(teoria dos números, conjunto dos números reais e …pierre de fermat , um dos mais famosos...

Disciplina: Calculo para Tecnologia

(Teoria dos números, Conjunto dos números reais e suas operações, Classificação dos

números, Expressões Algebricas)

Prof. Wagner Santos C. de Jesuswsantoscj@gmail.comwww.wagnerscj.com.br/etep

Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Conceito da Ferramenta

Calculo

wsantoscj@gmail.com 2

Conceito de CalculoCálculo , é um ramo importante da matemática,desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que sededica ao estudo de taxas de variação de grandezas(como a inclinação de uma reta) e a acumulação dequantidades (como a área debaixo de uma curva ouo volume de um sólido).

1. Medicina2. Odontologia3. Engenharia Civil4. Matemática9. Computação

Ocupação nas profissões

Teoria dos Números e sua função

5wsantoscj@gmail.com

Revolução Científica

Na história da ciência, chama-se RevoluçãoCientífica ao período que começou no século XVI eprolongou-se até o século XVIII. A partir desse período,a Ciência, que até então estava atrelada à Teologia,separa-se desta e passa a ser um conhecimento maisestruturado e prático.

Teoria dos NúmerosA teoria dos números é o ramo da matemática pura queestuda propriedades dos números em geral, e emparticular dos números inteiros, bem como a larga classede problemas que surge no seu estudo.

Pierre de Fermat, um dos mais famososteoristas dos números. (MatemáticoFrances)

Conceito de NúmeroNúmero é um objeto da matemática usado paradescrever quantidade, ordem ou medida. O conceito denúmero provavelmente foi um dos primeiros conceitosmatemáticos assimilados pela humanidade no processo decontagem.

8wsantoscj@gmail.com

Representaçãodos números

• Grandezas Matemáticas ou físicas;• Objetos do mundo real;• Computacionalmente medidas (Memória, Velocidade

de processamento, propagação e acesso), Imagem eáudio.

• Identificação geográfica (Tecnologia GPS).• Usados para representar outros números.• Usados para representar objetos visuais (Gráficos).

Proposição

Proposição é um termo usado em lógica para descrever oconteúdo de asserções. Uma asserção é um conteúdo quepode ser tomado como verdadeiro ou falso.

Se chover, levarei meu guarda chuvas.

Proposição usando negativa.

Luiza era mais bonita que maria.Maria não era tão bonita quanto Luiza.

Aplicação usando números

Áreas deAplicações do Cálculo

• Engenharias;• Biologia;• Física e Química;• Computação Aplicada (Ciência da

Computação; Ciência de Dados;• Análise Forense;• Pesquisa Operacional;• Métodos Numéricos;• Previsão de tempo

Classificação dos Números

Números Naturais

Números InteirosUm número é considerado inteiro quando nãoapresenta parte fracionária, e podem ser positivos enegativos.

Exemplo: Z = {-5,-4,-3,-2,-1, 0,1, 2, 3, 4, 5}

Números Racionais

Número Irracionais

Números Reais

Conjuntos Importantes

Exemplo Aplicação com números

tecla=33

tecla=34

Tecla=27

“7 Espadas”

“8 Espadas”

“9 Espadas”

Algoritmo

Operações com númerosReais

No Ensino fundamental e médio são comuns as regras“menos com menos dá mais” ou “sinais iguais: mais,sinais diferentes, menos”. Nem sempre esse fator seráverdadeiro.

Observações IniciaisO Sinal de + no começo de uma expressão pode ser omitido.

+2 = 2; +4 + 5 = 4 + 5

O produto ou divisão por um número negativo deve ser precedido por parênteses. Não devemos deixar dois operadores “juntos”.

Exemplo

2 . -3 (Errado!)2 . (-3) (Correto)

Números Inteiros

Desconsiderando o zero temos os inteiros estritamentepositivos e os inteiros estritamente negativos.

Todo inteiro pode ser escrito na forma de uma sequenciade parcelas unitárias iguais a +1.

Todo inteiro negativo pode ser escrito na forma de umasequencia de parcelas unitárias iguais a -1.

Números InteirosTodo inteiro positivo pode ser escrito na forma de umasequencia de parcelas unitárias iguais a +1.

