proracun_tokova_snaga_-_zadaci0

Analiza elektroenergetskih mreža

15

2. PRORAČUN TOKOVA SNAGA I NAPONSKIH PRILIKA

2.1. Za deo EES prikazan na slici poznato je: r.j11 =U , r.j.75,02 −=P i r.j12 =U . Primenom Gauss-

Seidelovog postupka izračunati 1S , 2Q i 2θ , uzimajući za početnu vrednost o0)0(

2 1=U .

Sl.2.1. Test mreža uz zadatak 2.1.

Rešenje:

∑∑≠=

∗∗∗∗

=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

N

ikk

kikiiii

N

kkikiiii UYUYUUYUjQPS

1

2

1 , (2.1.1)

∑≠=

∗∗∗ +=−=N

ikk

kikiiiiiiii UYUYUUjQPS1

. (2.1.2)

NiUYUjQPUY

UN

ikk

kikiiiiii

i ,,2,1

1L=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−= ∑

≠=

∗∗ . (2.1.3)

1,,2,)(

1

1

)()(

)()1( +=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−= ∑

≠=

ν∗ν

ν+ν

PU

N

ikk

kiki

ii

iii NiUY

UjQP

YU L , (2.1.4)

NNiUYU

jQPY

U PU

N

ikk

kiki

ii

iii ,,2,

)(1

1

)()(

)1(L+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−= ∑

≠=

ν∗ν

+ν . (2.1.5)

S obzirom na to da je u naponski kontrolisanim čvorovima poznat moduo napona, nakon izračunavanja napona u iteraciji 1+ν od rezultata dobijenog prema (2.1.4) zadržava se samo fazni stav dok moduo napona uzima unapred zadatu vrednost:

1,,2,}arg{)1( )1(

+==+ν′+ν

PUU

ii NiUU i L . (2.1.6)

Gauss-ov metod započinje izborom početne vrednosti fazora napona u svim čvorovima (naponi u nultoj iteraciji), a završava se kada apsolutna vrednost razlike napona u svakom od čvorova u dve susedne iteracije bude manja od neke unapred specificirane vrednosti ε .

NiUU ii ,,2,)()1(L=ε≤− ν+ν . (2.1.7)

Da bi se primenila jednačina (2.1.4) potrebno je najpre odrediti reaktivne snage koje se injektiraju u naponski kontrolisanim čvorovima u iteraciji ν :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∑

=

∗ν∗νννN

kkikiii UYUSQ

1

)()()()( )(Im}Im{ . (2.1.8)

Analiza elektroenergetskih mreža

16

Nakon izračunavanja reaktivne snage injektiranja prema (2.1.8) proverava se uslov

max)(

min iii QQQ << ν . Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen reaktivna snaga se postavlja na vrednost granice koja je ugrožena a ovaj čvor se posmatra kao PQ čvor. Ukoliko se vrednost fazora napona i-tog čvora izračunata u ν+1-oj iteraciji )1( +ν

iU koristi za

izračunavanje fazora napona čvorova sa indeksom većim od i+1 ( )1(1+

+ν

iU ,..., )1( +νnU ), onda se dolazi do

Gauss-Seidellovog metoda datog sledećim relacijama:

1,,2,)(

1

1

)(1

1

)1()(

)()1( +=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= ∑∑

+=

ν−

=

+ν∗ν

ν+ν

PU

N

ikkik

i

kkik

i

ii

iii NiUYUY

UjQP

YU L , (2.1.9)

NNiUYUYU

jQPY

U PU

N

ikkik

i

kkik

i

ii

iii ,,2,

)(1

1

)(1

1

)1()(

)1(L+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= ∑∑

+=

−

=

+

∗

+ ννν

ν . (2.1.10)

Kao i kod Gauss-ovog metoda i u sluaju Gauss-Seidel-ovog metoda potrebno je korigovanje fazora napona u naponski kontrolisanim čvorovima (2.1.6), kao i određivanje reaktivne snage koja se injektira u naponski kontrolisanim čvorovima (2.1.8). S obzirom na da su u trenutku kada se u proračunu koristi reaktivna snaga )(ν

iQ već izračunati naponi čvorova koji su numerisani brojevima manjim od i u iteraciji 1+ν , umesto jednačine (2.1.8) može se primeniti:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑∑

=

∗ν∗−

=

∗+ν∗ννN

ikkik

i

kkikii UYUYUQ )()(Im )(

1

1

)1()()( . (2.1.11)

Matrica admitanski čvorova mreže prikazane na slici 2.1 sadrži samo imaginarni deo:

r.j.22

22][][ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−== jj čvčv BY

Prema tekstu zadatka čvor 1 je referentno-balansni a čvor 2 naponski kontrolisan.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

∗ν

ν+ν

121)(2

)(22

22

)1(2 )(

1 UYU

jQPY

U .

Reaktivna snaga koja se injektira u naponski kontrolisanom čvoru 2 ( )(2νQ ) određuje se prema

(2.1.8) odnosno (2.1.11):

)})((Im{ )(222121

)(2

)(2

∗ν∗∗νν += UYUYUQ . 2

222)(

21212

222)(

2121)(

2 )(}Re{})(Im{ UBUUBUjBUUjBQ −−=−−= ννν .

Napon referentno-balansnog čvora prema tekstu zadatka je r.j.11 =U a početna vrednost napona r.j.1)0(

2 =U pa se za reaktivnu snagu injektiranja u nultoj iteraciji dobija:

02}Re{2 )0(2

)0(2 =+⋅−= UQ .

