Na primjer, za niski propust R to područje je unija i .

)(max

ER

0 )( jeD

],0[ p ],[ s

7

Projektiranje FIR filtara jednake Projektiranje FIR filtara jednake valovitosti (equiripple)valovitosti (equiripple)

FIR filtri linearne faze projektirani na temelju maksimalne greške

nazivaju se equiripple FIR filtri Za minimizirani funkcija greške E()

karakterizirana je jednakom valovitošću u području R

)(max

ER

8

Projektiranje FIR filtara jednake Projektiranje FIR filtara jednake valovitostivalovitosti

Opći oblik frekvencijske karakteristike kauzalnog FIR filtra duljine N=2M + 1 je:

gdje je amplitudna karakteristika realna funkcija od .

Funkcija greške je tada dana s:

gdje je željena amplitudna karakteristika a pozitivna težinska funkcija

( ) ( ), 0 ili /2j jM jH e e e H

)(H

)]()()[()( DHW

)(D)(W

E

9

Projektiranje FIR filtara jednake Projektiranje FIR filtara jednake valovitostivalovitosti

Parks-McClellan algoritam – Temelji se na iterativnom podešavanju koeficijenatadok maksimum pogreške E() ne postane minimalan.

Ako maksimum od E() u području iznosi , tada za apsolutnu grešku vrijedi:

)(H

bao

WDH

,

)()()(

ba o

10

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Za projektiranje filtra

treba zadovoljiti gornji zahtjev s

valovitošću u pojasu propuštanja i valovitošću u pojasu gušenja.

gušenja pojas za,0

apropuštanj pojas za,1)(D

)(H

p

s

11

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Zato težinska funkcija može biti izabrana kao

ili

gušenjapojasu u ,/

apropuštanjpojasu u ,1)(

sp

W

gušenjapojasu u ,1

apropuštanjpojasu u ,/)( psW

12

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Tip 1. -

gdje je

Tip 2. -

gdje je

0

( ) [ ]cos( )M

n

H a n n

(2 1) / 2

1

21

( ) [ ]cos ( )M

n

H b n n

[0] [ ], [ ] 2 [ ], 1a h M a n h M n n M

2 1 2 1[ ] 2 [ ], 1

2 2

M Mb n h n n

13

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Tip 3. -

gdje je

Tip 4. -

gdje je

1

( ) [ ]sin( )M

n

H c n n

(2 1) / 2

1

1( ) [ ]sin ( )

2

M

n

H d n n

[ ] 2 [ ], 1c n h M n n M

2 1 2 1[ ] 2 [ ], 1

2 2

M Md n h n n

14

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Amplitudna karakteristika za sva četiri tipa FIR filtra s linearnom fazom može biti prikazana kao

gdje je

)()()( AQH

4.tipza),2/sin(

3.tipza),sin(

2.tipza/2),cos(

1. tipza,1

)(Q

15

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

te

gdje je

0

( ) [ ]cos( )L

n

A a n n

[ ], za tip 1.

[ ], za tip 2.[ ]

[ ], za tip 3.

[ ], za tip 4.

a n

b na n

c n

d n

16

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

za

Što su , i ?

4.tipza,

3.tipza,1

2.tipza,

1.tipza,

2

12

2

12

M

M

M

M

L

[ ]b n [ ]c n [ ]d n

17

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Što je ? Za tip 2 vrijedi

gdje je Moguća je transformacija koja vodi na

[ ]b n

(2 1) / 2

1

1( ) [ ]cos ( )

2

M

n

H b n n

2 1 2 1[ ] 2 [ ], 1

2 2

M Mb n h n n

(2 1) / 2

0

( ) cos [ ]cos2

M

n

H b n n

18

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

U kakvoj su vezi i ?

]2

12[

~

2

1]

2

12[

Mb

Mb

(2 1) / 2

0

( ) cos [ ]cos2

M

n

H b n n

1[ ] [ ] [ 1]

2b n b n b n

]0[~

]1[~

2

1]1[ bbb

2 12

2

Mn

[ ]b n[ ]b n

19

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Modificirani oblik funkcije greške je

uz notaciju

)]()()()[()( DAQW

])()[()()()(

QDAQW

)](~)()[(~ DAW

)()()(~ QWW

)(/)()(~ QDD

E

20

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Optimizacijski problem - Odrediti koji minimiziraju maksimalnu vrijednost od:

za specificirano frekvencijsko područje Kada su određeni računaju se

odgovarajući koeficijenti originala . Iz njih se tada određuju h[n].

0

E( ) ( )[ [ ]cos( ) ( )]L

n

W a n n D

[ ]a n

R

)( jeA[ ]a n

21

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Alternacijski teorem -

je najbolje jedinstveno rješenje u minimizaciji

ako i samo ako postoje najmanje L + 2 točke takve da jei , za .

0( ) ( ) cos( )

L

nA a n n

,10},{ Lii

10 Li110 L

)()( 1 ii EE )( iE

)]()()()[(max)(Emax

DAQWRR

22

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer

Primjer niskopropusnog FIR filtra tipa 1. reda N = 12. U ovom slučaju je .

Neka je:

R = [0, p] U [s, ]

i za [0, p]

i za [s, ] Težinska funkcija definira da će valovitost u pojasu

gušenja biti polovica valovitosti u pojasu propuštanja.