5 = +1+1+1+1+13 = +1 + 1 + 1

Todo inteiro negativo pode ser escrito na forma de umasequencia de parcelas unitárias iguais a -1.

-5 = -1 -1 -1 -1 -1-3 = -1 -1 -1

Números

A partir das considerações anteriores e lembrando que -1 + 1 = 0, podemos fazer operações de soma ou subtração entre inteiros de maneira simples:

+2 + 5 = +1+1+1+1+1+1+1 = 7-2 +5 = -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 = 3+2 -5 = +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 = -3-2 -5 = -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 = -7

Soma ou Subtração

+2 +5 = -2 + 5 =+2 -5 = -2 -5 =

Vale o sinal do maiorO mesmo conceito é estendido aos reais(com um pouco mais de trabalho)

Produtos de Números Inteiros

Existem 4 casos possíveis. Três são intuitivos e o último nãoé intuitivo. Faremos posteriormente a demonstração doúltimo caso como curiosidade.

2 . 3 =-2 . 3 =2 . (-4) =(-2) . (-3) =

2 + 2 + 2 = 6(-2) + (-2) + (-2) = -6

(-4) + (-4) = -86

Lembretes

0 + a = a (elemento neutro da adição)a.1 = a (elemento neutro da multiplicação)-1.0 = 0-a = -1.aab = ba (Comutativa)a(b+c) = ab + ac (propriedade distributiva)

Demonstração

Seja a > 0 e b > 0 (a e b reais). Vamos provar que (-a) (-b) = +abVamos primeiro provar que (-1)(-1) = +1:

(-1)(0) = 0Lembrando que 0 = 1 – 1:(-1)(1-1) = 0Aplicando a distributiva:-1+(-1)(-1) = 0Somando 1 de ambos os lados:+1-1+(-1)(-1) = 0 +1 = 0+(-1)(-1) = +1

Demonstração da propriedade distributiva

Provar que (-a)(-b) = +ab

(-a)(-b) = (-1)(+a)(-1)(+b)(-a)(-b) = (-1)(-1)(+a)(+b)(-a)(-b) = (+1)(+a)(+b)(-a)(-b) = +ab

Divisão de Inteiros

Multiplicação ou Divisão de Reais

Temos:

2 . 3 =-2 . 3 =2 . (-3) =(-2) . (-3) =

+6-6-6+6

Sinais Iguais => +Sinais Diferentes => -

Propriedade Distributiva

(a) =-(a) =-(-a) = -a =-(a+b) = -(a-b) =

(a) -a+a -1 . a -1 . (a+b) = -a-b-1 . (a-b) = -a+b

Note que o sinal de + não afetará o sinal daexpressão:

+(a) = a+(-3) = -3+(+4) = 4+(2-x) = (2-x) = 2-x

Tente Resolver

2-53-2-x-5 + y

(2) =-(5) =-(-3) =-(2+x) =-(-(-5+y)) =

Exercícios

a)5 -7 + 2 =b)-2 – 4 + 7 -3 = c) -5 -7 -5 + 4 =d)-3 -8 +3 +5 =

-2+2 = 0

-6 +4 = -2-12 -1 = -13-8+5 = -3

Ordem de Precedência dos

Operadores

Ordem de Precedência

Exemplo Prático

f) 15+[4+(7.3+1)] – 3 = 38

g) (5-1)+[4+(7.3+1)] – 3 =27

h) (10+(2.3+1)) – 3 = 14

Expressões Algébricas(Literais)

Conceito Álgebra

Vem a ser o ramo que estuda a manipulação formal deequações, operações matemáticas, polinómios eestruturas algébricas. A álgebra é um dos principaisramos da matemática pura.

ComentárioA álgebra mistura do mundo real com o abstrato.

Tipos de Álgebra

• Diofantina - é uma equação polinomial que permite a duas oumais variáveis assumirem apenas valores inteiros.

• Booleanas – Vem a ser um tipo de dado primitivo que possuidois valores, que podem ser considerados como 0 ou 1, falsoou verdadeiro.

• Linear - é um ramo da matemática que surgiu do estudodetalhado de sistemas de equações lineares.

• Markoviana – São cadeias que permitem análise deprobabilidade.

Expressões Algébricas

São expressões matemáticas queapresentam números, letras eoperações. Exemplo:

2a+2b2x+3y

Formato das Expressões Algébricas

Literais das Expressões

xyz : Vem a ser umaexpressão algébrica.