Iteracija 1 Napon čvora 2 u prvoj iteraciji iznosi:

r.j.068,1r.j.)375,01(12175,0

21 o556,20)1(

2−

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−−

−= jj

jU

r.j.)35112,093633,0(r.j.1o556,20)1(

2 jU −==−′

r.j.375,0)0(2

)1(2 =−′ UU

r.j.1273,0293633,02)1(2 =+⋅−=Q ,

Iteracija 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

+−−

−= 12

35112,093633,01273,075,0

21)2(

2 jjj

jU ,

r.j.00028,1r.j.)37348,092794,0(o9239,21)2(

2−

=−= jU

Analiza elektroenergetskih mreža

17

r.j.)37337,092768,0(r.j.00028,1o9239,21)2(

2 jU −==−′

r.j.02388,0)1(2

)2(2 =− ′′ UU

r.j.14464,0292768,02)2(2 =+⋅−=Q ,

Iteracija 3

r.j.9999923,0r.j.)3749,0927057,0(o0183,22)3(

2−

=−= jU ,

r.j.)3749,092706,0(r.j.1o0183,22)3(

2 jU −==−′ ,

r.j.00163,0)2(2

)3(2 =− ′′ UU

r.j.14587,0292706,02)3(2 =+⋅−=Q ,

Iteracija 4

r.j.0000003,1r.j.)37499,092703,0(o02387,22)4(

2−

=−= jU ,

r.j.)37499,092703,0(r.j.1o02387,22)4(

2 jU −==−′ ,

r.j.000118,0)3(2

)4(2 =− ′′ UU

U tekstu zadatka nije definisan uslov za izlazak iz iterativne procedura, i ukoliko se usvoji r.j.001,0=ε nakon četvrte iteracije je ispnjen uslov za izlazak iz iterativne procedure. Fazni ugao napona

u čvoru dva je o2 02387,22−=θ :

r.j.1o02387,22

2−

=U , a reaktivna snaga koja se injektira u čvor 2 iznosi: r.j.14594,02)02387,22cos(2 o

2 =+−⋅−=Q

Snaga koja se injektira u referentno balansni čvor određuje se prema jednačini (2.1.1) i iznosi:

∗∗∗ += 212111211 UYUYUS ,

r.j.76407,0r.j.)14594,075,0(o0114,11

1 =+= jS

Rezultati iterativnog proračuna prikazani su u tabeli 2.1. U ovom zadatku razmatrana je jednostavna mreža koja se sastoji od dva čvora, pa se do rešenja moglo doći i bez primene iterativnog postupka. Snaga koja se prenosi vodom i-k (modelovanim zamenskom Π šemom) kod čvora i je:

∗∗ ++−= )())((0 iikiiikkiik UyUUyUUS ,

∗∗−+=ikkiikikiik yUUyyUS *

02 )( , (2.1.12)

)()]()[( )(00

2ikik

jkiikikikikiik jbgeUUbbjggUS ki −−+−+= θ−θ .

i razdvajanjem realnog i imaginarnog dela dobija se: [ ])sin()(cos)( 0

2kiikkiikkiikikiik bgUUggUP θ−θ+θ−θ−+= , (2.1.13)

[ ])cos()sin()( 02

kiikkiikkiikikiik bgUUbbUQ θ−θ−θ−θ−+−= . (2.1.14) Primenom na mrežu prikazanu na slici 2.1. može se pisati: )]sin()cos([ 121212122112

2221 θ−θ+θ−θ−= bgUUgUP , (2.1.15)

))cos()sin(( 1212121221122221 θ−θ−θ−θ−−= bgUUbUQ . (2.1.16)

Kako je 012 =g i 01 =θ , iz prethodnih jednačina se dobija:

1221

212 )sin(

bUUP

−=θ , (2.1.17)

)cos( 21221122221 θ+−= bUUbUQ . (2.1.18)

Zamenom 212 −=b , r.j11 =U , r.j12 =U , r.j.75,0212 −== PP dobija se:

Analiza elektroenergetskih mreža

18

o2 0243,22−=θ r.j.14595,0221 == QQ .

Tabela 2.1. Rezultati proračuna zadatka 2.1.

broj iteracije ν

)(2νU

(r.j.)

)(2νQ

(r.j.)

)1(2+νU

(r.j.) 0 o0

1 0 o556,20

068,1−

1 o556,201

− 0,1273

o9239,2100028,1

−

2 o9239,211

− 0,14464

o0183,229999923,0

−

3 o0183,221

− 0,14587

o02387,220000003,1

−

4 o02387,221

− 0,14594

2.2. Za elektroenergetski sistem prikazan na slici 2.2 odrediti napone čvorova nakon treće iteracije Gauss-Seidel-ovog postupka. Za početne vrednosti uglova 2θ i 3θ uzeti o20− , a za moduo napona U na nultoj iteraciji 200 kV.

Tabela 2.2. Podaci o opterećenjima Čvor Snage (3f) Modul napona kV

MW MVAr (linijski napon) 1 balansni 1201 −GP 601 −GQ 230 2 potrošački -200 -70 3 naponski kontrolisani -250 503 −GQ 230

Sl.2.2. Test mreža uz zadatak 2.2

Rešenje:

S01307,000327,012

jy −= , S02241,0005602,013

jy −= ,

S01518,0003795,023

jy −= ,

S000486,012

jyb

= , S0002835,013

jyb

= , S0004185,023

jyb

= .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

=03724,00094,001518,0003795,002241,0005602,0

01518,0003795,00278,0007063,001307,000327,002241,0005602,001307,000327,00351,000887,0

][jjj

jjjjjj

čvY

S obzirom na to da je čvor 2 potrošački a čvor 3 naponski kontrolisan očigledno je da način numeracije čvorova nije u skladu sa načinom numeracije korišćenim u relacijama (2.1.4) i (2.1.5). Prenumerisanjem čvorova mreže (zamena numeracije čvorova 2 i 3) zadatak se svodi na oblik kod je usklađen sa relacijama (2.1.4) i (2.1.5). Međutim, moguće je rešavanje zadatka i sa postojećom numeracijom kao što će se videti, s time da se za čvor 2 koristi relacija (2.1.5) a za čvor 3 relacija (2.1.4). Prema tekstu zadatku 2301 =U a kao inicijalno rešenje uzima se:

kV)4,6894,187(kV200o20)0(

2 jU −==−

,

Analiza elektroenergetskih mreža

19

kV)665,78129,216(kV230o20)0(

3 jU −==−

. Jednačine (2.1.4) i (2.1.5) napisane za čvorove 2 i 3 su:

])(

[1 )(323121*)(

2

22

22

)1(2

ν

ν

+ν −−−

= UYUYU

jQPY

U ,

])(

[1 )1(232131*)(

3

)(33

33

)1(3

+νν

ν+ν −−

−= UYUY

UjQP

YU ,

a za čvor 3 se na svakoj iteraciji primenuje i: ]})()([Im{ *)(

3*33

*)1(2

*32

*1

*31

)(3

)(3

ν+ννν ++= UYUYUYUQ ,

odakle se za vrednosti napona kV200o20)0(

2−

=U i kV230o20)0(

3−

=U dobija: MVAr16,240)0(

3 =Q .