1)()(~ DD

0)()(~ DD

1)()(~ WW

2)()(~ WW

)()( AH

23

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer

Ekstremi od E() su u = i, 0 i L + 1 i u njima je

Za [0, p] i za [s, ] isu konstante pa vrijedi

pa za naš primjer vrijedi…

)(~ D )(

~ W

0)(

d

dE

id

dA

d

dE

za0)()(

24

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer

1

1 + p

1 – p

s

–s p s 0

A() p = s = /2

–

0

E()

25

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer

Za naš primjer je L = N/2 = 6 pa A() sadrži sedam nepoznanica:

Broj točaka ekstrema je L + 2 = 8:

0, 1, 2,…, 7 = L + 1 Metoda pronalaženja optimalnog filtra svodi se

na iterativni postupak određivanja frekvencija ekstrema.

]6[~,],2[~],1[~],0[~ aaaa

26

Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti

Po alternacijskom teoremu znamo da će optimalni filtar A(ej) zadovoljavati sljedeće jednakosti

koje napisane u matričnom obliku su

][~

]1[~]0[~

)(~/)1()cos()cos(1

)(~/)1()cos()cos(1

)(~/1)cos()cos(1

)(~/1)cos()cos(1

111

1

111

000

La

a

a

WL

WL

WL

WL

LL

LL

LL

LL

)(~)(~

)(~)(~

1

1

0

L

L

D

D

D

D

10,)1()](~)()[(~ LiDAW iiii

27

Remez-algoritamRemez-algoritam Matrična jednadžba može biti riješena za

nepoznanicu i ako su unaprijed poznate L + 2 frekvencije ekstrema.

Remez-algoritam se koristi da bi se odredile pozicije frekvencija ekstrema.

][~ ia

28

Remez-algoritamRemez-algoritam Postupci kod Remez-algoritma su slijedeći:

1) proizvoljni odabir početnih ekstremalnih frekvencija,

2) računanje iz prije dane matrične jednakosti,

3) računanje A(ej) provlačenjem Lagrangeovog polinoma kroz L + 1 od L + 2 odabrane točke ekstrema,

4) određivanje novih točaka ekstrema od A(ej) odnosno funkcije pogreške E(ej).

29

Remez-algoritamRemez-algoritam Iterativni postupak se ponavlja dok se u dva uzastopna

koraka ne promijeni za neku zadanu malu vrijednost. Tada je željena pogreška aproksimacije po minimax

kriteriju. U algoritmu se u svakom koraku implicitno mijenjaju

sve vrijednosti uzoraka impulsnog odziva h[n], ali se stvarne vrijednosti h[n] eksplicitno uopće ne računaju.

Na kraju se iz uzoraka funkcije dobivene interpolacijom polinomom pomoću DFT-a računaju uzorci h[n].

30

Remez-algoritamRemez-algoritam Optimalni FIR filtri imaju najmanju valovitost za

definirano prijelazno područje [s, p]. Rezultirajuća valovitost je za niski propust u području

gušenja p , a u području propuštanja s K. Za procjenu potrebnih broja uzoraka N + 1 za

ostvarenje nisko propusnog filtra zadanog prijelaznog područja i valovitosti može se koristiti slijedeći izraz:

)(324,2

13)(log10 10

sp

psN

Moguće je realizirati različite i vrlo složene tipove filtara.

31

Korištenje MATLAB funkcije Korištenje MATLAB funkcije remez()remez()

Funkcija remez() služi za realizaciju višepojasnih optimalnih FIR filtara s proizvoljnim omjerom valovitosti u pojasevima.

Poziv funkcije: b = remez(N, f, m, wt) b – vektor dužine N + 1 s uzorcima impulsnog

odziva, N – red filtra, f – vektor s frekvencijama u rasponu [0, 1]

(1 predstavlja pola frekvencije otipkavanja), m – magnitude željene frekv. karakteristike, wt – vektor s težinskim faktorima.

32

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Primjer željene frekvencijske karakteristike:

0

0,2

1

0,250,75

0,8

1

0,5

Hd(ej)

prijelaznopodručje

33

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Definicije varijabli potrebnih za ostvarenje primjera željene frekvencijske karakteristike:

N = 24

f = [0 0.2 0.25 0.75 0.8 1]

m = [0.5 0.5 0 0 1 1]

w = [4 1 2] Poziv funkcije remez():

b = remez(N, f, m, w)

340,25 0,8

0

0,2

1

0,751

0,5

Ae(ej)N = 24

odnos valovitosti

1

4 2

ekstremi

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Dobivena optimalna frekvencijska karakteristika:

35

0 0,20,25 0,75

0,8–0,2

0

0,2

E()

1

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Konačna pogreška s 0.2.

36

0

0,2

1

0,250,75

0,8

1

0,5

Ae(ej)N = 38

N = 24

N = 38

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Optimalna frekvencijska karakteristika uz N

37

0 0,20,25 0,75

0,8 1–0,2

0

0,2

E()

–0,1

0,1

N = 24

N = 38

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Konačna pogreška uz N = 38, s 0,1.

38

1

0,25 0,4 0,55 0,7 0,850 0,2 0,35 0,5 0,8 10,65

Hd(ej)

Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()

Primjer u MATLAB-u:

39

Matlab primjeriMatlab primjeri(primjer i filtdemo)(primjer i filtdemo)