Toda expressão algébrica,possui uma parte literal e umaparte numérica.

Monômio

Monômios são expressões algébricas formadas apenaspor multiplicação de números conhecidos e incógnitas .

São exemplos de monômios :

1) 2x2) 3x2y4

3) x4) xy5) 16

Exemplo.

Quando as literais estão juntas, a operação deseja será uma multiplicação.

Exemplo: 1. xyz

Parte numérica (1) que multiplica a parte literal xyz.Observação a parte literal também é conhecida como variável.

Prática de Expressões Algébricas

Maria foi ao supermercado e comprou 6 pães e 4 latas deleite moça.

Expressão Algébrica:

Pães, podemos chamar de (P).Latas de leite, moça podemos chamar de (L).

6P + 4L

Problema Prático

Uma empresa possui um caixa, para investimento, eminfraestrutura de TI de R$ 100.000,00, e precisou comprardois servidores que tinham um custo de R$ 20.000,00. Oanalista de compras precisa criar uma expressão que podeser usada para varias situações do mesmo tipo. Escrever aexpressão algébrica que descreve o problema acima.

x – 2y

Importante

Na expressão acima o dois é denominado como constanteou coeficiente, ou seja, o fator que multiplica a parte literalda expressão. (também chamado de parte numérica).

x – 2y

x – ky K, seria o coeficiente que generaliza oproblema.

Problema PropostoUm florista vendia rosas a três reais e petúnias a dois reais ecinquenta centavos, escreva a expressão que ajuda o florista acalcular quanto as rosas e petúnias, venderia se em ummomento um cliente compra-se 7 rosa e 8 petúnias.

a) Escrever a expressão algébrica do problema proposto.b) Efetuar o calculo da respectiva venda, com valor e

quantidade de flores vendidos.

wsantoscj@gmail.com 54Rosa

Petúnia

Solução Problema Rosas - (R)Petúnias - (P)

(R$ 3,00)(R$ 2,50)

Valor vendido = VvQuantidade vendida = Qv

Vv + Qv = 3R + 2,50PVendeu = 7 Rosas

Vendeu = 8 Petúnias

Vv + Qv = 3(7) + 2,50(8) = 21 + 20 = Vv = R$ 41,00

Qv = (7) + (8) = 15 flores

Conceito de Monômios e Polinômios

Monômios

Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas .

Adição e Subtração de Monômio

Só podem ser realizadas quandoos monômios possuem parte literal idêntica. Quando issoacontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes,mantendo a parte literal dos monômios na resposta final.

2x2 + 10x2 =

10x2 - 2x2 =

Exemplos práticos

2xy2k7 + 22xy2k7 = 24xy2k7

2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7

-2xy2k7 + 22xy2k7 = 20xy2k7

-2xy2k7 - 22xy2k7 = -24xy2k7

Exercício Proposto

Multiplicação e divisão de monômios

A multiplicação de monômios não necessita de queas partes literais sejam iguais. Para multiplicar doismonômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois,multiplique incógnita, a incógnita usando propriedades depotência.

Propriedade da Potência

Multiplicação de Monômios

4x . 6z = (4.6) . (x.z) = 24xz

Divisão de Monômios

Na divisão de monômios devemos dividircoeficiente por coeficiente e parte literal porparte literal. Ao dividir partes literais iguais,aplique a divisão de potências de basesiguais: subtrair os expoentes e repetir abase.

Exemplo de Divisão de Monômios

(16/4).(x2. x2 = x2-2) = 4

Conceito de Polinômio

Polinômios são expressões algébricas formadaspela adição algébrica de monômios . Assim, umpolinômio nasce quando somamos ou subtraímosdois monômios distintos.

Atenção: todo monômio também é polinômio.

Adição Subtração Polinômios

É realizada colocando-se lado a lado todos os termossemelhantes (monômios que possuem parte literal igual) esomando-os. Quando os polinômios não possuem termossemelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos.Quando polinômios possuem um termo que não ésemelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nemsubtraído, apenas repetido no resultado final.