Iteracija 1

kV8,206kV)725,6507,196(o53,18)1(

2−

=−= jU ,

kV23,234kV)95,6576,224(o35,16)1(

3−

=−= jU ,

kV,75546-220,7kV230o35,16)'1(

3 jU ==−

,

kV656,8|| )0(2

)1(2 =−UU , kV37,15|| )0(

3)1(

3 =−′ UU , MVAr7,188)1(

3 =Q .

Iteracija 2

kV4,208kV)155,5812,200(o2,16)2(

2−

=−= jU ,

kV6,231kV)41,5985,223(o86,14)2(

3−

=−= jU ,

kV95-222,3kV230o86,14)'2(

3 jU ==−

,

kV586,8|| )1(2

)2(2 =−UU , kV204,6|| )1(

3)2(

3 =− ′′ UU , MVAr93,165)2(

3 =Q .

Iteracija 3

kV74,209kV)97,5514,202(o47,15)3(

2−

=−= jU ,

kV53,230kV)15,573,223(o35,14)3(

3−

=−= jU ,

kV,0275-222,8kV230o35,14)'3(

3 jU ==−

,

kV973,2|| )2(2

)3(2 =−UU , kV112,2|| )2(

3)3(

3 =− ′′ UU .

U tabeli 2.3. prikazani su rezultati proračuna zaključno sa sedmom iteracijom. Reaktivna snaga koja se injektira u čvor 3, kao i aktivna i reaktivna snaga koje se injektiraju u referentno-balansni čvor iznose: MVAr2,154]}[Im{ *

3*33

*2

*32

*1

*3133 =++= UYUYUYUQ ,

MVA6,175,481][ *3

*13

*2

*121

*1111 jUYUYUYUS −=++= ,

pa je:

MW5,6011 =GP , MVAr4,421 =GQ , MVAr2,2043 =GQ ,

dok se primenom (2.1.12) dobija: MVA4,263,18412 jS += , MVA7,12,17221 jS −−= , MVA442,29713 jS −= , MVA2,1004,27931 jS +−= , MVA3,689,2723 jS −−= , MVA544,2932 jS += .

Analiza elektroenergetskih mreža

20

Tabela 2.3. Rezultati zadatka 2.2.

ν )(

2νU

(kV)

)(3νU

(kV)

)(3νQ

(MVAr)

)1(3+νU

(kV) ||max )()1( ν+ν − ii UU

(kV)

0 o20

200−

o20

230−

240,16 o35,16

2,234−

1 o53,18

8,206−

o35,16

230−

188,7 o86,14

59,231− 15,37

2 o2,16

4,208−

o86,14

230−

165,9 o35,14

53,230− 8,585

3 o47,15

7,209−

o35,14

230−

158,3 o17,14

18,230− 2,973

4 o19,15

2,210−

o17,14

230−

155,6 o11,14

06,230− 1,159

5 o09,15

4,210−

o11,14

230−

154,6 o11,14

06,230− 0,415

6 o05,15

5,210−

o11,14

230−

154,3 o11,14

02,230− 0,145

7 o04,15

5,210−

o11,14

230−

0,053

2.3. U tabelama 2.4 i 2.5 prikazani su podaci o elektroenergetskom sistemu neophodni za izračunavanje tokova snaga i naponskih prilika. Izračunati fazore napona na kraju druge iteracije Gauss-Seidelovog postupka sa faktorom ubrzanja 1,6.

Tabela 2.4. Podaci o vodovima

Dalekovodi između sabirnica

Redne admitanse u relativnim jedinicama

Ukupne otočne admitanse u relativnim jedinicama

1 – 2 82 j− 05,0j 1 – 3 41 j− 2 – 3 664,2666,0 j− 2 – 4 41 j− 3 – 4 82 j−

Tabela 2.5. Snage i naponi čvorova Broj sabirnice P (r.j.) Q (r.j.) U (r.j.)

1 – – 1,06 2 -0,5 -0,2 3 -0,4 -0,3 4 -0,3 -0,1

Rešenje: Najpre je kao i u prethodnom zadatku potrebno odrediti matricu admitansi čvorova:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−+−−+−

+−+−−

=

1238241082664,14666,3664,2666,04141664,2666,0639,14666,382

04182975,113

][

jjjjjjjjjjj

jjj

čvY .

S obzirom na to da su svi čvorovi u kojima se izračunavaju naponi u toku iterativne procedure Gauss-Seidelovog postupka potrošački čvorovi primenjuje se jednačina (2.1.10):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−= νν

∗ν+ν )(

424)(

323112)(2

22

22

)1(2 )(

1 UYUYUYU

jQPY

U , (2.3.1)

Analiza elektroenergetskih mreža

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−= ν+ν

∗ν+ν )(

434)1(

223113)(3

33

33

)1(3 )(

1 UYUYUYU

jQPY

U , (2.3.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= +ν+ν

∗ν+ν )1(

334)1(

224)(4

44

44

)1(4 )(

1 UYUYU

jQPY

U . (2.3.3)

Da bi se izvršilo ubrzavanje iterativnog postupka uvodi se faktor ubrzanja i posle svake iteracije vrši se korekcija proračunatih napona u potrošačkim čvorovima:

NNiUUUU PUiiii ,,2,)(~ )()1()()1(L+=−α+= ν+νν+ν

. (2.3.4)

Iteracija 1

⎜⎝⎛ −⋅+−−⋅+−−

+−−

= 1)664,2666,0(06,1)82(1

2,05,0639,14666,3

1)1(2 jjj

jU

r.j.)02933,00135,1(1)41( jj −=⎟⎠⎞⋅+−− ,

r.j.03229,0|| )0(2

)1(2 =−UU

⎜⎝⎛ ⋅+−−⋅+−−

+−−

= )664,2666,0(06,1)41(1

3.04,0664,14666,3

1)1(3 jjj

jU

r.j.)02619,099314,0(1)82()02933,00135,1( jjj −=⎟⎠⎞⋅+−−−⋅ ,

r.j.02707,0|| )0(3

)1(3 =−UU

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−−+−−

+−⋅

⋅−

=

)02619,099314,0)(82()02933,00135,1)(41(1

1,03,0123

1)1(4

jjjjjj

U

r.j.)0488,09862,0()1(4 jU −= ,

r.j.05702,0|| )0(4

)1(4 =−UU

r.j.05702,0max )0()1( =− iiiUU

r.j.)04694,00216,1()(~ )0(2

)1(2

)0(2

)1(2 jUUUU −=−α+= ,

r.j.)0419,098903,0()(~ )0(3

)1(3

)0(3

)1(3 jUUUU −=−α+= ,

r.j.)07809,09779,0()(~ )0(4

)1(4

)0(4

)1(4 jUUUU −=−α+= ,

Iteracija 2

r.j.)05668,00046,1()2(2 jU −= , r.j.0195,0|| )1(

2)2(

2 =−UU r.j.)07286,097836,0()2(

3 jU −= r.j.03274,0|| )1(3

)2(3 =−UU

r.j.)08827,09714,0()2(4 jU −= r.j.01207,0|| )1(

4)2(

4 =−UU

r.j.03274,0max )1()2( =− iiiUU

r.j.)06253,099447,0(~ )2(2 jU −=

r.j.)09143,097196,0(~ )2(3 jU −=

r.j.)09437,096752,0(~ )2(4 jU −=

Nakon trinaeste iteracije maksimalna razlika napona čvorova između dve susedne iteracije postaje manja od 0,001 r.j.

Analiza elektroenergetskih mreža

22

2.4. Za elektroenergetski sistem prikazan na slici odrediti promenljive stanja posle druge iteracije proračuna tokova snaga Gaus-Seidelovom metodom. Zadatak rešiti u relativnim jedinicama sa baznom snagom 100 MVA.

Z12gr=(22,202+ 74,006) j Ω

1

3

2

Z13gr= 69,143 j Ω Z23

gr=(25,133+ 89,763) j Ω

Z jL=(968+ 484) Ω

Sl. 2.3. Test mreža

Tabela 2.6. Podaci o čvorovima sistema čvor U (kV) θ (rad) GP (MW) PP (MW) GQ (MVAr) PQ (MVAr)

1 220 - 350 100 - 30 2 231 0 - 250 - 100 3 - - 0 150 0 50

Rešenje: Uzimajući nominalni napon sistema za bazni napon, bazna impedansa sistema iznosi:

b

bb S

UZ

2

= , (2.4.1)

Ω== 4841002202

bZ .

Impedanse grana datog sistema u relativnim jedinicama su:

.j.r)1529,004587,0(12 jZ gr += .j.r14286,013 jZ gr = .j.r)18546,005193,0(23 jZ gr += .j.r)12( jZ L +=

Na osnovu tabele 2.6. jasno je da je čvor 2 balansno referentni, čvor 1 je naponski kontrolisan a čvor 3 potoršački. Napon čvora 2 iznosi 1,05 r.j, a napon čvora 1 i početna vrednost napona čvora 3 su 1.r.j. Matrica admitansi čvorova je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−−+−

+−−=

2,128,154,1754,1112,368,1

768,1138,1][

jjjjjj

jjj

čvY .

Reaktivna snaga injektiranja u čvoru 1 izračunava se na sledeći način: ]})()()([Im{ *)0(

3*13

*2

*12

*)0(1

*11

)0(1

)0(1 UYUYUYUQ ++= ,

r.j.3,0}1)7(05,1)68,1(1)138,1(Im{)0(1 −=⋅−+⋅−−+⋅+= jjjQ .

Iteracija 1

])(

[1 )0(313212*)0(

1

)0(11

11

)1(1 UYUY

U

jQPY

U −−−

= ,

]1705,1)68,1(1

3,05,2[138,1

1)1(1 ⋅−+−−

+−

= jjjj

U ,

r.j.0455,1r.j.)1955,00271,1(o776,10)1(

1 =+= jU

Analiza elektroenergetskih mreža

23

r.j.)18697,098236,0(r.j.1o776,10)'1(

1 jU +==

])(

[1232

)'1(131*)0(

3

33

33

)1(3 UYUY

UjQP

YU −−

−= ,

r.j.)03502,094783,0()1(3 jU −=

Iteracija 2

]})()()([Im{ *)1(3

*13

*2

*12

*)1(1

*11

)'1(1

)1(1 UYUYUYUQ ++= ′ ,

r.j01424,0)1(1 −=Q ,

])(

[1 )1(313212*)'1(

1

)1(11

11

)2(1 UYUY

U

jQPY

U −−−

= ,

r.j.999,0r.j.)17916,098276,0(o3319,10)2(

1 =+= jU

r.j.)17935,098378,0(r.j.1o3319,10)'2(

1 jU +==

])(

[1232

)'2(131*)1(

3

33

33

)2(3 UYUY

UjQP

YU −−

−= ,

r.j.9414,0r.j.)0433,094044,0(o636,2)2(

3−

=−= jU

2.5. Za elektroenergetski sistem iz zadatka 2.2 izvršiti proračun tokova snaga i naponskih prilika primenom Newton-Raphson-ovog postupka. Za početne vrednosti uglova 2θ i 3θ uzeti o0 , a za moduo napona 2U na nultoj iteraciji 200 kV.