Exemplo Adição e SubtraçãoPolinômios

(3x+4x-7a) = 7x-7a

-15x + 25y

-2x – 6a

Exemplo Prático

(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =

12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =

12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =

– 3x2 + 46y2 – 7k

Problema Proposto

Uma loja de moveis, por questões de logística, encomendava de seufornecedores na primeira faze do ano um produto que custava 3 mil reais aquantidade de um produto x que poderiam dobrar exponencialmente, mais umoutro produto y que também poderia dobrar exponencialmente, tinha um custode 5 mil reais, sua controladoria mensurou um produto k com custo de 70 reaisque deveria ser retirado do montante. Na segunda faze do ano foi considerado apossibilidade de adquirir os produtos x, com custo de 1000 e y com custo 2000de outro fornecedor dobrando também exponencialmente sua quantidade.

a) Escreva a equação que possibilita, ao lojista controlar os produtos com seusdevidos custos.

b) Simplifique se possível usando a soma da duas equações.

Resolução do Problema Proposto

Primeira faseProduto x custo 3000Produto y custo 5000Produto k custo 70

Segunda faseProduto x custo 1000Produto y custo 2000

Multiplicação de Polinômios

Multiplicação de Polinômio

A multiplicação de polinômios sempre é feita com basena propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.Por intermédio dela, devemos multiplicar o primeiro termodo primeiro polinômio por todos os termos do segundo,depois o segundo termo do primeiro polinômio por todosos termos do segundo e assim sucessivamente até quetodos os termos do primeiro polinômio tenham sidomultiplicados.

Estrutura Básica deMultiplicação de Polinômios

(a + b)(x + y)

(a.x) + (a.y)+ (b.x)+ (b.y)

Exemplo-1 Prático

(x2+ a2)(y2+ a2)

(x2 y2)+(x2 a2)+(a2 y2)+a4

Exemplo-2 MultiplicaçãoPolinômio

(3x2)(5x3 + 8x2 – x)

(15x5)+(24x4) -(3x3)

Exemplo-3 MultiplicaçãoPolinômio

wsantoscj@gmail.com78

(x – 1) (x2 + 2x - 6)– 6 .(x – 1)x2.(x – 1) + 2x . (x – 1)

– (6x + 6)(x³ – x²) + (2x² – 2x)

– 6x + 6x³ – x² + 2x² – 2x

x³ + x² - 8x + 6

Efetuar as multiplicações

(4x-2)(x2+3x-4) =

(2x -2)(x4+2x – 2) =

(9x)(x4+2x – 2) =

(8x -3)(2x4+2x-2) =

4x4 -2x3 +12x2 -22x +8

2x5 -2x4 +4x2 -8x +4

16x5 -6x4 +16x2 -22x +6

9x5 +18x2 -18x

Problema

Um novo dispositivo concentrador em uma rede decomputadores, tinha em sua documentação uma taxa detransmissão de duas vezes o valor, do seu, anterior menosdois, um tecnólogo implementou um processo paraamplificar sua velocidade usando a velocidade anteriorcrescente quatro unidade exponencialmente, considerandoa velocidade do ping em mais duas vezes, com um erro deaproximadamente 3 unidades. Encontrar a expressão queresolve o problema acima.

Resolução

(2x – 2)

(x4 + 2x -3) =

2x5 + 4x2 -6x -2x4 -4x+6 =

2x5 +4x2-10x-2x4+6 =

2x5 +2x4 +4x2 -10x + 6

Expressão do problema

Divisão de Polinômios

Divisão de Polinômio

É o procedimento mais difícil das expressões algébricas.Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios émuito parecida com a usada para divisão entre númerosreais: procuramos um monômio que, multiplicado pelotermo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo degrau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair dodividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” oresto para continuar a divisão.

Método de Divisão

Quando trabalhamos com divisão ,utilizamos também a multiplicação noprocesso.

divisorDividendoQuocienteResto

Quociente x divisor + resto = dividendo

Exemplo Prático - 1

(x2 + 18x + 81):(x + 9) =

x2 + 18x + 81 x + 9x-x2 -9x

0 9x + 81

-9x - 810

(12x3 + 4x2 – 8x):(4x) =

12x3 + 4x2-8x 4x3x2-12x3

0 - 4x2

(10x2 - 43x + 40):(2x-5) =

10x2 -43x +40 2x - 5

-9-10x2

0 +25x-18x

- 45-5

Efetue as operações

0 +9x-1

0 +5x -1

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