Rešenje:

[ ]∑≠=

θ−θ+θ−θ+=N

ikk

kiikkiikkiiiii BGUUGUP1

2 )sin()cos(),( Uθrr

, (2.5.1)

[ ]∑≠=

θ−θ−θ−θ+−=N

ikk

kiikkiikkiiiii BGUUBUQ1

2 )cos()sin(),( Uθrr

. (2.5.2)

TNNN

T UUPU

][][ 12 KKrrr

+θθ== UθX . (2.5.3)

0Xfrrr

=)( , T

NNN QQPPPU

])()()()([)( 12 XXXXXfr

Krr

Krrr

ΔΔΔΔ= + , (2.5.4)

gde )()( XXrr

isp

ii PPP −=Δ , )()( XXrr

ispii QQQ −=Δ .

Osnovna jednačina Newton-Raphsonovog metoda je:

)()]([ )(1)()()1( ν−νν+ν = XfXJXXrrrrr

- , (2.5.5)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−= νν

νν

ν)()(

)()(

)( )]([

UQ

θQ

UP

θP

XJ rr

. (2.5.6)

Iterativni postupak se prekida kada se ispuni ε≤ν |}{|max )(ii

f , gde je ε unapred zadata tačnost

kojom je određena željena tačnost rešenja.

∑≠=

θθθθ=θ∂∂ N

ijj

ijijjii

i GBUUP

1jiji ])-(sin-)-(cos[ , (2.5.7)

Analiza elektroenergetskih mreža

24

])-(cos-)-(sin[ jiji θθθθ=θ∂∂

ijijjij

i BGUUP , (2.5.8)

∑≠=

θθ+θθ+=∂∂ N

ijj

ijijjiiii

i BGUGUUP

1jiji ])-(sin)-(cos[2 , (2.5.9)

])-(sin)-(cos[ jiji θθ+θθ=∂∂

ijijij

i BGUUP , (2.5.10)

∑≠=

θθ+θθ=θ∂

∂ N

ijj

ijijjii

i BGUUQ

1jiji ])-(sin)-(cos[ , (2.5.11)

])-(sin)-(cos[ jiji θθ+θθ−=θ∂∂

ijijjij

i BGUUQ , (2.5.12)

∑≠=

θθ−θθ+−=∂∂ N

ijj

ijijjiiii

i BGUBUUQ

1jiji ])-(cos)-(sin[2 , (2.5.13)

])-(cos)-(sin[ jiji θθ−θθ=∂∂

ijijij

i BGUUQ . (2.5.14)

Najpre će biti izvršena prenumeracija čvorova tako što čvorovi 2 i 3 zamene brojeve. Matrica admitansi čvorova već je određena u zadatku 2.2 a sa novom numeracijom čvorova ima se:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

=0278,0007063,001518,0003795,001307,000327,001518,0003795,003724,00094,002241,0005602,0

01307,000327,002241,0005602,00351,000887,0][

jjjjjj

jjj

čvY .

Za slučaj sistema prikazanog na slici 2.2, a sa novouvedenom numeracijom čvorova vektor promenljivih stanja je TU ][ 332 θθ=X

ra sistem jednačina (2.5.4) je:

,)]sin()cos([

)sincos(

3223322332

22122112222221

θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=

BGUUBGUUGUPf

,)]sin()cos([

)sincos(

2332233223

33133113332332

θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=

BGUUBGUUGUPf

.)]cos()sin([

)cossin(

2332233223

33133113332333

θ−θ−θ−θ−−θ−θ−+=

BGUUBGUUBUQf

Snage injektiranja za novouvedenu numeraciji su MW2502 −=P , MW2003 −=P , MVAr703 −=Q , a napon referentno-balansnog i generatorskog čvora su kV2301 =U i kV2302 =U .

Kako je prema tekstu zadatka polazni vektor promenljivih stanja T]20000[)0( =Xr

izračunava se:

MVA603,117622,157186,276

)0(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=fr

MVA186,276|}{|max )0( =iif .

U tekstu zadatka nije specificirana željena tačnost proračuna i koristiće se vrednost MVA001,0=ε .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

622,49,324573,1742007,16,1299292,698

8729,0292,69873,1883][ )0(J ,

Analiza elektroenergetskih mreža

25

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅−= −−

16,203791,500171,0918,0356,0

031,0364,0633,010][ 31)0(J .

Iteracija 1

)0(1)0()0()1( ][ FJXXrrr

−−= ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=887,215

263214,023683,0

)1(Xr

.

MVA651,32

63067,4416,12

)1(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=f

r.

ε>= MVA651,32|}{|max )1(ii

f .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

8286,5819,533261,20857696,002,1333527,748

78045,047,75828,1841][ )1(J ,

Iteracija 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

= −

651,3263067,4

416,12

825,165505,72719,10042,0958,0394,0

053,0425,071,010

887,215263214,023683,0

3)2(Xr

,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=675,210

2623,02454,0

)2(Xr

, MVA843128,0016644,0

2022,0)2(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=fr

,

ε>= MVA843,0|}{|max )2(ii

f

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−=

5285,547,513292,1965388,003,1303353,732

8137,057,73848,1816][ )2(J .

Iteracija 3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

= −

843128,0016644,0

2022,0

214,175585,7554,11037,0979,0399,0

064,0432,0718,010

675,2102623,02454,0

3)3(Xr

,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=524,210

262366,024561,0

)3(Xr

, MVA1065,0

118,0088,0

3)3( −⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=fr

.

)]sin()(cos[)]sin()cos([

31331331

2122122111211

θ−+θ−++θ−+θ−+=

BGUUBGUUGUP

,

)]cos()sin([))cos()sin((

31331331

2122122111211

θ−−θ−++θ−−θ−+−=

BGUUBGUUBUQ

,

)]cos()sin([

))cos()sin((

3223321332

2122122122222

θ−θ−θ−θ++θ−θ+−=

BGUUBGUUBUQ

,

MW348,4811 =P , MVAr662,171 −=Q , MVAr091,1542 =Q .

Analiza elektroenergetskih mreža

26

Tabela 2.7. Naponi čvorova i injektirane snage Broj čvora U [kV] ][oθ oinjektiranP

[MW] oinjektiranQ

[MVAr] 1 230 0 481,348 -17,662 2 210,524 -15,032 -200 -70 3 230 -14,072 -250 154,091

Sl. 2.5. Rezultati proračuna tokova snaga i naponskih prilika

2.6. Za sistem sa slike 2.6 odrediti napone kod potrošača i raspodelu snage po vodovima ako napon referentno-balansnog čvora ima vrednost 230 kV.Zadatak rešiti Newton-Raphson-ovim postupkom.

Sl. 2.6. Test mreža

Rešenje: Zadatak će biti rešen u relativnim jedinicama. Za baznu snagu uzima se 100 MVA, bazni napon 220 kV odakle sledi da je bazna otpornost Ω484 . Kao kriterijum za izlazak iz iterativne procedure

koristiće se j.r10 5−=ε .

j..r)592,7898,1(6015

484150)4,01,0(

484484

1212

jjjlz

y −=+

=+

==

j..r)592,7898,1(48413

13j

lzy −==

j..r)388,11847,2(484

2323

jlz

y +−==

r.j.19602,02

150150484107,22

6131213012010

jjllyyyy =+

⋅⋅⋅=+

=+= −

r.j.16335,02

100150104847,22

6231223012020

jjllyyyy =+

⋅⋅⋅=+

=+= −

Analiza elektroenergetskih mreža

27

r.j.16335,02

231323013030

jllyyyy =+

=+=

r.j.817,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,2817,18745,4592,7898,1

592,7898,1592,7898,1988,14796,3][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

=jjjjjjjjj

čvY

Za slučaj sistema prikazanog na slici 2.6 vektor promenljivih stanja je TUU ][ 3232 θθ=Xr

a sistem jednačina (2.5.4) je:

,)]sin()cos([

)sincos(

3223322332

22122112222221

θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=

BGUUBGUUGUPf

,)]sin()cos([

)sincos(

2332233223

33133113332332

θ−θ+θ−θ−−θ+θ−−=

BGUUBGUUGUPf

,)]cos()sin([

)cossin(

3223322332

22122112222223

θ−θ−θ−θ−−θ−θ−+=

BGUUBGUUBUQf

.)]cos()sin([

)cossin(

2332233223

33133113332334

θ−θ−θ−θ−−θ−θ−+=

BGUUBGUUBUQf

Prema slici 2.6 snage injektiranja su r.j12 −=P , r.j4,02 −=Q , j.r2,13 −=P , r.j5,03 −=Q , a napon referentno-balansnog čvora r.j0455,11 =U . Usvajajući polazni vektor promenljivih stanja T]1100[)0( =X

r izračunava se:

j..r

008448,010845,0

1137,19137,0

)0(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=fr

r.j.1137,1|}{|max )0( =iif

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

3086,183882,1183137,484706,23882,113086,1884706,283137,46588,48471,23255,193882,11

8471,26588,43882,113255,19

][ )0(J ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

−=−

08365,005198,002091,001299,005198,008365,001299,002091,001935,001161,00744,00438,001161,001935,00438,00744,0

][ 1)0(J .

Iteracija 1

)0(1)0()0()1( ][ FJXXrrr

−−= ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

008448,010845,0

1137,191373,0

08365,005198,002091,001299,005198,008365,001299,002091,001935,001161,00744,00438,001161,001935,00438,00744,0

1100

)1(Xr

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

9712,09759,012436,011901,0

)1(Xr

.

Analiza elektroenergetskih mreža

28

j..r

058887,0052511,0050983,0036238,0

)1(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=fr

ε>= r.j.058887,0|}{|max )1(ii

f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

82053,1704507,1162455,575617,212884,110081,1864066,248319,542523,382415,21892,187792,10

71902,264336,38081,102696,18

][ )1(J ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

−=−

08697,005393,003216,002204,005406,008597,002267,003102,001032,00034,008099,004832,000394,001113,004818,008042,0

][ 1)1(J .

Iteracija 2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

058887,0052511,0050983,0036238,0

08697,005393,003216,002204,005406,008597,002267,003102,001032,00034,008099,004832,000394,001113,004818,008042,0

9712,09759,012436,011901,0

)2(Xr

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

96079,096595,012945,012356,0

)2(Xr

, r.j.10

762,0666,0773,0439,0

3)2( −⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=fr

r.j.000733,0|}{|max )2( =iif

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

5596,179254,1057949,57045,20165,1176297,1757998,242705,531086,379983,28695,175534,10

68527,254875,35845,109569,17

][ )2(J ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

−=−

08889,005535,003335,002294,00055,008775,002365,003206,000982,000285,008233,0049,000346,001075,004884,00817,0

][ 1)2(J .

Iteracija 3

3)3( 10

762,0666,0773,0439,0

08889,005535,003335,002294,00055,008775,002365,003206,000982,000285,008233,0049,000346,001075,004884,00817,0

96079,096595,012945,012356,0

−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=Xr

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

960647,096582,0129526,0123623,0

)3(Xr

, r.j.10

1394,01197,01646,0069,0

6)3( −⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=fr

MW7,228r.j.287,21 ==P , MVAr08,73r.j.7308,01 ==Q .

Analiza elektroenergetskih mreža

29

Tabela 2.8. Naponi čvorova i injektirane snage Broj čvora U [kV] ][oθ oinjektiranP

[MW] oinjektiranQ

[MVAr] 1 230 0 228,7 73,08 2 212,476 -7,0831 -100 -40 3 211,332 -7,4213 -120 -50

Sl. 2.7. Raspodela snaga po vodovima za zadatak 2.6.

2.7. Izvršiti proračun tokova snaga i naponskih prilika za elektroenergetski sistem razmatran u zadatku 2.6 primenom raspregnutog postupka.

Rešenje: Matrica admitansi čvorova dobijena je u prethodnom zadatku:

r.j.817,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,2817,18745,4592,7898,1

592,7898,1592,7898,1988,14796,3][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

=jjjjjjjjj

čvY

Smatrajući da su svi elementi submatrica UP

∂∂ i

θQ∂∂ u Jacobijevoj matrici jednaki nuli, Jacobijan

)]([ XJr

dobija oblik:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−=

UQ

θP

XJ0

0)]([r

. (2.7.1)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ν

ν

−

ν

ν

ν

ν

+ν

+ν

)(

)(

1

)(

)(

)(

)(

)1(

)1(

QP

UQ0

0θP

Uθ

Uθ

r

r

r

r

r

r

, (2.7.2)

)(

1)()()1( ν

−νν+ν Δ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+= PθPθθ

rrr , (2.7.3)

)(

1)()()1( ν

−νν+ν Δ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+= QUQUU

rrr . (2.7.4)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

=3

2θr

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3

2

UU

Ur

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

=Δ3

2

PP

Pr

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

=Δ3

2

QQ

Qr

.

Analiza elektroenergetskih mreža

30

Kod izračunavanja Pr

Δ i Qr

Δ primenjuju se relacije (2.5.1) i (2.5.2). Usvajaju se polazne vrednosti

T]00[)0( =θr

, T]11[)0( =Ur

i izračunava r.j.1137,19137,0)0(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔPr

i r.j008448,010845,0)0(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΔQ

r.

r.j.1137,1|}|,|{|max )0()0( =ΔΔ iiiQP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

3255,193882,113882,113255,19)0(

θP , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

3086,183882,113882,113086,18)1(

UQ .

Iteracija 1

)0(

1)0()0()1( P

θPθθ

rrrΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=

−

, )0(

1)0()0()1( Q

UQUU

rrrΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=

−

,

r.j.131,0

1244,0)1(⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=θr

, r.j.0068,10101,1)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=U

r

r.j.01456,003762,0)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔPr

, r.j.34852,029339,0)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔQr

.

ε>=ΔΔ r.j.34852,0|}|,|{|max )1()1(iii

QP .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

224,195623,116,113068,19)1(

θP , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

794,18446,11237,5902,18)1(

UQ .

Iteracija 2

r.j.134,0

1282,0)2(⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=θr

, r.j.96223,096476,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=U

r

r.j.03065,003378,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΔP

r , r.j.

02246,002531,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔQr

kV48,212o083,7

2−

=U , kV34,211o421,7

2−

=U .

Tabela 2.9. Rezultati proračuna naponskih prilika raspregnutim metodom Iteracija

ν )(

2νU )(

3νU |}|,|{|max )()( νν ΔΔ iii

QP

0 o01

o01 1,1137

1 o13,7

0101,1−

o5,7

0067,1−

0,3485

2 o347,7

9674,0−

o677,7

9622,0−

0,03378

3 o092,7

9639,0−

o429,7

9587,0−

0,01285

4 o072,7

9658,0−

o412,7

9606,0−

0,00167

5 o083,7

9659,0−

o421,7

9607,0−

0,0006

6 o083,7

9658,0−

o421,7

9606,0−

0,000086

kV48,212o083,7

2−

=U , kV34,211o421,7

2−

=U .

Analiza elektroenergetskih mreža

31

2.8. Izvršiti proračun tokova snaga i naponskih prilika za elektroenergetski sistem razmatran u zadatku 2.6 primenom brzog raspregnutog metoda.

Rešenje:

Kod prethodno razmatranog raspregnutog postupka pretpostavke: 1)-cos( ≈ki θθ , 0)-sin( ≈ki θθ i |||)sin(| ikkiik BG <<θ−θ su korišćene samo da bi se pokazalo da vandijagonalne submatrice Jakobijeve

matrice teže nuli. Kada se ove pretpostavke primene i kod izračunavanja θP∂∂ i

UQ∂∂ , dobija se:

∑≠=

−≈=θ∂∂ N

ijj

iiiijjii

i BUBUUP

1

2 , (2.8.1)

ijjij

i BUUθP

−=∂∂ (2.8.2)

iii

N

ijj

ijjiiii

i BUBUBUUQ

−≈−−=∂∂ ∑

≠=1

2 (2.8.3)

ijij

i BUUQ

−=∂∂ (2.8.4)

U relacijama (2.8.1) i (2.8.3) ovedeno je i ji UU ≈ , ∑≠=

−≈N

ijj

iiij BB1

da bi se relacije mogle napisati u

matričnom obliku:

]][][[ U'B'U'θP

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂ , (2.8.5)

]][[ B"U"UQ

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂ , (2.8.6)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NU

UU

L

OM

L

00

0000

][ 3

2

U' , ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= +−

+−

N

NN

NN

U

UU

PQ

PQ

L

MOM

L

00

0000

][ 2

1

U" ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NNNN

N

N

BBB

BBBBBB

L

MOMM

L

L

32

33332

22322

][B' ,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+−+−

+−+−+−+−+−

+−+−+−+−+−

NNNNNNNN

NNNNNNNNNNN

NNNNNNNNNNN

BBB

BBBBBB

PQPQ

PQPQPQPQPQ

PQPQPQPQPQ

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

][

L

MOMM

L

L

B"

r.j.817,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,2817,18745,4592,7898,1

592,7898,1592,7898,1988,14796,3][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

=jjjjjjjjj

čvY

r.j.817,18388,11

388,11817,18][][ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−== B"B'

Kod izračunavanja Pr

Δ i Qr

Δ primenjuju se relacije (2.5.1) i (2.5.2). Usvajaju se polazne vrednosti

T]00[)0( =θr

, T]11[)0( =Ur

i izračunava r.j.1137,19137,0)0(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔPr

i r.j008448,010845,0)0(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΔQ

r.

r.j.1137,1|}|,|{|max )0()0( =ΔΔ iiiQP

Analiza elektroenergetskih mreža

32

r.j.1001

][][ )0()0(⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== U"U'

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

817,18388,11388,11817,18

1001

817,18388,11388,11817,18

1001)0(

θP .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

817,18388,11388,11817,18

817,18388,11388,11817,18

1001)0(

UQ .

Iteracija 1

)0(

1)0()0()1( P

θPθθ

rrrΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=

−

, )0(

1)0()0()1( Q

UQUU

rrrΔ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=

−

,

r.j.1398,01331,0)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=θr

, r.j.0062,10095,1)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=U

r ,

r.j.05414,002869,0)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΔP

r, r.j.

3723,03141,0)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔQr

r.j.0062,1000095,1

][][ )1()1(⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== U"U'

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

0516,195681,115681,111771,19)0(

θP , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

9339,18459,114967,119962,18)1(

UQ ,

Iteracija 2

r.j1338,01281,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=θr

, r.j95939,096465,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=U

r,

r.j.03105,003498,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΔP

r, r.j.

00284,0006146,0)2(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=ΔQr

.

Tabela 2.10. Rezultati proračuna kompletno raspregnutog postupka Iteracija

ν )(

2νU )(

3νU |}|,|{|max )()( νν ΔΔ iii

QP

0 o01

o01 1,1137

1 o629,7

0095,1−

o01,8

0062,1−

0,37234

2 o338,7

9646,0−

o669,7

9594,0−

0,03498

3 o06,7

964,0−

o397,7

9588,0−

0,01385

4 o07,7

9659,0−

o413,7

9607,0−

0,00161

5 o08,7

9659,0−

o422,7

9607,0−

0,000592

6 o083,7

9658,0−

o422,7

9606,0−

0,0000793

kV48,212o083,7

2−

=U , kV34,211o422,7

2−

=U .

Analiza elektroenergetskih mreža

33

2.9. Proračunati tokove aktivnih snaga po granama elektroenergetskog sistema iz zadatka 2.6 primenom linearnog (DC) modela.

Rešenje: Linearni model, koji se često naziva i DC model koristi se za približan proračun tokova aktivnih snaga, posebno pri planiranju i analizi sigurnosti prenosnih mreža. Pretpostavke koje se koriste za formiranje ovog modela su: 1)-cos( =ji θθ , jiji θθθθ -)-sin( = , 0=ijG i nomji UUU == . Relacija za injektiranu aktivnu snagu (2.5.1) nakon uvođenja navedenih pretpostavki dobija oblik:

∑≠=

−=N

ijj

jiijni θθBUP1

2 )( , (2.9.1)

∑∑∑∑=

≠=

≠=

≠=

−=−−≈−=N

jjijn

N

ijj

jijniiin

N

ijj

jijn

N

ijj

ijini θBUθBUθBUθBUBθUP1

2

1

22

1

2

1

2 . (2.9.2)

Pošto je 01 =θ prethodna jednačina napisana za sve čvorove osim balansno referentnom dovodi do sistema jednačina koji je u matričnom zapisu:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

NNNNN

N

N

nom

N θ

θθ

BBB

BBBBBB

U

P

PP

M

L

MOMM

L

L

M3

2

32

33332

22322

23

2

, (2.9.3.)

θBPrr

][2 ′−= nomU , (2.9.4) θBP

rr][ ′−= , (2.9.5)

PBθrr

1][ −′−= , (2.9.6)

Prvi pristup Zamenarujući aktivne otpornosti i otočne elemente matrica admitansi je:

r.j.167,201,12067,81,12167,20067,8

067,8067,8134,16][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−= jčvY

r.j.167,201,121,12167,20

][ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=B'

r.j.2,1

1

3

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

PP

Pr

MW2202

1 =−= ∑=

N

iiPP .

rad1395,01333,0

2,11

167,201,121,12167,20 1

3

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ −

,

o2 6355,7−=θ , o

3 9906,7−=θ . )( ki

gikik θθbP −−= . (2.9.7)

MW5,107r.j.075,1)( 122112 ==θ−θ−= gbP , MW5,112r.j.125,1)( g

133113 ==θ−θ−= bP , MW5,7r.j.075,0)( g

233223 ==θ−θ−= bP .

Analiza elektroenergetskih mreža

34

Drugi pristup

r.j.98,18745,4388,11847,2592,7898,1388,11847,298,18745,4592,7898,1

592,7898,1592,7898,1184,15796,3][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

=jjjjjjjjj

Y čv

r.j.98,18388,11

388,1198,18][ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=B'

rad1482,01416,0

2,11

98,18388,11388,1198,18 1

3

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ −

,

o2 1127,8−=θ , o

3 49,8−=θ . MW5,107r.j.075,1)( 122112 ==θ−θ−= gbP , MW5,112r.j.125,1)( 133113 ==θ−θ−= gbP , MW5,7r.j.075,0)( 233223 ==θ−θ−= gbP .

2.10. Za EES prikazan na slici, primenom kompletno raspregnutog (DC) modela za proračun tokova snaga proračunati tokove aktivnih snaga po granama:

12

3

SG1 SG2=(200+jQG2) MVA

SP1=(100+ 50j ) MVA

S12

Z13=(14,89+ 119,4j ) Ω Z23= 150j Ω

Z12=(19,17+ 191,7j ) Ω

SP3=(400+ 200j ) MVAZ30= 100j Ω

S13 S23

~ ~G2

U2=400 kVU1=400 kV

G1

Sl. 2.8 Test sistem

Rešenje:

MW2002 =P , MW4003 −=P .

MW2002

1 =−= ∑=

N

iiPP .

Prvi pristup

S01504,000667,000837,0

00667,001188,000522,000837,000522,001359,0

][⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=B ,

S01504,000667,0

00667,001188,0][ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=′B .

PBθrr

12 ][1 −′−=nU

,

rad15915,00159,0

400200

01504,000667,000667,001188,0

4001

1

23

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ −

.

MW273,13)( 212

1212 −=θ−θ−= ng UbP ,

MW273,213)( 312

1313 =θ−θ−= ng UbP ,

Analiza elektroenergetskih mreža

35

MW727,186)( 322

2323 =θ−θ−= ng UbP .

Drugi pristup

S01492,000667,000825,0

00667,001183,000516,000825,000516,001341,0

][⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=B ,

S01492,000667,0

00667,001183,0][ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=′B .

rad16094,0

01496,0400

20001492,000667,0

00667,001183,0400

11

23

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ −

.

MW366,12)( 212

1212 −=−−= θθng UbP ,

MW366,212)( 312

1313 =−−= θθng UbP ,

MW634,187)( 322

2323 =−−= θθng UbP .